高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

异面直线

教材分析

异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．

教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．

教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．

教学目标

1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．

2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．

3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．

任务分析

空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．

教学设计

一、问题情境（１）

1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．

2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？

二、建立模型（１）

1.首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．

2.在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．

强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字． 3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．

（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点 ____________平行直线和异面直线．

4.异面直线的画法．

先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．

显然，图15-2或图15-3较好．

因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．

三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1.我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？

2.回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？

进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？

四、建立模型（2）

在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．

1.异面直线a与b所成的角

已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．

强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．

（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．

（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．

（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线． 2.对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．

引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．

强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．

（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．

五、解释应用 ［例 题］

1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．

注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．

2.已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．

［练习］

1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？

4.已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．

2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有 ____________ 条．（无数）

3.已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有 ____________ 条．（2）

若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？ 点 评

这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 18 直线与平面垂直

直线与平面垂直

教材分析

直线与平面垂直是在研究了直线与直线垂直、直线与平面平行、平面与平面平行的基础上进行的．它是直线与直线垂直的延伸，是学习习近平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础．这节内容的学习可完善知识结构，并对进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力，起着十分重要的作用．

直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理是这节课的重点．

学习直线与平面垂直的性质定理时，应该注意引导学生把直线和直线的关系问题有目的地转化为直线与平面的关系问题，这是这节课的难点．

教学目标

1.掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质． 2.通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．

3.激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．

任务分析

因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．

教学设计

一、问题情境

上海的标志性建筑———东方明珠电视塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．

二、建立模型

我们先来研究空间中两条直线的垂直问题． 在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．

如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．

［问 题］

1.什么叫直线与平面垂直？

教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转．

教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？（2）如何定义直线与平面垂直？

教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．

（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．

2.如图18-2，直线l⊥平面α，直线m

α，问l与m的关系怎样．

学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．

3.怎么画直线与平面垂直？

学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图18-2．

4.如何判断直线与平面垂直？

教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面垂直呢？

学生讨论后，教师总结．

（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判定直线和平面垂直．

（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．

定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．

让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．

（1）定 义．（2）判定定理．（3）推 论．

4.在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似的结论呢？ 学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．

定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．

求证：l∥m．

证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即l∥m．

三、解释应用 ［例 题］

1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过点P与α垂直的直线只有一条．

证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条． 2.如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．

所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三点不共线，所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．

3.已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）． 求证：AP在α内．

证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．

［练习］ 1.已知：如图18-8，在平面α内有PA＝PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．

ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且

2.已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．

3.已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置关系怎样？

四、拓展延伸

1.如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平面为α，证明：

（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．

2.如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，A′的对称平面．

如图18-10（2），如果一个图形Ｆ内的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′，则称F，F′关于平面α成镜面对称．F到F′的图形变换称为镜面对称变换．

如果一个图形Ｆ通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形被称为镜面对称图形． 根据以上定义，探索与研究以下问题：（1）线段的中垂面有哪些性质？

（2）你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？

（3）写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．

点 评

这篇案例设计完整，构思严谨，突出的特点是把学科灰色的理论和鲜活的实际生活相结合，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，这篇案例注意了美育、科学精神和人文精神的渗透，能较好地培养学生的探索创新能力和实践能力，符合新课改精神．

第三篇：第二部分高中数学新课程创新教学设计案例

第二部分 高中数学新课程创新教学设计案例

正弦函数的性质

教材分析

这篇案例的内容是在学生已经掌握正弦函数图像的基础上，通过观察、归纳和总结，得出正弦函数的五个重要性质，即正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．教学重点是正弦函数的图像特征及五个重要性质，难点是周期函数及最小正周期的意义．由于周期函数的概念比较抽象，因此，在引入定义之前，应注意通过具体实例让学生充分体会这种“周而复始”的现象，体会新概念的形成过程．

教学目标

1.引导学生通过观察，分析y＝sinx的图像，进而归纳、总结出正弦函数的图像特征，并抽象出函数性质，培养学生观察、分析图像的能力和数形结合的能力．

2.理解和掌握正弦函数的五个重要性质，能够解决与正弦函数有关的函数的值域、最小正周期及单调区间等简单问题．

3.使学生进一步了解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法，体会分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．

