2013年全国研究生数学建模竞赛F题（5篇）

第一篇：2013年全国研究生数学建模竞赛F题

可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究

一、问题的提出

中国共产党第十八次全国代表大会政治报告中提出了“统筹推进城乡社会保障体系建设”的任务：“社会保障是保障人民生活、调节社会分配的一项基本制度。要坚持全覆盖、保基本、多层次、可持续方针，以增强公平性、适应流动性、保证可持续性为重点，全面建成覆盖城乡居民的社会保障体系”。

近年来，我国城镇职工养老保险金制度基本建立，参保覆盖面日益扩大，退休人员待遇逐年提高，养老保险基金规模不断上升，在制度层面上提前完成了城市和农村居民社会保障全覆盖，成为我们社会保障事业发展的重要里程碑。然而也面临巨大的挑战。我国的养老保险体系建设远远滞后于社会发展水平。一方面资金规模相对较少，保障能力有限，地区差距、城乡差距明显；另一方面资金管理分散，运营效率不高，保值增值的压力很大。进一步完善养老保险保障体系仍将是中国政府未来最重要的任务之一。

全国人大常委会法工委信春鹰副主任是《社会保险法》的制定者，她指出中国养老制度“最大的问题就是‘可持续’”，“我们看当下的欧洲，我们看现在出现财政危机的那些国家，他们的养老保险无一不遇到了极大的挑战和问题。和其他国家相比，中国有特殊的问题，像前面几位专家讲的，我们比人家穷，比人家人口多，‘未富先老’。从制度上来说，我们的制度本身就有很多的缺陷，本身就很青涩，它是对现实妥协的一个产物。但是同时，这个制度一经产生就遇到了人口结构快速变化，社会尚未准备好，这些大的问题都出现了，对我们这个制度是非常大的挑战。” 由于中国养老保险缴纳与支付同时开始，中国保监会副主席陈文辉在陆家嘴论坛上承认“中国养老金缺口确实非常大”。社会科学院世界社保研究中心主任郑秉文给出的数字是2011年城镇基本养老保险个人账户“空账”已经超过2.2万亿，较2010年增加约5000亿。世界银行的研究机构在研究我国的养老金问题研究报告中，认为到2013年，中国养老基金缺口达到18.3万亿元。在当前养老制度不变情况下，以后的年份缺口逐年放大。假设2013年后中国GDP的年增长率为6%，到2033年时养老金缺口将为惊人的68.2万亿元，占当年GDP的38.7%（见附件3、4，由于这是根据国家资产负债表估算，显然比较粗糙）。另据中国社科院财贸所学者高培勇和汪德华最近的一项研究指出，在现有社保制度框架下，要确保2020年中国每个退休者都能领取养老金，以替代率52.4%计算，养老金支付缺口都会持续增加。最早在2015年，中国城镇职工养老保险就会出现支付缺口。两位学者预计，如果现在不能未雨绸缪，及时调整政策，到2050年，养老金缺口累积将达到该年GDP的95%。这样巨大的资金缺口，必将使国家财政不堪重负。

而现有官方公布的数据却有明显差别。2012年6月4日，中国人力资源与社会保障部向社会公布了2011年度人力资源和社会保障事业发展统计公报。此公报是透视中国人力资源与社会保障工作成绩的重要窗口，也是解析社会保险最权威的数据来源。统计公报显示，截至2011年末，全国基本养老保险基金累计结余1.9497万亿元，全年城镇基本养老保险基金总收入1.6895万亿元，比上年增长25.9％，全年基金总支出1.2765万亿元，比上年增长20.9％。和2009年、2010年相比，城镇职工基本养老保险基金当期结余资金规模进一步扩大，已由2010年当期结余的2865亿元增加到4130亿元，增幅较大，这有利于缓解部分

省市养老金支付压力。但有分析认为：基金征缴收入增长较快是其中一个重要原因。上述观点分别反映中国养老金现状的不同侧面和未来趋势的不确定性。

二、现实的情况

中国在20世纪90年代确立了城镇职工基本养老保险“统账结合”制度，基本养老保险是由社会统筹和个人账户两部分组成。社会统筹部分由单位负担缴费，为单位职工工资总额的20%，个人账户则由职工个人缴费，为个人工资的8%。前者“现收现付”，用于支付已退休人员的养老金，后者实行长期封闭积累，产权个人所有的“完全积累”制，原则上不能调剂借用的方式。

由于在现行养老保险制度确立之前，企业员工基本无需缴纳养老保险费用，所以现有的养老保险基金中没有这部分职工的个人账户部分。在养老保险制度设立之后，这部分职工退休后却要从养老保险基金中领取养老金，这是我国社会保险制度必须承担的转轨成本的一部分。仅靠统筹账户不足以应对当期发放，加之各地财政实力不同，多数地区不得不在实际上采用了“现收现付制”的方法，即挪用个人账户的资金，用正在工作人合计缴纳的28%的月工资来支付现有退休人员的退休金，现在工作人账户仅仅用来记账，上述2.5万亿的记账额由此形成。为解决这一问题，中国从2000年开始了“做实”个人账户试点。截至到2011年底，参与试点的辽宁、江苏和山东等13个省份共积累个人账户基金达到2703亿元，但其与记账额之间的差额，仍达到2.23万亿元，此“空账”被舆论定义成了养老保险“缺口”概念而广为传播。

