第一篇：用电子表格(Excel)实现层次分析法(AHP)的简捷计算
用电子表格（Excel）实现层次分析法（AHP）的简捷计算
先锋（华南农业大学 林学院，广东 广州 510640）
摘要：传统的层次分析法算法具有构造判断矩阵不容易、计算繁多重复且易出错、一致性调 整比较麻烦等缺点。层次分析法 Excel 算法利用常用的办公软件电子表格（Excel）的运算功能，设置简明易懂的计算表格和步骤，使得判断矩阵的构造、层次单排序和层次总排序的计算以及一致性检验和检验之后对判断矩阵的调整变得十分简单。从而可以为层次分析法的学习、应用、推广和改进探讨提供方便。
关键词：层次分析法 Excel1 层次分析法（AHP）的应用难点
层次分析法（Analytical Hierarchy Process,简称 AHP）是美国匹兹堡大学教授 A.L.Saaty，于 20 世纪 70 年代提出的一种系统分析方法，它综合了定性与定量分析，模拟人的决策思维 过程，具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，是分析多目标、多因素、多准则的复杂大系统的有力工具。层次分析法的基本原理简单说就是用下一层次因素的相对排序来求得上一层次因素的相对排序。
应用层次分析法解决问题的思路是：首先把要解决的问题分出系列层次，即根据问题的性质和要达到的目标将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将各层次各因素聚类组合,形成一个递阶的有序的层次结构模型；然后对模型中每一层次每一因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示（也可以先进行定性判断，再予赋值量化），再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值；最后通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层（方案层）相对于较高层（分目标或准则层）和最高层（总目标）的相对重要性次序的组合权值，以此 进行进行方案排序，作为评价和选择方案的依据。层次分析法在多个领域得到广泛应用，但在应用中也是确实存在着不少难点。
1.1 构造一个合适的判断矩阵不容易
建立层次结构模型和构造判断矩阵是层次分析法的主要基本工作，构造判断矩阵是关键之关键。要从“1/9-9”的数字范围内挑选标度值并要尽量符合判断的“一致性”，构造合适的判断矩阵比建立层次结构模型困难得多，特别是要构造 5 阶以上的高阶判断矩阵的话。层次分析法的使用就是为了解决多目标、多准则、多层次的复杂系统问题，但是系统越复杂，涉及层次和因素越多，构造合适的判断矩阵就越加困难。1.2 计算繁多、重复且易出错
层次分析法计算的根本问题是如何计算出判断矩阵的最大特征根λmax 及其对应的正 规化特征向量w，向量w的分量 Wi 即是相应因素的单排序的权值，或者直接称为层次单排序结果。常用的计算方法有幂法、和积法、方根法等，计算原理本来简单，但过程却仍因涉及因素的增多而趋于复杂、繁琐，其中包括很多重复或相似的运算，令人不胜其烦且易出错。如果使用电脑计算，加之已有人开发出相应的程序，上述计算工作已经大为简化。但是现有 的层次分析法程序都是另行编制的，需要重新安装才能使用，里面所涉及的 Basic 语言等亦非现在众多普通的“视窗”一族所熟悉，故至今使用者少。从亲身观察和文章分析来看，学校里的多数学生以及目前的部分研究者仍然是抱着计算器来计算层次分析法，工作量大、精确性差，有待改进。
1.3 如果达不到满意一致性“返工”调整比较麻烦
层次分析法计算不单是要得到一个结果，而且是要得到一个具有满意一致性的结果，否 则排序结果没有实用意义。如果一致性检验通不过，就要调整或重新构造判断矩阵，每调整 或重构一次判断矩阵，与之相应的计算过程和一致性检验就要全盘重来一次，工作量成倍增大不说，二次出错的可能性也增加了。事实上在进行多因素分析，需要构造高阶矩阵的时候，一次成功的机会并不多，“返工”调整是经常的事。
1.4 以上难点的不良后果
以上难点对层次分析法的学习、推广和应用构成阻滞。许多人因为层次分析法计算复杂、验算困难而失去学习层次分析法的耐心和信心，也因此不敢或不愿使用层次分析法解决现实决策问题，特别是面对多种因素需要构造复杂的高阶判断矩阵的时候。在学而烦、学不会、不敢用、用不准的心理影响下，层次分析法的应用和推广价值受到很大削弱。用电子表格（Excel）计算层次分析法的基本原理和步骤
为了解决以上难题，为了让层次分析法的学习变得简单易行，为了让普通人士都可以轻 松应用层次分析法，笔者尝试利用现在常用的办公软件电子表格（Excel）的运算功能，设置简明易懂的计算表格和步骤，使得判断矩阵的构造、层次单排序（权重系数）和层次总排序的计算以及一致性检验和检验之后对判断矩阵的调整变得十分简单。因为是以 Excel 为运 算载体，故称之为层次分析法 Excel 算法。
2.1 层次分析法 Excel 算法的基本原理
层次分析法 Excel 算法充分利用 Excel 的函数运算、公式编辑、自动计算等功能和单元格等式引用规则，设计成步步相连的计算过程，达到只要输入一个判断值（矩阵标度值）就可以立即得到相应的各层次单排序和总排序结果以及一致性检验指标的目的。如果对结果不满意，可以通过调整判断矩阵的标度值来修正结果，调整可以是任意的，每次调整的结果也是一步得出。
