高中数学新课程创新教学设计案例50篇 30 几何概型

第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 30 几何概型

几何概型

教材分析

和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．

教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．

这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．

教学目标

1.通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．

3.通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．

任务分析

在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．

教学设计

一、问题情境

如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜． 问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．

二、建立模型 1.提出问题

首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．

题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．

注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．

（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）． 2.引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3.再次提出问题，并组织学生讨论

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．

通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．

三、解释应用 ［例 题］

1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．

分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．

解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以

解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．

教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率． 2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．

解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

假设正方形的边长为2，则

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以

这样就得到了π的近似值．

另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：

（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；

（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算子数）．

（N代表落在正方形中的豆可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．

本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积． ［练习］

1.如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域． 2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x围成的部分）的面积．

23.画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．

四、拓展延伸

1.“概率为数„0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？

2.你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？ 3.你能说说频率和概率的关系吗？

点 评

这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例古典概型

古典概型

教材分析

古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一．这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率．教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想．这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率．

教学目标

1.通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．

2.理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式．

3.通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义．

任务分析

这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念．在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举．

教学设计

一、问题情境

1.掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为

．

2.一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为．

3.在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的．

二、建立模型

1.讨论以上三个问题的特征

在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论． 结论：（1）问题1，2与问题3不相同．（2）问题1，2有两个共同特征：

①有限性．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性．每个基本事件发生的可能性是均等的． 2.古典概型的定义

通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义．

如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型．

一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．例如，第3个例子就不属于古典概型．

3.讨论古典概型的求法

充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法．

一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得

P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1． 又∵P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），∴代入上式，得nP（A1）＝1，即P（A1）＝

．

∴在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为．

如果随机事件Ａ包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝mn，即

三、解释应用

.［例题一］

1.掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率． 注：规范格式，熟悉求法．

2.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

［练习一］

在例2中，把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

注意：放回抽样与不放回抽样的区别． ［例题二］

甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）．求：（1）平局的概率．（2）甲赢的概率．（3）乙赢的概率．

解：把甲、乙出的“锤子”、“剪刀”、“布”分别标在坐标轴上．

其中△为平局，⊙为甲赢，※为乙赢，一次出拳共有3×3＝9种，结果如图29-1．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．

由古典概率的计算公式，得

思考：例3这类概率问题的解法有何特点？

［练习二］

抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率．（2）出现两个4点的概率． ［例题三］

掷红、蓝两颗骰子，事件A＝｛红骰子的点数大于3｝，事件B＝｛蓝骰子的点数大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一颗骰子点数大于3｝发生的概率．

教师明晰：古典概型的情况下概率的一般加法公式． 设A，B是Ω中的两个事件．

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），特别地，当A∩B＝［练习三］

时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63．问：至少有一根熔断的概率是多少？

四、拓展延伸

每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲．同样地，他的父亲和母样的基因也有两份．在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代．

以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：（1）眼睛为褐色．（2）眼睛不为褐色．

如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”，则孩子的眼睛也为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）．如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”，另一份为“眼睛不为褐色”，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况．生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作显性基因．

为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因．每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基

因B，母亲提供基因b），bB，bb．注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色．

假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？

点 评

这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，没有突兀感，符合学生的认知规律．例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用．

第三篇：《几何概型》教学设计分析

对《几何概型》教学设计的分析

1.教学目标分析

（1）课程标准对几何概型的要求：

【课程目标】 通过概率的教学，使学生在具体情景中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，了解概率的某些基本性质和简单的概率模型，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观。

【学习要求】 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。

按照课程目标和教学要求，预设目标主要存在以下问题：（1）目标确立不准

预设目标指出“通过实际生活的案例，发掘出数学问题，学会用数学语言对数据进行整理、分析、计算。”而从课程目标来看这节课的主要目标不是让学生学会用数学语言对数据进行整理、分析、计算，而应是“通过实际生活的案例，让学生认识到几何概型。”