三、需要解决的问题

面临人口老龄化以及经济结构性减速、财政收入增长速度下降，社会保障体系可持续问题亟待解决，必须进行前瞻性研究，否则将形成社会问题。我们应该承认历史、立足现实、尊重规律、借鉴国外、留有余地，既量力而行，又尽力而为地完善我国的养老保险体系。本题要求运用数学模型方法研究、解决该问题。为此，请你们团队做好以下几项工作。（请研究生注意：可以引用有关参考文献的结论和数学模型，更鼓励创新，独立提出新模型。若引用他人的模型与结论，必须注明出处，否则视情节轻重，直至作为抄袭处理）

1，分别建立合乎国情、适应国力的中国城乡居民（含新农保）养老金收入、支出的宏观数学模型，至少包括替代率（基本养老保险人均养老金占城镇单位在岗职工平均工资比率）、缴费率（基本养老保险人均缴费占城镇单位在岗职工平均工资比率）、人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、财政补贴、工资水平或物价指数、投资效益等主要因素，要做到模型结合现实，分多个层次（含企业基金等），体现“多缴多得，长缴多得”（不考虑分省、分地区模型）。如果使用国家统计局公布和题目提供数据以外的数据，必须指明出处并向竞赛网站申请张贴于“资料下载”处，首先公布者可适当加分。

2，根据你们的数学模型、对养老金缺口的理解和对未来有关情况的合理估计，估计从今年至2035年我国养老金缺口，并说明你们对养老金缺口分析的合理性。如果全部情况维持不变，按照你们的数学模型我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况发生在什么时间，严重程度如何？考虑到党的十八大提出的收入倍增计划，你们的数学模型哪些部分需要调整？

3，养老保险制度也是调节社会分配，请你们分析各国养老保险的不同模式，取其精华，去其糟粕，根据你们建立的数学模型和中国的实际情况，利用仿真手段寻找替代率和缴费率的合理区间以保证我国养老保险体系的可持续性（因为人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、投资效益等主要因素几乎无法人为较大幅度改动）；在步入良性循环之前，在矛盾最尖锐到来前的过渡期内应该采取哪些政策措施实现平稳过渡并仿真预测相关政策的效果。

四．尝试建立第三问增加可调节变量的数学模型。

参考文献

1.《中国养老金发展报告2012》中国社会科学院世界社保研究中心(其中部分全国性数据扫描在附件中，并提供word等版本省去输入)2.中国新闻网

《中国养老金发展报告2012》在京发布式 3.马骏等《化解国家资产负债中长期风险》

4.曹远征《意见中国――网易经济学家访谈录》

第二篇：2017年中国研究生数学建模竞赛F题（推荐）

地下物流系统网络

背景

交通拥堵是世界大城市都遇到的“困局”之一。2015年荷兰导航经营商TomTom发布了全球最拥堵城市排名，中国大陆有十个城市位列前三十名。据中国交通部2014年发布的数据，我国交通拥堵带来的经济损失占城市人口可支配收入的20%，相当于每年国内生产总值(GDP)损失5~8%。15座大城市的居民每天上班比欧洲发达国家多消耗28.8亿分钟。大量研究表明：“时走时停”的交通导致原油消耗占世界总消耗量的20%。高峰期，北京市主干线上300万辆机动车拥堵1小时所需燃油为240万~330万升。2015年城市交通规划年会发布数据显示：在石油消费方面，我国交通石油消费比重占到了消费总量的54%，交通能耗已占全社会总能耗10%以上，并逐年上升。高能耗也意味着高污染和高排放。

导致城市交通拥堵的主要原因是交通需求激增所带来的地面道路上车辆、车次数量巨增，其中部分是货物物流的需求增长。尽管货车占城市机动车总量的比例不大，但由于货运车辆一般体积较大、载重时行驶较慢，车流中如果混入重型车，会明显降低道路的通行能力，因此，其占用城市道路资源的比例较大。如北京，按常规的车辆换算系数（不同车辆在行驶时占用道路净空间的程度），货运车辆所占用的道路资源达40%。因此，世界各国都在为解决城市交通和环境问题进行积极探索，而处理好货运交通已成为共识。大量实践证明，仅通过增加地面交通设施来满足不断增长的交通需求，既不科学也不现实，地面道路不可能无限制地增加。因此“统筹规划地上地下空间开发”势在必行，“地下物流系统”正受到越来越多发达国家的重视。概念

地下物流系统（Underground Logistics System——ULS）是指城市内部及城市间通过类似地铁的地下管道或隧道运输货物的运输和供应系统。它不占用地面道路，减轻了地面道路的交通压力，从而缓解城市交通拥堵；它采用清洁动力，有效减轻城市污染；它不受外界条件干扰，运输更加可靠、高效。地面货车的减少同时带来巨大的外部效益，如路面损坏的修复费用，环境治理的费用，可以用于补偿地下物流系统建设的高投资。