2.2 层次分析法 Excel 算法的运算设计 2.2.1 层次分析法的运算步骤简介
层次分析法的主要运算步骤包括：建立层次结构模型；构造判断矩阵；用和积法或方根 法等求得特征向量 W（向量 W 的分量 Wi 即为层次单排序）；计算最大特征根λmax；计算一致性指标 CI、RI、CR 并判断是否具有满意的一致性。该步骤已经为人熟悉，故不详述。
2.2.2 用实例说明的层次分析法 Excel 算法过程
例： 假设某林业经济单位要选择适当的树种来调整经济结构，树种选择考虑的因素包括四个方面：经济效益、生态效益、社会效益和技术要求，可选树种包括松树、杉木和桉树，请问应当怎样对供选树种进行优劣排序？根据题意可以建立层次结构模型如图1：
层次分析法的计算方法有多种，假如判断矩阵是完全一致的话，用和积法或方根法计算的结果是一样的，如果判断矩阵不一致，那么计算出的权重系数值会有不同，但排序次序应当一样。由于和积法需要进行列规范化，相当于又形成一个矩阵，占用的页面会比方根法稍大，故本文按方根法依照前述步骤在电子表格（Excel）中设计出层次分析法运算过程如下（见下页图 2 和图 3）：
（1）判断矩阵的设置和矩阵元素的输入
a 判断矩阵表格化和“一边倒”
由于是在 Excel 中运作，判断矩阵要制成表格形式，形成没有矩阵形状的矩阵区（见图 1 的“B12:D15”区域。在矩阵区的主对角线单元格全部输入数值 1，以此主对角线为分界，右上角单元格对称地编辑成左下角单元格的倒数（比如把 E12 单元格编辑成“=1/B15”），简称“一边倒”，目的是一旦在左下角单元格中输入数值，就可以立即得出右上角的相应的倒数（比如在 B15 单元格中输入 1/2，E12 单元格立即出现 2），需要调整判断矩阵的时候也只需变动矩阵区左下角的数字。判断矩阵通常采用的是比例标度，为了表达这种习惯形式，可以通过“设置单元格格式”把矩阵区设置成“数字——分数”形式，这样无论输入什么数值都将表现为分数或整数。
b 标题和因素名称（指标）的输入
为了让运算清晰有序，标题和指标（或因素名称）以及运算提示比如“按行相乘”“开n次方”“CI=(λ-n)/(n-1)”等不应省略。在 Excel 中输入文本亦有省事的技巧，比如可以将单元格 B12、C12、D12、E12 分别编辑成“=A12”“=A13”“=A14”“=A15”（凡如“=？” 均表示在 Excel 中的编辑形式，以下同），这样当在矩阵区左边栏单元格 A12、A13、A14、A15 中分别输入经济效益、社会效益、生态效益、技术要求等文本的时候，会立即出现在矩 阵区的右上边栏。其他凡是重复出现的文本或数值亦都用此方法引用，从而构成 “一动俱动”，方便调整的效果。
（2）层次单排序计算
c 用 PRODUCT 乘积函数和自动计算实现矩阵元素按行相乘。比如将单元格 F12 编辑成 “= PRODUCT(B12:E12)”，然后鼠标左键按住单元格 F12 下拉，即可得到其余 F13 到 F15 的运算结果。
d 用 POWER 乘幂函数和自动计算实现将 c 步骤所得乘积分别开 n 次方（即 1/n 次幂）。比如编辑 G12“=POWER(F12,1/4)”再下拉自动计算。
e 用 SUM 求和函数求得 d 步骤结果的总和。即 G16“=SUM(G12:G15)”。
f 将 d 步骤值分别除以e步骤值，得到特征向量W及其分量Wi，即层次单排序结果。编辑首个单元格 H12“=G12/G$16”即可，其余通过下拉自动计算。
（3）判断矩阵一致性检验
g 将判断矩阵的各行元素分别与向量 W 的分量 Wi 相乘之后相加，得到向量 AW 及其分量 AWi。本 步 骤 可 以 直 接 编 辑 乘 积 求 和 公 式 再 自 动 计 算，比 如 可 以 编 辑 I12 “=B12*H$12+C12*H$13+D12*H$14+E12*H$15”再下拉自动计算，也可以先将横排的矩阵元素通过编辑等式引用成竖排，然后用 SUMPRODUCT 数组对应元素乘积求和函数进行自动计算。
h 将 AWi 分别除以 Wi 并自动计算得到 AWi/Wi。J12“=I12/H12”，然后下拉自动计算。
i 用 AVERAGE 算术平均函数求得 h 步骤结果的平均值，即最大特征根λmax。λmax=J16 “=AVERAGE(J12:J15)”。
j 编辑公式计算平均一致性指标 CI=(λmax-n)/(n-1)。本例中目标层的 n=4，准则层的 n=3，故 CI=K15“=(J16-4)/(4-1)”。
k 通过查阅平均随机一致性指标 RI 和编辑公式计算判断矩阵的随机一致性比例 CR=CI/RI，是否符合 CR≤0.10。本例中 4 阶矩阵的 RI=0.8931，3 阶矩阵的 RI=0.51491，故 CR=L15“=K15/0.8931”。
以上是层次单排序计算过程，列举的具体演算针对的是图 2 中的第一个计算表，其他计算表原理相同。在 Excel 中，只要先列出一个过程，其余类似的计算过程可以通过复制和少量的修改来完成（见图 2 中的 3 个计算表和图 3 中的前 2 个计算表），加上使用自动计算，故计算表格虽多，工作量并不大。