（2）目标层次定位不准

课程标准中把结果性目标细化为“知识”和“技能”两个子领域，知识分为了解、理解和应用三个层次。预设目标把几何概型的概念定位成“理解”层次，这与课程目标是不符的。

（3）情感目标不全面

新一轮课程改革提出, 教学要改革单一的传授和接受式的学习方式, 既要关注学生的知识与能力, 更要关注学生的情感、态度、价值观等.预设目标中虽然设置了情感目标，但是与课程目标相比较，缺少了“培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观。”

（4）过程、方法目标设置较为笼统

在预设目标中过程、方法目标是“通过实际问题，教师为主导，学生为主体，由学生经过探索，自主认知，经历“特殊到一般”的认知过程，完善认知结构，做到实际问题数学化，领会归纳推理的数学思想。”目标编写符合课程目标的要求，使用了探索、经理等行为动词，但是内容较为笼统，几乎适用任何一节数学课。根据课程标准的要求和教学过程的设计，过程与方法应改为：

① 从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过转盘游戏问题，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，感受数学的拓广过程。

② 通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。感知用图形解决概率问题的方法同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

2.学习任务的分析

（1）对学习任务分析不足，重点不突出

课堂教学过程是为了实现目标而展开的，确定教学重点、难点是为了进一步明确教学目标，以便教学过程中突出重点，突破难点，更好地为实现教学目标服务。因此，只有明确了这节课的完整知识体系框架和教学目标，并把课程标准、教材整合起来，才能科学确定静态的教学重点难点。这节课从数学知识来看，既是概念课又是公式课，概念是思维的细胞，公式的的基石，只有概念了解较为深刻，公式的教学才能顺利。教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

（2）对学习任务分析不足，难点没有突破

几何概型是指对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。事件A 理解为区域Ω的某一子区域A，如果事件A 发生的概率只与构成该事件的子区域A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型。

在这个概念的理解中存在着三个难点：关键词“只”、“事件A 发生的概率只与构成该事件的子区域A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比”和”几何度量”,因此根据定义判断随机事件是几何概型对学生而言较为困难，从古典概型到几何概型，从有限到无限的推广，如何让学生理解两者内在的联系，自然推广，如何认识几何度量，这是教学的重点和难点。

（3）学科知识认识不足

学科内部的矛盾是推动学科的发展的途径之一，几何概型是对古典概型有益的补充，几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，古典概型具备如下两个特点：其一，所有的基本事件只有有限个;其二, 每个基本事件的发生都是等可能的.其中的第一个特点, 即要求基本事件的个数是有限的, 这不能不说是一个很大的限制, 人们当然要竭力突破这个限制, 以扩大研究范围.一般来说, 当基本事件的个数为无限时, 会出现一些本质性的困难, 使问题不再象有限的情况下那么容易解决.所以，这节课的设计应该通过分析古典概型的局限性（只能有有限个事件），产生对无限个事件的随机实验研究的需求，进而引入几何概型。

（4）思想方法挖掘不透

几何概型的计算公式

P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积），与古典概型的公式在形式上是完全相同的，同属于“比例解法”，所以解题思路也是相同的。因此教学应改抓住古典概型和几何概型的的区别，鼓励学生思考解决新一类概率问题的方法，积极与已学过的古典概型做对比，让学生感受求新一类概率问题的一般方法，从而化解如何求概率的教学困惑。

（5）专业知识比较薄弱

一个好的教师必须具备渊博、深厚的专业知识，不仅要具有初等数学知识、高等数学知识还应有丰富的数学史知识。事实上, 几何概型这部分内容的应用非常广泛, 其中有很多非常经典的例子, 如会面问题等等.另外新教材中阅读部分所提及的布丰(G.L.L.Buffon)投针问题, 通常被认为是几何概型的第一个试验的一个著名的问题，因此，在教学设计中应该把这些历史名题贯穿于教学中。

