第五章 样本与抽样分布

第一篇：第五章 样本与抽样分布

第五章

样本与抽样分布

P(X1x1)P(X2x2)P(Xnxn)

xinpi1(1p)nxii1n(xi0或1)

1、设容量n10的样本的观察值为(8,7,6,5,9,8,7,5,9,6)，求样本均值及样本方差的观察值．

1n1n1n EXE(Xi)EXipp

ni1ni1ni11n1DXD(Xi)2ni1n1n1解： xxi(876)7

ni1101ns(xix)2

ni12DXin2n[EXi2(EXi)2]i1n1

11[pp2]p(1p)．

n n

3、已知样本X1,X2,,X16取自正态分布总体N(0,1)，X为1[(87)2(77)2(67)2]2 102、设X1,X2,,Xn是来自(01)分布(P(0)1p, 样本均值，已知P{X}0.01，则等于多少？

P(1)p)的简单随机样本，p为未知参数，则

解：(X1,X2,,X16)取自正态分布总体N(0,1)，于是(X1,X2,,Xn)的概率分布是什么？并求EX，DX．

解：服从(01)分布P(0)1p，P(1)p．

由于X1,X2,,Xn相互独立且与同分布，故其分布为

X~N(0,1)． 16X00)1414P{X}1P{X)1P(P(X1x1,X2x2,,Xnxn)

1P(X4)＝1(4)0.01 14则 (4)0.99 查正态分布表，42.33 故 0.58

6、样本X1,X2,X3,X4取自正态分布总体,Ea已知，而

3331[()()]1[2()1]

22232[1()]

20.13362．

D2未知，则下列随机变量中哪些不能作为统计量？

(a)X144Xi

(b)hX1X22a

i1(c)k14(x22142iX)

(d)Si13(xiX)2．

i1解：(c)不能作为统计量，因为(c)中含有未知参数2．

7、在总体~N(80,202)中随机地抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？ 解：总体~N(80,202)，则对容量为100的样本的样本均值X，有 X~N(80,202100)N(80,22)P(|X|3)1P(|X80|3)

1P(3X803)1P(3X803222)

8、设总体~N(a,2)，假定要以99.7%的概率保证偏差

|Xa|0.1，试问在20.5时，样本容量应取多大？

解：样本均值X~N(a,2n)

P{|Xa|0.1}P{0.1Xa0.1}

P{0.1a12Xn20.n2}

n P{0.10Xa0.1.5n0.5n

2}n (0.10.5n)(0.10.5n)

2(0.10.5n)1

0.997 于是 (0.10.5n)0.9985

10、设总体服从N(0,1)，样本(X1,X2,,X5)来自总体，试求常数c，使统计量查标准正态分布表有

c(X1X2)2X30.10.5n2X42X5服从t分布．

2.97

解：服从N(0,1)，(X1,X2,,X5)来自总体，则Xi相互独则样本容量n441．

9、设总体X ~ N(,2),从此总体中取一个容量为 n16的样本(Xn1,X2，X2116), 求概率P(X2ni)222;i1解因为 X1,X2，X16 是来自正态总体的样本, 所以 1n2(Xi)2~2(n),i121n于是 P2n(X22i)2i1P81162(Xi)232P{82(16)32}i1P{2(16)32}P{2(16)8}

0.990.050.94

立且与同分布．

令 XX1X22，则X~N(0,12)，于是 X0122X2(X1X2)2X1X22~N(0,1)

