自动控制实验报告一-控制系统的稳定性分析

第一篇：自动控制实验报告一-控制系统的稳定性分析

实验一 控制系统的稳定性分析

一、实验目的

1．观察系统的不稳定现象。

2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。

二、实验仪器

1．自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台

三、实验内容

系统模拟电路图如图

系统模拟电路图 其开环传递函数为:

G（s）=10K/s(0.1s+1)(Ts+1)

式中 K1=R3/R2，R2=100K，R3=0～500K；T=RC，R=100K，C=1f或C=0.1f两种情况。

四、实验步骤

1.连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入，将纯积分电容两端连在模拟开关上。检查无误后接通电源。

2.启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。3.在实验项目的下拉列表中选择实验三[控制系统的稳定性分析]

5.取R3的值为50K，100K，200K，此时相应的K=10，K1=5，10，20。观察不同R3值时显示区内的输出波形(既U2的波形)，找到系统输出产生增幅振荡时相应的R3及K值。再把电阻R3由大至小变化，即R3=200k，100k，50k，观察不同R3值时显示区内的输出波形, 找出系统输出产生等幅振荡变化的R3及K值，并观察U2的输出波形。

五、实验数据 1模拟电路图

2．画出系统增幅或减幅振荡的波形图。C=1uf时： R3=50K K=5：

R3=100K

K=10

R3=200K

K=20：

等幅振荡：R3=220k:

增幅振荡：R3=220k： R3=260k:

C=0.1uf时：

R3=50k:

R3=100K:

R3=200K:

第二篇：自动控制原理第三次实验报告-线性系统的频率响应分析&离散系统的稳定性分析

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线

信息科学与工程学院本科生实验报告

实验名称

预定时间 实验时间 姓名学号 授课教师 实验台号 专业班级

黄挚雄 黎群辉

线性系统的频率响应分析

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一、目的要求

1．掌握波特图的绘制方法及由波特图来确定系统开环传函。2．掌握实验方法测量系统的波特图。

二、原理简述

（一）．实验原理

1．频率特性

当输入正弦信号时，线性系统的稳态响应具有随频率(ω 由0变至 ∞)而变化的特性。频率响应法的基本思想是：尽管控制系统的输入信号不是正弦函数，而是其它形式的周期函数或非周期函数，但是，实际上的周期信号，都能满足狄利克莱条件，可以用富氏级数展开为各种谐波分量；而非周期信号也可以使用富氏积分表示为连续的频谱函数。因此，制系统对正弦输入信号的响应，可推算出系统在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。

2．线性系统的频率特性

3．频率特性的表达式

(1)对数频率特性：

又称波特图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率响应法中广泛使用的一组曲线。这两组曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图。

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线 对数频率特性图的优点：

①它把各串联环节幅值的乘除化为加减运算，简化了开环频率特性的计算与作图。

②利用渐近直线来绘制近似的对数幅频特性曲线，而且对数相频特性曲线具有奇对称于转折频率点的性质，这些可使作图大为简化。

③通过对数的表达式，可以在一张图上既能绘制出频率特性的中、高频率特性，又能清晰地画出其低频特性。

(2)极坐标图

(或称为奈奎斯特图)(3)对数幅相图

(或称为尼柯尔斯图)

本次实验中，采用对数频率特性图来进行频域响应的分析研究。实验中提供了两种实验

测试方法：直接测量和间接测量。

直接频率特性的测量

用来直接测量对象的输出频率特性，适用于时域响应曲线收敛的对象（如：惯性环节）。

该方法在时域曲线窗口将信号源和被测系统的响应曲线显示出来，直接测量对象输出与信号源的相位差及幅值衰减情况，就可得到对象的频率特性。

间接频率特性的测量

用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。

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信息科学与工程学院本科生实验报告

实验名称 预定时间 实验时间 姓名学号 授课教师 实验台号 专业班级

离散系统的稳定性分析

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线

一、目的要求

1．掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系。2．掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。

二、原理简述

本实验采用“采样－保持器”LF398 芯片，它具有将连续信号离散后以零阶保持器输出信号的功能。其管脚连接图如 5.1-1 所示，采样周期T 等于输入至 LF398 第8 脚

(PU)的脉冲信号周期，此脉冲由多谐振器

(由 MC1555 和阻容元件构成)发生的方波经单稳电路

(由MC14538 和阻容元件构成)产生，改变多谐振荡器的周期，即改变采样周期。

1． 信号的采样保持：电路如图 5.1-3 所示。

连续信号 x(t)经采样器采样后变为离散信号 x*(t)，香农

(Shannon)采样定理指出，离散信号 x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为：

ωs≥2ωmax

(5.1-1)

