高中数学新课程创新教学设计案例50篇 36 向量的概念

第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 36 向量的概念

向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

任务分析

在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型 1.学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用 ［例 题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：都是单位向量．

［练习］

1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？

2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

案例点评

这篇案例设计完整，思路清晰．该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景，然后归纳、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度．为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__40-43平面向量

平面向量的数量积

教材分析

两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．

教学目标

1.理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

2.通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．

任务分析

两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．

两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．

通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．

教学设计

一、问题情景

如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．

W＝｜s｜｜f｜cosθ．

其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．

问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？

二、建立模型

1.引导学生从“功”的模型中得到如下概念：

已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

规定0与任一向量的数量积为０．

由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．

说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉． 2.引导学生思考讨论

根据向量数量积的定义，可以得出

（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解释应用 ［例 题］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［练习］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量数量积的运算律

·．

1.出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？

2.运算律及其推导

已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）． 证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）． 证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；

当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 总之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．

证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？

五、应用与深化 ［例 题］

1.对实数a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？

解：类比完全平方和公式与平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其证明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有类似结论．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［练习］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在边长为2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？ 如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．

2.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝－

＝＋，．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．

3.三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？

解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．

解法2：如图40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

两角和与差的余弦

教材分析

这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础． “两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．

这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．

教学目标

1.通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．

2.通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．

3.能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

任务分析

这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．

教学过程

一、问题情景

我们已经学过诱导公式，如

可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα． 由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？ 出示一个实际问题：

右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？

由图可知BE＝asin（α＋β）．

我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？

引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．

更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引导学生通过特例否定这一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右边＝cos60°．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．

不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析讨论

（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？

（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？

3.教师明晰

通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：

设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出问题，组织学生讨论

（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？

若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．

事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，三、解释应用

［例 题］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：观察公式Cα＋β与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．

［练习］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．

2.（1）求证：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．

3.化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．

分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与导公式Cα-β呢？

教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则由向量数量积的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的数量积的坐标表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．

当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，对于任意角α，β都有

2.教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．

两角和与差的正弦

教材分析

在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α为任意

－（α＋β）］角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．

任务分析

这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcosｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．

教学目标 1.能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．

2.能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．

3.通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．

教学过程

一、问题情景

如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？

设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？ 通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索． 3.分析公式的结构特征

Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．

三、解释应用 ［例题一］

已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．

由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［练习一］

分析：1.（1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．

2.应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．

3.应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．

4.该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．

已知向量的坐标． ＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到

1，2的位置，求点P1，P2的坐标．

［例题三］

求下列函数的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则

［练习三］

求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．

四、拓展延伸

出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．

1.已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．

2.已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：

三角形边和角关系的探索

教材分析

初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．

这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．

任务分析

这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．

教学目标

1.理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理． 2.能运用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．

教学设计

一、问题情景

1.A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？

2.如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）

问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教师引导学生分析讨论

在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．

组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）

结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度．

教师明晰：

（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得

（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）

事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．

思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？ 2.组织学生讨论问题情景（2）

这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC的长． 组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）

教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）

如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？ 3.进一步的问题

勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？

三、解释应用 ［例 题］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）

分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．

（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．

分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．

3.AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［练习］

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．

2.在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°． 由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？

（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．

（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝解，如图40-11．

计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．

③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．

思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？

第三篇：第二部分高中数学新课程创新教学设计案例

第二部分 高中数学新课程创新教学设计案例

正弦函数的性质

教材分析

这篇案例的内容是在学生已经掌握正弦函数图像的基础上，通过观察、归纳和总结，得出正弦函数的五个重要性质，即正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．教学重点是正弦函数的图像特征及五个重要性质，难点是周期函数及最小正周期的意义．由于周期函数的概念比较抽象，因此，在引入定义之前，应注意通过具体实例让学生充分体会这种“周而复始”的现象，体会新概念的形成过程．

教学目标

1.引导学生通过观察，分析y＝sinx的图像，进而归纳、总结出正弦函数的图像特征，并抽象出函数性质，培养学生观察、分析图像的能力和数形结合的能力．

2.理解和掌握正弦函数的五个重要性质，能够解决与正弦函数有关的函数的值域、最小正周期及单调区间等简单问题．

3.使学生进一步了解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法，体会分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．