4.使学生初步体会事物周期变化的一些奥秘，进一步提高学生对数学的学习兴趣．

任务分析

这节内容是在学生已经掌握了正弦函数图像特征的基础上，运用数学的符号语言把图像特征进一步“量化”，从而得出正弦函数的五个性质．一般来说，从正弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦函数的定义域、值域、最值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，但对于周期性及单调区间的表述，学生可能会有一定的困难．因此，在引入周期函数的定义之前，要让学生充分观察图像，必要时可把物理中的弹簧振动的实验再做一做，让学生体会“周而复始”的现象，体会概念的形成过程．

此外，对于周期函数，还应强调以下几点： 1.x应是“定义域内的每一个值”．

2.对于某些周期函数，在它所有的周期中，不一定存在一个最小的正周期，即某些周期函数没有最小正周期． 3.对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．

教学设计

一、问题情境

1.教师提出问题，引导学生总结

我们学习过正弦函数图像的画法，并通过观察图像，得到了正弦曲线的一些特征，那么这些特征体现了正弦函数怎样的性质呢？

用投影胶片展示正弦曲线，引导学生探索正弦函数的性质：

注：由此学生得出正弦函数的如下性质：（1）定义域为R．

（2）值域为［－1，1］，当且仅当x＝2kπ＋当且仅当x＝2kπ－

（k∈Z）时，正弦函数取得最大值1，（k∈Z）时，正弦函数取得最小值－1．

注：在此处，教师应提醒学生注意前面的“2kπ”，使学生初步感受一下正弦函数的“周而复始”性．

2.教师进一步提出问题

从正弦曲线我们注意到，函数y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…时的图像与x∈［0，2π］的形状完全一样，只是位置不同，这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？

（设计目的：引导学生从物理中弹簧的振动，即小球在平衡位置的往复运动，体会事物的“周期性”变化）

（2）数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？

二、建立模型 1.引导学生探究

2.教师明晰

通过学生的讨论，归纳出周期函数的定义：

一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f（x±T）＝f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数Ｔ叫作这个函数的周期．

说明：若学生归纳和总结出周期函数的如下定义，也应给以充分的肯定．

如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就叫作周期函数．

给出最小正周期的概念：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期．教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．

3.深化定义的内涵

（1）观察等式sin（y＝sinx的周期？为什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能说是正弦函数（2）函数f（x）＝c是周期函数吗？它有没有最小正周期？ 3.归纳正弦函数的性质

通过观察图像，我们得到了正弦函数的定义域、值域、周期性等性质，除此之外，正弦函数还有哪些性质呢？

教师引导学生归纳出以下两条性质：

奇偶性：由诱导公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称． 单调性：观察正弦曲线可以看出，当x由－由－1增大到1；当x由

增大到

增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值

时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减正弦函数在每一个闭区间［－增大到1；在每一个闭区间［小到－1．

三、解释应用 1.例题分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的集合，并说出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）当2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sin2x取得最

（k∈Z）时，函数y＝sin2x大值，最大值是1；当2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函数

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函数y＝sinx与函数y＝sinx＋2同时取得最大值和最小值．因此，当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最大值，最大值为3；当x＝2kπ－

（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最小值，最小值为1．

∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值为3；使函数

（k∈Z）｝，最小值为1．

（3）当a＞0时，使函数取得最大值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 当a＜0时，使函数取得最大值时的ｘ的集合为｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

设t＝sinx，则y＝二次函数的最大值和最小值问题了．，且t∈［－1，1］，于是问题就变成求闭区间上当t＝1，即sinx＝1时，ymax＝1，取最大值时x的集合为｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

当t＝－1，即sinx＝－1时，ymin＝－9，取最小值时x的集合为｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［练习］

求下列函数的最值，以及使函数取得值时的自变量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函数的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函数y＝sin2x的周期，只须寻求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正数T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正数2T的最小值是2π，∴当2T＝2π时，T＝π． 因此，函数y＝sin2x的周期为π．

（2）要求函数y＝的周期，只须寻求使等式 2.教师启发，诱导学生自主反思

（1）从上面的例题分析中，你是否有所发现？（这类函数的周期好像只与x的系数有关）

（2）一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只须寻求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正数T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正数ωT，最小值是2π，∴当ωT＝2π时，T＝.因此，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期为3.巩 固 ［练习］ 求下列函数的周期．

4.进一步强化

例3 不求值，指出下列各式大于零还是小于零．

例4 确定下列函数的单调区间．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常数T为f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能证明正弦函数的最小正周期是2π吗？

