高中数学新课程创新教学设计案例50篇(22)直线方程的概念与直线的斜率

第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇(22)直线方程的概念与直线的斜率

直线方程的概念与直线的斜率

教材分析

这节内容从一个具体的一次函数及其图像入手，引入直线方程和方程的直线的概念．从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念．然后建立了过两点的直线的斜率公式．直线方程的概念是通过初中学过的一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的关系转换成直线方程与直线的对应关系．对这种关系的学习，要通过观察图像，研究图像，利用数形结合的思想，归纳和概括出什么是直线的方程和方程的直线，使学生对直线和直线方程的关系有一个初步了解．倾斜角和斜率公式都是反映直线相对于ｘ轴正方向的倾斜程度的，确切地说，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率公式是利用直线上点的坐标来研究直线的倾斜程度的．解析几何是用数来研究形的，在研究直线时，使用斜率公式比使用倾斜角更方便，因此正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习这节内容的重点，也是学好平面解析几何的关键．

教学目标

1.通过对本节的学习，了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的意义．

2.理解并掌握过两点的直线的斜率公式，并能用其解决有关的数学问题．

3.初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．

任务分析

这节内容是在一次函数的基础上，通过研究一次函数和它的图像的关系，而引入的直线和方程的关系．对于直线和方程的关系，学生接受起来可能比较困难，因此在学习时要始终结合具体的直线方程和它的图像来研究，以增强直观性，便于被学生理解．直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的，在学习过程中，一方面要注意有关概念之间的区别，另一方面要突出它们之间的联系，要充分利用图像进行具体分析，让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系，特别是当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在的情况，进一步强调：有斜率必有倾斜角与之对应；反之，有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的．在这节的学习中，要让学生体会“形”与“数”相互转化的思想，培养学生分析、联想、抽象、概括的能力．

教学设计

一、问题情境 1.在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？

2.作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．

二、建立模型

1.学生分析讨论，师生共同总结

（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1． 结论：一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

2.教师明晰

从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．

一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b． 练习：已知方程2x＋3y＋6＝0．（1）把这个方程改写成一次函数．（2）画出这个方程对应的直线l．

（3）判定点（，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．

进一步思考如下问题：

哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？如何刻画它们的相对位置？ 3.通过学生讨论，师生共同总结 直线相对x轴的情形有四种，如图所示：

通过分析四种情形，师生共同得出：直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．

问题：（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．

（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？

通过讨论师生共同明确：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．

从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？

在教师的启发下，引导学生作如下探索：

直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．

由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以 y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b．

两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．

所以

由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知

如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是

因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率． 想想看：（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？k＝60，120，…的具体意义是什么？（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？ 进一步引导学生明确下列事实：

除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．

方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线． 对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度． 当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．

当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大． 垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．

三、解释应用 ［例 题］

1.求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k． 解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3； Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．

故k＝＝－1，即k＝－1．

2.画出方程3x＋6y－8＝0的图像．

解：由已知方程解出y，得y＝

这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝；当x＝2时y＝．

在坐标平面内描出点A（0，方程的图像（如图22-4）．），B（2，），则经过A，B两点的直线即为所求一次3.若三点A（－2，3），B（3，－2），C（C三点共线，所以kAC＝kAB，m）共线，求m的值．解：因为A，B，即，解得m＝.思考总结：研究三点共线的常用方法． ［练习］

1.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，－1），（－3，2）．

（2）（1，－2），（5，－2）．

（3）（3，4），（－2，5）．

（4）（3，0），（0，）．

2.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．

3.过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率．

四、拓展延伸

1.直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？

2.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：｜P1P2｜＝－x2｜＝｜y1－y2｜．

｜x13.某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示

你能用斜率来解释这一实际问题吗？

点 评

这篇案例首先通过实例一次函数的图像和一次函数的解析式的关系，引入了直线的方程和方程的直线的概念，在概念的建立上充分利用了图像的直观性，注重了数形结合的思想，注意了概念的严谨性．接着由直线相对x轴的位置关系引入了直线的倾斜角和斜率的概念，为了用数研究形，又引入了过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式k＝，通过师生共同探索明确了倾斜角和斜率是表现直线在坐标系中倾斜程度的．例题与练习的设计由浅入深，有利于巩固所学内容．拓展延伸的设计注意了前瞻性和创新，有利于加深理解所学内容和培养学生探究问题的能力．总之，这篇案例的设计比较好地体现了新课程的理念．

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇(23)直线方程的几种形式

直线方程的几种形式

教材分析

这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程

后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．

教学目标

1.在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．

2.理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．

3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．

4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．

任务分析

这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．

教学设计

一、问题情境

飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？

二、建立模型

1.教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？

设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的直线就是l，它的斜率恒为－2，所以

＝－2，即2x＋y－1＝0．

显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足方程2x＋y－1＝0．

2.教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P（x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则即y－y1＝k（x－x1）．