图1 日本ULS概念图

图2 德国ULS概念图

图3 地下物流系统的技术形式

图1和图2描绘的分别是日本和德国对ULS的设计构想图。图1进一步描绘了地下节点的运作状况；图2侧重于ULS与其他地下设施的平行关系，在复杂的地下空间条件下实施ULS的空间并不富余。图3中展示的分别是运载车辆形式设计及运输通道的形式。

然而ULS的研究与实践还刚刚兴起，尚无成熟、成功的案例可供借鉴。尽管国内外在发展地下物流的必要性、可行性、技术系统和建造管理等方面取得了不少重要的研究成果，但地下物流系统是涉及地上与地下、物流与工程、技术与管理等多个学科领域的复杂巨系统，而且相比于其他物流方式，ULS复杂，造价高，风险大，不成功则损失巨大，而现有研究成果还处于“试验”阶段，相对单一，尚无系统的理论支撑其走向实际应用，尤其是迄今为止世界上还没有一个城市规模的成功案例，失败的情况反而有几个。因此，亟待进行城市规模的前瞻性研究，为发展地下物流系统的理论和实践进行探索。

我国人口众多、大城市密集、交通状况不佳已经到了迫切需要改善的程度，而且我国城市地铁网络的建设、高铁公路隧道的建造正大规模地进行，地下空间开发利用的规 模和速度已居世界前列，地下工程的技术水平也已基本满足需要，ULS应该提上议事日程。撇开可行性、工程技术问题，构建地下物流系统网络是建设“地下物流系统”必不可少的关键步骤。

地下物流系统的基本特征：

1.建造与运营成本高；网络形式多样（环型、树形、网状等等）且随区域特征变化。2.地下物流无法完全替代地面物流，“多式联运”是其重要运输组织方式。多式联运：由两种及两种以上的交通工具相互衔接、转运而共同完成的运输过程统称为复合运输，我国习惯上称之为多式联运。如地下物流-公路运输，公路-铁路。

3.对于货物单

一、流量大且稳定、地面交通差的区域应优先建立线路。

4.地下物流系统可以适应不同货物的运输需求，管道或隧道直径可根据需求进行设计。运行速度可以达到20-60 公里/小时，同一线路上同向两班车运行间隔2分钟以上。

5.地下物流网络由一级、二级节点和节点间地下通道构成。各级节点均与地面衔接并实现多式联运。一级节点与物流园区相连且采用10吨的大型车辆地下运输，并可跨区域调运货物，从地面收发货物总量上限为4000吨，一级节点之间连通。二级节点从地面收发货物总量上限为3000吨，且与非本区域一级节点仅通过本区域一级节点连通。

车辆参数（供参考）

 一班车一般由四至八节车辆构成；

 两种型号的车辆设计载重分别为10吨、5吨；  运行速度13.5米/秒（约49公里/小时）；  加（减）速度：1 米/秒2；

 电压：三相380伏，频率：50赫兹，单个直线电机感应板电流：460安；  转弯半径70-80米；

 每个节点每12分钟可发车一班（含装卸货物、启动和等待时间），每小时最多发车5班，每天可以运营18小时（每天剩余为检修时间）。

 尽量采用双向双轨（双洞）的隧道形式，在货运量特别大的线路可设置双向四轨（双洞）。题目给出了南京市仙林地区的交通货运区域划分图和相应的货运OD（Origin Destination）流量矩阵（只考虑始发地和目的地的货运流量，不考虑在此之间的途径地）、各区域中心点及区域面积、各区域交通拥堵系数（为简化计算，部分数据经过处理）。其他相关数据可以自行查找，收集你们认为与建立该区域“地下物流系统”网络有关的数据资料。

请完成以下几项任务：

发展城市地下物流网络的两个直接目标：一是缓解交通拥堵直至交通畅通，至少基本畅通；二是降低物流成本。

1.地下物流节点选择；根据你们的观点和该区域的实际情况建立该区域节点选择模型，确定该区域地下物流网络节点群。

计算结果需要但不限于提交：

一、二级节点数及位置、各节点的服务范围（经该节点出、入地面货物的起或讫点形成区域）、各节点实际货运量、各一级节点的转运率。

① 交通拥堵指数取值范围为0至10，每2个数为一等级，分别对应“0-2畅通”、“2-4基本畅通”、“4-6轻度拥堵”、“6-8中度拥堵”、“8-10严重拥堵”五个级别，数值越高，表明交通拥堵状况越严重。由于该地区非人口高度密集区，可以近似认为区域交通拥堵指数与OD数据反映出来的区域总货运量（进、出之和）成正比，考虑到比例关系给出的指数最高值可以大于10。（为简化计算，拥堵指数计算仅根据货运量）。

② 一级节点的转运率（φ）：从物流园区经由最近的一级节点转运至其他所有一级节点的货物量占该物流园区总出货量的百分比，称为该一级节点的转运率。由于需要更换运输车辆，在满足运输要求前提下，转运率低可减少工作量。