（4）层次总排序计算 当所有的层次单排序计算都完成后，就可以如下表所示计算出层次总排序结果，为了更加直观，在 Excel 中计算还可以细化，先算出 aibin，再计算∑aibin，即得到总排序结果（见图3下半部分）。
（5）层次总排序一致性检验
紧跟在层次总排序计算表后通过编辑等式，引用列出与层次总排序对应的单排序的一致 性指标和平均随机一致性指标，用 SUMPRODUCT 数组对应元素乘积求和函数求得层次总 排序一致性指标 CI=∑aiCIi 和层次总排序平均随机一致性指标 RI=∑aiRIi，再算出层次总排序 随机一致性比例 CR=CI/RI，判断是否符合 CR≤0.10（见图 3 中的第 55-58 行）。本例中在图3的 I57、I58 单元格出现相同的随机一致性比例 CR 值，而 I57“=G57/H57”，I58 “=SUMPRODUCT(B51:E51,B58:E58)”，表明两种计算可以得到同样的结果。（6）根据需要进行调整
对于层次单排序结果和层次总排序结果，只要符合满意一致性即随机一致性比例 CR≤ 0.10 就可以结束计算并认同排序结果，否则就要返回调整不符合满意一致性的判断矩阵。在层次分析法 Excel 算法中，返回调整只需要改动判断矩阵，即只要动 a 步骤就可以了，a 步骤动则上述（1）-（6）步骤全盘皆动，新的计算结果立即出现，新的一致性检验也同步进行。在本例中方案层对于经济效益准则的层次单排序的 CR=0.17181＞0.10，方案层对于技术要求准则的层次单排序的 CR=0.13169＞0.10，以及层次总排序的 CR=0.1186979＞0.10，均不符合满意一致性（图
2、图 3 中不符合满意一致性的单元格 K23、K47、I57 和 I58 有意加了颜色表示），故需要调整。由于运算过程已经紧密扣接，故调整成为轻而易举的事，比如当把方案层对于经济效益准则的判断矩阵中的 B22、C22单元格数值分别改为 6、9，就会发现不仅 K23 单元格的 CR 值变成了0.00894，而且 B57 单元格的层次总排序 CR 值也随之变成了 0.0401851，排序数值也因之发生变动，3 种树种的排序由“0.2746、0.2534、0.472” 变成了“0.2678、0.2339、0.4984”。此时的层次总排序已经符合满意一致性，但仍存在瑕疵，因为方案层对于技术要求准则的层次单排序的 CR=0.13169＞0.10，还是不符合满意一致性 的，于是可以再行调整，亦是一步到位，当把方案层对于技术要求准则的判断矩阵中的 B46、C46 单元格数值改为 1/
3、1/4，就会发现 K47 单元格的 CR值变成了 0.01777，树种总排序结果变成了“0.2566、0.2395、0.5039”，层次总排序的 CR值变成了 0.0193216，至此无论单排序还是总排序均符合满意一致性，排序结果即可认同（关于调整后的计算表与图
2、图 3 只有少许差别，故略）。层次分析法 Excel 算法的优势总结
3.1 应用条件易得层次分析法 Excel 算法以广泛使用的办公软件 Excel 作为运算平台，普通电脑都可安装，寻常人士多会使用，无需掌握深奥的计算机专业知识和术语，有很好的推广应用基础。
3.2 计算结果精确层次分析法 Excel算法的所有计算结果和数据均保留最高位数的精确度，可以不在任何 环节进行四舍五入，当然也可以根据需要设置小数位，从而最大限度地减少了误差。
3.3 计算过程简捷 层次分析法 Excel 算法的计算步骤设计成环环相扣、步步跟踪，步骤设计完毕后，只有判断矩阵的一半（本文选的是矩阵左下角，用右上角结果完全一样）可以按需要填充或变更，其余数据和结果均可以在填充或变更判断矩阵之后立即得出，使得整个运算过程简捷、轻松。另外，相似的矩阵区和计算区可以通过复制完成，只需改动少量单元格。
3.4 一致性检验方便 层次分析法 Excel 算法将一致性检验也同时计算出来，决策者和判断者可以即时知道自己的判断是否具有满意的一致性并可以随时和简单地进行调整直到符合满意一致性。
3.5 矩阵调整简单 如果一致性指标不能令人满意，用本方法可以比较容易地实现对判断矩阵的调整，可以实现对判断的“微调”，使得逼近最大程度的“满意一致性”甚至“完全一致性”而又不必进行繁重运算成为可能。这也许是本方法最具实用价值的一点好处，笔者曾经搜看许多关于层次分析法应用的文章，发现一个有意思的现象，即绝大部分文章所举的层次分析法应用例子的排序结果都符合随机一致性比率 CR ≤ 0.10 的要求，难道文章作者和决策者们都这么幸运，一次构造判断矩阵一次计算就得到满意的排序结果，因此都无需调整判断矩阵？这是可以存疑的，根据笔者学习和运用层次分析法的经验，构造 2 阶判断矩阵自然不会有不一致的问题，如果构造 3 阶、4 阶判断矩阵就要略费思量，如果要构造更高阶的判断矩阵就需大费周折。多阶矩阵意味着计算过程更加复杂，如果遇到一致性不达标，要从判断矩阵开始调整，等于是重做一遍又一遍并且难以保证精确性，将是十分浩繁的工程。由此可以推测，现有文献中关于层次分析法的应用大多是回避了调整判断矩阵的问题，本方法的采用对于解决 此问题能提供一定帮助。
3.6 为进一步探讨提供可能 关于判断矩阵的构造和调整以及层次分析法的改进引起许多学者的讨论，但是层次分析 法的传统算法由于不便进行反复运算和检验，往前跨越殊为不易，如果运用 Excel 算法，层 次分析法的改进探讨和现实应用就可能变得轻松易行。笔者通过文章分析，发现判断矩阵的标度方式和层次分析法应用的可靠性可能经不起推敲，将另行著文进行推导和验证，正是得益于层次分析法 Excel 算法的简便和快捷。
