离散型随机变量的方差教案

第一篇：离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差一、三维目标：

1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：

三、教学难点：

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1..数学期望

则称 Ex1p1x2p2„xnpn„为ξ的数学期望，简称期望．2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3.期望的一个性质: E(ab)aEb

5、如果随机变量X服从二项分布，即X ～ B（n,p），则EX=np

（二）、讲解新课：

1、(探究1)某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？111122 X2334101

4321102103104102

(探究2)某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？

s21[(x1x)2(xix)2(x2 n

nx)]

s21

[(12)2(12)2(12)2(12)2(22)2

(22)2(22)2(32)2(32)2(42)2]1

s24(12)23(22)22(32)2110101010(42)22、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X的分布为：

则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,„n)相对于均值EX的偏离程度，而n

DX (x2iEX)pi

i

1为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX叫做随机变量X的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练

求DX和DX解：EX00.110.220.430.240.1

2DX(02)20.1(12)20.2(22)20.4(32)20.2(42)20.11.2

= 40 000;

DX.21.09

5（四）、方差的应用

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。解：EX19,EX29DX10.4,DX20.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。

问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？

问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,DX1 =(1200-1400)2 ×0.4 +(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2 =(1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 +(1800-1400)2×0.2 +(2200-1400)2×0.l

= 160000.因为EX1 =EX2, DX1

（五）、几个常用公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(六）、练习：

1、已知318，且D13,则D

2、已知随机变量X的分布列

求DX和 DX3、若随机变量X满足P（X=c）=1,其中c为常数，求DX。

(七)、小结：

1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义

2、记住几个常见公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(八)、作业：P691、4

第二篇：很好的离散型随机变量（本站推荐）

“离散型随机变量”的教学反思与再设计 杨智平发布时间： 2010-8-4 23:33:52

“离散型随机变量”的教学反思与再设计

一、教学内容解析

概率是研究随机现象的数量规律的．认识随机现象就是指：知道这个随机现象中所有可能出现的结果，以及每一个结果出现的概率．而对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果．在数学上处理时，一个常用的、也很自然的做法就是用数来表示结果，即把随机试验的结果数量化，使得每个结果对应一个数，这样就可以通过实数空间（定量的角度）来刻画随机现象，从而就可以利用数学工具，用数学分析的方法来研究所感兴趣的随机现象．简言之，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，这便是为什么要引入随机变量的缘由.随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上（一种对应关系）是一致的，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．

离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．本节课的重点是认识离散型随机变量的特征，了解其本质属性，体会引入随机变量的作用．

二、教学目标解析

1．在对具体实例的分析中，认识和体会随机变量对刻画随机现象的重要性和建立随机变量概念的必要性，并会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的随机现象，能叙述随机变量可能取的值及其所表示的随机试验的结果；

2．在列举的随机试验中，通过对随机变量取值类型的分辨，归纳和概括离散型随机变量的特征，形成离散型随机变量的概念，并会利用离散型随机变量刻画随机试验的结果；

3．在举例、观察、思考、发现中经历将随机试验结果数量化的过程，渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识．

三、教学问题诊断分析

本节课学生学习的难点是对引入随机变量目的与作用的认识，以及随机变量和普通变量的本质区别．随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化．学生学习这一概念就是把这些“实际使用的”规则、程序、步骤等进一步加以明确．所以，教师的责任就是为学生建立随机变量这个概念修通渠道．可通过学生熟悉的掷骰子的随机试验让学生体会随机变量概念的发生，在师生举例中来体会随机变量概念的发展，特别是诸如抛掷一枚硬币等试验，其结果不具有数量性质，怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果，并且所用的数又尽量简单，便于研究．教学中需多举试验结果本身已具有数值意义的实例，来发挥正迁移作用．通过多举例让学生理解：一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率．

另外，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系，从学习的认知方式看，下位学习依靠的主要是同化，上位学习依靠的主要是顺应，上位学习一般采用的思维方法主要是概括和综合，它主要通过改造（归纳和综合）原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构．因此，从这一角度来分析，学生对随机变量概念的学习和真正理解比离散型随机变量的学习要困难一些．故在随机变量的教学中，要特别重视学生举例，让学生在充分的自主活动中体验数学化的过程，体验将随机试验结果数量化的过程，体会随机变量对刻画随机现象的重要性和研究随机现象的工具性作用，从而来把握随机变量的内核．

四、教学支持条件分析

学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括．

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

（二）教学过程

1.理解随机变量概念

问题1：抛掷一枚骰子，可能出现的结果有哪些？概率分别是多少？ [设计意图] 以学生熟悉的随机试验为例，在复习旧知中孕育新知．

[师生活动] 画表一，指出试验结果分别有“1点的面朝上”、“2点的面朝上”、“3点的面朝上”、“4点的面朝上”、“5点的面朝上”、“6点的面朝上”，它们都是基本事件．为了研究这些事件，常常把它们分别与一个数字对应起来．比如，用数字1与“1点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，用数字2与“2点的面朝上”这个试验结果（样本点）对应，等等．师生共同填写数字，形成表二．

引导学生分析，像这样“用数字表示随机试验的结果”的量用X来表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，说明X是一个变量．

[设计意图] “用数字来表示随机试验的结果”实际上早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”，如射击比赛中会用“环数”去表示射击成绩，掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果，抽奖时会先对奖券“编号”，随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替等等，只是没有明朗化．因而，“用数字来表示随机试验的结果”可以通过教师有启发地提问，有意义地讲授进行，让学生觉得问题的提出，概念的发生、发展过程较为自然，能够从教师的讲授中感受数学是怎样一步步研究现实世界的．

