二项分布的期望和方差的详细证明

第一篇：二项分布的期望和方差的详细证明

二项分布的期望的方差的证明

山西大学附属中学韩永权

离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk，（k0,1,2n q1p）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.kk1证明如下：预备公式：kcnncn1

00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1p

kkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq

00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10=np(cnpqcpqcpq...cpq...cq)1n1n1n1n1p

=np(pq)n1np

所以Enp

方法二：

证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

若设Xi1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n

则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq

所以E(Xi)0q1pp，则E(X)E[Xi]E(Xi)np

i1i1nn

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。求证：服从二项分布的随机变量的方差公式Dnpq(q1p)

1k2预备公式：k2CnknCnk1n(n1)Cn2

kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11

k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2

22方法一：证明：DE(E)

iiniEi2Cnpq 2

i0

nnn

Cpq1

nn1nC

i2

ni1n1pqinii2inin(n1)Cn 2pqi2

npqn1npC

i1i1n1pqi1ninpCq0n1n1n(n1)p2Ci2ni2n2pi2qni

npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2

npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2

22由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知，DE(E)

npqn2p2(np)2np(1p)

方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设Xi

n1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n 则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp，i1

故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)，i1,2，n 由于1,2,...,n相互独立，于是

nD()D(i)np(1p)i1

第二篇：二项分布的期望与方差的证明

二项分布的期望与方差的证明

二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。

如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。

现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。

首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……

第三篇：样本方差证明

一弛，你好！

样本方差有2种表达方式：

S2

n1n(Xi)2-----（1）ni1

1n

Sn1(Xi)2-----（2）n1i12

从理论上说这2种定义都是可行的，现实生活中更经常使用方程（2），是因为方程（2）是总体方差真实值2的无偏估计量，而（1）是有偏估计量。无偏性在应用中非常重要，估计量只有无偏才能保证在样本数目足够大时无限趋近于真实值，估计才有意义。证明方程（2）的无偏性如下，思路是对估计量求期望，看是否等于总体方差：

n1E(Sn1)E[(Xi)2]n1i1

n1E{[(Xi)()]2}n1i1

nn12E{[(Xi)2(Xi)()n()2}n1i1i12

n1{E(Xi)22nE()2nE()2}n1i1

n1{E(Xi)2nE()2}n1i1

212{nn()}n1n

2

证毕。

如果有问题，可随时联系我。

祝好！

陈谢晟

第四篇：方差和标准差

4.4

方差和标准差

〖教学目标〗

◆1、了解方差、标准差的概念.◆2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度．

◆3、能用样本的方差来估计总体的方差．

◆4、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。.◆教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点.〖教学过程〗

一、创设情景，提出问题

甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中环数

乙命中环数

①请分别

算出甲、乙两名射击手的平均成绩；

②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图；

二、合作交流，感知问题

请根据统计图，思考问题：

①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比拟，哪一个偏离程度较低？

②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？

③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？

④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？

⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比拟两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比拟？

三、概括总结，得出概念

1、根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的根底上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。

2、方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念。

〔注意：在比拟两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器〕

3、现要挑选一名射击手参加比赛，你认为挑选哪一位比拟适宜？为什么？

〔这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论〕

四、应用概念，稳固新知

1、某样本的方差是4，那么这个样本的标准差是。

2、一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，那么这个样本的标准差是。

3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击成绩比拟稳定，那么方差的大小关系是S2甲

S2乙

4、一个样本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么这个样本的平均数是，样本的容量是。

５、八年级〔５〕班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下〔单位：分〕

黎明：　652

653

654

652

654

张军：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？〔解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论〕

五、稳固练习，反应信息

１、课本“课内练习〞第１题和第２题。

２、课本“作业题〞第３题。

3、甲、乙两人在相同条件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成绩情况如下图．

（1

〕请填写下表：

（2)请你就以下四个不同的角度对这次测试结果进行分析：

①

从平均数和方差相结．合看，谁的成绩较好？

②

从平均数和命中

环以上的次数相结合看，谁的成绩较好？

③

从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？

六、通过探究，找出规律

两组数据1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求这两组数据的平均数、方差和标准差。

2、将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数，观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？

3、假设两组数据为1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能发现哪些有趣的结论？

4、用你发现的结论来解决以下的问题：

数据X1，X２，X３，…Xn的平均数为a，方差为b，标准差为c。那么

①

数据X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均数为，方差为，标准差为。

②

数据X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均数为，方差为，标准差为。

③

数据４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均数为，方差为，标准差为。

④

数据２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均数为，方差为，标准差为。

七、小结回忆，反思提高

１、这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

２、标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。

３、利用方差比拟数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论。

八、分层作业，延伸拓展

１、必做题：作业本底页。

２、选做题：

在某旅游景区上山的一条小路上有一些断断续续的台阶，如以下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图〔图中的数字表示每一级台阶的高度〕．请你用所学过的统计量〔平均数、中位数、方差等〕进行分析，答复以下问题：

（1

〕两段台阶路每级台阶的高度有哪些相同点和不同点？

（2

〕哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

（3

〕为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

第五篇：n次方差的证明

n次方差公式的证明方法

n次方差公式：

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)，nN

证法一：

anbnanan1ban1ban2b2an2b2.....abn1bn

an1(ab)an2b(ab).....bn1(ab)(ab)(a

证法二： n1an2b.....bn1)

b设等比数列an的通项公式为an，则其前n项和为：

a

nbnbb1b123n1nabbbaab(anbn)bb......nbaaaaba(ab)aa1a23n1n na(ab)bbbbb故：anbn......baaaaan (ab)an1an2ban3b2......abn2bn1