3.某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表： 表35-1

经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋B的图像．

（1）试根据数据表和曲线，求出函数y＝Asinωt＋B的表达式．

（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港用的时间）？

第四篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__24_点到直线的距离

点到直线的距离

教材分析

点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．

这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．

教学目标

1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力． 2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．

任务分析

这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．

教学设计

一、问题情境 1.某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

2.在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由

解得即m与l的交点

由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．

（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（一点M（0，－），易让向量

＝（，0）．在直线l上任取）与向量n＝（3，－4）垂直．

设向量知 与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易

（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0． 设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，①

又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．

②

把等式①和等式②两边相加，得 25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．

二、建立模型

设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．

我们来寻求点到直线l距离的算法．

作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y1）＝0． 由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．① 由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．② 把等式①和②两边平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：（1）给出点的坐标x1和y1赋值．（2）给A，B，C赋值．

（3）计算

注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．

三、解释应用 ［例 题］

1.求点P（－1，2）到下列直线的距离： l1：2x＋y＝5，l2：3x＝2． 注意：规范解题格式．

2.求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离． 分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．

解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝

3.建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．

不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；

直线BC：∴点B（a，0）．，即bx＋ay－ab＝0，在线段AB上任取一点D（m，0），则－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝的高．

［练习］，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上1.求下列点到直线的距离．

（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．

（2）A（1，0），l2：

x＋y－＝0．

（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．

2.求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．

3.（1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．

（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．

（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．

（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．

四、拓展延伸

1.点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？ 2.点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离． 不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．

由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得

易证A＝0或B＝0，公式也成立．

（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：

①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．

不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．

如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．

∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，∴向量n＝（A，B），与向量直．

②求点P0到直线l的距离d．

＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂由数量积的定义，如果向量

与向量n的夹角为θ，那么

易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．

点 评

这节课首先通过实例阐述了点到直线距离的产生背景，并通过学生思考讨论，归纳和概括出了求点到直线的距离的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推导点到直线距离公式的方法．这种安排充分体现了新课程标准的教学理念，符合新课程标准精神．例题与练习的设计由浅入深，完整，全面．解释应用深有新意，有深度．拓展延伸活跃了学生思维，培养了学生发现问题、研究问题、解决问题的能力．总之，这篇案例较好地体现了高中数学教育发展的一丝新理念．

第五篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇(23)直线方程的几种形式

直线方程的几种形式

教材分析

这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程

后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．

教学目标

1.在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．

2.理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．

3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．

4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．

任务分析

这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．

教学设计

一、问题情境

飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？

二、建立模型

1.教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？

设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的直线就是l，它的斜率恒为－2，所以

＝－2，即2x＋y－1＝0．

显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足方程2x＋y－1＝0．

2.教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P（x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则即y－y1＝k（x－x1）．

可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程．

当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．，思考：（1）方程

与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？

（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？ ［例 题］

求满足下列条件的直线方程．（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．

（2）直线l2：过点（0，1），k＝－

.（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．

参考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－y＝3． ［练习］ 求下列直线方程．

x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．

（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）

（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

（如果直线l的方程为y－y1＝方程）

（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．

（如果直线l的方程为，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距，这个方程叫直线的截距式方程）

进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？

通过学生讨论后，师生共同明晰：

在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．

事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．

事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x－x＝－，它表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．

综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－（1）求直线的一般式方程．（2）求直线在x轴、y轴上的截距．

．

（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨． 2.求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．

解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3． ［练习］

1.求满足下列条件的直线方程，并画出图形．（1）过原点，斜率为－2．（2）过点（0，3），（2，1）．（3）过点（－2，1），平行于x轴．（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5． 2.求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．

3.设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．

（1）直线l在x轴上的截距为－3．（2）直线l的斜率为1．

（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．

四、拓展延伸

1.在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？

2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：（1）过坐标原点．

（2）与两坐标轴都相交．（3）只与x轴相交．

（4）只与y轴相交．（5）与x轴重合．

（6）与y轴重合．

3.直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？ 参考答案：

1.直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．

2.（1）C＝0．A，B不全为0；

（2）A，B都不为0．（3）A≠0，B＝0，C≠0．

（4）A＝0，B≠0，C≠0．（5）A＝0，B≠0，C＝0．

（6）A≠0，B＝0，C＝0． 3.略．

点 评

这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．