问题2：在这里（指着表二），每一个试验结果用唯一确定的数字与它对应，这个对应关系是什么？

[设计意图]建立一个从试验结果的集合到实数集合的映射．让学生感悟：一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后，认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每一个值时的概率，从而感受把随机试验的结果数字化（成为实数）的必要性，体会引入随机变量的必要性．同时让学生感受概念的从无到有、自然形成的过程．

[师生活动] 启发诱导，引导学生发现在这里建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射．形成下表三：抛掷一枚骰子

让学生观察、思考：刚才，用数字表示试验结果的变量X，它根据什么在变化？让学生发现它的取值随试验结果的变化而变化，它的变化是有规律的，这是个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在试验之前不知道会出现哪个值（即它的取值依赖于试验结果，因此取值具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定）．同时，教师指出：在这个试验中，我们确定了一个对应关系（也即建立了一个试验结果到实数的映射）使得每一个试验结果（样本点）都用一个确定的数字表示（即所有可能取值是明确的）．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母表示．

问题3：随机变量这个概念与我们曾经学过的函数概念有类似的地方吗?

[设计意图]引导学生与曾经学过的函数概念比较，从而加深对随机变量概念的理解．

[师生活动]“类比”函数概念，领悟随机变量和函数概念在本质上都是一种对应关系，都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．随机变量的取值范围我们称为随机变量的值域．如抛掷一枚骰子，随机变量的值域为；

引导学生利用随机变量表达一些事件，例如抛掷一枚骰子中，表示“1点的面朝上”； “3点的面朝上”可以用表示；表示“5点的面朝上”或“6点的面朝上”．

同时指出：通过映射把随机试验结果与实数进行对应，也就是，把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，这样“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，即可把“对随机现象统计规律的研究具体转化为对随机变量概率分布的研究”．这样我们就可以借用有关实数的数学工具来研究随机现象的本质了．

接着，进一步指出：在学习《数学（必修3）》时我们曾经学习过概率、方差等概念，学过简单的概率模型，在今后的学习中，我们将利用随机变量描述和分析某些随机现象，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决一些实际问题．（体现章引言）

2．对随机变量的深刻认识(对对应思想——映射的体验)

问题4：你能再举些例子吗？（请学生列举随机试验，并将试验结果数量化，不必写出概率）

[设计意图] 让学生参与举例，体验将实际问题数学化（把实际问题数学化是学习数学极其重要的数学方法）和将随机试验结果数量化的过程.其意义在于两个方面:其一,学生通过寻找(寻找本身就是一个甄别随机与非随机的过程),选择自己感兴趣的随机现象,并学会用随机变量表示随机事件;其二,在将试验结果数量化的过程中体会随机变量在研究随机现象中的重要作用.同时进一步深刻理解随机变量的概念,领悟随机变量学习的重要性，进一步形成用随机观念观察和分析问题的意识．

[师生活动]教师关注学生的举例，关注其关键过程：随机试验中所有可能出现的结果有哪些？如何将试验的结果数量化？要求学生画表，体会映射的过程．教师给学生充分展示和交流所举例子的时间．同时，教师也参与举例（教材中有关于抽取产品、射击、浏览某网页等例子可以纳入进来），深刻体会将实际问题（随机现象）数学化（数字化）的过程，感受建立随机变量概念的重要意义．

对学生列举的试验结果没有数量标志的随机事件，诸如投掷一枚硬币的试验等，要引导学生分析比较，让学生体会对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示．但用哪两个数字来表示，主要是要尽量简单，合理，便于研究．如表四：抛掷一枚骰子

在学生举例中学习如何用随机变量去定义试验结果没有数量标志的随机事件（中间表示映射的一栏表格可以省略）．

问题5：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示吗？

[设计意图]让学生领悟任何随机试验的所有结果都可以用数字来表示（试验结果不具有数量性质的可以通过赋值，将其数量化），同一个随机试验的结果，可以用不同的数字表示，表示的原则主要是有实际意义，简单合理，便于研究．

3．形成离散型随机变量概念

问题6：随机变量的取值都是整数吗？你能否举个（些）例子，而随机变量的取值不是整数呢？

[设计意图] 关注学生的举例，借学生举出的例子，引导分析数学化之后的随机变量取值的集合的特征（一个新概念产生之后，我们应该端详它一番），分辨随机变量的类型，即某些随机变量的取值是离散的，而有些不是,从而给出离散型随机变量的概念．如果学生列举的都是离散型随机变量，则教师可启发点拨，启发后引导学生再举例，或给出以下问题7：

问题7：请仿照刚才的例子，分析下列随机现象，随机变量可以取哪些值？你能够一个一个列出来吗?

（1）某公交车站每隔10分钟有1辆汽车到站，某人到达该车站的时刻是随机的,他等车的时间；

（2）检测一批灯泡（相同型号）的使用寿命．

[设计意图]通过与前面列举例子的比较，引导学生发现这两个试验结果中，表示随机事件的随机变量的取值是一个区间，其值无法一一列出，以此形成离散型随机变量的概念．同时明晰在随机现象中随机变量的取值类型是丰富多样的，这也是对随机变量概念（外延）的进一步认识．

问题8：如果我们仅仅关心“某人等车的时间多于5分钟或不多于5分钟”两种情况，那该怎样定义随机变量呢?

