线性代数模拟试卷6（样例5）

第一篇：线性代数模拟试卷6

线性代数模拟试卷（6）

一.填空题(每小题3分,满分30分)

122y1.设矩阵A，B，且ABBA，则x________，y______。x110

a1b1a1b2a1b3，a0，b0，i1，2.设矩阵Aababab2，3，则rA________。2223ii21a3b1a3b2a3b3

3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且Aa0，则A*_______。

4.设向量11,2,3，20,2,5，31,0,2，44,5,8，则1,2,3,4线性_______?关。5.设A是3阶矩阵，A有特征值10，21，31，其对应的特征向量分别为1，2，3，设P1,2,3，则P1AP_________。6.设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax0仅有零解充分必要条件是________。

227.已知：fx1,x2,x3x124x3x22x1x3是正定二次型，则的取值范围

为_______。8.设3阶方阵A的列分块矩阵为A1,2,3 ,a,b是数,若3a1b2,则A______。9.设不含零向量的n元向量组1,2,,m是正交向量组,则m与n的

大小关系为_________。10.设有一个四元非齐次线性方程组Axb，rA3，1,2,3为其解向量，且11991，23，则此方程组的一般解为_____________。9978

二.(8分)计算n阶行列式

a1a1a2a2a3a3Dan1an111111

三．(8分)已知矩阵X满足关系式：

T

XAB3X

k43230A,B01421，其中

求X。

四．(10分)设向量组

10,0,1,kT,20,k,1,0T,31,1,0,0T,4k,0,0,1T问(1)k为何值时，向量组线性无关。

（2）为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组。

x1x2x3x1x2x31xxx23五．(14分)对参数讨论方程组1 的解,有解时,求出其无穷多解。

122A232122 六．(16分)设

求可逆矩阵P使得P1AP为对角矩阵，并求Ak。

七.(8分)设1,2,3为3维欧氏空间V的一组标准正交基，112223,2121223,3121223333

.。证明：1,2,3也是V的一组标准正交基

1

八.(6分)已知矩阵A与B相似，其中

200200,B0y1A00101x001

求x和y。

设,21,3为线性空间V的一个基,112,2213223,313223证明 :1,2,3也是线性空间V的基.并求21233在基1,2,3下的坐标向量.

第二篇：线性代数试卷6

线代参考六

线性代数参考六

一.填空题(每小题3分,满分30分)

A2r,B1.设A,B是3阶矩阵,且2r2,其中,,r2,r3均为3维行向量，3rr33 A15,B3,则行列式AB

2.已知方阵A满足aA2bAcE0(a,b,c为常数c0),则A1 113.设001020,则k应满足_______________.1k00k002k4.设,1,2线性相关, ,2,3线性无关,则,1,2,3线性_______关.25.设11,1,1,2a,0,b,31,3,2线性相关,则a,b满足关系式___________ 6.设A满足A2AE0,则A有特征值_____________ 7.设A为n阶方阵,RAn3,且1,2,3是Ax0的三个线性无关的解向量, 则Ax0的一个基础解系为______________.8.二次型fx1,x2,x35x1x2ax34x1x22x1x32x2x3正定,则a满足条件 222 _____________.1245t9.设方阵A242相似于对角矩阵,则t__________.421421012,则RBA________ 10.设A是34矩阵,RA2,B1111二.(8分)计算n阶行列式

ab1Dnababab11abab

110213B011,C021三(8分)设 , 求矩阵X,使满足下面的关系式: 000021 XECBCE

四.(10分)设向量组 1TT11,3,0,5,21,2,1,4，31,1,2,3,41,3,6,1,51,a,3,b 确定a,b的值,使向量组1,2,3,4,5的秩为2,并求一个极大线性无关组.线代参考六

x12x22x30五.(8分)设线性方程组2x1x2kx30

3xxx0231 的系数矩阵为A,设B为3阶方阵,已知B0,且AB0,求k的值.六.(14分)设实二次型

fx1,x2,x3x12x23x34x1x24x2x3 2221.求正交变换XQY,将二次型化为标准形.2.确定该二次型的正定性.七.(8分)设列向量是一个n维实向量,已知是单位向量.令矩阵TE2

证明:T是一个对称的正交矩阵.八.(14分)已知1,2,3和1,2,3是线性空间R3的两组基,其中

11,1,1,2(0,1,1),30,0,1 TTTT 11,0,1,20,1,1,31,2,0 TTT1.求由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵A.2.设向量在基1,2,3下的坐标为1,2,1,求在基1,2,3下的坐标.T 2

