如何理解方差和标准差的意义（大全）

第一篇：如何理解方差和标准差的意义（大全）

如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为:D(X)E(X-E(X))2 ,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

1.随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。

2.方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数(X-E(X))的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 2（1）若X为离散型，则有（2.3）（2）若X为连续型，则有（2.4）

3.在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))2来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。4.若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1P(XE(X))1D(X)D(X)D(X)2或2。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用2切比雪夫不等式估计概率。它的应用有以下几个方面：

（1）已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。

（2）已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。（3）对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。（4）它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定0的值，最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:

（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量 X和Y之间的什么关系？（1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有|XY|达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，|XY|不仅不必为1，还可以为0.（2）如果0|XY|1，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”

2.相关系数XY刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.3.|XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;4.|XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.5.当|XY|1时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.6.当XY0时, Y与X之间不是线性关系.7.上面谈到的“线性相关”的意义还可以从最小二乘法的角度解释：（p95）

2设eE[Y(aXb)],称为用aXb来近似Y的均方误差,则有下列结论.设D(X)0,D(Y)0, 则a0小.cov(X,Y)D(X),b0E(Y)a0E(X)使均方误差达到最注: 我们可用均方误差e来衡量以aXb近似表示Y的好坏程度, e值越小表示aXb2与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为a0Xb.而其余均方误差eD(Y)(1XY).从这个侧面也能说明.|XY|越接近1, e越小.反之, |XY|越近于0, e就越大.Y与X的线性相关性越小.8.由于相关系数只能刻画随机变量线性关系的程度，而不能刻画一般的函数相依关系的程度。在概率论中还引进了另外 相关性指标，以补救这个缺点。但是，这些指标都未能在应用中推开。究其原因，除了这些指标在性质上比较复杂外，还有一个重要原因：在统计学应用上，最重要的而为分布是二维正态分布。而对二维正态分布而言，相关系数是X和Y的相关性的完美的刻画，没有上面指出的缺点。

第二篇：方差和标准差

4.4

方差和标准差

〖教学目标〗

◆1、了解方差、标准差的概念.◆2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度．

◆3、能用样本的方差来估计总体的方差．

◆4、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。.◆教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点.〖教学过程〗

一、创设情景，提出问题

甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中环数

乙命中环数

①请分别

算出甲、乙两名射击手的平均成绩；

②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图；

二、合作交流，感知问题

请根据统计图，思考问题：

①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比拟，哪一个偏离程度较低？

②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？

③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？

④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？

⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比拟两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比拟？

三、概括总结，得出概念

1、根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的根底上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。

2、方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念。

〔注意：在比拟两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器〕

3、现要挑选一名射击手参加比赛，你认为挑选哪一位比拟适宜？为什么？

〔这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论〕

四、应用概念，稳固新知

1、某样本的方差是4，那么这个样本的标准差是。

2、一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，那么这个样本的标准差是。

3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击成绩比拟稳定，那么方差的大小关系是S2甲

S2乙

4、一个样本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么这个样本的平均数是，样本的容量是。

５、八年级〔５〕班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下〔单位：分〕

黎明：　652

653

654

652

654

张军：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？〔解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论〕

五、稳固练习，反应信息

１、课本“课内练习〞第１题和第２题。

２、课本“作业题〞第３题。

3、甲、乙两人在相同条件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成绩情况如下图．

（1

〕请填写下表：

（2)请你就以下四个不同的角度对这次测试结果进行分析：

①

从平均数和方差相结．合看，谁的成绩较好？

②

从平均数和命中

环以上的次数相结合看，谁的成绩较好？

③

从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？

六、通过探究，找出规律

两组数据1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求这两组数据的平均数、方差和标准差。

2、将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数，观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？

3、假设两组数据为1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能发现哪些有趣的结论？

4、用你发现的结论来解决以下的问题：

数据X1，X２，X３，…Xn的平均数为a，方差为b，标准差为c。那么

①

数据X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均数为，方差为，标准差为。

②

数据X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均数为，方差为，标准差为。

③

数据４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均数为，方差为，标准差为。

④

数据２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均数为，方差为，标准差为。

七、小结回忆，反思提高

１、这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

２、标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。

３、利用方差比拟数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论。

八、分层作业，延伸拓展

１、必做题：作业本底页。

２、选做题：

在某旅游景区上山的一条小路上有一些断断续续的台阶，如以下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图〔图中的数字表示每一级台阶的高度〕．请你用所学过的统计量〔平均数、中位数、方差等〕进行分析，答复以下问题：

（1

〕两段台阶路每级台阶的高度有哪些相同点和不同点？

（2

〕哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

（3

〕为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

第三篇：数学：22.2《方差 标准差》同步练习(沪科版八年级下)

22.2方差 标准差 同步练习

1.数据4，5，6，7，8的平均数是___________，方差是_________.２．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a =________，这五个数的方差是________.３．若已知一组数据：x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S，那么 另一组数据：3x1－2，•3x2－2，…，3xn－2的平均数为______，方差为______． ４．已知，一组数据x1,x2,……，xn的平均数是10，方差是2，①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是__________,方差是_________，2