[设计意图] 在研究随机现象时，为研究方便，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．让学生明白恰当定义随机变量给我们研究问题带来方便．问（2）让学生选择自己关心的问题来恰当定义随机变量．

[师生活动]通过分析，让学生明白，在研究随机现象时，有时需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．

4．练习反馈（见教科书第45页）

下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）抛掷两枚骰子,所得点数之和；

（2）某足球队在5次点球中射进的球数；

（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差．

[设计意图]在应用中巩固离散型随机变量的概念，并能熟练利用离散型随机变量刻画随机试验的结果．

5．小结回授

问题9：你能用自己的语言描述随机变量和离散型随机变量的定义及它们之间的区别吗？（学生回答后，可以再问：你能简单地说说引入随机变量的好处吗？）

[设计意图] 学生用自己的语言来概括本节课学到的知识，是一种“主动建构”，也真正体现知识学到了手．

[师生活动]引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来．认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率．也即把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，我们就可以借助于有关实数的数学工具来研究所感兴趣的随机现象了．

六、目标检测设计

人教A版教科书第49页习题2.1中A组,第1,2,3题.教学反思 对随机变量概念学习的设计上，分两步走：第一步是认识“用数字表示随机试验的结果”的量是一个变量，第二步是通过建立“一个从试验结果的集合到实数集合的映射” 认识到在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化，即这是一个特殊的变量，与随机试验的结果有关，在此基础上学习随机变量概念，并理解随机变量的特征：它的取值依赖于试验结果，具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定，且所有可能取值是明确的．进一步，如何让学生深刻认识和理解“随机变量”这一概念？原教学设计采用让学生举例的方式，在学生的活动中来完成对“随机变量”概念的理解，这一设计思路得到同行肯定．事实上，要使学生真正理解数学知识，必须要有他们身体力行的实践，从自己亲历亲为的探索思考中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学概念、原理的本质的领悟．此处安排学生举例正是基于这种考虑，其意义在于：其一，可以观察学生是否领会把随机试验结果数学化的思想，以及怎样把随机试验结果数学化（尤其是试验的结果不具有数量性质的随机现象）；其二，体会引入随机变量概念后，随机试验中的事件就可以通过随机变量的取值表达出来，“随机试验结果的集合到对应概率集合的映射”就可以用“随机变量的取值集合到对应概率集合的映射”来表示，（即研究随机现象的统计规律就可以转化为研究随机变量的概率分布）．

第三篇：教案09-2.1离散型随机变量及其分布续

教学对象 计划学时 2

管理系505-13、14、15；经济系205-

1、2 授课时间

2006年3月3日；星期五；1—2节

教学内容

第二章 一维随机变量及其概率分布 第一节 离散型随机变量及其分布律（续）

三、常见离散型随机变量的概率分布

1、二点分布和二项分布

2、泊松分布

通过教学，使学生能够：

1、掌握两点分布

2、掌握贝努利概型和二项分布

3、掌握泊松分布

教学目的

知 识：

1、两点分布

2、贝努利概型和二项分布

3、泊松分布

技能与态度

1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系

2、会分析计算生产实际中的概率问题

教学重点 常见的分布 教学难点 贝努利概型

教学资源 自编软件（演示贝努利概型）

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见 对授课进度计划 修改意见 对本教案的修改意见 教学资源及学时 调整意见 其他 教研室主任：

系部主任：

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 1 页

教学活动流程

教学步骤、教学内容、时间分配

一、复习导入新课

复习内容：（5分钟）

1、随机变量的概念

2、分布律的概念 导入新课：（2分钟）

教学目标

教学方法

提问讲解

巩固所学知识，与技能

上一次我们引入了随机变量的概念，已经学会了用含有引出本节要学习随机变量的等式或不等式来表示不同的随机事件。在实际问的主要内容 题中，不同的离散型随机变量拥有各自不同的分布律。但生

产管理和实际生活中，有很多随机变量的分布规律是类似的，常见的分布有三类：两点分布、二项分布、泊松分布

1、掌握两点分布

二、明确学习目标

2、掌握贝努利概型和二项分布

3、掌握泊松分布

三、知识学习（50分钟）

三、常见的离散型随机变量的分布

(一)两点分布（0—1分布）若随机变量X的分布律为

X01pP1p，则称X服从以p为参数的（0-1）分布。

若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面，射击是否中靶，新生儿的性别，等等，它们都可以用（0-1）分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。可见，（0-1）分布是经常遇到的一种分布。

例

1、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一球，1,取到白球以X表示取出球的颜色情况，即X=，求X的0,取到红球分布律。

解：P{X=1}=1C61C10=0.6，P{X=0}=

1C41C10=0.4

则X的分布律为XP010.40.6

(二)二项分布

二项分布是实际中很常见的一种分布，为了对它进行研究，需要先介绍一种非常重要的概率模型——贝努利概型

我们在实际中经常会遇到这样的情况:所考虑的试验是

掌握两点分布的 概念

讲授法

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 2 页 由一系列的子试验组成的，而这些子试验的结果是互不影响的，即子试验之间是互相独立的。例如，将一枚硬币连续抛n次，我们可以将每抛一次看成一个子试验，而每次抛硬币出现正面与反面的结果是互不影响的。而且随机现象的统计规律性是在大量的重复试验的条件下才呈现出来的，因此对某个试验独立重复地进行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。

我们只讨论每次只有两个结果的n次独立重复试验。

1、贝努利(Bernoulli)试验

定义：设随机试验E只有两种可能的结果：A或A，在相同的条件下将E重复进行n次，若各次试验的结果是互不影响，则称这n重独立试验。

它是数学家贝努利首先研究的，因此也叫n重贝努利试验，简称贝努利试验，这时讨论的问题叫贝努利概型

说明：贝努利试验应同时满足以下条件：(1)在相同条件下进行n次重复试验；

(2)每次试验只有两种可能结果：A发生或A不发生；(3)在每次试验中，A发生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次试验是相互独立的