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线

式中ωS为采样角频率，且ωs=2п/T，(T为采样周期)，ωmax为连续信号x(t)的幅频谱| x(jω)|的上限频率。式

(5.1-1)也可表示为

2．闭环采样控制系统

(1)原理方块图

(2)模拟电路图

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线

图 5.1-4 所示闭环采样系统的开环脉冲传递函数为：

从式

(5.1-4)知道，特征方程式的根与采样周期 T 有关，若特征根的模均小于 1，则系统稳定，若有一个特征根的模大于 1，则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期 T 的大小有关。

三、仪器设备

PC 机一台，TD-ACC+(或TD-ACS)实验系统一套。

四、线路示图（见模拟电路图）

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线

五、内容步骤

1．准备：将信号源单元的“ST”的插针和“＋5V”插针用“短路块”短接。

2．信号的采样保持实验步骤

(1)按图 5.1-3 接线。检查无误后开启设备电源。

(2)将正弦波单元的正弦信号

(将频率调为 2.5HZ)接至 LF398 的输入端“IN1”。

(3)调节信号源单元的信号频率使“S”端的方波周期为 20ms 即采样周期T = 20ms。

(4)用示波器同时观测 LF398的 OUT1 输出和

IN1 输入，此时输出波形和输入波形一致。

(5)改变采样周期，直到 200ms，观测输出波形。此时输出波形仍为输入波形的采样波形，还未失真，但当 T > 200ms 时，没有输出波形，即系统采样失真，从而验证了香农定理。3．闭环采样控制系统实验步骤

(1)按图 5.1-5 接线。检查无误后开启设备电源。

(2)取“S”端的方波信号周期T = 20ms。

(3)阶跃信号的产生：产生 1V的阶跃信号。

(4)加阶跃信号至 r(t)，按动阶跃按钮，观察并记录系统的输出波形c(t)，测量超调量Mp。

(5)调节信号源单元的“S”信号频率使周期为 50ms 即采样周期T = 50ms。系统加入阶跃信号，观察并记录系统输出波形，测量超调量 Mp。

(6)调节采样周期使T = 120ms，观察并记录系统输出波形。

六、数据处理

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1典型二阶系统：（R =10K）线

其峰值时间为tp=281.3ms，超调量为39.8%,调节时间为ts=1.375s 2典型二阶系统：（R =50K）

其峰值时间为tp=781.3ms，超调量为10%,调节时间为ts=1.25s 3典型二阶系统：（R =160K）

其峰值时间为tp=2.688s，超调量为0,调节时间为ts=2.531s 4典型二阶系统：（R =200K）

其峰值时间为tp=4s，超调量为0,调节时间为ts=3.281s 随着电阻R的增大，系统响应的峰值时间变长，超调量较小，调节时间也变长，系统的稳态性能变好，但响应速度减小。

七、分析讨论

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第三篇：自动控制原理实验报告

北京交通大学

自动控制原理研究性学习报告

——基于MATLAB软件的系统建模分析与校正

谭堃15221309 田斌15221310 努尔夏提15221305 张雪程13222028

摘要

本文利用MATLAB软件来实现对自动控制系统建模、分析与设计、仿真的方法。它能够直观、快速地分析系统的动态性能、和稳态性能。并且能够灵活的改变系统的结构和参数通过快速、直观的仿真达到系统的优化设计。

关键词：MATLAB，自动控制，系统仿真

1.主要任务

单位负反馈随动系统固有部分的传递函数为

G(s)=4K/s(s+2)

1、画出未校正系统的Bode图，分析系统是否稳定。

2、画出未校正系统的根轨迹图，分析闭环系统是否稳定。

3、设计系统的串联校正装置，使系统达到下列指标：（1）静态速度误差系数Kv＝20s-1；（2）相位裕量γ≥50°（3）幅值裕量Kg≥10dB。

4、给出校正装置的传递函数。

5、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc、相位裕量γ。

6、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。

2.理论分析

（1）确定K值

Kv=limsWk =2k=20 所以K = 10（2）校正前系统的开环对数幅频特性如图实线所示。

由A(wc)=20/[wc√(1+(wc/2)^2]=1;