令 YX2X2234X5，则Y~2(3)，于是 2XY3服从t分布

要使

c(X1X2)服从t分布，必须使

X23X24X25c(X1X2)2X1X2)2X23X24X25Y3(X(X23X24X25)3

X1X23X2223X4X52 3

于是c3时，2c(X1X2)222X3X4X5服从t分布．

12、设总体~N(30,4)，若抽取容量为4的样本，问子样均值X大于31的概率是多少？

解：子样均值X~N(30,)N(30,1)则

11、设X1,X2,,Xn是来自正态总体0,2的样本，试

4证：（1）1n222Xi~n；

i11n2（2）nX2i~21。

i1证明：（1）Xi独立同分布于0,1，由2分布的定义，nX2i~2n，即1n22i12Xi~n。

i1nX（2）易见，nXi~0,n2，即

i1i~0,1，由2分i1n2n22布的定义，Xi1i~21，即1nX~2i1n2n2 i1

4P{X31}1P{X31}1P{X30131301} 1P{X3011}1(1)0.1587．

第二篇：常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布

一．正态分布 1n

1.XiEX ni1

1n1n2222.SXin]DX (Xi)n1[n1i1i12

3.定理：

X～N(,2)，X1,X2,,Xn为X的样本，则(1).～N(,(n1)S22n)，(2).2～2(n1),(3).与S2相互独立。

二．2分布

1.定义

设X1,X2,,Xn独立同分布，且～N(0,1)，则Xi2~2(n)2

i1n

2.性质：

Y～2(n2)，(1).若X～2(n1)，且X,Y独立，则X+Y～2(n1n2)。

(2).若X～2(n)，则EXn，DX2n。

三．t分布

1.定义

设X～N(0,1),Y～2(n)，且X,Y独立，则T

2.定理：

设X1,X2,,Xn独立同分布，且～N(,2)，则 X～t(n)。

()()



Sn

nS



(n1)S

～t(n1)



2

～N(0,1)，1

（因为

3.定理：

(n1)S2

n



～2(n1)）。

设X1,X2,,Xn1为总体X～N(1,2)的样本，Y1,Y2,,Yn1为总体Y～N(2,2)的样本，且X,Y独立，则

()(12)Sw

w

11n1n2

～t(n1n22)，其中

(n11)S12(n21)S2

S。

n1n22

证：因为

(n11)S12



～(n11),(n21)S2



～2(n21)，所以

(n11)S12(n21)S2

2

～2(n1n22)；

又～N(1,2

n1)，～N(2,2

n2)，所以～N(12,2

n1



2

n2)，所以

()(12)





11n1n2

/

～N(0,1)，所以

()(12)Sw

11n1n2

()(12)

11n1n2

(n11)S12(n21)S2

2

/(n1n22)

～t(n1n22)。

四．F分布 1.定义

U

设U～2(n1),V～2(n2),且U,V独立，则F2.定理：

设F～F(n1,n2)，则3.定理：

设X1,X2,,Xn1为总体X～N(1,12)的样本，～F(n2,n1)F

V

～F(n1,n2)。)的样本，且X,Y独立，则 Y1,Y2,,Yn1为总体Y～N(2,2

S12/12

F22~F(n11,n21)。

S2/2

常用的统计量抽样分布示例

例1 设X1，X2，X25是来自总体X~

1的一个样本，则Xi服从

i1

225分布；

例2设随机变量X1,X2,X3相互独立，X1～N(0,1),X2～N(0,),X3～

1222

N(0,)，则X122X2服从(3)分布。3X3

例3 设总体X服从N(0,2)，而X1,X2,,X15为来自总体X的简单随机样

X12X2X10

本,则随机变量Y服从F(10,5)分布。22

2(X11x15)

例4 设随机变量X,Y相互独立且都服从N(0,3)，而X1,X2,,X9和

Y1,Y2,,Y9为分别来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量

U

X1X2X9

Y

服从t(9)分布。

例5 设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X是样本均

值，S是样本方差，则

(A).nX～N(0,1)(B)nS～2(n)

(n1)X12(n1)X

(C).～t(n1)(D)～F(1,n1)n

S

Xi2

i2

解：

(n1)X12

X

i2

n



X12/1

2i

X

i2

n

～F(1,n1)

2i

/n1

例6 设总体X服从N(1,2)，总体Y服从N(2,2)，X1,X2,,Xn1为来自总体X的简单随机样本，Y1,Y2,,Yn2为来自总体Y的简单随机样本，则

E[i1

(X

n1

i

X)(YiY)2

i1

n2

n1n22

]

n

2

n12

122

解：原式E[(XiX)(YiY)]

n1n22i1i1

n1

n2



n1

2{E[i1

n1n222

X)

(X

i

X)

]E[i1

(YY)

i



]}

(X

又

i1

n1

i





(n11)S



～2(n11),故E[i1

(X

n2

i

X)2



]n21，从

而E

(X

i1

i

X)

n11

n11,同理E

(YY)

i

i1

n2

n21

n21,所以原式=2。

例7.设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,2)的简单随机样本,值，记YiXiX，i1,2,,n。求：(1).Yi的方差DYi，i1,2,,n ；(2).Co(vY1,Yn)；(3)P{Y1Yn0}。