3.教学过程的分析

优点：

从教学过程可以看出，本节课遵循“情境—问题—探究—概括—应用”的教学模式。引入是从一个转盘游戏开始的，符合学生“研究新问题————产生内在需求——————解决新问题”的认知规律。公式探究思路清晰，教学路线明朗。在教学的过程中注重体现以学生发展为本的理念，在理解数学的内涵和外延的同时，让学生在知识技能，过程和方法，情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。

缺点：

(1)不重视概念形成的过程

概念的学习形式主要有概念的形成和概念的同化两种。几何概型将古典概型的研究从有限个基本事件过渡研究无限多个基本事件，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型。因此本节课的学习宜采用概念的形成。概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念，其实质是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。具体模式如下：辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。

在教学过程中，应利用生活当中的实例，引导学生通过观察分析，提取它们的共性，并通过与古典概型的比较，概括数学方法（几何概型的概率计算公式）体现了数学教学是数学思维活动的过程教学。在归纳了几何概型的定义及其概率公式，并且组织学生通过实验给予验证。据此，让学生进一步感知数学的思想、体验数学知识形成的过程、明确概念形成的合理性、探讨数学问题解决的方法，在掌握知识的同时感受到了数学学习的乐趣和数学的应用价值。在教学过程中注重强调概念形成过程，将几何概型概念形成的教学通过猜想验证思想逐步让学生自主探究，并体会概念形成的合理性。使学生能全面系统地掌握概率知识，且对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。

（2）没有突破公式教学的难点，充分挖掘数学思想

构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）P(A)从学生认知角度看从学生的思维特点和教学内容看,本节内容宜与古典概型的特点、计算方法等方面进行类比.另一方面，几何概型的计算方法与古典概型有着本质的区别，如何根据几何概型的特征判断随机事件是否是几何概型，以及计算公式中构成区域的长度、面积和体积的选择是公式应用的难点。教学中应通过不同的实际问题或同一问题不同的解决策略，环环紧扣、突破教学难点，让学生逐步感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

4.例题选择的分析

例1的设计紧紧围绕教学难点展开，学生在辨别古典和几何概型的过程中加深了对概念的理解。例2的设计使学生及时训练和体会把实际问题转化为几何概型的方法并会用几何概型计算公式求事件的概率，体现理论应用于实际的同时，感受数学模型思想。例题的选取与安排循序渐进，针对性较强，层次和坡度安排合理，力求使学生有效掌握知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。但公式的巩固和应用只有一道例题，显得比较单一。在公式的应用中设计了使用不同测度的应用问题，以便学生深刻理解概率公式。此外，概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生的练习也缺乏.5.教学方法分析

（1）本节课教学方法主要采用讨论发现法 课堂上，教师让学生用几何画板演示一个转盘流戏，激发学生的学习兴趣和参与积极性。提出两个概率问题，通过教师与学生、学生与学生之间相互讨论，在问题解决的过程中得出几何概型的公式。但在教学过程设计中，感受几何概型概念的知识的产生、发展和形成比较薄弱。

（2）本节课教学模式运用了“以问题为中心”的讨论式教学模式

教学过程的设计把问题作为教学的出发点，精心设计问题情景，让问题处于学生思维水平的最近发展区，以此激发学生的好奇心和求知欲。首先用初中学习中接触过的转盘游戏引入新课，然后提出两个古典概型知识无法解决的数学问题，引出几何概型的公式。

6、板书设计

板书是整个教学活动的纲目，课时板书设计包括分块板书和整体板书，要突出学科特点，要充分体现教学重点、知识网点和活动导线，板书设计要做到巧妙、精炼、准确、条理清楚。布局要合理、美观，力求多样化。板书修改如下：

第四篇：3.3.1 几何概型教学设计

3.3.1 几何概型教学设计与课后反思

纳雍县第一中学 罗万能 教学目标

1．知识目标

①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别； ②理解并掌握几何概型的定义； ③会求简单的几何概型试验的概率.2．情感目标