第二篇：matlab计算AHP层次分析法
用matlab解决层次分析法AHP
1、求矩阵最大特征值及特征向量 用matlab求：
输入：A=[1 1/2 2 1/4;2 1 1 1/3;1/2 1 1 1/3;4 3 3 1]
[x,y]=eig(A)得出：特征向量x=[0.2688 0.3334 0.2373 0.8720]
最大特征值λmax=4.1964
2、一致性检验
CI=（λmax-n）/(n-1)=(4.1964-4)/(4-1)=0.0655 CR=CI/RI=0.0655/0.9=0.0727
(注：维数为4时，RI=0.9)CR=0.0727<0.1,矩阵一致性通过检验
3、对最大特征值进行归一化处理，即可得到各指标权重（归一化：分项/分项之和）W=[0.157 0.195 0.139 0.510]
第三篇：AHP层次分析法
层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP），也称层级分析法
什么是层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。
3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。
4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
层次分析法的优点
运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用 经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。
建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例2〕 选拔干部模型
对三个干部候选人y1、y2、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y1、y2、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型 构造成对比较矩阵
比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则成对比较矩阵。
成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。
称为aij在 1-9 及其倒数中间取值。
aij = 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；
aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
aij = 7，元素 i 比元素 j 重要得多；
aij = 9，元素 i 比元素 j 的极其重要；
aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于
aij = 2n − 1与
aij = 2n + 1之间；
，n=1,2,...,9，当且仅当aji = n。
成对比较矩阵的特点：。（备注：当i=j时候，aij = 1）
对例 2，选拔干部考虑5个条件：品德龄
x1，才能x2，资历x3，年x4，群众关系x5。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
a14 = 5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
作一致性检验
从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有
aijajk = aik。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：
计算衡量一个成对比矩阵 A（n>1 阶方阵）不一致程度的指标
CI：
其中λmax是矩阵 A 的最大特征值。注解
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准
RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。
按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：。
判断方法如下： 当
CR<0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
例如对例 2 的矩阵
计算得到,查得RI=1.12。
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U =(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。
求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），Y为成对比较阵 的特征值，D 的列为相应特征向量。
在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值λmaxZ(A)和相应特征向量的近似值。