可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程．

当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．，思考：（1）方程

与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？

（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？ ［例 题］

求满足下列条件的直线方程．（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．

（2）直线l2：过点（0，1），k＝－

.（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．

参考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－y＝3． ［练习］ 求下列直线方程．

x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．

（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）

（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

（如果直线l的方程为y－y1＝方程）

（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．

（如果直线l的方程为，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距，这个方程叫直线的截距式方程）

进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？

通过学生讨论后，师生共同明晰：

在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．

事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．

事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x－x＝－，它表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．

综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－（1）求直线的一般式方程．（2）求直线在x轴、y轴上的截距．

．

（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨． 2.求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．

解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3． ［练习］

1.求满足下列条件的直线方程，并画出图形．（1）过原点，斜率为－2．（2）过点（0，3），（2，1）．（3）过点（－2，1），平行于x轴．（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5． 2.求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．

3.设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．

（1）直线l在x轴上的截距为－3．（2）直线l的斜率为1．

（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．

四、拓展延伸

1.在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？

2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：（1）过坐标原点．

（2）与两坐标轴都相交．（3）只与x轴相交．

（4）只与y轴相交．（5）与x轴重合．

（6）与y轴重合．

3.直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？ 参考答案：

1.直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．

2.（1）C＝0．A，B不全为0；

（2）A，B都不为0．（3）A≠0，B＝0，C≠0．

（4）A＝0，B≠0，C≠0．（5）A＝0，B≠0，C＝0．

（6）A≠0，B＝0，C＝0． 3.略．

点 评

这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．

第三篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 18 直线与平面垂直

直线与平面垂直

教材分析

直线与平面垂直是在研究了直线与直线垂直、直线与平面平行、平面与平面平行的基础上进行的．它是直线与直线垂直的延伸，是学习习近平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础．这节内容的学习可完善知识结构，并对进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力，起着十分重要的作用．

直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理是这节课的重点．

学习直线与平面垂直的性质定理时，应该注意引导学生把直线和直线的关系问题有目的地转化为直线与平面的关系问题，这是这节课的难点．

教学目标

1.掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质． 2.通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．

3.激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．

任务分析

因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．

教学设计

一、问题情境

上海的标志性建筑———东方明珠电视塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．

二、建立模型

我们先来研究空间中两条直线的垂直问题． 在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．

如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．

［问 题］

1.什么叫直线与平面垂直？

教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转．

教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？（2）如何定义直线与平面垂直？

教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．

（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．

2.如图18-2，直线l⊥平面α，直线m

α，问l与m的关系怎样．

学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．

3.怎么画直线与平面垂直？

学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图18-2．

4.如何判断直线与平面垂直？

教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面垂直呢？

学生讨论后，教师总结．

（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判定直线和平面垂直．

（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．

定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．

让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．

（1）定 义．（2）判定定理．（3）推 论．

4.在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似的结论呢？ 学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．

定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．

求证：l∥m．

证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即l∥m．

三、解释应用 ［例 题］

1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过点P与α垂直的直线只有一条．

证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条． 2.如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．

所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三点不共线，所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．

3.已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）． 求证：AP在α内．

证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．

［练习］ 1.已知：如图18-8，在平面α内有PA＝PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．

ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且

2.已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．

3.已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置关系怎样？

四、拓展延伸

1.如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平面为α，证明：

（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．

2.如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，A′的对称平面．

如图18-10（2），如果一个图形Ｆ内的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′，则称F，F′关于平面α成镜面对称．F到F′的图形变换称为镜面对称变换．

如果一个图形Ｆ通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形被称为镜面对称图形． 根据以上定义，探索与研究以下问题：（1）线段的中垂面有哪些性质？

（2）你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？

（3）写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．

点 评

这篇案例设计完整，构思严谨，突出的特点是把学科灰色的理论和鲜活的实际生活相结合，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，这篇案例注意了美育、科学精神和人文精神的渗透，能较好地培养学生的探索创新能力和实践能力，符合新课改精神．

第四篇：直线的倾斜角与斜率教学设计

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

尊敬的各位评委

各位老师，大家好，今天我说课的题目是《直线的倾斜角与斜率》，我主要从以下六个方面进行分析，希望大家喜欢。

一：教材分析：

本节课是新人教版高一数学必修（2）的第三章第一节的内容，根据实际教学的安排，这是第一课时的内容。

1.内容分析：本节课主要有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）。直线的倾斜角是从形的角度描述直线的倾斜程度，而斜率从数的角度描述直线的倾斜程度。这也是数形结合思想的体现。