第三篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第四篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第五篇：线性代数 试卷

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案

2x11．解线性方程组x1x15x22x24x24x3x36x3x4x42x4x5x5x535。10解：略。

2．线性变换T:22的定义是

T(x,y)(3xy,x3y).设B{(1,1),(1,1)},B{(2,4),(3,1)}。（a）证明B,B是2的两组基。

（b）给出T关于基B的矩阵表示A和T关于基B的矩阵表示A。（c）求矩阵Q使AQ1AQ。

（a）证明：先证明B线性无关（略）。因为B所含的向量个数2dim2，所以B是2的一组基。B类似可证。

（b）解：由定义即可（略）。

（c）解：矩阵Q是基B到基B的过渡矩阵，由定义求之即可。

00103．设矩阵A0100n2。解：

0a100a200a3。求行列式AtI，其中I是n阶单位阵，01an0t1AtI00000t000000000ta1a2a31tan101tan0000tnantn1a2ta1tn1antn2a3ta2tn2antn3a4ta3t2antan1tanRn1tRn100Rn2tRn1010R1tR20000

0001tnantn1a2ta14．令V为由全部在闭区间[0,1]上连续的实函数构成的集合，即

V{f:[0,1]|f连续}（a）给出V的向量加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

01（a）解：对f,gV,，定义

fg:[0,1]f(x)g(x)，f:x[0,1]x(f(x))验证上面定义的加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明：对f,g,hV,，有

(f,g)f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx(g,f);0011(f,g)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx(f,g);0011(fg,h)(f(x)g(x))h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dx(f,h)(g,h);000111(f,f)f2(x)dx001所以(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

015．设映射D:[x]5[x]5用D(f)f来定义，其中f是f的导数。（a）证明D是线性变换。

（b）给出D的核，他的一组基和维数。（c）给出D的像，他的一组基和维数。（a）证明：对

fa0a1xa2x2a3x3a4x4,gb0b1xb2x2b3x3b4x4[x]5,，有

D(fg)D((a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2(a3b3)x3(a4b4)x4)(a1b1)2(a2b2)x3(a3b3)x24(a4b4)x3D(f)D(g),D(f)D(a0a1xa2xa3xa4x)a12a2x3a3x24a4x3D(f)所以D是线性变换。

234

（b）D的核kerD，f1是他的一组基，他的维数dimkerD1。（c）D的像ImD[x]4，1,x,x2,x3是他的一组基，他的维数dimImD4。

1126．判断实矩阵A121是否可对角化。若A可对角化，求矩阵Q使Q1AQ013是对角矩阵D，并给出矩阵Q1和D。解：略。

27．实二次型f:2的定义是f(x1,x2)2x125x24x1x2。

（a）给出对应于f的实对称矩阵A。

（b）给出A在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。

（c）给出f的正惯性指数和负惯性指数，并判断f是否正定或者负定。解：略。

8．设,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量。如果avbw是T的特征向量，证明a0或者b0。证明：因为avbw是T的特征向量，所以存在T的特征值使得T(avbw)(avbw)。因为v和w分别是属于和的特征向量，所以avbwT(avbw)aT(v)bT(w)avbw，即a()vb()w0。因为,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量，所以v,w线性无关。所以a()0,b()0。

如果a0，则有。因为,互异，所以0，进而b0。所以有a0或者b0。

9．证明或举反例否定下面命题。

V)dim(W，)则任何线性映射（a）若有限维线性空间V,W满足dim(T:VW都不是同构。

答：正确。因为T:VW是同构dim(V)dim(W)。

（b）若方阵A,B有相同的特征多项式，则A和B是相似的。

10答：错误。例如A,BE2，则他们的特征多项式相同，均为

11f()(1)2，但A和B不相似，因为A不可对角化。

（c）若可逆方阵A相合于方阵B，则他们的逆矩阵A1,B1也是相合的。

答：正确。这是因为：若可逆方阵A相合于方阵B，则存在可逆矩阵CT1使得BCTAC，进而B1(CTAC)1C1A1(C)C1A1(C1)T，即A1,B1相合。

（d）实正交矩阵一定可对角化。

cos答：错误。比如Asinsin的特征多项式为cosf()22cos1，所以没有实特征根，当然也不能对角化。