定义
，可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
计算
可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。
层次总排序及决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人y = y1,y2,y3分别比较他们的品德(x1)，才能(x2)，资历(x3)，年龄(x4)，群众关系(x5)。
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，B1的权向量
ωx1(Y)=(0.082,0.244,0.674)z
故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。
类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
通过计算知，相应的权向量为
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。
最后计算各候选人的总得分。y1的总得分
从计算公式可知，y1的总得分ω(y1)实际上是y1各条件得分ωx1(y1),ωx2(y1),...,ωx5(y1),的加权平均, 权就是各条件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分为
ωz(y2)= 0.243,ωz(y3)= 0.452
比较后可得：候选人y3是第一干部人选。
层次分析法的用途举例
例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接拿电冰箱整体进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型号、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。
层次分析法应用的程序
运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤：
1、建立系统的递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。
5、进行一致性检验。
应用层次分析法的注意事项
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
层次分析法应用实例
1、建立递阶层次结构；
2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）
对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。
3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
（1）几何平均法（根法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；
计算mi的n次方根；
对向量进行归一化处理；
该向量即为所求权重向量。
（2）规范列平均法（和法）
计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；
将A的各行元素的和进行归一化；
该向量即为所求权重向量。计算矩阵A的最大特征值?max
对于任意的i=1,2,…,n, 式中为向量AW的第i个元素
（4）一致性检验
构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。为了计算各要素对上一层指标的影响权重（如内容的准确性对内容质量的影响程度有多高，需要计算出该权重，而完整性、准确性和及时性3个指标对内容质量的影响权重的和为1，其它各指标也同样满足该原则），需要构建对比矩阵，即从模型的第二层开始运用9标度对从属于上一层中每个要素的同层各要素间进行两两比较，如模型中的要素i相对于要素j对上层要素的重要程度，1表示i与j同等重要，3表示i比j略重要，5表示i比j重要，7表示i比j重要很多，9表示i比j极其重要，可以用Wi/Wj表示该重要程度，两两比较后可以得到以下矩阵：
因为上面的矩阵是通过两两比较的结果列出来的，所有对于整个矩阵而言不一定是完全一致的，所以首先需要验证该对比矩阵的一致性。可以通过计算矩阵的最大特征值的方法来衡量矩阵的一致性，相关的指标有一致性指标CI，随机一致性指标RI，一致性比率CR=CI/RI（具体的计算方法不详细介绍了，可以参考相关资料）。一般当CR<0.1时，我们认为该对比矩阵的一致性是可以被接受的。
如果矩阵的一致性满足要求，则可以根据矩阵的最大特征值进一步计算得到对应的特征向量，并通过对特征向量进行标准化（使特征向量中各分量的和为1）将其转化为权向量，也就是我们要求的结果，权向量中的各分量反映了各要素对其相应的上层要素的影响权重。如：
网站质量=内容质量*0.6+交互友好*0.4 内容质量=完整性*0.3+准确性*0.4+及时性*0.3 交互友好=交互流程*0.7+信息架构*0.3 在计算得到各要素相对于上层要素的权重之后，我们就可以通过加权平均的方法将最底层指标的测量结果汇总到目标指标的最总分值，用于评价各决策方案的优劣性，并选择最优方案。如：