对于贝努利概型，我们主要研究在n次贝努利试验中事件A出现k次的概率。

定理：在贝努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则在n次贝努利试验中，事件A出现k次的概率kk为Pn(k)Cn（k=0,1,2,„,n）p(1p)nk，理解贝努利概型

例2：将一枚均匀的硬币抛掷3次（与3枚硬币掷一次相当），求正面出现1次的概率

解：n=3，k=1，p=0.5，1-p=0.5，则1P3(1)C3(0.5)1(10.5)31=0.375 用古典概率解释: Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,．．．反正正,反正反,反反正,反反反} ．．．．．．说明:简单问题用古典概型解决还可以,当试验次数太多时,样本点有2n个，只能用公式求解

软件演示：

例3：从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有两次取得次品的概率

解：将每一次抽取当做一次试验，设A={取到次品}，有放回地抽取5次，看成是一个5重贝努利试验，n=5，两次取得次品，则有k=2，每次试验中

p = P(A)=1C31C1213，则1-p=，44

掌握计算公式

讲授法

讲授法 板书

软件演示

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 3 页 2因此P5(2)C5()2(1)52=1414135 5122、二项分布

定义：若随机变量X的取值为0,1,2,„,n，且kkP{X=k}=Cnp(1p)nk，k =0,1,2,„,n

其中0

特例：当n=1时，二项分布即为两点分布 例4(P 21)

说明：二项分布的应用非常广泛，但是当重复试验的次数很多时，计算量又很大，平时解题可以不用计算，当n>5时用式子表示即可。为便于应用，可直接查阅二项分布表(P157附表6），查表结果是X取值从0到x的累计概率。即P{X≤x}。若计算X=m的概率，可用P{X=m}=P{X≤m}—P{X≤m—1}

例如：P{X=5}=P{X≤5}—P{X≤4}

例5(P22)、工厂生产的螺丝次品率为0.05，每个螺丝是否为次品是相互独立的，产品出售时10个螺丝打成一包，并承诺若发现一包内多于一个次品即可退货。用X表示一包内次品的个数。求（1）X的分布律；（2）工厂的退货率

解：对一包内的10个螺丝逐个进行检验，相当于进行10重贝努利试验，因此X~B(10,0.05)

k（1）X的分布律：P{X=k}=C10（k(0.05)k(0.95)10k，=0,1,2,„,10）（2）当X>1时退货，退货率为：P{X>1}= 1—P{X≤1}=1—k01kC10(0.05)k(0.95)10k

泊松定理（Poisson）:设λ>0是一常数，n是正整数。若npn=λ，则对任一固定的非负整数k，有klim(1pn)e。（证：P23注释）nk!定理的条件npn=λ，意味着n很大时pn必定很小，由定理知，当X~B(n, p)，且n很大而p很小时，有kCnkpnnkkP{X=k}=Cnp(1p)knkk e，λ=np ≈k!k e计算在实际计算中，当n≥20且p≤0.05时，用k!kkCnp(1p)nk的近似值效果颇佳；

k 当n≥100且np≤10时，效果更好。e的值有表可

k!

掌握二项分布的计算

理解定理内容

讲授法 板书

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

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N3k因λ=np =3，由泊松定理P(X≤N)≈e3，k!k0

N3k3故问题转化为求N的最小值，使e≥0.99

k!k0

N3k3k即1e3e30.01

k!k!k0kN1

查书后附表2（P140）可知，当N+1≥9即时N ≥8时，上式成立。因此，为达到上述要求，至少需配备8名维修工 人。

类似的问题在其他领域也会遇到，如电话交换台接线员 的配备，机场供飞机起降的跑道数的确定等.(三)泊松分布

定义：若随机变量X所有可能的取值为0,1,2,„,而理解泊松分布的定义 k 查（见书后附表P139）

例

6、某车间有同类型的设备300台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，设一台设备的故障由一名工人维修，问至少需配备多少名维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？

解 设需配备N名工人，X为同一时刻发生故障的设备的台数，则X~B(300,0.01)。所需解决的问题是确定N的最小值，使P(X≤N)≥0.99 e，其中λ>0是常数，则称X服从参数为λk!的泊松分布，记为X~P(λ)

具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，在每个时段内电话交换台收到的电话的呼唤次数、某商店在一天内来到的顾客人数、在某时段内的某放射性物质发出的经过计数器的粒子数、在某时段内在车站候车的人数、单位面积上布匹的疵点数、单位时间内商店销售非紧俏商品的件数、等等，只要试验的结果为两个，且由很多因素共同作用来决定的随机变量，都可认为是服从泊松分布。泊松分布也是一种常见的重要分布。它是二项分布的极限分布，因此可用泊松分布的计算公式计算二项分布。

例15：每分钟经过收费站的汽车流量服从泊松分布：X ~P(5)，求每分钟经过该收费站的汽车不足9辆的概率。

解：P{X<9}=1—P{X≥9}=1-0.0681=0.9319 P{X=k}=

例1 某人独立地射击目标，每次射击的命中率为0.02，掌握分布律的性射击200次，求目标被击中的概率。质

解：把每次射击看成一次试验，这是200重贝努利试验。设击中的次数为X，则X~B(200,0.02)

