趣味数学—数阵图与幻方

第一篇：趣味数学—数阵图与幻方

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三年级奥数

--数阵图与幻方 知识框架

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

43951276

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七

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六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

四、幻方定义：

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，834***51467495161011

3213。

五、解决这幻方常用的方法：

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．

⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．

六、数独简介：

数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。

19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（Number Place），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。

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中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独.2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。

七、解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。总结4个小技巧：

1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。

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例题练习

一、辐射型数阵图

【例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是____________。

【例 2】 请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？

（1）

【例 3】 将 1～11 十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。

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二、封闭型数阵

【例 4】

把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。

【例 5】 把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。

三、复合型数阵图

【例 6】 右边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数)，已知其中任何3个连续方格中的数相加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=

【例 7】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________。

AB

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【例 8】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

四、数阵图与数论

【例 9】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有

种可能的取值．

五、数独

【例 10】 在下图中的每个□填入一位适当的数字，使每一行、每一列、每一宫中包含数字1到4，并且每个数字只出现一次。

六、幻方

【例 11】 33的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）．

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【例 12】 在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N=。

861612N

作业练习

把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

（1）

用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。

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第二篇：幻方问题

幻方问题

据说很早以前，夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为“洛书”或“河图”。

如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字，就成了下图的样子。

2 5 7

1 6

我们注意到左面的图形中，九个数字正好是从1到9，既无重复，也没有遗漏，所有横竖线与对角线之和相等。此类图形成为幻方图形，图中给出的为三阶幻方。选择合适算法，使用计算机生成不同阶的幻方。

解法分析：

#include using namespace std;对平面魔方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)

⑴ N 为奇数时，最简单

(1)将1放在第一行中间一列;

(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放，按 45°方向行走，如向右上

每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1

(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

(4)如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

程序：int ABC1(int n)//当n为奇数的时候生成的幻方

{

int i,j,k;int **a=new int*[n];for(i=0;i

for(i=0;i

for(j=0;j

}

} j++;if(i==n-1&&j==n-1){ i++;a[i][j]=k;} if(i<0)i=n-1;if(j>n-1)j=0;if(a[i][j]==0)a[i][j]=k;else {

} i++;if(i>n-1)i=0;j--;if(j<0)

j=n-1;i++;if(i>n-1)i=0;a[i][j]=k;break;} for(i=0;i

} for(j=0;j

⑵ N为4的倍数时（采用对称元素交换法。）

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵

然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对

称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。

(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)程序：int ABC2(int n)//当n不是奇数但是能被4整除的数生成的幻方

{

}

⑶ N 为其它偶数时

当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值。上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)，即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③

④ ②然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(jn-t+2), a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换 其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。int i,j,k;int **a=new int*[n];for(i=0;i

} for(i=0;i

printf(“%4d”,a[i][j]);} cout<

a[i][j]=k++;k=n*n+1;for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<4;j++)

if((i==j)||(i+j==3))for(W=0;W

for(D=0;D

a[i+W*4][j+D*4]=k-a[i+W*4][j+D*4];return 0;程序：int ABC3(int n)//当n是偶数且不能被4整除的数；

{

int i,j,k;int **a=new int*[n];for(i=0;i

a[i]=new int[n];if(n%2!=1&&n%4!=0){ for(i=0;i

for(j=0;j

i=0;j=n/2-1;k=1;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;for(k=5;k<=n*n;){

i-=2;j+=2;if(i==n-2&&j==n-2){

i+=2;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;break;a[i][j]=0;} if(i<0)i=n-2;if(j>n-2)j=0;if(a[i][j]==0){

} else {

i+=2;if(i>n-2)i=0;j-=2;if(j<0)a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;

}

} j=n-2;i+=2;if(i>n-2)i=0;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;for(i=0;i

{

k=a[i][j];a[i][j]=a[i+1][j];a[i+1][j]=k;} k=a[n/2-1][n/2-1];a[n/2-1][n/2-1]=a[n/2][n/2-1];a[n/2][n/2-1]=k;k=a[n/2-1][n-1];a[n/2-1][n-1]=a[n/2][n-1];a[n/2][n-1]=k;for(j=0;j

{

}

k=a[i][j];a[i][j]=a[i][j+1];a[i][j+1]=k;k=a[n/2][n/2-1];a[n/2][n/2-1]=a[n/2][n/2];a[n/2][n/2]=k;k=a[n-1][n/2-1];a[n-1][n/2-1]=a[n-1][n/2];a[n-1][n/2]=k;k=a[n-2][n-2];a[n-2][n-2]=a[n-2][n-2+1];a[n-2][n-2+1]=k;k=a[n-1][n-2];a[n-1][n-2]=a[n-1][n-2+1];a[n-1][n-2+1]=k;

