《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点

归纳整理

学生

编

01、余子式与代数余子式

02、主对角线

03、转置行列式

04、行列式的性质

05、计算行列式

06、矩阵中未写出的元素

07、几类特殊的方阵

08、矩阵的运算规则

09、矩阵多项式

10、对称矩阵

11、矩阵的分块

12、矩阵的初等变换

13、矩阵等价

14、初等矩阵

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

16、逆矩阵

17、充分性与必要性的证明题

18、伴随矩阵

19、矩阵的标准形：

20、矩阵的秩：

21、矩阵的秩的一些定理、推论

22、线性方程组概念

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

25、线性方程组的向量形式

26、线性相关

与

线性无关的概念

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

29、线性表示

与

线性组合的概念

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

32、最大线性无关组与向量组的秩

33、线性方程组解的结构

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝，则

①元素，的余子式分别为：M11＝，M12＝，M13＝

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素，的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…

n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~

1.1.7）

其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式：

①方法（首选）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例题：课本P14

（2）计算三阶行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主对角线上元素的乘积）

例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式

例题：课本P11

（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。

例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式

（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0

（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同

（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En

（其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：

①课本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交换律：A＋B＝B＋A

③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法：

I.课本P33“kA”

II.＝kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）

②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×

B的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝×＋×

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝×＋×

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵

II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k

≠

A

k

B

k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.当AB＝BA时，以上三个等式均成立

（3）矩阵的转置运算规律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）

＝

（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1

大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业

P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P3610、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数

与

对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-4012、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：详见课本P

例题：作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49

（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵

（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）

（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为≠0，并且，当A可逆时，A－1＝

（证明详见课本P54）

例题：课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题

（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57

（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：A-1（例题：课本P68、课本P71）

（13）形如AX＝B的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此时有：

矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题

矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：由结论推出条件

（2）充分性：由条件推出结论

例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：课本P52

定义2.3.2

（2）设A为n阶方阵（n≥2），则AA*＝A*A＝En（证明详见课本P53-54）

（3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因为存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因为AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩阵是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例题：课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、作业P8全部

19、矩阵的标准形：

（1）定义：课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

（1）定义：课本P63

（2）性质：设A是m×n的矩阵，B是p×q的矩阵，则

①

若k是非零数，则R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等价矩阵有相同的秩，即若AB，则R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

设A与B都是m×n矩阵，则R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n阶方阵A可逆的充要条件是：A的秩等于其阶数，即R

(A)＝n

（4）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67）

（5）

设A是m×n矩阵，P、Q分别是m阶与n阶可逆方阵，则R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部

21、矩阵的秩的一些定理、推论

线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P7022、线性方程组概念

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。

线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

（1）定义：课本P81

（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81

（3）系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程：课本P82

（4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题

（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87

（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87

（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方

便叙述，在解方程组时不用交换列。

（8）克莱姆法则：

①初步认知：

已知三元线性方程组，其系数行列式D＝.当D≠0时，其解为：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此类推）

②定义：课本P15

③使用的两个前提条件：课本P18

④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题

（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：

课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、课本P91、作业P10第1题

（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本

P91、作业P1第5题、作业P10第2题

（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

无解

＜

n

有无穷多个解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特别地，当A是

≠0

有唯一解

n阶方阵时，可

R

(A)

＜

R

()

无解

由行列式来判断

R

(A)

＝

R

()

有解

当＝0

有无穷多个解

例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题

（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充

要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，为0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有无穷多个解）

特别地，当A是n阶方阵

≠0

只有零解（有唯一解，为0）

时，可由行列式来判断

＝0

有非零解（有无穷多个解）

例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

详见课本P92-93

将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。

初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩

阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）

手写零向量时不必加箭头。

25、线性方程组的向量形式

详见课本P9326、线性相关

与

线性无关的概念

详见课本P93-94

例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

线代老师课上提到的结论。

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

详见课本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例题：课本P94-95

例3.3.2、课本P101第3大题、课

22本P101第5大题、作业P12第3小题、作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题

29、线性表示

与

线性组合的概念

详见课本P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

详见课本P95-96

定理3.3.3

例题：课本P95-96

例3.3.431、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

详见课本P96

定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.632、最大线性无关组与向量组的秩

详见课本P98-100

定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7

单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组

用）

例题：课本P100

例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题

33、线性方程组解的结构

看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性

方程组AX＝O的解的情况”。

（1）n元齐次线性方程组AX＝O解的结构

①

定理3.4.1：详见课本P101-102

②

定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102

③

定理3.4.2：详见课本P102

④

解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法

真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。

（II）得到同解方程组

注：由得到同解方程组

（III）∴

此方程组的一组解向量为：＝，＝，＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知

（IV）显然，线性无关。

注：根据课本P93-94

定义3.3.3

得出线性无关，注意，下面分别是：、、，令它们分别为、、，则显然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，线性无关。

（V）∴，为方程组的基础解系，方程组的通解为：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根据课本P102

定义3.4.1

得出该方程组的通解。

⑤

其他例题：课本P109

第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业

P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题

（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解的结构

①

导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O（详见课本P105）

②

定理3.4.3：详见课本P105

③

定义3.4.4：详见课本P105

④

定义3.4.5：详见课本P105

⑤

课本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容

⑥

解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程组

注：由

得到同解方程组

（III）令＝0，得到原方程组的特解X0＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。

（IV）导出方程组的同解方程为：

注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O，即步骤（III）“注”的“形式”的系数部分。

（V）令＝1，得到方程组的基础解系＝，则原方程组的通解为：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例题：

（I）课本P107

例3.4.3（之前先复习“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”）

要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0

（II）课本P109

第2大题、作业P15第一大题第4小题、作业P15第二大题、作业P16第三大题、作业P15第一大题第2小题、作业P15第一大题第3小题