案例圆锥体积公式的推导

第一篇：案例圆锥体积公式的推导

在探索圆锥体积的计算公式时，教师直接告诉学生要比较等底等高的圆柱与圆锥，这是学生的内心需求和迫切需要吗，如果不是，学生难免会问：为什么要用圆柱与圆锥进行实验对比？ 对策：课始，教师先让学生回忆平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式以及圆柱体积公式的推导过程，梳理知识，形成脉络：

引导学生：对未知平面图形面积的计算，一般是把它转化成已知平面图形面积的计算，再推导出计算公式；对未知圆柱体积的计算，也是把它转化成已知长方体体积的计算，再推导出计算公式。从而渗透转化的数学思想方法，使学生自觉产生“能否把未知圆锥体积的计算转化成已知圆柱体积的计算”这一想法。有了以上的知识准备和认知需求，再引导学生分组进行下面的实验。

[实验一] 实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、水(沙子或橡皮泥)。

实验过程：把圆锥形容器装满水，然后倒入圆柱形容器，三次恰好倒满。

实验结果：圆柱形容器的容积等于和它等底等高的圆锥形容器容积的3倍，或圆锥形容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的，从而推导出圆锥体积计算公式。

[实验二] 实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、沙子、天平。

实验过程：把两种容器都装满沙子，然后在天平上分别称出所装沙子的质量，两种容器容纳的沙子质量恰好成3倍关系。

实验结果：根据同密度物体的体积与质量成正比例，可以得出圆锥形容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的。

教学圆锥体积的计算方法时，一般教师用来演示的教具都是空心的容器，实验对比的结果是它们的容积，难道用实心圆柱和圆锥就不能进行实验了吗，笔者进行的实验和调研测试如下：

[实验三] 实验目的：通过实验，找出等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系。

实验器材：能够沉入水中的等底等高的实心圆柱和圆锥、长方体玻璃缸容器、水。

实验步骤：1.在容器中加入适量的水，测量并记录水位高度。2.把圆柱放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆柱的体积。3.取出圆柱，把圆锥放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆锥的体积。

第二篇：圆锥体积公式的推导

圆锥体积公式的推导

（定积分）

圆锥体积公式在小学的推导法是实验法，现在在这里介绍高等几何的定积分法。

首先，设圆锥的底面半径为r，高为h。如图1：

图1 定义空间直角坐标系，以圆锥底面圆心为坐标原点，线段r（半径）在x轴上，线段h（高）在z轴上。

把圆锥分割成小圆台，切面平行于平面xOy。可据此列出体积V的公式：

因此可得一个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，与实验法吻合。

dawny 2010-01-07

第三篇：圆柱体积公式的推导

圆柱体积公式的推导（教学设计）三亚市第三小学

王明程 教学目标

1、引导学生通过观察、猜想、验证等数学活动理解圆柱体积计算公式的形成过程并能运用其解决简单的问题。

2、感受转化的数学思想对解决数学问题的策略。

3、培养学生的语言表达能力及归纳、总结的习惯与能力。教学重点

掌握圆柱体积的计算公式，并能运用它解决简单的相关问题。教学难点

能利用转化的数学思想验证经过观察作出的圆柱体积计算公式的猜想。教学过程

活动1：温旧导入，初步感知转化思想。

出示装满沙子的圆柱体并提问：谁能计算出这些沙子的体积吗？如果老师把圆柱体中的沙子倒入旁边的这个长方体容器中，可以计算出沙子的体积了吗？为什么呢？从而导出：长方体体积=长X宽X高=底面积X高。如果这是一堆很大很高的圆柱体沙子，我们还能这么做吗？有什么方法可以直接计算出它的体积吗？我们这节课就一起来探讨这个问题。（板书课题：圆柱体积的计算）

活动2：观察、对比、发现归纳。

课件出示一组（4个）等高不等底的圆柱体。

要求：认真观察并说出您的发现（根据学生的实际表现情况可提示：什么是一样的？什么是不一样的？说明了什么呢？）期待值：高相等的情况下，圆柱的底面积越大，它的体积就越大。说明了：圆柱的体积与它的底面积的大小有关。