③ 考虑到部分区域货运量与面积之比过小，若节点覆盖了某区域中心点即可视为对该区域进行了覆盖。

④ 所有节点的服务半径在 3 公里范围内自由选择，节点间距离不受限制。⑤ 货物从二级节点至地面后采用人力或小型车辆在节点服务区域内进行运输，可认为不影响交通。

⑥ 进出4个物流园区的货物尽最大可能放入地下运输，区域内部的货物根据拥堵情况自行考虑。

2.地下通道网络设计；请你们在地下物流网络节点群的基础上选择合适的地下路线以建立该区域的“地下物流系统”网络。在转运率变化不大的情况下，若考虑优化网 络，可适当调整一、二级节点位置。除园区至一级节点的地下通道外其他地下通道均采用5吨的地下运输车辆。

计算结果需要但不限于提交：网络构成（节点及通道位置）；各节点实际货运量；各级通道的位置和实际流量。

① 地下节点及通道内的货物每天要清仓。

② 每两个相邻节点间地下物流通道双向尺寸一致，以单向流量较大的为设计原则。③ 要求总成本最小。每天的总成本由货物的运输成本和地下物流隧道与节点的折旧构成。

假设每吨货每公里的平均运输成本始终相等，约为1元/吨·公里（已计入车辆和设备折旧），与所经过的隧道尺寸无关。

地下物流隧道与节点的建设成本为：双向四轨（双洞）（10吨）造价5亿元/公里，双向双轨（双洞）（10吨）造价4亿元/公里，双向四轨（双洞）（5吨）造价3.5亿元/公里，双向双轨（双洞）（5吨）造价3亿元/公里，一级、二级节点的建设成本分别约为1.5亿元/个、1亿元/个；通道与节点的设计年限100年，年综合折旧率均为1%。

④ 不考虑物流园区的建设及园区内的地下节点建设，但从园区出发的通道长度需要计入总成本。

3.网络改进；以上是分步设计网络，并未从全局出发，根据你们对运行情况的仿真，上面得到的网络有无修改的必要？能否通过增加、减少节点的个数，调整节点的位置或级别，增加、减少、改变路径的方法縮短货物运输总里程（同时节省运输时间），降低运输成本。

进一步从增强ULS的抗风险能力（如某通道中断，某方向货运量激增）考虑，需要对第二问的ULS作怎样的改动？

4.建设时序与动态优化；“地下物流系统”造价高，风险大，改建困难，所以应做好顶层设计，如果希望考虑满足该市近30年内的交通需求（可以认为需求量每年呈5%增长）并根据建设进度分八年完成“地下物流网络系统”的建设（每年可建设道路长度大致相等），请给出该市“地下物流系统”网络各线路的建设时序及演进过程，与你在第三题中设置的网络有什么差别？并比较优劣。

① 图5为地下物流整体网络可能的演进示意。

② 随着需求量逐年增长，你在第三题中设计的网络是否仍然可行？何时班次和每班车的车厢节数达到满载，如何进行扩容处理？例如：建设期考虑增加线网容量、增设 节点等。

整体

演进过程

图5 地下物流整体网络演进示意

附件包含：

南京市仙林区域的交通货运区域划分图和相应的货运OD流量矩阵（单位：吨，表中数据表示横轴对纵轴的发货量）、各区域面积及中心点坐标（单位：米）、各区域交通拥堵系数。

第三篇：2014研究生数学建模竞赛A题

2014年全国研究生数学建模竞赛A题

小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究

人类脑计划（Human Brain Project, HBP）是继人类基因组计划之后，又一国际性科研计划，其核心是神经信息学(Neuroinformatics）。该研究旨在努力探究数十亿个神经元的信息，以期对知觉、行动以及意识等有更进一步的了解。科学家们预期这是一条开发新技术的好途径，由此可能进一步认识像老年痴呆和帕金森综合症等疾病，有望为各种精神疾病研究出新的治疗方法。此外，该计划还可以更好地为人工智能服务。目前该计划已经取得一定进展，例如在2014年足球世界杯巴西开幕式上，脊髓损伤患者开球就是利用了美国杜克大学的神经生物学家、大脑-计算机界面研究的先驱、巴西人Miguel Nicolelis开发的一种由大脑脑电波控制的外骨骼系统。它既是人类脑计划的结晶，也是2014年Nature十大科学展望领域之一神经科学的代表性成就。1.脑电波介绍

脑是支配人和高级动物活动的司令部和信息中心，神经系统承担着感受外界刺激，产生、处理、传导和整合信号，实现各种认知活动（如知觉、学习、记忆、情绪、语言、意思和思维等），以及运动控制等众多功能。神经系统的基本结构单元是神经元，其放电活动涉及复杂的物理化学过程，表现出丰富的非线性动力学行为。神经系统整体可视为由数目众多的神经元组成的庞大而复杂的信息网络，通过对信息的处理、编码、整合，转变为传出冲动，从而联络和调节机体的各系统和器官的功能。神经元对信息的处理和加工是神经元集群共同完成的，而神经元集群的同步形成较强的电信号就是脑电波。

