《几何概型》上课教案

第一篇：《几何概型》上课教案

课题：几何概型

授课教师：卓剑

教材：苏教版数学（必修3）第3章3.3节

[教学目标] 知识与技能

(1)了解几何概型的基本概念、特点和含义，测度的含义；

(2)能运用概率计算公式解决一些简单的几何概型的概率计算问题． 过程与方法

(1)经历由直观感知探讨未知领域的过程，培养数学类比能力和概括能力．(2)通过情感体验，使已有的知识和技能得到内化，同时转化为解决新问题的能力． 情感态度与价值观

(1)通过对几何概型的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．(2)在探求过程中，通过交流、发现、思维体验、情感体验等激发学生的学习兴趣． [教学重点、难点] 教学重点是：理解几何概型的概念，并能进行简单的几何概型的概率的计算． 教学难点是：通过实例让学生体会测度的合理选取． [教学方法与教学手段] 问题教学法、合作学习法，多媒体课件．

[教学过程] 1．创设情境

周杰伦的《青花瓷》歌曲全长4分钟，高潮部分从第50秒末开始，到第1分30秒末结束．小明最爱听这首歌．

暑假中的一天，他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听《青花瓷》．这时，妈妈喊他有事．回来后，他又立刻戴上耳机．

请问：小明刚好听到《青花瓷》高潮部分的概率是多少？

2．提出问题，组织讨论

问题探究1 取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

问题1 有多少种剪法？

问题2 怎样剪断绳子，能使得剪得两段的长都不小于1m？ 问题3 剪得两段的长都不小于1m的概率是多少？

记“剪得两段绳子的长都不小于1m”为事件A，由于剪断绳子上的每一个位置都可视为一个基本事件；将绳子三等分，当剪断位置在中间一段时，事件A发生，所以事件A发生的概率为

P(A)中间一段绳子的长度1。

绳子的总长度3问题探究2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率为多少？

记“豆子落入圆内”为事件A，由于豆子落入正方形中的每一个位置都可视为一个基本事件；豆子落入圆内时，事件A发生。则豆子落入圆内的概率为 圆的面积a2P(A)。

正方形的面积4a24

3．建构概念

(1)归纳上述两个随机试验有什么共同特征.(2)归纳、概括几何概型的概念.设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率计算公式为

P(A)d 的测度

D 的测度(3)几何概型与古典概型有何异同点？(学生归纳)

4．数学运用

在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子。如果从中随机取出10mL，那么含有带麦锈病种子的概率是多少？ 分析 “在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子”可以理解为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的。“随机取出10mL”可以理解为该10mL的种子所在的区域形状和位置不影响事件发生的概率。

解 记“取出10mL麦种，含麦锈病的种子在内”为事件A，因为带麦锈病的种子在这1L种子中的分布是随机的．所以 事件A的概率为P(A)取出种子的体积101．

所有种子的体积10001001． 100我之所以选取它作为本节课的惟一例题，在于本题具有丰富的生活背景和体验，同时最能反映几何概型的特征，有助于加深学生对于概念的理解。5．情境再现

学生运用几何概型的概念解决课开始时的疑惑，做到首尾呼应。

歌曲全长为4分钟，用线段MN表示；高潮部分为40秒，用线段CD表示。由于小明戴上耳机时可以听到整首歌曲中的任意一个时刻，于是小明听到高潮部分的答 含有麦锈病种子的概率为概率为P高潮的时长401。

总时长2406单曲循环的播放模式可以这样理解，不论小明再次戴上耳机时，歌曲已经循环播放了多少遍，他听到的时刻一定在该歌曲中，那么可以视一首完整的歌曲为研究的区域D。这与课本上的“地铁问题”是一致的。6．反馈练习在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率为

．（2008年江苏省高考第6题）7．课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获呢？

8．课后作业 课本103页 练习1,2,3．

第二篇：3.3.1几何概型教案（范文）

§3.3.1几何概型（第一课时）（人教A版〃必修3）

教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体；

（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力

（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法

3、情感态度与价值观：

本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点

几何概型的概念、公式

教学难点

几何概型的应用

教辅手段

投灯片，计算机及多媒体教学．

教学过程

一、情景设置——温故知新 处理方式

借助课件，提出问题，引导学生回顾

1、现实生活中有的古典概型的问题

2、古典概型的特点

二、新知探究

（一）创设情境：

处理方式

1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

（1）回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。（2）引导学生思考讨论得出结果。

2、几何概型的概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）积）的区域长度（面积或体

三、即时体验

处理方式

1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。

问题1：判下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；

（2）将一颗豆子随即的扔到如图的方格中,假设豆子不落在线上,求落在红色区域的概率.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