课件再显示一组（4个）等底不等高的圆柱体。要求：认真观察并说出您的发现

期待值：底面积相等的情况下，圆柱的高越大，它的体积就越大。说明了：圆柱的体积与它的高有关。

课中小结

圆柱的体积与它的底面积有关，也与它的高有关；圆柱体积的大小是由它的底面积与高共同决定的。

活动3：猜想、验证

1、猜想圆柱体积计算方法的可能形式，并说说为什么这么去猜想。

2、同桌之间或前后左右的同学之间相互讨论用什么方法来验证自己的猜想是否正确。

3、动手操作与验证演示

提供学生验证方法所需的学具，让学生动手操作，并就正确操作进行演示与评价。

4、归纳总结

归纳总结圆柱体积的计算公式并板书 活动4 实践巩固

1、课件出示有关圆柱体积公式计算的判断题。

2、课件显示已知底面积与高、已知半径与高和已知直径与高的3类习题 学生独立完成、展示与评价 活动5 全课总结与作业布置

作业内容类型要求：基础应用型与拓展型习题相结合

第四篇：圆柱的体积公式推导

圆柱的体积公式推导

教学内容：

西师版六年级下册数学教科书第27、28页的内容。

教学目标：

一．知识与技能

1、让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，渗透数学思想，体验数学研究的方法。

2、能够运用公式正确地计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。

3、初步体验转换的数学思想和方法，并进一步发展其空间观念。

4、通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。二．过程与方法

教学时，充分利用教具、学具，引导学生观察、操作和交流探索新知。三．情感、态度与价值观

体会类比、转化等思想，初步发展推理能力和极限思想。

教学重点：掌握圆柱体积计算公式的推导及熟练运用公式解决实际问题。教学难点：圆柱体积计算公式的推导过程。教学准备： 教具：圆柱教具。

学具：圆柱学具，数学课本。

教学过程：

一、复习引入，质疑问难 1．复习

教师出示圆柱教具（学生拿出自制的圆柱），让同学们回忆圆柱面的组成（两个底面一个侧面），在上一节我们把圆柱的侧面展开得出一个长方形（特殊时正方形），利用长方形的面积推出了圆柱的侧面积公式，请同学说一下其内容。（圆柱的高的含义，圆的面积，圆的周长，圆柱的表面积）

我们学习圆柱，除了学习这些之外，还需要学习另外一个重要的量——圆柱的体积。能用你自己的话说说，什么是圆柱的体积？（圆柱的体积就是圆柱所占空间的大小）

在我们生活中随处可以看到圆柱形的物体，有的大，有的小。课件出示圆柱形物体图片，引导学生注意圆柱形物体所占空间的大小(即体积)，为了说明圆柱形物体体积的大小，我们就需要计算圆柱体体积是多少，这就是我们这一节所要探讨的内容。

板书课题：圆柱的体积。2.复习长方体、正方体的体积

物体所占空间的大小就是物体的体积，我们学习了哪些立体图形的体积？（长方体和正方体。）它们的体积是怎么求的呢？

学生：长方体=长×宽×高，正方体=棱长×棱长×棱长。（出示课件长方体、正方体，让学生回顾它们的体积公式。总结长方体、正方体的体积都可以用底面积乘高去计算。）

如果用V表示体积，s表示底面积，h表示高。那么 V=sh 3.猜一猜 议一议

我们学习了长方体、正方体体积，那圆柱的体积该怎样计算呢？

请同学们分组讨论，你们有什么方法计算圆柱的体积。

（用水或沙子转化计算，用橡皮泥转化计算，用圆形纸片叠加计算……）能不能把圆柱转化为我们学过的立体图形来计算体积呢？ 圆柱的体积是不是也可以用底面积乘高去计算呢？（留下悬念）

二、图形转化，猜想推理

1、同学们，我们已经知道圆的面积公式，请大家回忆圆的面积计算公式是怎样推导出来的？（生回答）

出示课件演示圆的面积公式推导过程。

2、既然我们运用转化的数学方法求出了圆的面积，那对于圆柱的体积，能不能也利用这种转化的思想？你们想到什么？

引导学生体会：我们虽然不会计算圆柱的体积，但我们会计算长方体的体积，如果能将圆柱转化成长方体就好办了。

3、思考：怎样才能把圆柱转化成长方体呢？

引导学生思考：我们可以沿着圆柱的底面直径把圆柱的底面平均分成若干个扇形，再沿圆柱的高切开，然后拼成一个近似的长方体。

活动：学生操作学具(如有)，进行拼组。

4、课件演示拼组的过程。（提醒学生认真观察）

上面近似的长方体是把圆柱平分成若干份拼成的，如果将圆柱等分成更多的份数，你会有什么发现？（引导学生体会圆柱底面等分的份数越多，拼组成的立体图形就越接近于长方体，体会无限逼近的数学极限思想。）