(4）若c(Y1Yn)2是的无偏估计，求c的值。

X

是样本均

解：

11n

（1）DYiD(XiX)（(1)Xi与Xk独立）nnk1,ki

11n1211n

，i1,2,,n。D[(1)XiXk](1)222(n1)2

nnnnnk1,ki

(2)EY1EYnE(X1X)0,Cov(Y1,Yn)E(Y1EY1)(YnEYn)E(X1X)(XnX)E(X1Xn)E(X)E(X1X)E(XnX)X1,Xn独立，E(X1Xn)EX1EXn0

D(X)E(X)E(X)2E(X)

X1X2Xn11

]2(DX1DXn)2

nnn

E(X1X){E(X1)2E(X1X2)E(X1Xn)}E(X1)22，nnn

E(XnX){E(XnX1)E(XnX2)E(Xn)2}E(Xn)22

nnn

121212

所以Cov(Y1,Yn)D(X)=

nnn

而D(X)D[

n2n22n1

（3）Y1Yn(X1X)(XnX)X1XnXi

nnni2

上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以Y1Yn服从正态分布，由于

E(Y1Yn)0,所以P{Y1Yn0}0.5。

（4）E[c(Y1Yn)2]cD(Y1Yn)c[DY1DYn2Cov(Y1,Yn)]

c[

n1n1222(n2)2n

]c2，故c。nnnn2(n2)

第三篇：抽样课题

问卷调查参考选题

1、大学生社会参加实践活动状况调查

2、大学生人生追求的调查分析

3、大学生诚信度现状及其影响调查

4、大学生网络生活方式的现状调查

5、大学生社会交往状况（能力）调查

6、大学生恋爱状况（心理）调查

7、大学生学习时间分配与管理

8、大学生不良嗜好调查

9、大学生消费情况调查

10、大学生课外时间利用情况调查

11、大学生上网情况调查

12、大学生电脑使用情况调查

13、大学生手机使用情况调查

14、大学生课外阅读情况调查

15、大学生社会交往情况调查

16、大学生安全保护意识调查

17、大学生应急处置能力调查

18、大学生文明意识与行为调查

19、大学生法律意识调查

20、大学生价值取向和心理素质调查分析

21、大学生就业状况（心理）调查

22、大学生消费状况调查

23、大学生创业（兼职）状况调查

24、大学生体育锻炼情况的调查

25、大学生民族心理(爱国情绪)现状调查

26、大学生人生职业生涯规划的调查研究

27、大学生诚信问题调查

28、大学生环保意识和行为的调查

29、大学生饮食状况调查 30、大学生逃课状况调查

31、大学生志愿服务现状及意向调查

32、大学生对XX问题的看法调查

33、大学生食品安全意识调查

34、（公众）社会安全感现状和原因调查

35、城市农民工生活状况调查

36、农村空巢老人生活状况调查

37、高三学生学习生活状况调查

38、农村留守儿童（教育）状况调查

第四篇：样品收样与抽样管理制度

样品收样与抽样管理制度

收样管理制度：

1、专人负责收样与抽样、办理检测登记手续，对样品负责管理。

2、专门负责人应对样品品种、规格、数量及代表的批量、部位进行登记和编号。

3、专门负责人应拒绝接收不符合要求的样品。

4、专门负责人（样品管理员）收样后立即通知检测人员领样试验。

5、按规定要求留样的应办理登记手续，对留样件做好标记以利查找。

6、人为造成样品丢失残缺不全的要按责任事故处理。现场抽样管理制度：

1、现场抽样人负责现场抽样工作，并办理检测登记手续。

2、抽样时不得少于二人，同一检测项目，抽样与测试工作不得由一个人承担。抽样时原则上应由委托方、检测方共同见证取样。

3、抽样人员必须熟悉检测方案和与之相关的标准、规程及该项样品抽取方法的规定，并掌握抽样器具的使用方法。

4、抽样人员应拒绝抽取不符合要求的样品。

5、抽样人员应对其样品负责，抽样应按标准要求依次抽齐，样品一经抽取，应按标准要求妥善保管。

第五篇：劳动合同签定与履行情况抽样调查报告

根据国家“全面推进劳动合同制度实施三年行动计划”，《省劳动保障厅关于把握工作重点推进“五个充公”全面提升劳动保障事业整体水平的指导意见》的要求，按市局的统一安排，统一布置，于2007年7月对我县开展劳动合同签订和履行情况抽样调查。按时、高标准高质量的完成了这次工作任务，基本上达到了解我县各类企业劳动合同签订情况以及职工在劳动和社会保障维护方面的情况，为实现各类企业劳动合同的充分覆盖提供基础数据，为政府部门制定完善相关政策提供决策依据。