脑电波（Electroencephalogram,EEG）是大脑在活动时，脑皮质细胞群之间形成电位差，从而在大脑皮质的细胞外产生电流。它们是脑神经细胞的电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映，将大脑活动时这种电波的变化记录下来就得到脑电图。2.脑电波的应用

脑电波或脑电图是一种比较敏感的客观指标，不仅用于脑科学的基础理论研究，而且更重要的在于临床实践的应用。事实上，脑电波是诊断癫痫的重要依据，而且对于各种颅内病变，如脑中风、脑炎、脑瘤、代谢性脑病变等的诊断，亦有很大帮助。脑疾病的诊断主要是从脑电波的异常入手，结合临床，对颅内病变进行定位。

另外，脑电波也是人们思维活动的体现。人的大脑是由数以万计的神经交错构成的。神经相互作用时，脑电波模式就是思维状态。人的大脑平均每天产生7万个想法，而且每次神经活动时都会产生轻微的放电。单个神经产生的放电很难从头皮外测量到，但是许多神经共同放电产生的集体电波是可以通过脑电波技术测量到的。因此，我们测量得到的脑电波是由许多神经共同放电产生的集体神经活动决定的。经过近一个世纪的科学实验，神经系统科学领域的专家们已经发现了大脑中控制具体活动的部位。如控制四肢的区域位于大脑的顶部。而负责视力的区域位于大脑的后部。从进化论角度看，大多数动物的大脑也具备这些功能。所以在研究人脑思维时，可以借助于动物实验。

尽管我们知道大脑意识和神经冲动的基础都是电信号，这些电信号是如何精确表达一连串复杂动作一直为科学家所热衷。一旦解析出这种信息密码就可以实现人机互动，甚至用电脑控制动物的行为。Miguel Nicolelis[1]在2011年10月完成了一个猕猴意识控制机械臂的试验。他们将一特殊装置的电极放置到猕猴大脑的运动皮质区和躯体感受皮质区，前者是发出运动信号的区域，后者负责身体其他部分传来的信息。该试验的目标是为瘫痪病人设计可以由大脑控制义肢行为的装置。

该领域的研究目前处于起步阶段，特别是关于人脑的研究，远没有达到实际应用的阶段。所以进行脑电波分析的基础研究具有重要意义。由于人脑的复杂性，在研究脑电波形成机理时，科学工作者大多采用动物实验，比如小鼠等。

一般认为δ波是由大脑皮层和丘脑之间的内在网络所产生的。Ito等人今年4月在“Nature Communication”上发表论文“Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration”[2]，他们在对小鼠进行的研究中，发现δ波段的峰值震荡与清醒状态下的小鼠晶须桶状皮层局部场电位的活动被呼吸锁相（delta band oscillation in spike and local field potential activity in the whisker barrel cortex of awake mice is phase locked to respiration）。这也许表明δ波段可能与呼吸有关。（注：锁相是使被控振荡器的相位受标准信号或外来信号控制的一种技术。用来实现与外来信号相位同步，或跟踪外来信号的频率或相位）

此外，大量研究都表明脑电波信号与动物的认知等功能活动有关[3]。3.问题的难点

与脑电波对颅内病变诊断不同的是，利用脑电波分析人（动物）的行为与脑电波之间的关系，并反过来通过脑电波确定或引导人的行为，具有更大的挑战性。脑电波信号是无数神经放电的混合，我们不可能也没有必要将单个神经放电分离出来。宏观意义上，控制某个特定行为或想法的脑电波是一系列众多神经放电的迭加。而我们测量所得到的脑电波信号又是由许许多多构成不同想法和控制行为的脑信号合成的。研究表明这些信号的强弱差别很大。在实现人机交互时，我们也许只关注若干个行为或思想，而对应的脑电波可能很弱。这在信号处理领域，相当于弱信号检测。在数学领域，这可能属于不适定的反问题。显然只有将脑电波信号很好地分离才能从中确定某种脑电波与某种行为相对应。这也可以理解为盲源分离或半盲信号分离问题。但通常的盲源分离技术在这里很难奏效，或误差太大，因为脑电波这一混合信号是由尺度差异很大的信号所构成的。

4.具体问题描述

脑电波来自于大脑内部，一般认为大脑在活动时，脑皮质细胞群之间就会形成电位差，从而在大脑皮质的细胞外产生电流。它是脑神经细胞的电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映。而局部场电位（Local Field Potential, LFP）则反映来自神经元网络局部神经核团的活动状态，它也是一种神经集合的协同行为。所以LFP信号是脑内某局部大量神经元树突电位和的综合反映。LFP可能与大脑对行为的控制有关，如呼吸及视觉刺激等。对应于不同行为或思维的脑电波，我们称之为脑电波成份。事实上，当一个人面对一个物品或需要拿起一个物品时，我们希望知道对应脑电波的反应，即该脑电波成份。该工作具有深远意义，如果能分离出与行为相关联的脑电波，将有助于对大脑疾病的诊断及脑中风病人的生活自理。由于人的大脑非常复杂，研究人的思维也相对困难。为了容易建立脑电波与行为之间的关系模型，这里我们选取的研究对象为小白鼠。我们感兴趣的是：