四、技能学习（20分钟）

教师提问

引导学生写出答案

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

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=0,1,2,„,200）

所求概率：P{X≥1}=1—P{X=0}=1—0.98200=0.9824 说明：虽然每次的命中率很小，但当射击次数足够大时，击中目标的概率很大。这个事实告诉我们，一个事件尽管在 一次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，kX的分布律为：P{X=k}=C200（k(0.02)k(0.98)200k，这个事件的发生几乎是必然的。也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。

当问题的规模很大时，一般n很大且p很小，无法查表。而直接计算又很麻烦，下面给出一个当n很大而p很小时的近似计算公式.例

2、车间现有90台同类型的设备，各台设备的工作是相互独立的，每台发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障只能由一个人修理。配备维修工人的方法有两种，一种是由三人分开维护，每人负责30台；另一种是由3人共同维护90台。分别求在两种情况下车间的设备发生故障不能及时维修的概率。

解：设X为出现故障的设备台数

（1）每人负责30台设，可认为是30重贝努利试验，因此X~B(30,0.01)，当X>1时等待修理。

λ=np =0.3，P{X>1}= P{X≥2}≈(0.3)e0.3≈

k2kk!0.0369 Ai=“第i个人负责的30台设备发生故障而无人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90台设备发生故障无人修理的事件为A1∪A2∪A3，故采用第一种方法，所求概率为

P(A1∪A2∪A3)= 1-P(A1A2A3)=1-(1-0.0369)3=0.1067

（2）三人共同维护90台，认为是90重贝努利试验，因此X~B(90,0.01)，当X>3时等待修理。

而所求概率为P{X>3}= P{X≥4}≈(0.9)e0.9≈

k4kk!0.0135 因为0.0135<0.0369，显然共同负责比分块负责的维修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知识可以解决运筹学所要解决的有效运用人力、物力资源的某些问题。

五、态度养成

六、技能训练（16分钟）

做事认真的态度

通过实际训练，学生练习练习：一大楼有五个同类型的独立供水设备，在任意时使学生理解样本老师巡刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻 的写法与含义 视，解答《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

第 6 页(1)恰好有两个设备被使用的概率P1是多少?(2)至少有三个设备被使用的概率P2是多少?(3)至多有三个设备被使用的概率P3是多少?(4)至少有一个设备被使用的概率P4是多少? 解：在同一时刻观察五个设备,它们工作与否是相互独立的,故可视为5重贝努里试验，n=5，p=0.1，于是可得：

2(1)P1＝P5(2)＝C5(0.1)2(0.9)53＝0.0729

－

问题

(2)P2＝P5(3)+ P5(4)+ P5(5)＝0.00856(3)P3＝P5(0)+ P5(1)+ P5(2)+ P5(3)＝0.99954(4)P4＝1－P5(0)＝1－0.95＝0.40951 {X=0}={没有取到次品}，P{X=0}=

02C3C72C1011C3C72C1020C3C72C107 157 15{X=1}={取到一件次品}，P{X=1}={X=2}={取到两件次品}，P{X=2}=1 15XX的分布律为：P0715171521 1

5七、课堂小结（3分钟）

在学习时要理解三种分布之间的关系：两点分布讨论的是一次贝努利试验的结果，它只有两个结果，二项分布讨论的是N次贝努利试验的结果，它有N+1个结果。两点分布是二项分布的特例，泊泊松分布是二项分布的极限分布。它对应无穷多次的贝努利试验，因此，贝努利试验是非常重要的一类试验。

概括总结，帮助学生构建知识体系

简要概括本节内容

八、布置作业（1分钟）

复习本节内容

预习连续型随机变量 P36—5、6、7

巩固所学的知识 培养自学能力

《概率与数理统计》09—§2-1离散型随机变量及其概率分布（第二次）（共 7 页）

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第四篇：离散型随机变量的教学设计

“离散型随机变量”的教学设计

一、内容和内容解析

“随机变量及其分布”一章的主要内容就是要通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的概型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念。

“离散型随机变量”是这一章的开门课。因此，在本节课中，让学生了解本章的主要内容及其研究该内容所用的数学思想方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重要。于是，本节课的第一个教学任务就是要做好章头图的教学。教材的章头图从实例和图形两个方面展示了本章要学习的内容，一个是离散型随机变量的产生背景和分布列的条形图，另一个是正态分布的背景和正态分布密度曲线。教学时要充分地运用章头图的这两个背景，通过问题的形式，帮助学生明确本章要学习的主要内容和意义。

对于一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以及每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量。随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。而高中阶段主要研究的是有限的离散型的随机变量，因此，本节课的第二个教学任务就是通过具体实例，帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能确定其取值范围。

二、目标和目标解析

1.了解本章学习的内容和意义。具体要求为：

（1）通过章头图中给出的射击运动的情景，帮会学生了解，在射击运动中，每次射击的成绩是一个非常典型的随机事件。在这个离散型的随机事件中，如何刻画每个运用员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选拔运动员参加比赛获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的概率分布、均值、方差等有关知识；

（2）通过章头图中给出的高尔顿板游戏情景，帮助学生了解在这样一个连续型的随机事件的游戏活动中，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？这些问题与本章将要学习的正态分布有关；

（3）在上述两个情景的基础上，通过问题的形式，帮助学生提出本章要研究的问题和基本思想：随机事件形形色色，随机现象表现各异，但如果舍弃具体背景，它们就会呈现出一些共性；如果把随机试验的结果数量化，用随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来研究这些随机现象。这样不仅阐述了本章的主要内容，而且激发了学生的学习兴趣，使他们明确本章的学习目标以及研究本章内容的数学思想方法。