5、学生根据以下问题进行讨论。

（1）圆柱拼成近似的长方体后，两者形状变了吗?体积发生变化了吗？（2）圆柱拼成近似的长方体后，两者底面积与高发生变化了吗？

讨论后学生汇报：

（拼成的近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高就是圆柱的高，因此要求圆柱的体积就只要求切拼后的近似长方体的体积就可以了。）

6、课件演示

长方体的体积=底面积×高，圆柱的高等于拼好的长方体的高，圆柱的底面积等于拼好的长方体的底面积。由此推导出圆柱的体积=底面积×高。

如果用S表示底面积，h表示高，那么圆柱体积公式怎样表示？

板书：V=Sh

7、课件出示，以填空的方式巩固回忆圆柱体积公式推导过程。

三、运用新知，解决问题

课件出示练习题

四、全课小结

老师根据学生发言，对本节课的知识进行总结，学生说得不够全面教师补充：

五、作业布置

课本29页练习八。板书设计：

圆柱的体积公式推导 长/正方体体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高

第五篇：《长方体正方体体积公式推导》教学设计

《长方体正方体体积公式推导》教学设计

《长方体正方体体积公式推导》教学设计

瞿靖中心小学

朱

鹏

教学目标：

１、使学生理解长方体和正方体体积公式的推导，能运用公式进行计算。

２、培养学生空间和空间想象能力。教学重点：长正方体体积公式的推导。教学难点：运用公式计算。

教学用具：课件

１立方厘米学具。教学过程：

一、课件出示复习题：

１、什么叫物体的体积？

２、常用的体积单位有哪些？

３、下面的物体是用1立方厘米的正方体摆成的，它们的体积各是多少立方厘米？

二、导入新课：

１、导入：

我们知道了每个物体都有一定的体积，我们也知道可以利用数体积单位的方法计算物体的体积。

要知道老师手中的这个长方体和正方体的体积？你有什么办法？（用将它切成1立方厘米（1立方分米）的小正方体后数一数的方法。）

说明：用拼或切的方法看它有多少个体积单位。但是在实际生活中，有许多物体是切不开或不能切的，如：冰箱，电视机等，怎样计算它的体积呢？他们的体积会和什么有关系呢？这节课我们就来研究长方体和正方体的体积。（板书课题）

２、新课：

（！）、请同学们任意取出几个１立方厘米的正方体在小组里合作摆出一个长方体，边摆边想：你们是怎么摆的？你们摆出的长方体体积是多少？

（２）、板书学生的：（设想举例）体积

每排个数排数

排数

层数 ４

４

１

１ ８

４

２

１ ２４

４

３

２

（３）、观察：每排个数、排数、层数与体积有什么关系？ 板书：体积＝每排个数排数排数×层数 每排个数、排数、层数相当于长方体的什么？

因为每一个小正方体的棱长是１厘米，所以，每排摆几个小正方体，长正好是几厘米；摆几排，宽正好是几厘米；摆几层，高也正好是几厘米。(4)课件演示

（5）如何计算长方体的体积？

板书：长方体体积＝长×宽×高

字母公式：Ｖ＝ａｂｈ

三、巩固练习：

１、一个长方体，长7厘米，宽4厘米，高3厘米，它的面积是多少？

２、导出正方体体积公式：

根据长方体和正方体的关系，你能想出正方体的体积怎样计算吗？

正方体体积＝棱长×棱长×棱长 Ｖ＝ａａａ＝ａ3 读作ａ的立方

3、一块正方体的石料，棱长是6分米，这块石料的体积是多少立方分米？

请同学们摆一个体积是２４立方厘米的长方体，摆后说一说长、宽、高各是几厘米？

长方体体积＝长×宽×高

提问：长方体的长、宽、高不同，体积相同这是为什么？

四、小结：这节课学会了什么？

五、作业：