(1)视觉感受区的局部电位是否有规律性的变化？与呼吸曲线的周期性之间是否有联系？(2)视觉感受区的局部电位是否与视觉刺激相关？具体的联系是什么？

为了建立模型，我们提供的数据包括两方面：（1）睡眠状态下；（2）清醒状态下：(a)没有视觉刺激；(b)有视觉刺激。

提供的数据如下：

(1)文件名称：LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(睡眠状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线[注：仅波峰和波谷点有生理意义，分别代表吸气和呼气末。呼 吸信号是通过热敏电极在鼻子附近记录的，主要表现是呼气时温度升高（曲线下降）。因为是 间接记录呼吸，因此只能用曲线的峰或 谷的时间点标记呼吸时程（吸气相或呼气相），曲线 具体幅度等没什么价值。](2)文件名称：V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒 第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(清醒状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线

(3)文件名称：V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(清醒状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线

第7道（Ch18）：两次CheckBoard视觉刺激（注：波峰处为黑白配对视觉刺激开始。具体实 现见附图说明：moveonoff.pdf）信号采集条件说明：

信号（LFP：局部电位）分别来自睡眠或清醒状态下小鼠大脑皮层的视觉感受区，5个电极（一排）同时记录，每个电极间距为0.25 毫米。（电极置于皮下5毫米处，这样可以减少肌电的影响）。

另外，为了研究视觉刺激对LFP的影响。在记录视觉感受区局部电位的同时，动物的眼睛给了视觉刺激。该刺激是通过配对出现的Checkboard，开关的相隔时间是随机的（在小鼠的眼前放置一个Checkboard,随机地打开或关闭）。

请研究如下问题（部分问题给出了猜想，但问题的解决不局限于这些猜想）：

（1）由于对呼吸的观测是间接的，能否通过分析呼吸的机理，建立数学模型反映小鼠在睡眠状态下与呼吸相关联的脑电波。（猜测：呼吸过程是由脑干部分发出“呼”和“吸”的命令，由神经元集群同步产生动作电位，该电位完成呼吸过程。）（2）一般认为：在睡眠状态下，小鼠脑电波的周期节律有可能与呼吸相关联[2]。该结论是否正确？通过对所给的视觉感受区的局部电位数据建立模型论证你的结论。（3）研究在清醒状态下，小鼠视觉感受区的局部电位信号是否有周期性的变化？该周期性的变化是否与小鼠呼吸所对应的脑电波的周期性的变化有关？是线性相关吗？如果不是线性相关，是否具有其他形式的相关性？（4）建立脑电波信号的分离模型，能否从前两种状态（睡眠状态、无视觉刺激的清醒状态）的局部脑电位信号LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat、V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat中分离出与小鼠呼吸相关联的脑电波信号？

（5）通过Checkboard随时间变化的曲线，分析小鼠视觉刺激的时间曲线及其功率谱，并与呼吸曲线的功率谱对比。利用问题(4)所建立的信号分离模型，从数据V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat中分离出与Checkboard刺激相关的脑电波信号成份和可能与呼吸相关的脑电波信号成份？请验证所分离出来的刺激脑电波成份与视觉刺激之间的相关性，并说明该脑电波成份中是否包含图形形状因素。

参考文献：

[1] J.Wessberg, C.R.Stambaugh, J.D.Kralik, P.D.Beck, M.Laubach, J.K.Chapin, J.Kim, J.Biggs, M.A.Srinivasan, M.A.L.Nicolelis, Real-time prediction of hand trajectory by ensembles of cortical neurons in primates, Nature,408, 361-365, Nov.2000 [2].J.Ito, S.Roy, Y.Liu, M.Fletcher, L.Lu, J.D.Boughter,S.Grun, D.H.Heck, Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration, Nature Communication, 2014, April.[3]Mark E.Bear等，王建军等译，神经科学—探索脑，高等教育出版社，2004 [4]王青云，石霞，陆启韶，神经元耦合系统的同步动力学，科学出版社，2008

附录：“关于大脑”

关于大脑

1.脑电波

现代科学研究已经发现人脑工作时会产生自己的脑电波。经过研究证实大脑存在至少多个不同波段的脑电波。事实上，脑电波是一系列自发的有节律的神经电活动，其频率变动范围在每秒1－30次之间的，可划分为四个波段，即δ（1－3Hz）、θ（4－7Hz）、α（8－13Hz）、β（14－30Hz）。（这几种波的频率边界，学界还没有完全统一的标准。亦有学者认为δ波小于4Hz，θ波4～7Hz，α波8～12Hz，β波13～35Hz，并认为有大于35Hz的脑电波，并命名为γ波。长期处于该状态下的人会有生命危险。另外，这几种波的划分是针对人类的。对于其它动物频率边界会有变化）δ波，频率为每秒1－3次，当人在婴儿期或智力发育不成熟、成年人在极度疲劳和昏睡状态下，可出现这种波段。