②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是__________,方差是____________，③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是_________,方差是_________.5.选择题：样本方差的作用是（）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小

6．从甲、乙两种棉苗中各抽10株，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）

甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问：①哪种棉花的苗长得高？ ②哪种棉花的苗长得整齐？

7.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下（单位：分）：

甲组：769084868***

乙组：***97974

哪个小组学生的成绩比较稳定？

第四篇：样本方差证明

一弛，你好！

样本方差有2种表达方式：

S2

n1n(Xi)2-----（1）ni1

1n

Sn1(Xi)2-----（2）n1i12

从理论上说这2种定义都是可行的，现实生活中更经常使用方程（2），是因为方程（2）是总体方差真实值2的无偏估计量，而（1）是有偏估计量。无偏性在应用中非常重要，估计量只有无偏才能保证在样本数目足够大时无限趋近于真实值，估计才有意义。证明方程（2）的无偏性如下，思路是对估计量求期望，看是否等于总体方差：

n1E(Sn1)E[(Xi)2]n1i1

n1E{[(Xi)()]2}n1i1

nn12E{[(Xi)2(Xi)()n()2}n1i1i12

n1{E(Xi)22nE()2nE()2}n1i1

n1{E(Xi)2nE()2}n1i1

212{nn()}n1n

2

证毕。

如果有问题，可随时联系我。

祝好！

陈谢晟

第五篇：方差 教案设计

方差 教案设计

教学设计示例1 第一课时 素质教育目标(一)知识教学点

使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.(二)能力训练点 1.培养学生的计算能力.2.培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.(三)德育渗透点

1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.(四)美育渗透点

通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，岣哐???STRONG数学美的鉴赏力.重点难点疑点及解决办法 1.教学重点：方差概念.2.教学难点 ：方差概念.3.教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据

第 1 页 的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢?为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢?对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.4.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.教学步骤(一)明确目标

前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本(或一组数据)和总体的另一类特征数方差、标准差及其计算.这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.(二)整体感知

对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.(三)教学过程

1.请同学们看下面的问题：(用幻灯出示)

第 2 页 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，记录

教师引导学生做出表格，观察表里的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢? 对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数.教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板计算)计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米.这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗?不能!我们再观察上图(给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别)从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近.这 说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准 备.第 3 页 2.方差概念

教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：

设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握.在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差?(教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方?(教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的功能上，方差更强些)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好.教师范解

从 知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10

第 4 页 个零件直径波动要大.这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.3.例1(用幻灯出示)已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差.让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.解：根据公式②(取)，有

从 知道，乙组数据比甲组数据波动大.4.标准差概念

在有些情况下，需要用到方差的算术平方根

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：

计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.课堂练习教材P165中(1)、(2)(四)总结、扩展

知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，第 5 页 有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小;而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.方法小结：求一组数据方差的方法;先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.布置作业

教材P173中1，2(1)(2)板书设计 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 标准差公式④ 教学设计示例2

一、教学目的

1.使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.2.使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义.二、教学重点、难点

重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义.难点：样本方差、样本标准差的计算.三、教学过程

第 6 页 复习提问

计算一组数据的平均数有哪些方法? 引入新课

在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小.如何了解数据的波动大小?这正是我们要解决的问题.新课

引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件.为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

表中数据表成如下形式：

可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适).当学生算出如下平均数：

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好?提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近.这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，第 7 页 还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法.本课介绍方差即是一种方法.即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.要强调一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.条件许可时，还可介绍③式可表示为：

接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差.从0.0260.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.(接下来教师再给出如下例题.)例1 已知两组数据： 分别计算这两组数据的方差.讲此例后，要强调求解步骤为：

(1)求平均数;(2)求方差;(3)比较方差得出结论.此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出： 说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.第 8 页 小结

1.本课学了计算一组数据的方差的公式③.2.本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④.练习：选用课本练习题.作业 ：选用课本习题.四、教学注意问题

要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式.教学设计示例3

一、教学目的

1.使学生进一步理解方差、标准差的意义.2.使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法.3.使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.二、教学重点、难点

重点：简化计算一组数据的方差公式.难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.三、教学过程 复习提问

1.什么是一组数据的方差、标准差? 2.一组数据的方差和标准差应如何计算? 引入新课

第 9 页 我们看到，用公式③计算一组数据的方差比较麻烦.那么，有否较简便的计算方法呢? 新课

教师应在黑板上进行如下推导：

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：

在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便.例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教师可让学生共同来完成此例.接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数.为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例.例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：

哪个小组学生的成绩比较整齐?

第 10 页 解后，指出解题步骤有如下三步：(3)代入公式⑥计算方差并比较得解.小结

1.本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤.2.本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥.练习：选用课本练习题.作业 ：选用课本习题.补充作业

2.甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

分别计算这两组数据的平均数与方差.四、教学注意问题

要注意给学生讲如下三点：

1.方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数.2.用简化计算公式求方差较为方便.3.对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大

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