2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量。具体要求是：

（1）在对具体问题的分析过程中，帮助学生理解用随机变量表示随机试验结果的意义和作用：为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量，掌握随机变量的描述性概念，了解随机变量与函数的关系，构造随机变量应当注意的问题（如随机变量应该有实际意义、应该尽量简单，以便于研究），以及用随机变量表示随机事件的方法等；

（2）通过具体问题的对比分析，帮助学生理解随机变量有两个类型：

取有限个值的离散型随机变量离散型随机变量

随机变量 随型机变量取无穷多个值的离散连续型随机变量能够根据具体问题，把随机试验的结果用一个随机变量表示，并能写出其取值范围；能够熟练地用随机变量的取值表示一个随机事件；

（3）通过反思随机变量的定义过程，引导学生体会，在实际应用中如何根据实际问题恰当地定义随机变量（如根据所关心的问题，定义随机变量），以达到事半功倍的效果。

三、重点和难点解析

本节内容是为求分布列作铺垫的一节概念课。所以要把随机变量和离散型随机变量的概念讲清楚。于是，可以确定的重点、难点是：

重点：用随机变量表示随机试验结果的意义和方法；

难点：对随机变量意义的理解；构造随机变量的方法；随机变量取值范围的确定。

四、教学问题诊断分析

1.是否讲解“随机试验”的概念？

研究随机现象，就是要研究随机试验可能出现的结果（其中的每一个结果即为一个随机事件）和每一个结果发生的概率（即描述每一个随机事件发生可能性大小的度量），从而把握它的统计规律。这里有三个概念：随机事件、随机现象和随机试验。

在必修三中，学生已经学习了随机事件的概念（即在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件），之前，学生通过在初中数学和必修三的概率学习，又有了随机现象的观念，因此，学生对“随机试验”的概念是能够不加定义而自明的，也就是“随机试验”可以作为不加定义的原始概念引入。事实上，教材在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念（教材第44页第一个思考下方第一行），就是基于这样的考虑，因此，在教学中，对“随机试验”的概念不需要（也根本没有必要）引导学生下定义，以避免严格的定义可能造成学生理解的模糊，影响对主干概念“随机变量”的理解。

事实上，“试验”一词有十分广泛的含义：凡是对对象的观察或为此而进行的实验都称之为试验。如果一个试验满足以下条件，则称之为随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有结果是明确且可以知道的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

2.怎样建构“随机变量”的概念？

本节内容围绕随机试验的结果可以用“数”表示进行展开。掷骰子试验、掷硬币试验是学生比较熟悉的两个随机试验，对掷骰子试验的结果和数字1~6对应起来学生很容易理解，而掷硬币试验的结果则不容易联想到数字。可以引导学生思考：值一枚硬币的结果是否也可以用数字表示呢？通过把“正面向上”与1对应，“反面向上”与0对应，使得掷硬币的试验结果同样也可以用数字表示，这样的问题还可以列举，如新生婴儿性别抽查：可能是男，也可能是女，同样可以分别用1和0表示这两种结果，在此基础上抽象概括出随机变量的描述性定义。

3.怎样深化对“随机变量”概念本质的理解？ 对随机变量概念的理解，不是下个定义一步完成的，为了帮助学生深入地体会随机变量的本质，可以对掷硬币的试验结果的表示方法提出下面问题：还可以用其他的数来表示这两个试验结果吗？目的是鼓励学生提出其他表示方法，比如“正面向上”用1表示，“反面向上”用-1表示等，以使学生理解随机变量的本质。事实上，对于同一个随机试验，可以用不同的随机变量来表示其所有可能出现的结果。为了帮助学生体会，究竟选择什么样的随机

变量更为合适？这就涉及到构造随机变量应当注意的一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应该尽量简单，以便于研究。例如，对于掷n次硬币出现正面的次数可以表示为12„n，其中i1,第i次试验出现正面0,第i次试验出现反面，通过这样的例子，帮助学生体会用数字1和0表示，能够直接反应出正面向上的次数，这显然很方便；而用1和-1分别表示试验结果的反面和正面，那么掷n次硬币出现正面的次数的表达式就会变得很复杂。为了进一步深化对概念的理解，可以引导学生将随机变量与函数概念进行类比：随机变量与函数有类似的地方吗？使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广。

4.如何通过随机变量表示所关心的随机事件？

引入随机变量的目的是为了研究随机现象，那么如何通过随机变量表示所关心的随机事件呢？可以通过一些例子介绍用随机变量表示随机事件的方法，特别是一些较为复杂的随机事件的表示方法。例子的类型列举可以广泛：如有穷可列、无穷可列、不可列等三个类型。特别是对不可列的随机变量问题，可以根据所关心的问题，能够把它构造成可列的随机变量。从而进一步体会用随机变量表示随机事件的方法。

五、教学过程设计

1.情境引入

情境1：在射击运动中，运动员每次射击的成绩具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成绩是一个什么事件？（随机事件）

如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。

情境2：高尔顿是英国生物学家和统计学家，他设计了一个著名的游戏——高尔顿板游戏。如图，在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前后挡有玻璃，然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球落在哪个槽中的可能性更大？槽中的小球最后会堆积成什么形状？

这个问题近似地服从正态分布，它是很多自然现象和生产、生活实际问题中经常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。

以上两个问题就是我们本章要学习的两个重要的随机变量概率分布模型，本章的课题是——随机变量及其分布。

引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。无论是运动员的一次射击，还是利用高尔顿板做一次游戏，都是随机试验，只要了解了这些随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以及每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。随机事件形形色色，随机现象表现各异，但如果舍弃具体背景，他们就会呈现出一些共性；如果把随机试验的结果数量化，应随机变量表示试验结果，就可以用数学工具来研究这些随机现象。

