余弦定理在生活应用

第一篇：余弦定理在生活应用

余弦定理在生活应用

———感想

学校每年都会组织一次各科的课题研究，可以让我们学生在开放的学习情境中主动探索，亲身体验，在愉快的心情中自主学习，提高能力，同时我们可以在研究性学习中不断收获知识，得到锻炼，提升自我。

在数学老师的带领下，我们感兴趣同学参与调查研究了《余弦定理在生活中的应用》这一研究课题。研究性课题的内容是有关“余弦定理”的，而且我们在高中数学必修五学习过相关知识内容，如：（吧握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题）。在以前学习的过程中我们很多同学由于无法联系实际合理想象而掌握的不是很好，因此在这次研究性学习中我们都踊跃参加，希望可以在此次研究性学习中加深去理解“余弦定理应用的相关知识”，在老师的正确细心指导下我们对 本次课题有了更多的收获。

在研究性学习的初期阶段，老师耐心的告诉我们只有准备充分，明确的知道自己想调查什么内容，调查的具体对象是谁，调查的目的与意义是什么，想取得什么样的调查结果，采用什么样的调查方式等等这些具体的事项，才能高效率，高质量的完成调查研究。老师的提醒使我们懂得了做事情要有条理性，而不是漫无目的去进行。比如事先要想到此次课题涉及的方面有哪些，我们可以从哪个方面入手等问题。规划问题，不同问题设计不同的解决方法，正是有了充分的准备，明确的目标，使我们在后来的实际调查中，有理有据，获得了很多的成效。

团队精神合作在此次研究性学习是不可缺少的，在这次研究性学习中，我们看到了合作的巨大力量。比在收集调查内容余弦定理在生活中的应用问题时。一开始大家都忙着各自分头寻找相关资料，没有分配任务，开会讨论等到组内开会召集时，才发现，不是有的资料没找到，就是同样的资料找了好几份。随后我们讨论分配了各项任务后，大家都明确了自己的任务，有的组员提前完成任务，他们也会热心主动的帮助我们的其他组员。正是因为大家共同合作，互相帮助，任务才能在失误在先的情况下完成的很好。合作的关系依然紧密，如果查找到与其他成员有关的资料，大家都会拿出来共享，正是由于这样，虽然研究任务很重，我们却也没有耽误很多学习时间。团队的精神在每个人心中，合作为了共同的目标。

作为学生，我们所接触到的只是书本上的知识，应该说，我们很难体会到自己现在所学习的数学知识与实际生活有什么联系。然而在这次关于余弦定理在生活的实际应用的研究中，我们发现，原来我们所学习的知识如此广泛而紧密的和我们的生活联系着。余弦定理的应用的确在我们的生活中应用广泛，然而很多问题是十分复杂的，是我们的能力无法解决的，但这并不意味着，我们就不去解决它。我们在课本上，练习册上不是也见到过许多余弦定理的问题吗，它们是怎么来的呢？是人们在大量实际观察后抽象出来的理想模型。我们需要思考的就是如何用书本上的知识解释实际中的余弦定理问题。在老师的指导后，我们又对本次研性学习产生了更深刻的认识，现在可以用它解释生活一些中的问题，在这个过程我们提高了自身的能力和知识。

此次研究性学习中我们增长的不光是数学知识也有团队的合作意识，它让我们得到了锻炼，无论是社会交往的能力，还是自身的学习能力都得到了巨大的提高。

第二篇：正、余弦定理及其应用

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题.在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

第三篇：正弦、余弦定理综合应用

班别第小组姓名学号

正、余弦定理的综合应用

一、知识要点

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．变形公式：（1）a2RsinA，bc

（2）sinAa

2R，sinB，sinC

（3）a:b:c。

3．三角形面积公式：SABC。

（二）1.余弦定理：a2b2c2

。

2.余弦定理的变形：cosA，cosBcosC。

二、基本类型

类型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52，A＝2B，则cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32

则a的值为()A．1B．2C.3234、、三角形的三边分别为a,b,c，且满足(abc)(abc)

3ab，则c边所对的角等于（）

A

45B60C30D150

5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，则角B的值为()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．

类型

二、判定三角形的形状

7、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosBbcosA,则三角形为

8、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosB

acosA,则三角形为

9、若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10、已知在ABC中，sin

Asin2Bsin2CsinBsinC，则ABC是（）

A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边的长，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比数列，试判断△ABC的形状．

三、体验高考题

12、（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C14

(1)求sinC的值；(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

13、（2010辽宁文数）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（1）求A的大小；（2）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.14、（2010安徽文数）ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA1213

。(1)求AB

AC

；(2)若cb1，求a的值。

第四篇：正弦余弦定理应用一

友好三中高三数学学案设计时间：2010-9-6使用时间：

三角函数14：正弦定理、余弦定理的应用

（一）一、学习目标

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、学习重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

三、考纲要求

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

四、知识链接

1、正弦定理的内容：

2、正弦定理适用的范围：（1）

（2）

3、余弦定理的内容：；；

4、余弦定理适用的范围：（1）

（2）

五、基础检测

1、在 中，则三角形的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

2、在 中，bcosBacosA，则三角形的形状为

3:2，求A,B,C23、在△ABC中，a:b:c1:224、在ABC中，若bacac，则B=（）

A．60°B．45°或135°C．120°D．30°

5、在ABC中，a2,b3,c4，则此三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

六、学习过程

类型一、三角形中的三角函数问题

例1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(I)求角A的大小；(II)若a=3，b+ c=3，求b和c的值。



8sin

BC

22cos2A7.例2.已知在ABC中，三条边a,b,c所对的角分别为A,B,C，向量m(sinA,cosA)，





n(cosB,sinB)且满足mnsin2C。







（1）求角C的大小；（2）若sinA,sinC,sinB成等比数列，且CA(ABAC)18，求c的值。

类型二、三角函数与其他知识交汇问题



例3．已知在ABC中，ABBC3，记AB,BC．（1）若ABC的面积S

2S3，求的取值范围；（2）若



选做 例4．已知△ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列．

，求ABC的最大边长的最小值．

（Ⅰ）求△ABC的面积S的最大值；（Ⅱ）求BABC的取值范围．

七、达标训练

1、在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形

2、在 3

4、在A

43-4

B4

34

C4

31

2D12-4

3中，三边 与面积S的关系式为则角C为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°

C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形

中，已知 则AD长为（）

5、在 面积则BC长为（）

A．206B．75C．51D．496、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若

7、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a

b3,c30, 则A＝



3bccosAacosC，则cosA



以下为选做题：

8、在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且

（1）判断此三角形的形状；（2）若a=3, b=4，求|CACB|的值；

ab

2tanAcotB

（3）若C=60，ΔABC的面积为



ABBCBCCACAAB的值。

9、设△

ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）

sin

BcosCsin(BC)的值.，求：

第五篇：正弦余弦定理应用定理

正弦定理、余弦定理练习题

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)