①让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象；

②通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.重点难点

重点：几何概型概念的理解和公式的运用； 难点：几何概型的应用.只有掌握了几何概型的概念及特点，才能够判断一个问题是否是几何概型，才能够用几何概型的概率公式去解决这个问题.而在应用公式的过程中，几何度量的正确选取是难点之一，要好好把握.学情分析及教学内容分析

本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.教学过程

1．问题引入

引例1 北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.引例2 厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

设计意图：

1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望； 2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题； 3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.” 提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？

学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件

所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”

教师继续提问：这个问题是古典概型吗？

通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.2．概念形成 记引例2中的事件

为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件

包含的基本事件有无数个，而试验的基本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无数”的情况，没有办法求解.因此，我们需要一个量，来度量事件

和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量”.这就得到了几何概型的概率公式量，表示子区域的几何度量.，其中表示区域的几何度引例2就可以选取面积做几何度量来解决.通过上面的分析，引导学生发现：几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”.3.探索归纳

问题1 在500ml水中有一个草履虫，现从中随机抽取2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.问题2 取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？

设计意图：

1．让学生分别体会用体积、长度之比来度量概率，加深学生对几何概型概念的理解； 2．强化解决几何概型问题的关键是抓住问题的实质，找出临界状态。这是解决几何概型问题的第一个关键.问题3 如图2, 设超过半径的概率？

为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与

连结，求弦长

由学生讨论解答.预期思路1：(见图3)

根据题意，在圆周上随机取一点，有无限种可能，而每一点被取到的机会都一样，满足几何概型的特点，可以考虑用几何概型求解.先找临界状态，即弦长等于半径时所取的点的位置.找到和是两个全等的正三角形.即在两个位置，使得

和

取点时弦长刚好等于半径；而在两段劣弧上取点时弦长小于半径；在化

为弧长之比.这段优弧上取点时，弦长超过半径。因此问题转

.预期思路2：（见图4）也可以转化为角度之比..预期思路3：（见图5）也可以转化为面积之比..提出问题：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？ 由学生分组讨论,给出回答：因为在半径一致的情况下，弧长之比等于角度之比，也等于面积之比..设计意图：加深学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.问题4 如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（）

A．一样大 B.黄、红区域大 C.蓝、白区域大 D.由指针转动圈数确定

设计意图：通过与引例2对比，使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角度”，而不是“面积”.而引例2之所以用面积比也能解决问题，是因为其面积比恰好等于角度比.提出问题：如何才能找到最恰当的几何度量呢？

引导学生找问题中的“提示”.如问题3中在圆周上任意取点，因此选取弧长作为几何度量是最恰当的方法.几何度量的正确选择是解决几何概型问题的第二个关键.4。巩固深化

练习1 如图7,在面积为的的边上任取一点，求的面积小于的概率.练习2 如图8,向面积为练习3 如图9,向体积为的的三棱锥

内任投一点，求的面积小于，求三棱锥的概率.的内任投一点体积小于的概率.设计意图：通过这3个问题的对比，加深学生对几何度量选取的理解，关键是判断在何处取点.问题5 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形(如图10)，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.问题6平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径为的硬币任意掷在这平面上(如图11)，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．

设计意图：

1．开拓学生的思路，进一步提高学生分析、解决问题的能力； 2．引导学生归纳总结解决几何概型问题的第三个关键：物化为点.如问题5 中，我们选择了海豚的嘴尖为研究对象，问题6中，我们则选择硬币的中心为研究对象.物化为点之后，研究起来会更加便捷.在处理问题6时，先由学生自主思考，而后合作交流，发表自己的看法，培养学生概括归纳的能力。

5．课堂小结

这个工作我准备交给学生去做。让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等等，引导学生对这节课的内容加以巩固深化.3.3.1 几何概型教学课后反思

纳雍县第一中学 罗万能

本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概型与几何概型的异同。在启发式教学方式的引领下，以问题串的形式开启学生思维之门。通过课后检测，发现本节课学生的学习效果比较不错.我认为本节课有以下五个方面做得比较成功.1．通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲.2．通过与古典概型对比，产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法.3．分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解.4．问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规律.5．本节课中所体现的极限思想、类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助.本节课的不足之处在于教师做的准备工作太多，问题设置得过于紧密，使得学生发挥的空间不够.如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题、解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的，还望各位同仁不吝赐教.另外，经典的“约会问题”本来是几何概型能够解决的问题中最有代表性的，但是由于其中涉及到的线性规划知识要在必修五中才能够学到，因此本节课没有将其设计在内.