引导学生阅读章头图的内容。然后展示本章的知识结构图：两类随机变量的概率分布模型：离散型随机变量——（在讲概率分布列、均值和方差的基础上）研究二项分布和超几何分布模型；连续型随机变量——正态分布模型。

2.离散型随机变量

问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的所有可能结果有哪些？

设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。

问题2：（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，2，3，4，5，6中的某一个数；

（2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，„，10中的某个数。

下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢？

（3）掷一枚硬币所有可能的结果；正面向上——1；反面向上——0

（4）新生儿性别，抽查的所有可能的结果；男——1；女——0 设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。

问题3：上述四个例子说明，随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。这样随机试验的结果就可以看成是一个变量，我们称其为随机变量。你能给随机变量下一个定义吗？

设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。如一般地，如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，等。

问题4：在（3）和（4）的两个随机试验中，其试验的结果是否还可以用其他人数字表示？

设计意图：通过讨论，得出结论：一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。

问题5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他数字表示，那么，在5次掷硬币的随机试验中，出现“正面向上”的次数可以怎样表示？由此你认为定义一个随机变量需要遵循哪些原则？

设计意图：出现“正面向上”次数125，1,第i次试验出现正面，当一次试验的结果表示为i =0，1，2，3，4，5；

0,第i次试验出现反面。1,第i次试验正面向上，当一次试验的结果表示为i i-5，-4，-3，-2，-1，0.-1,第i次试验反面向上。从使用意义上看，显然把正面向上的次数表示成负数不太合适，而且这样也不方便，因此，构造随机变量时，应当注意一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应当尽量简单，以便于研究。

问题6：随机变量和函数有类似的地方吗？

设计意图：引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域。

例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。（1）每天你接到的电话的个数X；（2）标准大气压下，水沸腾的温度T；（3）某一自动装置无故障运转的时间t；（4）体积64立方米的正方体的棱长a；（5）抛掷两次骰子,两次结果的和s.（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数η.设计意图：进行随机变量概念辨析。

例2.写出下列各随机变量可能的取值（或范围）:

(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张被取出的卡片的号数X．(2)一个袋中装有3个白球和5个黑球，从中任取5个，其中所含白球数Y．(3)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ．

(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数ξ．(5)某网页在24小时内被浏览的次数η.(6)某一自动装置无故障运转的时间T（7）电灯泡的寿命X。

设计意图：训练写出随机变量的取值或范围，并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。

问题7：在前面所举这些例子中，这些随机变量都有什么特征？ 设计意图：引导学生发现这些随机变量的取值都可以一一列出。

问题8：所有取值能够一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。离散型随机变量有两类：一类是离散型随机变量的取有限个值的，一类是离散型随机变量取无限个值的（如例2（3）），我们主要研究取有限个值的离散型随机变量。

例3.写出下列离散型随机变量可能的取值:

(1)在考试中需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的可能取值有哪些？

(2)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲乙两人租车的时间都不超过4小时（两人不一定同时回来），则两人所付的总费用X的可能取值有哪些？

设计意图：练习写出较为复杂的离散型随机变量取值

问题9：利用随机变量可以表示一些事件。在例1中，你能说出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎样的事件吗？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

设计意图：引导学生学习用随机变量表示随机事件，使学生能够清晰地说出每一个随机变量取值的实际意义。

问题10：在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当第定义随机变量。例如，对灯泡的使用寿命，如果我们仅关心灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义0,寿命1000小时如下的随机变量：，与灯泡的寿命X相比较，随机变量的构造更1,寿命1000小时简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易。你能根据实际意义，把能对（2）定义一个随机变量吗？

设计意图：引导学生能够根据所关心的问题，定义出离散型随机变量。例4.请根据所关心的问题，定义一个离散型随机变量：(1)掷一枚骰子，关心“掷出的点数是否为偶数”；

(2)任意抽取一瓶标有2500 ml 的某饮料，其实际量与规定量之差在±5ml以内为合格；(3)在某项体能测试中，跑1 km成绩在4 min之内的为优秀；4 min以上5 min以内为合格；某同学体能测试的结果.设计意图：练习能够根据所关心的问题定义一个随机变量。

备用例题：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出可能取值，并说出这些值所表示的随机试验的结果。

（1）棱长为1的正方体中，任意两条棱之间的距离（两条棱相交，可认为距离为0）；

（2）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，该“立体”的体积为V。

设计意图：巩固并强化定义离散型变量的方法，并能准确写出所求可能取值。

小结：以上我们通过一些具体实例研究了随机试验的结果可以用数字表示，引进了随机变量的概念，并对如何根据实际需要定义一个离散型随机变量，并判断它的所有可能取值进行了系统的研究。实际上随机变量的每一个取值，都表示一个随机事件，每一个随机事件发生的可能性大小的度量就是概念，如掷骰子试验中P(X1)116就表示点数为1的概率为6规律了。我们学习随机变量就是为了研究它的概率，这就是我们下节课要学习的内容。，也就是如果我们能够知道每一个随机变量取值的概率，也就把握了这个随机现象的基本 6

第五篇：“离散型随机变量”的教学设计之我见

“离散型随机变量”的教学设计之我见

人民教育出版社中数室 田载今

随机变量是因随机试验结果的变化而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定的，所以表示随机试验结果的量要因结果的不同而变化，这样的量当然属于随机变量．随机变量的本质是定义在样本空间Ω上的一个映射，它把试验结果映为实数，即其中，且对任意实数x，由满足