得wc≈6.32；

γ(wc)=180˚+ɸ(wc)=90˚-72.4˚=17.6˚

可见相位裕量并不满足要求，为不影响低频段特性和改善暂态响应性能，采用引前矫正。

（3）设计串联微分校正装置：

微分校正环节的传递函数为

Wc(s)=(Tds+1)/[(Tds/γd)+1);最大相位移为

ɸmax=arcsin[(rd-1)/(rd+1)] 根据系统相位裕量γ(wc)≥50˚的要求，微分矫正环节最大相位移为

ɸmax≥50˚-17.6˚=32.4˚

考虑Wc’≥Wc,原系统相角位移将更负些，故ɸmax将更大些，取ɸmax=40˚，即有

Sin40˚=(γd-1)/(γd+1)=0.64解得γd=4.6 设校正后的系统穿越频率Wc’为矫正装置两交接频率w1与w2的几何中点。即

Wc’=√w1w2=w1√rd 若认为Wc’/w1>>1,Wc’/w2<<1,则得

A(wc’)=1≈20wc’/(wc^2/2)解得w1≈4.32;w2≈19.87;wc’≈9.26。所以校正装置的传递函数为

Wc(s)=(s/4.32+1)/[(s/19.87)+1);（4）验算校正后系统指标

Wk’(s)=20(s/4.32+1)/[s(s/2+1)(s/19.87+1)] 同理，代入数值得校正装置的相位裕量为γ(wc’)=52.4˚ 另ɸ(wj)=-180˚,可得出系统穿越频率wj→∞;所以一定满足

GM=20lg[1/（wk’(jwj)]≥10dB(三)MATLAB仿真

(1)时域分析

1.校正前系统的暂态响应曲线如图：

-图1 系统单位阶跃相应

计算结果：

pos(超调量)=60.46%、、tp(峰值时间)= 0.5s、tr(上升时间)=1.8s，ts(调节时间)=3.7s 由图可知：校正前系统的的调节时间较长，超调量过大。

3.校正后系统的暂态响应曲线如图

图2系统单位阶跃相应

计算结果：

pos(超调量)=15.88%、、tp(峰值时间)= 0.3s、tr(上升时间)=0.2s，ts(调节时间)=0.6s

系统的暂态响应与校正前相比有较大改善。该系统依然稳定，而且反应更加快速，应采用。

(2)根轨迹

校正前系统的根轨迹如图

校正后系统的根轨迹如图：

校正前后根轨迹对比

(3)对数频率特性

校正前系统的开环对数频率特性如图实线所示：

图1 系统对数频率特性曲线

相位裕量γ=17.6

穿越频率=6.32rad/s微分校正环节的对数频率特性如图所示：

校正后系统的开环对数频率特性如图所示：

相位裕量γ=52.4穿越频率=9.26rad/s

对比图

(4)幅相频率特性

校正前系统的开环幅相频率特性如图所示：

图7 系统幅相频率特性曲线

校正后系统的开环幅相频率特性如图所示：

对比图

四、程序附录（1）时域分析

clear

t=0:0.1:5;s=[184 794.8];d=[1 21.87 233.7 794.8];sys=tf(s,d);y1=step(sys,t);plot(t,y1)maxy1=max(y1);yss1=y1(length(t));pos1=100*(maxy1-yss1)/yss1;for i=1:1:51 if(y1(i)==maxy1)n=i;break;end end

tp1=(n-1)*0.1;for i=1:1:51 if(y1(i)<1.02&&y1(i)>0.98)m=i;break;end end

tr1=(m-1)*0.1;for i=51:-1:1 if(y1(i)>1.02||y1(i)<0.98)a=i;break;end end

ts1=a*0.1;pos=[pos1] tp=[tp1] tr=[tr1] ts=[ts1]

clear t=0:0.1:10;s=[40];d=[1 2 40];sys=tf(s,d);y1=step(sys,t);plot(t,y1)maxy1=max(y1);yss1=y1(length(t));pos1=100*(maxy1-yss1)/yss1;for i=1:1:101 if(y1(i)==maxy1)n=i;break;

end end

tp1=(n-1)*0.1;for i=1:1:101 if(y1(i)<1.02&&y1(i)>0.98)m=i;break;end end

tr1=(m-1)*0.1;for i=101:-1:1 if(y1(i)>1.02||y1(i)<0.98)a=i;break;end end

ts1=a*0.1;pos=[pos1] tp=[tp1] tr=[tr1] ts=[ts1]