} for(i=0;i

{

} for(j=0;j

int n;int i;cout<<“请输入幻方阶数:”;cin>>n;int **a=new int*[n];for(i=0;i

ABC1(n);cout<<“是否继续(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y')goto begin;return 0;} else

if(n%4==0)

{

} else { ABC3(n);cout<<“是否继续(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y')

goto begin;}return 0 ABC2(n);cout<<“是否继续(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y')goto begin;

｝

运行结果显示：

第三篇：一年级奥数题及答案：巧填数阵图

一年级奥数题及答案：巧填数阵图

1.巧填数阵图

把1 ～ 9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15。

解答：

【小结】这些数中1+9=2+8=3+7=4+6=10，那么可以判断中间的公共数填5，这样每行、每列、每一斜行的数相加都是15。

2.单双数的性质

一堆小棒，4根4根的数，最后还剩下一根，猜一猜这堆小棒的根数是单数还是双数？

解答：这堆小棒的总数是单数。

【小结】4是双数，所以不管拿几次都是双数。而最后却留下了一根，所以这堆小棒的总是是单数。

第四篇：二年级上册数学教案 数学广场——幻方沪教版

幻

方

教学目标：

1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。

2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。

3.探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。

4.培养自主探究的能力和团结协作的能力。

教学重、难点：

1.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。

2.探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。

教具准备：

教学课件

教学过程：

一、故事引入

（大禹治水的故事）

今天这节课我们一起来研究一下这个奇特的图案。

二、认识幻方

1.从乌龟背上的9种花点图案引到九宫图。

仔细观察，你看到了什么？你又看懂了什么？

2.出示第9页幻方

介绍名字：九宫图

3.计算幻方8个三数之和（分组计算）

横行：4+9+2=15

3+5+7=15

8+1+6=15

竖行：4+3+8=15

9+5+1=15

2+7+6=15

斜行：4+5+6=15

8+5+2=15

4.将上一个幻方90度、180度、270度及对角交换成下列四个幻方。

（1）

（2）

（3）

（4）

分组计算。

仔细观察上面五个幻方你发现了什么？

小结：（1）都是由1到9九个数排成的。

（2）横行、竖行、斜行的三个数的和都是15。

（3）5在中间。

（4）5相对的两个端点的两个数的和是10。

（5）双数在四个角上，单数在中间。

5.判断。

下列是幻方吗？

三、灵巧计算幻方

1.这只龟姐妹背上的有些图案已经看不清了，你能帮它找出来吗？

2.看！又来了一只龟爷爷，背上的图案缺得更多了，请你帮帮它好吗？

第五篇：“三阶幻方”教学案例—张丽

数学思维四年级“三阶幻方”教学案例

背景介绍：

本节教材是我校校本课程《数学思维拓展》中四年级的教学内容。校本课程与原来老教材有所不同，更进一步从学生探究的角度出发，充分发挥学生是的主动性。选用这节课是因为这节课囊括了课堂活动、学生探究和师生完美配合等方面。当时这是一节常态课，授课方式为普通的启发式教学，所采用的上课方式是组讨论式。希望通过这节课同过去的课进行比较。考虑到本堂课的情况，未安排学生进行预习。教学目标：

1．通过学生自主探究，得出“三阶幻方”的规律。

2．通过做一做，看一看，培养学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。

3．通过小组讨论培养学生合作交流的意识。4．让学生体会到数学的无穷乐趣。教学重难点：

通过讨论，分析出“三阶幻方”的规律和做“三阶幻方”的方法和技巧吗。教具学具：

Ppt、习题卡 教学过程：

一、创设情境，探求新知 师：同学们，我们学校的数学思维，玩转数学部分都包括什么？ 生: 魔方、魔尺、数独、24点、围棋„„ 师：那谁能说一说数独的特点？ 生：数独有四宫格、六宫格、九宫格。

生：我们四年级学的六宫数独很特殊，它有六个宫，每行、每列、每个宫内都填入数字1、2、3、4、5、6，并且不能重复。

师：嗯，这位同学真是一个善于总结、善于表达的好孩子！的确，数独有六个宫，行、列、宫之间都存在很独特的关系，今天，我们将学习和数独非常相像的内容——三节幻方。

板书：三阶幻方

点评：用回顾数独的特点导入本节课，很容易让孩子们把二者有机地联系起来，一是能把对数独的喜爱传递给“三阶幻方”；二是能通过回忆数独的做题方法联系到“三阶幻方”，有助于学生全力投入到课堂中，创设这种情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望，放飞了学生的思维，使学生积极地投入到学习活动之中，为学好这节课起到了很好的铺垫作用。