我们都知道两点一线的事实，那么，如何用坐标法来描述这一过程呢？因此，斜率公式的推出就是很自然的一件事情了。这也体现了我们的数学具有自然美这一特性。

2.作用分析

通过本节课的学习，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，培养学生对数形结合、分类讨论思想的应用知识，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着铺垫的作用。

二：学情分析

1.学生在初中阶段已经学习过了平面直角坐标系，学习过了一次函数、二次函数、反比例函数等。

2.同学们已经知道了两点可以确定一条直线的基本事实。

3.同学们刚刚学完立体几何，对空间点线面的关系已经有了比较深入的了解。

三：目标分析

1.知识与技能

探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个几何量的形成过程，体会由生活中的坡度的概念抽象成数学中的斜率的过程

经历直线斜率公式的推导过程，并会用斜率公式解决简单的问题。

2.方法与过程

本节课设计3个大问题23个小问题，层层深入，环环相扣，步步紧逼、使学生学会用探究式的方法来研究数学问题。

3.情感态度与价值观

通过斜率概念的构建和斜率公式的探究渗透数形结合、分类讨论的思想方法，体会数学的自然之美，和谐之美，有用之美；通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，培养学生的合作意识。同时也是响应国家社会主义核心价值观进课堂的重要体现。

四：重难点分析

重点：直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式

难点：倾斜角为钝角时，斜率公式的推导。

五：教学过程分析：

1.故事引入，激发兴趣

本环节讲一个讲关于法国数学家、解析几何创始人笛卡尔的一个爱情故事。

笛卡尔穷困潦倒之际与一个瑞典的公主相爱了，就像所有的爱情故事一样，他不被丈母娘看好，所以只能以悲剧结束，或许，唯有如此才能流传千古吧。但是，故事的亮点并不在此，而是他在弥留之际写给心爱姑娘的最后一封情书竟然是一个数学公式。P=a（1-sinb）。大家想知道这封情书的含义吗？那么就学好解析几何吧。今天我们就来学习解析几何的初始内容，直线的倾斜角与斜率。

设计意图：以故事吸引学生，激发学生兴趣，引爆学习数学的小宇宙。

2.设计问题

层层探究

本环节我设计了三个大问题，23个小问题，把本节课的所有内容串了起来。

思考1

在平面直角坐标系内如何确定一条直线？

设计意图：通过前3个问题，引出倾斜角的概念，再用后五个问题，加深同学们对倾斜角概念的理解。让学生体会到几何问题的本质就是用代数的方法来研究几何问题。

思考2

生活中，还有没有其它表示倾斜程度的量？

设计意图：本环节通过前两个问题生成斜率的概念，再用后面的6个问题加深对概念的理解。本环节通过把生活中的坡度转化为数学中的斜率，让学生体会数学源于生活，高于生活，数学是自然而然产生的。

思考3：已知直线上两点的坐标如何计算直线的斜率？

设计意图：本环节设计7个子问题，引导学生自己探索，指导学生注意分类讨论时思维的严谨性，培养学生思维的严谨性，完备性。

就这样通过以上23个如此简单的问题在悄无声息中完成了知识的生成，思想的渗透，以及合作意识的培养。

3.例题分析

加深理解

设计意图：通过对课本上两道例题的分析，加深学生对倾斜角、斜率的概念的理解。

4.当堂检测

学以致用

设计意图：考查学生对概念的理解情况，重视课本知识，达到举一反三的效果。

5.归纳总结

知识升华

设计意图：知识性的内容由学生自己总结，把课堂的内容内化为学生的能力。

6.布置作业

查漏补缺

设计意图：梯度作业，既巩固课堂，又延伸拓展，为第二课时的内容做一铺垫。

六：板书设计

设计意图：板书内容并不是对ppt内容的简单重复，而是相辅相成混为一体的。

第五篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

异面直线

教材分析

异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．

教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．

教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．

教学目标

1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．

2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．

3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．

任务分析

空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．

教学设计

一、问题情境（１）

1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．

2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？

二、建立模型（１）

1.首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．

2.在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．

强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字． 3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．

（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点 ____________平行直线和异面直线．

4.异面直线的画法．

先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．

显然，图15-2或图15-3较好．

因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．

三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1.我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？

2.回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？

进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？

四、建立模型（2）

在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．

1.异面直线a与b所成的角

已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．

强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．

（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．

（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．

（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线． 2.对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．

引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．

强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．

（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．

五、解释应用 ［例 题］

1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．

注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．

2.已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．

［练习］

1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？

4.已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．

2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有 ____________ 条．（无数）

3.已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有 ____________ 条．（2）

若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？ 点 评

这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．