4.使学生初步体会事物周期变化的一些奥秘，进一步提高学生对数学的学习兴趣．

任务分析

这节内容是在学生已经掌握了正弦函数图像特征的基础上，运用数学的符号语言把图像特征进一步“量化”，从而得出正弦函数的五个性质．一般来说，从正弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦函数的定义域、值域、最值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，但对于周期性及单调区间的表述，学生可能会有一定的困难．因此，在引入周期函数的定义之前，要让学生充分观察图像，必要时可把物理中的弹簧振动的实验再做一做，让学生体会“周而复始”的现象，体会概念的形成过程．

此外，对于周期函数，还应强调以下几点： 1.x应是“定义域内的每一个值”．

2.对于某些周期函数，在它所有的周期中，不一定存在一个最小的正周期，即某些周期函数没有最小正周期． 3.对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．

教学设计

一、问题情境

1.教师提出问题，引导学生总结

我们学习过正弦函数图像的画法，并通过观察图像，得到了正弦曲线的一些特征，那么这些特征体现了正弦函数怎样的性质呢？

用投影胶片展示正弦曲线，引导学生探索正弦函数的性质：

注：由此学生得出正弦函数的如下性质：（1）定义域为R．

（2）值域为［－1，1］，当且仅当x＝2kπ＋当且仅当x＝2kπ－

（k∈Z）时，正弦函数取得最大值1，（k∈Z）时，正弦函数取得最小值－1．

注：在此处，教师应提醒学生注意前面的“2kπ”，使学生初步感受一下正弦函数的“周而复始”性．

2.教师进一步提出问题

从正弦曲线我们注意到，函数y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…时的图像与x∈［0，2π］的形状完全一样，只是位置不同，这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？

（设计目的：引导学生从物理中弹簧的振动，即小球在平衡位置的往复运动，体会事物的“周期性”变化）

（2）数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？

二、建立模型 1.引导学生探究

2.教师明晰

通过学生的讨论，归纳出周期函数的定义：

一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f（x±T）＝f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数Ｔ叫作这个函数的周期．

说明：若学生归纳和总结出周期函数的如下定义，也应给以充分的肯定．

如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就叫作周期函数．

给出最小正周期的概念：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期．教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．

3.深化定义的内涵

（1）观察等式sin（y＝sinx的周期？为什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能说是正弦函数（2）函数f（x）＝c是周期函数吗？它有没有最小正周期？ 3.归纳正弦函数的性质

通过观察图像，我们得到了正弦函数的定义域、值域、周期性等性质，除此之外，正弦函数还有哪些性质呢？

教师引导学生归纳出以下两条性质：

奇偶性：由诱导公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称． 单调性：观察正弦曲线可以看出，当x由－由－1增大到1；当x由

增大到

增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值

时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减正弦函数在每一个闭区间［－增大到1；在每一个闭区间［小到－1．

三、解释应用 1.例题分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的集合，并说出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）当2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sin2x取得最

（k∈Z）时，函数y＝sin2x大值，最大值是1；当2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函数

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函数y＝sinx与函数y＝sinx＋2同时取得最大值和最小值．因此，当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最大值，最大值为3；当x＝2kπ－

（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最小值，最小值为1．

∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值为3；使函数

（k∈Z）｝，最小值为1．

（3）当a＞0时，使函数取得最大值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 当a＜0时，使函数取得最大值时的ｘ的集合为｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

设t＝sinx，则y＝二次函数的最大值和最小值问题了．，且t∈［－1，1］，于是问题就变成求闭区间上当t＝1，即sinx＝1时，ymax＝1，取最大值时x的集合为｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

当t＝－1，即sinx＝－1时，ymin＝－9，取最小值时x的集合为｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［练习］

求下列函数的最值，以及使函数取得值时的自变量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函数的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函数y＝sin2x的周期，只须寻求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正数T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正数2T的最小值是2π，∴当2T＝2π时，T＝π． 因此，函数y＝sin2x的周期为π．

（2）要求函数y＝的周期，只须寻求使等式 2.教师启发，诱导学生自主反思

（1）从上面的例题分析中，你是否有所发现？（这类函数的周期好像只与x的系数有关）

（2）一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只须寻求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正数T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正数ωT，最小值是2π，∴当ωT＝2π时，T＝.因此，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期为3.巩 固 ［练习］ 求下列函数的周期．