（2）豆子落入红色区域时有无限多个结果，而且不难发现“落入红色区域”的概率可以用红色部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．

2、以问题探究的形式引导学生理解几何概型中的事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

问题2：取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率为多大？

问题3：一海豚在水中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率。

问题4：有有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯中取出0.1升水,求小杯中含有这个细菌的概率.问题2解： 设A={剪得两段的长都不少于1m}，A的发生就是中间一米的那段一段：

P（A）=13

问题3解：设A={海豚嘴尖离岸边不超过2m}，为图中兰色区域：

P（A）=3020261630200.12=

23750.31 问题2解： 设A={小杯中含有这个细菌}，它的概率只与取出的水的体积有关

P（A）=

=0.5

四、归纳提升

处理方式

引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果教师帮助完善。

1、几何概型的概念，特点

2、几何概型的公式及应用

五、课后延续

1、回顾本课的学习过程，整理学习笔记

2、完成书面作业P14习题1

3、选作问题：

（1）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边做正方形，求这正方形的面积介于36cm与81cm之间的概率。

（2）已知地铁列车每10分一班，在车站停1分，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

第三篇：概率统计-11.6 几何概型(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第59期

§11.6 几何概型

基础自测

1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为.答案 12

2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.（第2题）（第5题）

答案 2

3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是.答案 35

4.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）=.答案 13

5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在 ∠yOT内的概率为.答案 16

例题精讲

例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？

解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=

103310=

410=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再

376 交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为927922=3281.14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

9281.例3（14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，1分 3分 7分 记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P（A）=101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P（B）=301000

9分 14分 =0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，180所以∠ACC′=302=75°，1590A=90-75=15，Ω=90，所以，P（D）=

=

16.例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）= SAS=6024522=360020253600=

716.60377 所以，两人能会面的概率是716.巩固练习

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×∴P（E）=103013=10（米），=13.2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为.答案 16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A=0.1升，Ω=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P（A）=

AΩ=

0.12=

120=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于 30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为 “在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内，∴P（A）=

3090=

13.378 5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l}, 要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y＞l-x-yx+y＞y＜l2,x+l-x-y＞y

l2,y+l-x-y＞xx＜l2l2l2.故所求结果构成集合

l2A=(x,y)|xy,y,x.由图可知，所求概率为

1P（A）=A的面积Ω的面积=l22l22=14.2回顾总结

知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是.答案 310

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是.答案 15

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是.答案 116

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为.379（第4题）(第7题)答案 1-2



S45.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于答案 34的概率是.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是.答案 6

7.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案 172565”的概率为.二、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为142

14×122 cm

×12.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率

1P（A）=41412.21222=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.210.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

380 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A=1-212×12×12=78，Ω =1，所以P（A）=

AΩ=

78.11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.解（1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）.33若∠CAM＜30°,则0＜x＜3区间0，a的长度3区间(0,a)的长度a,故∠CAM＜30°的概率为

P（A）==33.（2）设∠CAM=，则0°＜＜45°.若∠CAM＜30°,则0°＜＜30°, 故∠CAM＜30°的概率为P（B）=2

(0,30)的长度(0，45)的长度=

23.12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共有12个：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.381 2222

2事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=

912=

34.（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为

123222{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=

32=

23.382

第四篇：示范教案(说课稿)(3.3.1 几何概型)

3.3 几何概型

3.3.1 几何概型

整体设计

教学分析

这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］区间上的均匀随机数,是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率.本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果X落到［0,1］区间内任何一点是等可能的,则称X为［0,1］区间上的均匀随机数.三维目标

1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积),学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点

教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排

1课时

教学过程 导入新课

思路1

复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本节课题几何概型.思路2

下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3

在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课 新知探究

提出问题

(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？

(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为141412.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的于是事件A发生的概率P(A)=

1313，.1

4第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为112.21222×π×122

214×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=414=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：

P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例

思路1 例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A发生.由几何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻X是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X服从［0,60］上的均匀分布,X称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练

某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记Ag={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(Ag)=g的长度的长度35.点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2 例1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3.即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.点评：在本例中,到站等车的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X服从［0,60］上的均匀分布,X为［0,60］上的均匀随机数.变式训练

在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？

分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如右图中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x（6≤x≤7）时开始,晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y）对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应.由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y