θ波，频率为每秒4－7次，成年人在意愿受到挫折和抑郁时以及精神病患者这种波极为显著。但此波为少年（10－17岁）的脑电图中的主要成分。

α波，频率为每秒8－13次，平均数为10次左右，它是正常人脑电波的基本节律，如果没有外加的刺激，其频率是相当恒定的。人在清醒、安静并闭眼时该节律最为明显，睁开眼睛或接受其它刺激时，α波即刻消失。

β波，频率为每秒14－30次，当精神紧张和情绪激动或亢奋时出现此波，当人从睡梦中惊醒时，原来的慢波节律可立即被该节律所替代。

在人心情愉悦或静思冥想时，一直兴奋的β波、δ波或θ波此刻弱了下来，α波相 对来说得到了强化。因为这种波形最接近右脑的脑电生物节律，于是人的灵感状态就出现了。

2.人脑的构造

人脑的构造主要包括脑干、小脑与前脑三部分。

脑干（brainstem）上承大脑半球，下连脊髓，呈不规则的柱状形。经由脊髓传至脑的神经冲动，呈交叉方式进入：来自脊髓右边的冲动，先传至脑干的左边，然后再送入大脑；来自脊髓左边者，先送入脑干的右边，再传到大脑。脑干的功能主要是维持个体生命，包括心跳、呼吸、消化、体温、睡眠等重要生理功能，均与脑干的功能有关。脑干部位又包括以下四个重要构造：

1．延髓（medulla）延髓居于脑的最下部，与脊髓相连；其主要功能为控制呼吸、心跳、消化等。

2．脑桥（pons）脑桥位于中脑与延脑之间。脑桥的白质神经纤维，通到小脑皮质，可将神经冲动自小脑一半球传至另一半球，使之发挥协调身体两侧肌肉活动的功能。

3．中脑（midbrain）中脑位于脑桥之上，恰好是整个脑的中点。中脑是视觉与听觉的反射中枢，凡是瞳孔、眼球、肌肉等活动，均受中脑的控制。

4．网状系统（reticular system）网状系统居于脑干的中央，是由许多错综复杂的神经元集合而成的网状结构。网状系统的主要功能是控制觉醒、注意、睡眠等不同层次的意识状态。

小脑（cerebellum）位于大脑及枕叶的下方，恰在脑干的后面，是脑的第二大部分。小脑由左右两个半球所构成，且灰质在外部，白质在内部。在功能方面，小脑和大脑皮层运动去共同控制肌肉的运动，籍以调节姿势与身体的平衡。

前脑（forebrain）属于脑的最高层部分，是人脑中最复杂、最重要的神经中枢。前脑又分为视丘、下视丘、边缘系统、大脑皮质四部分。

1．视丘（thalamus）视丘呈卵圆形，由白质神经纤维构成，左右各一，位于骈胝体的下方。从脊髓、脑干、小脑传导来的神经冲动，都先终止于视丘，经视丘在传送至大脑皮质的相关区域。所以说视丘是感觉神经的重要传递站。此外，视丘还具有控制情绪的功能。

2．下视丘（hypothalamus）下视丘位于视丘之下，是自主神经系统的主要管制中枢，它直接与大脑中各区相连接，又与脑垂体及延髓相连。下视丘的主要功能是管制内分泌系统、维持新陈代谢正常、调节体温，并与生理活动中饥饿、渴、性等生理性动机有密切的关系。

3．边缘系统（limbic system）边缘系统一般认为包括视丘、下视丘以及中脑等在内的部分。边缘系统的主要功能为嗅觉、内脏、自主神经、内分泌、性、摄食、学习、记忆等。边缘系统有两个神经组织，即杏仁核与海马，前者关系情绪的表现，后者与记忆有关。

4．大脑皮质（cerebral cortex）是大脑的表层，由灰质构成，其厚度约为1到4mm，其下方大部分则由白质构成。大脑中间有一裂沟（大脑纵裂，longitudinal fissure），由前至后将大脑分为左右两个半球，称为大脑半球（cerebral hemisphere）。两个半球之间，由胼胝体（corpus collosum）连接在一起，使两半球的神经传导得以互通。

大脑皮质为中枢神经系统的最高级中枢，各皮质的功能复杂，不仅与躯体的各种感觉和运动有关，也与语言、文字等密切相关。根据大脑皮质的细胞成分、排列、构筑等特点，将皮质分为若干区。皮质运动区：位于中央前回（4区），是支配对侧躯体随意运动的中枢。它主要接受来自对侧骨骼肌、肌腱和关节的本体感觉冲动，以感受身体的位置、姿势和运动感觉，并发出纤维，即锥体束控制对侧骨骼肌的随意运动。返回

皮质运动前区：位于中央前回之前（6区），为锥体外系皮质区。它发出纤维至丘脑、基底神经节、红核、黑质等。与联合运动和姿势动作协调有关，也具有植物神经皮质中枢的部分功能。