4.进一步强化

例3 不求值，指出下列各式大于零还是小于零．

例4 确定下列函数的单调区间．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常数T为f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能证明正弦函数的最小正周期是2π吗？

3.某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表： 表35-1

经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋B的图像．

（1）试根据数据表和曲线，求出函数y＝Asinωt＋B的表达式．

（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港用的时间）？

第四篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 31 角的概念的推广

角的概念的推广

教材分析

这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．

教学目标

1.通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2.理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．

3.通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．

任务分析

这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境 ［演 示］ 1.观览车的运动．

2.体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3.钟表秒针的转动． 4.自行车轮子的滚动． ［问 题］ 1.如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？

2.在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？ 3.钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？ 4.当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？

显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．

二、建立模型

1.正角、负角、零角的概念

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．

2.象限角

当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

3.终边相同的角

在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．

三、解释应用 ［例 题］

1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.写出终边在y轴上的角的集合．

解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，终边在y轴上的角的集合为

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：会正确使用集合的表示方法和符号语言． ［练习］

1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分别用集合表示出来）

（1）第一象限角．（2）锐角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．

4.终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．

四、拓展延伸

1.若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是． 2.如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？

注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．

（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）

点 评

这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情．在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出．例题的设置比较典型，难易度适中．练习题注重基础，但也有一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学习以后章节做了较好的铺垫．

第五篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇35-39_平面向量及其应用

向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型 1.学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用 ［例 题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：都是单位向量．

［练习］

1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量

四、拓展延伸 1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？

2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1.通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2.理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

任务分析

在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

二、建立模型 1.学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量的长度（模），记作，向量的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定． 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3.提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用 ［例 题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：都是单位向量．

［练习］

1.如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2.如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3.设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5.选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？

2.数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？

向量加法运算及其几何意义

教材分析

引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．

教学目标

1.通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．

2.理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．

4.通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．

任务分析

这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．

教学设计

一、问题情境

1.如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移点的位移结果相同．，的结果，与A点直接到C

2.如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．

位移认为：与合成为

等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，F分别是位移位移、力的合成可看作数学上的向量加法．

2.在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义

已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝

＋

＝a，＝

.＝b，再作

求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？

强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．

（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b． 注：要求写出作法，规范解题格式．

2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．

［练习］

1.如图，已知a，b，画图表示a＋b．

2.已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求证.4.在n边形A1A2…An中，计算

四、拓展延伸

1.对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件． 2.在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．

向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．

平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．

教学目标

1.了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．

2.通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力． 3.通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．

任务分析

这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．

教学设计

一、问题情景

1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2.给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.学生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知

2.师生总结

以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．

任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教师启发，通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．

4.教师明晰

如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．

在平面内任取一点O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或减法运算进行．

2.如图38-4，不共线，＝t（t∈R），用，表示． 解：∵

［练习］

1.已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．

3.已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，．

＝ｂ，试用a，b表示向量6.已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有

.四、拓展延伸

平面向量的正交分解与坐标运算

教材分析

这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．

教学目标

1.理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识． 2.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．

3.增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个„路标‟，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．

任务分析

1.有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．

2.可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：

（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．

（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．

3.在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．

教学设计

一、问题情景

1.光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

2.在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

二、建立模型

1.如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．

显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．

若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝xi＋yj，则，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．

2.学生思考讨论

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．

同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．

上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．

解：如图39-3，AB→＝－

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．

总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？

平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．

2.已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．

（1）求－的坐标．

（2）求ABCD中D点的坐标．

放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．

（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．

（2）解法1：设D（x，y），∴x＝y＝2，D（2，2）．

＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）

3.在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量方向和长度．

＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．

设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．

由两点的距离公式，得

设相对x轴正向的转角为α，则

查表或使用计算器，得α＝80°32′．

答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于

．，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2［练习］ 1.已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标． 2.设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

3.已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．

解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸

1.在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．

解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．

将上式换为向量的坐标，得

（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．

即.这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．

2.对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量3，－4）是否线性相关．

＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．

解法2：由k1＋k2＋k3

＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，则

＋＋＝0，故三个向量线性相关．