第五篇：苏教版《几何概型》教学设计

《几何概型》教学设计

江苏省南通市通州区刘桥中学 刘晓苏

一、教学内容解析

《几何概型》是苏教版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件及其概率》和《古典概型》两节之后，是在学生学习了概率的统计定义和等可能定义之后学习的.本小节大致安排教学两课时，本节课是第一课时，是一节概念新授课.几何概型是在古典概型基础上的进一步发展，是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.学好几何概型，对学生全面系统地掌握概率知识及辩证思想的进一步形成具有重要作用.几何概型的关键是寻找合理的几何模型，通过建立无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，用几何区域的测度刻画无限个等可能基本事件，达到求解相关概率问题的目的，体现了抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，是概率问题与几何问题的一种完美结合.教学中通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力和数学建模能力，增强学生的辩证唯物主义世界观，进一步树立科学的人生观、价值观.本节课的教学重点:几何概型概念的建构和建立合理的几何模型进行简单的几何概率计算.二、教学目标设置

结合《普通高中数学课程标准》对高中数学课程的总目标以及对几何概型的教学要求“初步体会几何概型的意义”，我将本节课的具体教学目标确定为以下三点：

1.通过对具体实例的观察和分析，了解几何概型的两个基本特点，并会判断实际问题中的概率模型是否为几何概型.2.经历几何概型的概念建构过程, 感受数学的拓广过程，体会从感性到理性的思维过程，提高数学归纳能力和数学抽象能力.3.会通过建立合理的几何模型进行简单的几何概率计算, 注重建模过程，体会数形结合思想.三、学生学情分析

初中教材中已涉及到个别简单的几何概型问题，学生凭借直觉与生活经验能把问题的结果计算出来，但缺少从数学的内部对问题的理解.本节课的教学目的也正是在学生已有认知的基础上对概念的完善与系统化.在本章中，学生已经学习了概率的统计定义和古典概型，掌握了两种计算事件发生概率的方法:一是用频率估计概率；二是用古典概型的公式来计算概率.在《古典概型》一节中学生已经会把事件分解成等可能基本事件，知道它的两个特点是等可能性和有限性，并经历了从基本事件的角度建构了古典概型的定义和概率计算公式.类比古典概型，通过分析基本事件，学生容易知道几何概型中基本事件的特点是等可能性与无限性.但学生对无限个等可能基本事件的量化具有困难，需要教师引导.在运用公式解决实际问题时，选择合适的模型，将实际问题转化几何概型问题对学生来说比较困难.我校为农村普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.本课教学难点：几何概型概念的建构及解决实际问题时如何从背景中确定特定几何区域及其测度.为突破难点，在概念建构过程中我结合分析内容形成框图，利用框图直观的表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.而在应用阶段，我通过适当改造和增补例题与练习，分步化解难点，逐步提高思维的层次，深化学生对概念和公式的理解，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.四、教学策略分析

根据以上分析，本节课结合启发式教学原则，采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，结合多媒体辅助教学.教学的过程，是一个再加工，再创造的过程，是把已经浓缩为结论的这一本来富有生命力的知识的形成过程重新演绎的过程.依据几何概型的发生发展过程和学生的思维规律，我通过设置情境导入，复习回顾，探究分析，概念建构，数学应用，回顾总结六个环节来开展教学.教学中，首先选择了初中教材选学部分涉及的一个简单几何概型问题作为先行组织材料，通过先凭直觉计算概率，再类比古典概型分析计算的合理性，最后通过试验验证结果的正确性，让学生从已有认知经验出发，从直观的计算到理性的分析来初步感受几何