皮质眼球运动区：位于额叶的8区和枕叶19区，为眼球运动同向凝视中枢，管理两眼球同时向对侧注视。

皮质一般感觉区：位于中央后回（1、2、3区），接受身体对侧的痛、温、触和本体感觉冲动，并形成相应的感觉。顶上小叶（5、7）为精细触觉和实体觉的皮质区。

额叶联合区：为额叶前部的9、10、11区，与智力和精神活动有密切关系。

视觉皮质区：在枕叶的距状裂上、下唇与楔叶、舌回的相邻区（17区）。每一侧的上述区域皮质都接受来自两眼对侧视野的视觉冲动，并形成视觉。返回

听觉皮区：位于颞横回中部（41、42区），又称Heschl氏回。每侧皮质均按来自双耳的听觉冲动产生听觉。

嗅觉皮质区：位于嗅区、钩回和海马回的前部（25、28、34）和35区的大部分）。每侧皮质均接受双侧嗅神经传入的冲动。

内脏皮质区：该区定位不太集中，主要分布在扣带回前部、颞叶前部、眶回后部、岛叶、海马及海马钩回等区域。

语言运用中枢：人类的语言及使用工具等特殊活动在一侧皮层上也有较集中的代表区（优势半球），也称为语言运用中枢。它们分别是：①运动语言中枢：位于额下回后部（44、45区，又称Broca区）。②听觉语言中枢：位于颞上回42、22区皮质，该区具有能够听到声音并将声音理解成语言的一系列过程的功能。③视觉语言中枢：位于顶下小叶的角回，即39区。该区具有理解看到的符号和文字意义的功能。④运用中枢：位于顶下小叶的缘上回，即40区。此区主管精细的协调功能。⑤书写中枢：位于额中回后部8、6区，即中央前回手区的前方。

3.脑的节律

地球是一个富有节律的环境，气温和白昼都随着季节的变化而变化，每天昼夜交替，潮涨潮落。为了生存，动物的行为必须和环境的节律协调。在进化过程中，脑内形成了各种各样的节律控制系统。睡眠和觉醒是最明显的节律行为。由脑控制的节律周期有些比较长，比如冬眠动物的一些节律活动；而另一些较短，如呼吸节律，行走步伐和大脑皮层的电节律等。

大脑皮层存在着大量的电节律。它们通常是大群神经元组同步产生的。比如，当你试图抓住一个篮球时，同时对形状、颜色、运动、距离甚至篮球的含义反应的不同神经元群组趋于同步的震荡。通过分散的细胞群组震荡的高度同步化，在某种程度上把它们 连成一个有意义的大组，以区别于附近的神经元，从而把“篮球问题”这个杂乱的神经碎片统一起来。

迄今为止，大脑皮层节律的功能在很大程度上还是一个谜。

第四篇：2006全国大学生数学建模竞赛题目(A题)

2006全国大学生数学建模竞赛题目

-------A题:出版社的资源配置

出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给 各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优 化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。

资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。

第五篇：2013全国大学生数学建模竞赛A题参考答案

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。本题的难点在于通过视频资料获得车流数据，并以此为基础建立数学模型，分析部分车道被占用后，道路拥塞程度与上游来车量的关系。评阅时请关注如下方面：建模的准备工作（视频中车流数据的提取，包括视频缺失及错误的处理），模型的建立、求解和分析方法，结果的表述，模型的合理性分析及其模型的拓广。

问题1.1.1．道路被占用后，实际的通行能力需要通过视频中的车流数据得到，不能仅由交通道路设计标准估计；

1.2．应该根据视频信息给出不同时段、不同情况下车流量的变化，需要给出通行能力的计算方法、理由的陈述或分析；

1.3.在被占用道路没有车辆排队时，通行能力等同于单车道情形，但当被占用道路有车辆排队时，由于被占用道路车辆的变道抢行，会使道路的通行能力下降，好的结果应该明确指出这一点。

问题2.2.1.对于视频2 的分析同视频1，需要通过视频2与视频1的数据对比给出通行能力的差异及原因分析；

2.2．由于事故横断面下游交通流方向需求不同，会导致上游每条车道分配到的车辆数不同，使两种情况事故所处道路横断面形成多车道排队的机率不同，从而影响实际通行能力。如果在模型中注意到这一点则更好。

问题3.3.1．建立数学模型，给出交通事故所引起的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系；

3.2.模型的形式可以多样，但需要包含上述各种因素。关键考察模型假设的合理性、参数确定的原则、及模型的可计算性。

问题 4.4.1．本问题是问题1 及问题 3 的扩展，可利用问题1 得到的通行能力及 问题3 的模型计算结果；

4.2．和问题1、3不同，当事故横断面离红绿灯路口较近时，司机无充分时间调整车道，会增大多车道占用情形，影响通行能力，模型计算中应考虑这一点；

4.3.附件中给出了上游路口信号灯的控制方案，会影响上游来车的流量分布，如果学生能够利用附件给出上游路口信号灯配时方案和交通组织方案则更好。