（2）对数频率特性 clear s1=[0.23 1];d1=[0.05 1];s2=[40];d2=[1 2 40];s3=[184 794.8];d3=[1 21.87 233.7 794.8];sys1=tf(s1,d1);sys2=tf(s2,d2);sys3=tf(s3,d3);figure(1)bode(sys1,sys2,sys3)

（3）根轨迹 clear s1=[40];d1=[1 2 40];s2=[184 794.8];d2=[1 21.87 233.7 794.8];sys1=tf(s1,d1);sys2=tf(s2,d2);figure(1)rlocus(sys1,sys2)

（4）幅相频率特性 clear s1=[40];d1=[1 2 40];s2=[184 794.8];d2=[1 21.87 233.7 794.8];sys1=tf(s1,d1);sys2=tf(s2,d2);figure(1)nyquist(sys1,sys2)

总结

本次研究性学习的内容主要是建立自动控制系统并运用MATLAB软件对设计的自动控制系统进行仿真，其中涉及了关于自动控制方面的很多知识，也有关于数学建模方面的知识以及MATLAB软件的应用，此次研究性学习建立了卫星姿态的自动控制。

在此次设计过程中遇到了很多问题，也接触到了很多以前不知道的知识，特别是之前很少接触过MATLAB软件，这让本次设计一度陷入停滞阶段。后来在图书馆和网络上查阅了大量的相关书籍，并在同学的细心指导下安装了MATLAB软件并学习其使用方法，从而使问题一步步得到了解决，最终成功的完成了此次研究性学习。

第四篇：《自动控制原理》课程实验报告(范例)

《自动控制原理》课程实验报告

姓名：

班级：

学号： 实验时间：

实验成绩：

一、实验目的：

1．熟练掌握step()函数和impulse()函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。

2．通过响应曲线观测特征参量ζ和ωn对二阶系统性能的影响。3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。

二、实验要求：

1．根据实验步骤，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB运算结果。

2．记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。3．总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。

三、实验步骤：

1．观察函数step()函数和impulse()的调用格式，假设系统的传递函

s23s7数模型为G(s)4，可以用几种方法绘制出系统的阶s4s36s24s1跃响应曲线？试分别绘制。

2n2．对典型二阶系统G(s)2 2s2nsn1）分别绘制出ωn=2(rad/s),ζ分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响。

2）绘制出当ζ=0.25，ωn分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数ωn对系统的影响。

3．单位负反馈系统的开环模型为G(s)K，试判2(s2)(s4)(s6s25)断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K值范围

四、实验结果与结论

时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。

1．用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。用MATLAB求控制系统的瞬态响应 1）阶跃响应

①求系统阶跃响应的指令有：

step(num,den,t)时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）

在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。② 求阶跃响应的另一种方法

应当指出，当初始条件为零时，G(s)的单位阶跃响应与

G(s)的单s位阶跃响应相同。考虑到求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1所以

C(s)G(s)s23s71 C(s)432R(s)ss4s6s4s1s因此，可以将G(s)的单位阶跃响应变换成G(s)的单位脉冲响应。s向MATLAB输入下列num1和den1，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位阶跃响应曲线如图1-1所示，输入下列num2和den2，给出脉冲响应命令，可以得到如图1-1所示一样的单位脉冲响应曲线。t=[0:0.1:10];num1=[1,3,7];den1=[1,4,6,4,1];y=step(num,den,t);plot(t,y);grid;t=[0:0.1:10];num=[1,3,7];den=[1,4,6,4,1,0];

图1-1 单位阶跃响应曲线 y=impulse(num,den,t);plot(t,y);grid;

2．特征参量和n对二阶系统性能的影响

标准二阶系统的闭环传递函数为：

2nC(s)2

2R(s)s2nsn二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。1）对二阶系统性能的影响

设定无阻尼自然振荡频率n2(rad/s)，考虑5种不同的值：利用MATLAB对每一种求取单位阶跃响应=0,0.25,0.5,1.0和2.0，曲线，分析参数对系统的影响。

为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线（采用“hold”命令实现）。

num=[0 0 4];den1=[1 0 4];den2=[1 1 4];den3=[1 2 4];den4=[1 4 4];den5=[1 8 4];t=[0:0.1:5];step(num,den1,t);grid;hold;text(2,1.7,'Zeta=0');step(num,den2,t);text(1.6,1.5,'0.25');step(num,den3,t);text(1.6,1.1,'0.5');step(num,den4,t);text(1.6,0.8,'1.0');step(num,den5,t);