概型的特点.然后再提供两个不同背景的实例，让学生进行探究并交流，最后通过对三个实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程.在教学过程中，我以“问题串”为载体，以问题引领教学，以问题驱动学生主动参与知识建构、合作探究.所设置的问题让学生跳一跳就能够得到，激发学生的学习主动性.在学生探究与讨论过程中，我加入到思维能力薄弱的小组中，及时给予引导和提示，力争让所有学生都能在尝试、探索的过程中，体会数学知识的形成和发展过程.因此，我的教学理念是过程性、问题性和主体性.五、教学过程

（一）问题情境

情境1 取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向正方形内投一粒米，（假设米粒能落在正方形内任意一点且米粒的面积不计），求米粒落入圆内的概率．（人教版九年级数学上册P147试验与探究）

问题1：请解答并说明解答依据.师生活动：学生用内切圆与正方形面积之比表示了概率，但无法说出这样计算的理论依据.【设计意图】创造性地使用教材，将初中教材中已出现但没有深入研究的一个简单的几何概型问题作为情境引入，学生凭直觉和经验能算出结果，但缺少理论的支撑，以此激发学生的探求欲望，促使学生由对问题的感性认识转向理性思考.（二）复习回顾

问题2：我们已有哪些求随机事件概率的方法？

师生活动：通过问题让学生回顾已有的计算随机事件概率的方法及古典概型的两个特点.【设计意图】在学生无法回答情境1的解答依据时，引导他们回顾已有求概率的方法.为从数学内部研究情境1提供 “先行组织者”，给学生类比的对象和方法.（三）探究分析

问题3: 我们从什么角度对情境1展开分析？ 师生活动：通过教师追问，引起学生思考.生：我们也从基本事件角度对情境1展开分析.师：具体分析哪些问题？

生：①试验中每一个基本事件是什么？ ②每个基本事件是否等可能？ ③所有基本事件共有多少个？ ④指定事件中有多少个基本事件？

师: 请大家就以上4个小问题对情境1展开分析.生：试验中的一个基本事件应该是米落在正方形内的一个点，每一个基本事件的发生都是等可能的，这样的基本事件共有无限个，指定事件含有的基本事件也是无限个.师：是古典概型吗？

生：不是，古典概型中所有的基本事件只有有限个，而这里是无限个.师：那我们就无法用数值来表示基本事件的个数m和n了.那它与古典概型有相同之处吗？

生：有，每一个基本事件的发生都是等可能的.【设计意图】引导学生从已有知识经验出发，类比熟知的古典概型问题，从基本事件的角度出发对问题1进行分析.通过分析发现此问题仍是一个等可能模型，不同于古典概型的是基本事件的个数由有限个变成无限个，无法用数值刻画，从而形成认知冲突.问题4：如何刻画不易计数的无限个等可能基本事件？

师生活动：教师引导学生分析，每个基本事件与正方形内一个点对应，所有基本事件与正方形对应，所求事件与内切圆对应，从而将基本事件的个数之比用内切圆与正方形的面积之比合理的替代.教师在黑板上板书上述对应关系.【设计意图】通过引导学生分析得到基本事件与点对应，所求事件与几何图形对应，从而将基本事件的个数之比用几何图形的面积之比合理的替代，说明计算的合理性，让学生初步感知数形结合的思想方法，同时为后面形成几何概型形式化的定义做铺垫.问题5：你有办法验证结果的正确性吗？

师生活动：学生提出验证的试验方案与试验注意点，教师多媒体演示投米粒试验，师生合作验证了计算结果的正确性.教师追问，学生思考.师：当投到正方形内的点数很多时，同学们有什么发现？ 生：这些点几乎把整个正方形填满了.师：对，这就用图形直观地反映了所有的基本事件与正方形相对应.这种对应反映了我们数学中的一种什么思想?