二、联系课堂实际，探究发掘规律

1、大屏幕上出示3×3的方格布阵图，让学生充满想象。师：同学们，这九个方格可不是数独，但是我们也把它称之为九个宫，中间这一宫称作中宫。

生：老师，因为它每行、每列都有三个格子，所以叫“三阶幻方”。

2、大屏幕上出示两道已经完成的三阶幻方题目。师：同学们，仔细观察这两个方阵图，小组同学互相讨论，你发现了什么? 第一小组代表：我们发现中宫数字都是15。

第二小组代表：我们发现宫里的数字都是小于30的。

第三小组代表：我们发现第八宫数-中宫数=第四宫数-第三宫数。第二组同学补充：我发现第一宫数-中宫数=第三宫数-第四宫数。[学生回答，教师评价补充，让学生体会寻找共同规律要按照一定的标准，初步体会三阶幻方规律的存在。] 点评：充分发挥小组合作交流的优势，通过生生之间的交流，让学生思维互补，都能感知什么是三阶幻方，并且可以提高学生的观察能力，判断能力和语言表达能力。

3、师启发，学生进一步观察。

师：同学们，再从数字的角度出发，观察观察三阶幻方的规律。学生讨论得热火朝天，纷纷发表自己的见解。生：老师，我发现了，每行的三个数的和相等！同学们好像都瞬时间明白了什么，纷纷举起手来。生：老师，我发现了每列的三个数的和相等!生：老师，还有，斜着看三个数字的和也相等。

[教师让各小组发表各自见解之后，让学生说明发现的规律的理由，教师及时地给予肯定和评价。] 师：同学们，你们从行、列、斜线的角度观察到和相等，还有什么补充吗？ [教师让学生再一次进行观察，把刚刚得到的结果在进行补充，从而使分析的过程细化，让学生体会数学中的奥秘。] 各小组学生讨论完后，小组代表汇报结果： 生：刚才三个同学说的三种和也相等，都是45。

师：好，好多同学没有听清，请你把你的想法完整地说出来。生：我们又神奇地发现，每行、每列、每条斜线上的三个数字之和都相等，都是45。

生：哦，原来是这样„„

生：对对对，我们也是这么想的„„

[教师在学生回答的过程中，给予评价肯定和补充。] 师： 今天同学们通过自己讨论和观察得出了这么多结论，你们总结得很正确，也很全面，观察很仔细，其实，这些规律就是三阶幻方的规律，把这些规律统一起来就叫做三阶幻方。那谁来总结一下什么是三阶幻方？

生：每行、每列、每条斜线上的三个数字之和都相等的布阵图就是三阶幻方。

师：很正确，谁能说的再完整一些？ 生：„„

点评：教师放手让学生自己合作探究发现规律，给学生提供了一个合作观察、自主探究的平台，引导学生通过观察、探索、合作、交流、经历的过程与方法，自主构建知识，符合中年级学生的认知规律。

三、实际运用，巩固发展 强化新知，巩固练习。

（1）出示课本44页第一题：完成三阶幻方。

（学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正，然后集体订正。）（2）出示课本第44第2题：数字越来越少，难度越来越大。（小组讨论，学生代表回答，教师再集体订正。）

点评：数学来源于探究，探究让数学充满魅力和神奇。教师注重学生的自主探究，通过课堂上合作与交流的方式让学生发现新知，通过自我体验进一步巩固体验分类的方法，让数学走进学生的思维，让学生在探究中看到数学，喜爱上数学，培养了学生的探索精神和创新意识。

四、拓展延伸，知识迁移

师：同学们已经掌握了三阶幻方的规律，那同学们能不能自己创作一个符合规律的三阶幻方？

我们今天的作业有两项，第一就是自己根据三阶幻方的规律，自己创作两组三阶幻方；第二，同桌之间互相出题，然后解答，看哪组同桌最默契。

点评：积极倡导和实践学生学习方式的个性化，鼓励学生用自己合作探究的方式学习数学，充分张扬了学生的个性，有利于学生个性的发展。

总评：

1、数学思维的教学，要紧密联系学生的实际特点，从学生的经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境。”在本节课的教学中，教师注重学生已有的知识，引导学生全身心地投入数学思维学习活动中，学生兴趣盎然地自主探索、发现规律，合作交流体验，理解掌握了本课的重点，获取学习数学思维的经验，成为数学学习活动中的探索者、发现者、创造者。

2、在本节课的教学中，教师力求遵循知识的发展规律和学生的认知规律，较好地贯彻“教师为主导，学生为主体，思维为核心，培养学生能力，发展学生智力”的教学理念。充分调动学生思维的积极性，教学中由于让学生自己发现、自己分析总结，参与知识的形成过程和发展过程，促进了思维的发展和能力的形成。

3、在本节课的教学中，突出“合作、探究”四个字，让学生在交流中放飞思维，激发学习兴趣，自主探究与合作交流获取知识，发展了能力。

鹤祥实验小学 张 丽