78的概率为P（A）=g的面积G的面积.变式训练

在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？

分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练

1.已知地铁列车每10 min一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.解：由几何概型知,所求事件A的概率为P(A)=

111.2.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=

2613=.3.在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（）

A.0.5

B.0.4

C.0.004

D.不能确定 解析：由于取水样的随机性,所求事件A：“在取出2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004.答案：C 4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r

两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为P=

g的面积G的面积60240226059.2.（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l

l2sinφ（见下图右).所求概率是P=

g的面积的面积

0(l/2)sinda/22la.注：因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N次,（或一次投针若干枚,总计N枚）,统计与平行线相交的次数n,则P≈n/N.又因a与l都可精确测量,故从2l/aπ≈n/N,可解得π≈2lN/an.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结

几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业

课本习题3.3A组1、2、3.设计感想

本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从求概率不能问题引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容高考是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取好成绩.

第五篇：《几何概型》教学设计分析

对《几何概型》教学设计的分析

1.教学目标分析

（1）课程标准对几何概型的要求：

【课程目标】 通过概率的教学，使学生在具体情景中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，了解概率的某些基本性质和简单的概率模型，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观。

【学习要求】 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。

按照课程目标和教学要求，预设目标主要存在以下问题：（1）目标确立不准

预设目标指出“通过实际生活的案例，发掘出数学问题，学会用数学语言对数据进行整理、分析、计算。”而从课程目标来看这节课的主要目标不是让学生学会用数学语言对数据进行整理、分析、计算，而应是“通过实际生活的案例，让学生认识到几何概型。”

（2）目标层次定位不准

课程标准中把结果性目标细化为“知识”和“技能”两个子领域，知识分为了解、理解和应用三个层次。预设目标把几何概型的概念定位成“理解”层次，这与课程目标是不符的。

（3）情感目标不全面

新一轮课程改革提出, 教学要改革单一的传授和接受式的学习方式, 既要关注学生的知识与能力, 更要关注学生的情感、态度、价值观等.预设目标中虽然设置了情感目标，但是与课程目标相比较，缺少了“培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观。”

（4）过程、方法目标设置较为笼统

在预设目标中过程、方法目标是“通过实际问题，教师为主导，学生为主体，由学生经过探索，自主认知，经历“特殊到一般”的认知过程，完善认知结构，做到实际问题数学化，领会归纳推理的数学思想。”目标编写符合课程目标的要求，使用了探索、经理等行为动词，但是内容较为笼统，几乎适用任何一节数学课。根据课程标准的要求和教学过程的设计，过程与方法应改为：

① 从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过转盘游戏问题，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，感受数学的拓广过程。

② 通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。感知用图形解决概率问题的方法同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

2.学习任务的分析

（1）对学习任务分析不足，重点不突出

课堂教学过程是为了实现目标而展开的，确定教学重点、难点是为了进一步明确教学目标，以便教学过程中突出重点，突破难点，更好地为实现教学目标服务。因此，只有明确了这节课的完整知识体系框架和教学目标，并把课程标准、教材整合起来，才能科学确定静态的教学重点难点。这节课从数学知识来看，既是概念课又是公式课，概念是思维的细胞，公式的的基石，只有概念了解较为深刻，公式的教学才能顺利。教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

（2）对学习任务分析不足，难点没有突破

几何概型是指对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。事件A 理解为区域Ω的某一子区域A，如果事件A 发生的概率只与构成该事件的子区域A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型。

在这个概念的理解中存在着三个难点：关键词“只”、“事件A 发生的概率只与构成该事件的子区域A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比”和”几何度量”,因此根据定义判断随机事件是几何概型对学生而言较为困难，从古典概型到几何概型，从有限到无限的推广，如何让学生理解两者内在的联系，自然推广，如何认识几何度量，这是教学的重点和难点。

（3）学科知识认识不足

学科内部的矛盾是推动学科的发展的途径之一，几何概型是对古典概型有益的补充，几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，古典概型具备如下两个特点：其一，所有的基本事件只有有限个;其二, 每个基本事件的发生都是等可能的.其中的第一个特点, 即要求基本事件的个数是有限的, 这不能不说是一个很大的限制, 人们当然要竭力突破这个限制, 以扩大研究范围.一般来说, 当基本事件的个数为无限时, 会出现一些本质性的困难, 使问题不再象有限的情况下那么容易解决.所以，这节课的设计应该通过分析古典概型的局限性（只能有有限个事件），产生对无限个事件的随机实验研究的需求，进而引入几何概型。