生：数形结合.【设计意图】通过多媒体演示投米粒实验，用频率估计概率，进一步验证了计算结果的正确性.后面的追问让学生进一步体会数形结合思想在解决问题中的作用.师：将情境1中的红色区域移动位置，或改变其形状和大小，概率发生变化了吗?由此你能发现什么？

【设计意图】通过对情境中几何图形的变化，引发学生对几何概型本质特征的思考，帮助学生理解“事件A发生的概率只与红色区域的面积成正比，而与其位置、形状无关”.问题6：请参照情境1的研究思路对情境2和情境3进行分析.情境2 取一根长度为3m的绳子，将绳子拉直后, 在绳子上随机选择一点, 在该点处剪断.那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

情境2 情境3

情境3 一个棱长为20cm盛满水的正方体水池中有一个病毒, 病毒可能出现在水池中的任意一个位置, 它距离水池底不超过5cm的概率是多少？

师生活动：学生自由选择一个情境，类比情境1展开分析，给出解答并说明理由，教师予以点评.【设计意图】情境

2、情境3分别是以长度之比、体积之比表示概率的，采用不同的度量量之比，给予学生更丰富的体验.在这两个问题中，我们始终将对“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型基本特征的体会.（四）建构数学

问题7：请结合前面的分析,总结三个试验具有的共同特点.师生活动：在教师的引导下，学生经过观察、分析，归纳，分三个层次总结三个试验的共同点即第一层基本事件及其特点，第二层指定事件A发生的条件，第三层指定事件A的概率的表示方法.教师结合学生的分析，完善框图，将无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系直观体现：

师生共同完成几何概型的特点、几何概型的概念和概率计算公式的建构.【设计意图】通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知

过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力.（五）数学应用

例1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

师生活动：学生分析试验中的基本事件及其特点，判断该问题为几何概型，确定D，d区域及测度.教师板书示范解题过程，并引导学生归纳解题步骤：记→判→算→答.【设计意图】例1是对所学概念和公式的一个简单应用.其形式与情境1类似，但学生对问题的认识已由感性上升至理性，开始尝试着运用所学理论从数学内部对问题展开分析和解答.解题步骤的归纳让学生体会规范的书写是思维过程的完美再现.练习在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，其中含有麦锈病种子的概率是多少？

师生活动：学生独立完成，教师点评.学生总结解决几何概型问题的分析思路.【设计意图】练习题中的背景没有例1直观，需要学生理性分析，抽象出基本事件对应的几何区域，有助于学生养成透过事物的表象把握本质的思维方法.例2 在等腰直角三角形率．

中，在斜边

上任取一点，求

小于的概

例2图 变式图

师生活动：师生共同分析，解答.师：请同学们比较例1和例2，哪个问题简单点？

【设计意图】例2中的区域d需要学生确定，这是建模的一个难点.这里通过对两个例题的比较，提炼出“确定区域找临界”这一方法，从而突破了这个难点.变式 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ABC内部任取一条射线CM，与线段AB交于点M，求

小于的概率．

师生活动：学生尝试解答，相互交流.教师多媒体演示，确定等可能基本事件及其对应几何区域.【设计意图】测度的确定也是建模的一个难点，通过对两个背景相似而基本事件不同的问题的对比研究，引导学生发现当等可能的角度不同时，测度不同，其概率值也会发生改变，从而突破确定测度这一难点.对变式的研究加强了学生对几何概型本质的进一步认识，形成严谨的数学思维习惯.（六）回顾小结：

问题8：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？获得了什么体会？你还有什么疑问？

师生活动：学生思考，回答，教师适当点拨，补充.【设计意图】通过问题引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.（七）课后作业

1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.2.研究性作业：请你利用所学知识设计一个方案计算下图中心形区域的面积.指导教师：袁亚良 江苏省南通市教育科学研究中心 王惠清 江苏省南通市通州区教学研究室 杨光明 江苏省南通市通州区刘桥中学

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