一、分工明确

此次调查，我局严格按市局的统一要求，组织相关人员培训，制定相应工作纪律，明确各自职责，对选定的100家企业做到事先有勾通，事后有汇报，对抽查中出现的热点、难点问题及时按制定方案、预案进行解决，确保抽查质量，对停产、倒闭、转让等无法调查的企业，及时与市局领导汇报，并按企业的性质、特点做好相应的调整工作，本次调查前后共召开全体人员会议5次,即时调整各类用工企业56家，保障了抽查工作按时序进度顺利完成。

二，领导重视

本次调查我局领导高度重视，召开了专题会议，专门研讨这次抽查调查工作，明确了分管局长统筹负责，劳动工资牵头，各股、室、处、大队参与，督导、调查、录入人员按要求专人专职。并相应成立了工作领导小组，明确各自职责。对我县抽查到的100家企业分布状况，进行专题研究，自定好抽查工作方案及预案，为保障此次抽查工作的顺利开展奠定了坚实的基础。在各单位工作任务繁重的情况下，确保二辆专车参与调查，从物质上保证了此次调查工作的圆满完成。

三、抽查结果

本次抽查的结果：抽查企业数100家，涉及职工571人。按行业类型分：其中制造业占38%，批零及餐饮业占25%，交通运输业占4%建筑业1%，居民服务和其他服务业15%，其他行业占17%。按登记注册类型分：国有企业占25%、集体企业占5%、外商投资企业占6%、港澳台投资企业占3%、私营企业占35%、其他企业占1%、有雇工的个体工商户占25%。按企业隶属关系：中央驻省和省属企业占5%、其他企业占95%。企业与职工签定劳动合同占41%。职工表情况：来自本地城镇418人、本地农村141人、外地城镇7人、外地农村5人。男女职工比例男职工占57%、女职工占上风43%。职工年龄31-50占76%、30以下占22%、51以上占4%，职工学历初高中占61%，大专以上占39%。职工签订合同人数占全体职工的69%，职工工作年限为1年以下的60人、1-3年132人、3-10年167人、10年以上的212人。职工与企业签订合同66%，职工对现有劳动合同满意度为88%，经过协商的劳动合同占74%，劳动合同个人保留一份占59%，职工收入在500-1000元占71%，企业确定的劳动定额在8小时内完成的占88%，职工参加过技能培训的占50%，办理了社会保险的职工占63%。签定集体合同的企业18家占抽查企业的18%。

四、存在问题及改进措施

一、个体工商户劳动合同签订率相对较低。家庭作访式经营方式在一定范围依然存在，在广大乡镇与行政村用这种方式生产经营比较普遍，劳动合同签订及各种社会保险参加，有待进一步加强。改进措施，一是加大法制宣传，增加法制宣传的履盖面。依托“信息村村通工程”将劳动法律、法规送到行家万户，增强广大农村个体经营者，依法经营的法制意识。二是举办以电视短剧、版画等广大群众喜闻乐见的宣传手法，举案说法增加广大群众的守法意识，维护好自身合法权益。三是加大投入，依托每年的开展的法制宣传月，印发宣传单、制作专题片，采取灵活多样的宣传形式加大宣传。

二，劳动合同签定率有待进一步提高，本次调查中了解到大部份企业业主与职工对出台的《劳动合同法》非常关注，下半年，我县将结合《劳动合同法》的宣传与劳动合同三年行动方案的落实的大好机会，加在执法力度为《五个充分》按时完成打下坚实的基础。

三、行政执法力度相对薄弱。一是表现在有些生产经营场所对劳动保障监察人员开展的调查活动不配合，还存在一定的抵触情绪，正常的执法行动在某些方面还难以开展，解决方法，加大行政处罚力度对，对恶意违法行为或拒不配合的单位采用法律程序加强执法，并在报纸杂志上公布，达到一定的警示作用。二是，加强行政执法人员的业务学习，特别是新出台的劳动合同法等相关法律、法规知识，提升执法人员自身怕业务素质。

二〇〇七年八月七日