图1-2 ζ不同时系统的响应曲线 text(1.6,0.5,'2.0');由此得到的响应曲线如图1-2所示： 2）n对二阶系统性能的影响

同理，设定阻尼比0.25时，当n分别取1,2,4,6时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数n对系统的影响。num1=[0 0 1];num2=[0 0 4];num3=[0 0 16];num4=[0 0 36];den1=[1 0.5 1];den2=[1 1 4];den3=[1 2 16];den4=[1 3 36];t=[0:0.1:5];step(num1,den1,t);grid;hold;text(0.1,1.4,'wn=1');step(num2,den2,t);

text(1,1.4,'wn=2');step(num3,den3,t);text(2,1.4,'wn=4');step(num4,den4,t);text(4,1.4,'wn=6');

图1-3 n不同时系统的响应曲线

由此得到的响应曲线如图1-3所示：

3．系统稳定性判断

利用代数稳定判据可确定系统个别参数变化对系统稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数应取值的范围。

K 根据单位负反馈系统的开环模型 G(s)(s2)(s4)(s26s25)可以求的闭环系统的特征方程式为：

D(s)s412s369s2198s200K0

则其劳斯阵列为：

s4s3s211252.552.519812(200K)52.5200K69198200K0200K

s1s0根据稳定条件: 52.519812(200K)＞0;200+K＞0;因此0＜K＜666.25

第五篇：自动控制原理之非线性控制系统的相平面分析总结

7-5 非线性控制系统的相平面分析

一、线性控制系统的相平面分析

1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求

平面上的相轨迹。系统在阶跃函数r(t)R0　1(t)作用下，在ee建立系统微分方程式，由图示系统可得

cKe Tc因为erc，代入上式得

eKeTr（7-31）r Te(t)r(t)0 对于r(t)R01(t),t0时，r因此上式可写成

eKe0 Te（7-32）

方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条

平面上的相轨迹起始于(R0,0)点，而收敛于原点(系统的(0)0。ee件是e(0)R0和e奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)平面上的相轨迹就可方便的求得cc平面上系统输出的相轨迹，如图所示。根据ee7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P及系统在稳态时的误差平面相轨迹最终到原点，平面上相轨迹最终到达cR0为零。因为ee即奇点；所以在cc的稳态值，则奇点坐标为(R0,0)。

(t)V0及

2、斜坡响应 对于斜坡输入r(t)V0t；当t0时，r(t)的导数rr(t)0。因此，方程（7-31）可以写成

eK(eeKeV0 或 Te Te令eV0Kev，代入上式，则有

V0)0 KKeV0 Te（7-33）e平面上方程（7-32）给出的相平v平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在ee在eve面图是相同的。

v平面上的奇点的位置是坐标应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在eve平面上奇点坐标为(V0K,0)点。原点，而在ee又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。

(0)V0。如果式（7-33）的特征根是处于左半平所以误差信号的初始值e(0)0,，e平面上的相轨迹为如图7-40所示。面的共轭复数根时，则在ee由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移V0K之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点(V0K,0)。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为V0K。

二、非线性控制系统的相平面分析

当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。

1、具有非线性增益的控制系统 设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中GN表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号e的数值大于e1或小于e1时，放大器的增益k分别等于1或小于1，即

ee1e m（7-34）

keee1可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。

因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下：

假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量c与m之间的微分方程为

cKm Tc由于erc，代入上式得

eKTr r Te（7-35）平面上作相应的相轨迹。设系统在单位阶跃输入r(t)1(t)作用下，在ee0，所以式（7-35）成为 r对于单位阶跃输入，当t0时，reKm0（7-36）Te

上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程：

eKe0 ee

1Te（7-36a）eKkm0 ee1(7-36b)Te

在下面的分析中，假设方程（7-36a）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。

根据方程（7-36a）和(7-36b）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：T1，k0.0625，K4和e10.2。

由图7-43可知，相平面被分割成三个区域：在直线ee1和ee1限定的区域内对应着方程(7-36b）,而在这个区域以外相轨迹由方程(7-36a)确定。相轨迹起始于A点，该点由初(0)0确定。从A点出发始条件e(0)0,，e的相轨迹，首先沿7-42(a)所示相轨迹运动，并“企图”收敛到稳定焦点（虚奇点，坐标原点）。然而，当相点（描述点）运动到B点，即到达本区域的边界线ee1线上时，若继续运动将越出边界而进入新的区域。因此，相轨迹将在B点发生转换，B点是上一区域的终点，同时也是下一区域的起点。从B点开始直至再发生下一次转换为止，相点将沿图7-42(b)所示相迹