网站质量=（完整性*0.3+准确性*0.4+及时性*0.3）*0.6+（交互流程*0.7+信息架构*0.3）*0.4
第四篇：浅谈对层次分析法(AHP)的认识
浅谈对层次分析法（AHP）的认识
层次分析法的简介及学习体会
层次分析法（AHP）就是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
短学期里，在有限的几节课上，老师给我们介绍了层次分析法的背景、基本步骤、应用与解法等。现在，我将在本文中浅谈一下自己上完课后对层次分析法的认识理解，阐述层次分析法的基本步骤，并举出一个使用层次分析法的案例，最后对层次分析法的优缺点进行评估。
层次分析模型是数学建模中常用的模型。在现实世界中，无论是日常工作还是生活，涉及经济社会等因素，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题、选择升学志愿的问题、对企业进行评估的实例等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联 因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
层次分析法的基本步骤 1.建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
如在老师教案中的例子——选择旅游地中，将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
2.构造成对比较阵
用成对比较法和1-9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3.计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4.计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
层次分析法的案例分析——AHP 建模实例
层次分析法的优缺点 优点：
（1)AHP 把研究对象作为一个系统, 按照分解、比较判断和综合的思维方式进行决策, 是 系统分析的重要工具。
（2)AHP 把定性和定量方法相结合, 能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问 题, 应用范围很广.并且这种方法将决策者与决策分析者相互沟通, 决策者甚至也可以直接运用它, 因此增加了决策的有效性。
（3)AHP 的基本原理、步骤及计算非常简便, 结果简单明确, 易于被决策者了解和掌握。
局限：
AHP 从建立层次结构模型到构造两两比较判断矩阵, 人的主观因素的作用较大, 采取 专家群体判断的办法是克服这一局限性的有效途径。然而，只要对系统的分析及问题的因素了解得愈透彻, 愈能得到合理的判断和正确的排序结果。
参 考 文 献
[1] 姜启源.1995 年全国大学生数学建模竞赛.数学的实践与认识, 1996, 26(1): 1～ 3
第五篇：用电子表格自动计算教案
用电子表格自动计算
一、教学目标
1、理解公式与函数的作用
2、能正确掌握公式的书写规则与含义
3、理解单元格引用的含义，列举单元格引用的应用
4、能使用自动求和、求最大值、最小值、求名次等函数。
5、能熟练使用复制公式和复制工作表操作
二、教学重难点
（一）重点
1、公式的设计和运用以及excel中公式的书写规则；
2、函数的作用，常用函数的使用方法；
（二）难点
1、函数的含义和参数格式；
2、分析复制公式的过程中产生的错误。
三、教学流程设计
导入：同学们都来当一次校园小歌手的统分员，看谁统计的分数又快又准。按照规则，选手的实际得分必须去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分。用公式的方法可以写为：选手实际得分=（总分-最高分-最低分）/3，求选手实际得分转换为求总分、最高分、最低分。
（一）出示课题，揭示教学目标
（二）自学指导（时间：15分钟）
阅读课本12-18页，思考以下问题：
统计“总分”有多少种方法？你认为哪种方法最好？
什么情况下可以利用“填充柄”的自动填充功能快速复制公式？ 如何统计最高分、最低分？
Excel中“单元格区域引用”是怎样表示的？
函数与公式如何区别？ 是否有统计“选手实际得分”的函数？
如何统计名次？自动填充时使用相对的“单元格区域引用”会导致什么结果？该如何修改？
（三）学生自学，自主探究
教师进行巡视，把握学生容易出现错误的地方，并对个别学习有困难的学生进行指导。
（四）学生演示，教师疑难解答，难点突破
1、总分如何统计？（单元格名称相加，如果数据项很多，可用什么简便的方法？）
2、用填充柄来填充公式必须满足以下要求：公式的计算方法相同，如果是列填充，必须引用单元格的列不变，只是行改变。
3、函数内参数的格式：多个参数用逗号隔开，如果是单元格区域的引用，则用冒号。
4、“名次”的函数带两个参数，明确参数的含义。复制公式中绝对引用的含义。
（五）当堂作业
完成“校园小歌手”选拔赛评分表。
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