（4）思想方法挖掘不透

几何概型的计算公式

P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积），与古典概型的公式在形式上是完全相同的，同属于“比例解法”，所以解题思路也是相同的。因此教学应改抓住古典概型和几何概型的的区别，鼓励学生思考解决新一类概率问题的方法，积极与已学过的古典概型做对比，让学生感受求新一类概率问题的一般方法，从而化解如何求概率的教学困惑。

（5）专业知识比较薄弱

一个好的教师必须具备渊博、深厚的专业知识，不仅要具有初等数学知识、高等数学知识还应有丰富的数学史知识。事实上, 几何概型这部分内容的应用非常广泛, 其中有很多非常经典的例子, 如会面问题等等.另外新教材中阅读部分所提及的布丰(G.L.L.Buffon)投针问题, 通常被认为是几何概型的第一个试验的一个著名的问题，因此，在教学设计中应该把这些历史名题贯穿于教学中。

3.教学过程的分析

优点：

从教学过程可以看出，本节课遵循“情境—问题—探究—概括—应用”的教学模式。引入是从一个转盘游戏开始的，符合学生“研究新问题————产生内在需求——————解决新问题”的认知规律。公式探究思路清晰，教学路线明朗。在教学的过程中注重体现以学生发展为本的理念，在理解数学的内涵和外延的同时，让学生在知识技能，过程和方法，情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。

缺点：

(1)不重视概念形成的过程

概念的学习形式主要有概念的形成和概念的同化两种。几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型。因此本节课的学习宜采用概念的形成。概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念，其实质是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。具体模式如下：辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。

在教学过程中，应利用生活当中的实例，引导学生通过观察分析，提取它们的共性，并通过与古典概型的比较，概括数学方法（几何概型的概率计算公式）体现了数学教学是数学思维活动的过程教学。在归纳了几何概型的定义及其概率公式，并且组织学生通过实验给予验证。据此，让学生进一步感知数学的思想、体验数学知识形成的过程、明确概念形成的合理性、探讨数学问题解决的方法，在掌握知识的同时感受到了数学学习的乐趣和数学的应用价值。在教学过程中注重强调概念形成过程，将几何概型概念形成的教学通过猜想验证思想逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性。使学生能全面系统地掌握概率知识，且对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

（2）没有突破公式教学的难点，充分挖掘数学思想

构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）P(A)从学生认知角度看从学生的思维特点和教学内容看,本节内容宜与古典概型的特点、计算方法等方面进行类比.另一方面，几何概型的计算方法与古典概型有着本质的区别，如何根据几何概型的特征判断随机事件是否是几何概型，以及计算公式中构成区域的长度、面积和体积的选择是公式应用的难点。教学中应通过不同的实际问题或同一问题不同的解决策略，环环紧扣、突破教学难点，让学生逐步感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

4.例题选择的分析

例1的设计紧紧围绕教学难点展开，学生在辨别古典和几何概型的过程中加深了对概念的理解。例2的设计使学生及时训练和体会把实际问题转化为几何概型的方法并会用几何概型计算公式求事件的概率，体现理论应用于实际的同时，感受数学模型思想。例题的选取与安排循序渐进，针对性较强，层次和坡度安排合理，力求使学生有效掌握知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。但公式的巩固和应用只有一道例题，显得比较单一。在公式的应用中设计了使用不同测度的应用问题，以便学生深刻理解概率公式。此外，概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生的练习也缺乏.5.教学方法分析

（1）本节课教学方法主要采用讨论发现法 课堂上，教师让学生用几何画板演示一个转盘流戏，激发学生的学习兴趣和参与积极性。提出两个概率问题，通过教师与学生、学生与学生之间相互讨论，在问题解决的过程中得出几何概型的公式。但在教学过程设计中，感受几何概型概念的知识的产生、发展和形成比较薄弱。

（2）本节课教学模式运用了“以问题为中心”的讨论式教学模式

教学过程的设计把问题作为教学的出发点，精心设计问题情景，让问题处于学生思维水平的最近发展区，以此激发学生的好奇心和求知欲。首先用初中学习中接触过的转盘游戏引入新课，然后提出两个古典概型知识无法解决的数学问题，引出几何概型的公式。

6、板书设计

板书是整个教学活动的纲目，课时板书设计包括分块板书和整体板书，要突出学科特点，要充分体现教学重点、知识网点和活动导线，板书设计要做到巧妙、精炼、准确、条理清楚。布局要合理、美观，力求多样化。板书修改如下：