（0，0）运动而企图收敛到稳定节点。但是在C点，系统又一次发生转换，相轨迹趋向于收敛虚奇点（稳定焦点）。同样，当相点到达D点时又将发生转换„„如此反复继续下去，直至最后相轨迹进入e1区域，不再越出并最终收敛到稳定节点，即实奇点(0,0)为止。可见，非线性系统的整个相轨迹为ABCDEFO，如图7-43的实线所示。显然，系统在阶跃输入下稳态误差为零。图7-43中用虚线描绘的相轨迹为图7-44所示欠阻尼二阶系统在单位阶跃作用下的相轨迹图。比较这两条相轨迹，可见前者所对应的阶跃响应特性比后者要好。首先

收敛速度快，即系统速度性提高了，其次，超调量小。对于较小的阶跃输入，响应甚至是无超调的。对于中等大小的阶跃输入，系统的阶跃响应具有一次超调。对于大的阶跃输入，虽然在系统的响应曲线中可能出现超调和反向超调，但其超调量肯定比图7-44所示的线性系统要小。图7-41所示系统在典型阶跃输入时的误差响应曲线如图7-45。

2、继电系统

在图7-41所示非线性随动系统中，将放大器换成继电器，并假定继电器具有理想的继电特性，系统结构图如图7-46所示。理想继电器特性的数学表达式为

me01（7-37）1e0假设系统初始状态为静止平衡状态。继电系统运动方程为

eKmTr r Te对于阶跃输入r(t)R01(t)，当t0时，有0，所以上式为 rreKm0（7-38）

Te将式(7-37)代入上式得方程组

eK0ee0T(738a)

eK0e(738b)e0T显然，两个方程均为线性微分方程。因为继电特性是由两条直线段组成，所以两条直线段内继电系统的特性仍为线性的，只是在继电器切换时才表现出非线性特性。e将ede代入（7-38）式，则有 dedeKm0 edeTe deKme Te或 de对上式两边进行积分得相轨迹方程

0TeTKmln ee0TeKme

0Kme00代入上式可得 由假设条件：e0R0，eTKmln eR0Te代入m值则有

e 1（7-39）

Kmee0(739a)eReTKln10K 

eeRee0TKln1(739b)0K根据上两式可作出继电系统的相轨迹如图7-47所示。由图可见，相轨迹起始于(R0,0)点，在e0的区域内按方程（7-39a）变化，到达e轴A点时，继电器切换，相轨迹方程按方程(7-39b)变化。这样依次进行，最后趋于坐标原点（0，0），得系统完整的相轨迹如图7-47。另外由图可见，相轨迹转换均在纵轴上，这种直线称为开关线，它表示继电器工作状态的转换。

3、速度反馈对继电系统阶跃响应的影响 设系统结构图如图7-48所示，图中T。这时理想继电特性的数学表达式为 m0ee1（7-40）

0ee1系统运动方程为

eKmTr r Te0，上式为 r对于阶跃输入r(t)R01(t)，当t0时，reKm0（7-41）Te将式（7-40）代入式（7-41）得方程组 eK0(741a)0eeTe

(741b)0eeTeeK0(738b)比较，可见它们完全相同，不同之处仅是方程所对应上式方程组与方程(738a)、的区域不同。

(739b)可知，具有速度反馈的继电系统的相迹方程为 根据方程(739a)、e0ee(742a)eRTeTKln10K 

eeRTe0eeTKln1(742b)0K由上两式边界条件可得开关线方程为

0（7-43）ee根据开关线方程及相轨迹方程可作出系统的相轨迹，如图7-49所示。将此相轨迹图与图7-47比较，可看出两者主要是开关线不同。未接入速度反馈时，开关线为e0的虚轴；在接入速度反馈后，开关线逆时针转了一个角度arctan。由于开关线逆时针方向转动的结果，相轨迹将提前进行切换，这样就使得系统阶跃响应的超调量减小，调节时间缩短，系统的动态性能得到改善。由于开关线转角随着速度反馈强度的增大而增大，因此，当T时，系统性能将随着速度反馈强度的增大而得到改善。

综上所述，相平面法一般可解决下列问题：

（1）相平面上可以清晰地表示出系统在各种初始条件下的所有可能的运动；（2）相平面上可用奇点来分析系统的稳定性；（3）相平面上可用极限环来分析系统的自振稳定性；（4）由相轨迹可以求出系统的瞬态响应。