R，的基本事件所组成的集合也是一个事件．

引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简化，更重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性，其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．

如果样本空间是可数的，即量的取值

或，则随机变也可以一一列出，这样的随机变量即离散型随机变量．离散型随机变量比连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．

一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：

通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；

体会引入随机变量的作用；

渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．

目前的高中数学教材中，离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两个小节中的内容．从教师教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，将这两个内容分在两节课中学习是一般的教学安排．在这部分内容的第一课时中，通常只安排关于离散型随机变量概念的内容，而不涉及离散型随机变量的分布列．笔者认为，这样安排是有一定道理的：第一，离散型随机变量是基础概念，离散型随机变量的分布列是针对离散型随机变量而定义的，从逻辑关系上说两者有先后之分；第二，两个概念的第一次出现分在不同课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、习题的安排顺序保持基本一致，便于学生自学和做作业．

兵法曰：兵无常态，水无常势．这就是说解决问题的方法不是一成不变的，应根据实际情况权衡利弊相机行事．同样地，教学有法，教无定法．一种教学设计难以方方面面都能兼顾，往往在保证了一些方面有利的同时，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标，三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引入离散型随机变量的概念，而不能较明显地体现为什么要引入它，则会影响对其作用和相关思想方法的体会．要体现引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，显然离不开对离散型随机变量的概率分布的研究，这是把对随机现象统计规律的研究数学化的关键．从这个角度看，如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，紧接着出现分布列，使两者更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．

笔者考察实际教学发现，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较拖沓，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．更重要的是，如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣．在高中数学教材的向量部分，曾指出“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分布，随机变量只是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥作用．

笔者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行性．为说明这一点，笔者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．

离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案

一、描述随机变量

试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理量的长度，等等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记为1，反面向上记为0．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随机确定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做随机变量（random variable）．随机变量通常用

表示．

二、考虑随机试验案例及相关问题

请看下面的随机试验，并考虑相关问题．

随机试验1 掷一枚质地均匀的骰子．

（1）用X表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？

掷骰子时，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出的点数，X的值应随机地取1，2，3，4，5，6中的某个．

（2）X取到每一个值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一个值的概率都是下：

这可以列表表示如

（3）X<5表示什么？它对应的概率是多少？

X<5表示事件“点数小于5”，即事件“点数为1或2或3或4”．它的概率为

（4）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？

每次掷出的点数无法事先确定，因此多次掷出的点数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数1，2，3，4，5，6出现的频率都会稳定于，所以多次重复掷骰子时点数的平均值最可能是

随机试验2 同时掷两枚质地均匀的硬币．

（1）用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？

掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0，1，2中的某个．

（2）X取到每一个值的概率各是多少？

由古典概型可知，X取0，1，2中每一个值的概率可以列表表示如下：

（3）X<2和X>0各表示什么？它们对应的概率各是多少？

X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”； X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．它扪的概率分别为和．

（4）如果多次重复这个试验，那么掷出正面个数的平均值最可能是多少？

每次掷出的结果无法事先确定，因此多次掷出的正面个数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数0，1，2出现的频率分别会稳定于，和，所以多次重复试验时正面个数的平均值最可能是

三、引出离散型随机变量及其分布列

思考1 上面两个X是随机变量吗？它们的取值形式有什么特点？这些取值与试验结果有什么关系？

在上述试验及相关问题中，两个X分别表示“点数”和“正面个数”，它们都是表示随机试验的结果的量，都随试验结果的变化而变化，因此都是随机变量．这两个随机变量的所有可能取值都可以一一列出，即分别为1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列数都对应着一个试验的所有可能结果．

一般地，所有可能取值能够一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量（discrete random variable）．

思考2 上面两个表格的形式有什么特点？它们表示了什么内容？

上面问题中的表格，分两行列出随机变量X的可取值，以及各值对应的概率．它不仅表示出离散型随机变量X的变化范围，而且表示出各种变化的可能性大小，即从变化内容及其可能性这两方面全面地刻画了离散型随机变量X．

一般地，表示离散型随机变量X的所有可能值及取各个值的概率的表格

叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示为

容易发现，由于概率的和

思考3 初步体会离散型随机变量及其分布列的作用．

从上面的问题可以看出，对于研究随机试验问题，例如估计多次重复试验结果的平均值，离散型随机变量及其分布列是非常有用的工具．由此可以觉察，引入随机变量给定量地表示和研究随机性问题带来方便；有了离散型随机变量及其分布列，就可以对许多随机试验的结果从变化范围和变化可能性两方面有更清晰的认识．

四、例题

此处例题为巩固与加深对离散型随机变量及其分布列的一般认识而安排,二项分布、超几何分布等内容安排在后续课时．

例 用随机变量X表示掷两枚骰子的试验结果,并写出X的分布列．

解：设X表示两枚骰子的点数之和，则X的分布列为

与随机试验的全部可能结果一一对应，所以它们所对应的，根据X的分布列，可以求出有关事件的概率．例如，五、小结

1.回顾离散型随机变量及其分布列的概念；

2.初步体会离散型随机变量及其分布列在研究随机试验问题时的作用．

前面已经说过，教学有法，教无定法．教材和教学的设计方案具有多样性，不同方案各有长短．选择方案的关键在于从实际出发，在保证重点，突出要实现的主要教学目标的前提下，力求教学效果的最大化．笔者提出上述意见及教学设计，只是一孔之见，意在抛砖引玉，能为改进教材和教学的讨论提供参考．

2010-07-08 人教网