第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇___45_等差数列
等差数列
教材分析
等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式．教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用．
教学目标
1.理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．
2.通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．
3.培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．
任务分析
这节课是在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，对此，学生接受起来并不太困难．对于等差数列的定义及通项公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，使其充分体验到成功的乐趣．对于通项公式，不要只看表面，更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．
教学设计
一、问题情景
在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．
1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：
0.5，______________，______________，______________，______________，… 2.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，______________，______________，______________，______________，5.5． 3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：
本利和＝本金×（1＋利率×存期）．
例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是
______________，______________，______________，______________，______________ ．
问题：上面的数列有什么共同特点？ 你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？
二、建立模型
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．
［问 题］
（1）如果三个数ａ，A，ｂ成等差数列，那么A叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示A吗？
（2）你能猜想出问题情景中的3个数列各自的通项公式吗？
（3）一般地，对于等差数列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ来表示其通项吗？ 解法1：归纳：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．
解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ． ［思 考］
（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？ｄ可以等0吗？（2）此公式中有几个量？ ［结 论］（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ．当ｄ＝0时，该数列为常数列．
（2）此公式中有四个量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系．
三、解释应用
［例 题］
1.（1）求等差数列8，5，2，…的第20项．
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
2.某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．
令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．
答：须要支付车费23.2元．
3.已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．
解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得 ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝ ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．
它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列． ［练习］ 1.在等差数列中，（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1与ｄ．（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9． 2.已知｛ａn｝是等差数列．
（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？
（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？
3.已知数列｛ａn｝，｛bn｝的通项公式分别为ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常数），且ａ＞ｂ，那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个？
四、拓展延伸
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？
（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？
（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａn·bn｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？
点 评
教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题．这节课正是通过恰当地设计一系列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生思维，培养了学生能力，而且也充分体现了新课程的理念．
值得一提的是，利用归纳的方式引导学生建立概念并及时在应用中深化，是这篇案例的突出特点．
第二篇：第二部分高中数学新课程创新教学设计案例
第二部分 高中数学新课程创新教学设计案例
正弦函数的性质
教材分析
这篇案例的内容是在学生已经掌握正弦函数图像的基础上，通过观察、归纳和总结，得出正弦函数的五个重要性质，即正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．教学重点是正弦函数的图像特征及五个重要性质，难点是周期函数及最小正周期的意义．由于周期函数的概念比较抽象，因此，在引入定义之前，应注意通过具体实例让学生充分体会这种“周而复始”的现象，体会新概念的形成过程．
教学目标
1.引导学生通过观察，分析y＝sinx的图像，进而归纳、总结出正弦函数的图像特征，并抽象出函数性质，培养学生观察、分析图像的能力和数形结合的能力．
2.理解和掌握正弦函数的五个重要性质，能够解决与正弦函数有关的函数的值域、最小正周期及单调区间等简单问题．
3.使学生进一步了解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法，体会分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．
4.使学生初步体会事物周期变化的一些奥秘，进一步提高学生对数学的学习兴趣．
任务分析
这节内容是在学生已经掌握了正弦函数图像特征的基础上，运用数学的符号语言把图像特征进一步“量化”，从而得出正弦函数的五个性质．一般来说，从正弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦函数的定义域、值域、最值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，但对于周期性及单调区间的表述，学生可能会有一定的困难．因此，在引入周期函数的定义之前，要让学生充分观察图像，必要时可把物理中的弹簧振动的实验再做一做，让学生体会“周而复始”的现象，体会概念的形成过程．
此外，对于周期函数，还应强调以下几点： 1.x应是“定义域内的每一个值”．
2.对于某些周期函数，在它所有的周期中，不一定存在一个最小的正周期，即某些周期函数没有最小正周期． 3.对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．
教学设计
一、问题情境
1.教师提出问题，引导学生总结
我们学习过正弦函数图像的画法，并通过观察图像，得到了正弦曲线的一些特征，那么这些特征体现了正弦函数怎样的性质呢？
用投影胶片展示正弦曲线，引导学生探索正弦函数的性质：
注：由此学生得出正弦函数的如下性质：（1）定义域为R．
（2）值域为［－1，1］，当且仅当x＝2kπ＋当且仅当x＝2kπ－
（k∈Z）时，正弦函数取得最大值1，（k∈Z）时，正弦函数取得最小值－1．
注：在此处，教师应提醒学生注意前面的“2kπ”，使学生初步感受一下正弦函数的“周而复始”性．
2.教师进一步提出问题
从正弦曲线我们注意到，函数y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…时的图像与x∈［0，2π］的形状完全一样，只是位置不同，这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？
（设计目的：引导学生从物理中弹簧的振动，即小球在平衡位置的往复运动，体会事物的“周期性”变化）
（2）数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？
二、建立模型 1.引导学生探究
2.教师明晰
通过学生的讨论，归纳出周期函数的定义：
一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f（x±T）＝f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数Ｔ叫作这个函数的周期．
说明：若学生归纳和总结出周期函数的如下定义，也应给以充分的肯定．
如果某函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现，那么这个函数就叫作周期函数．
给出最小正周期的概念：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期．教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．
3.深化定义的内涵
（1）观察等式sin（y＝sinx的周期？为什么？
＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能说是正弦函数（2）函数f（x）＝c是周期函数吗？它有没有最小正周期？ 3.归纳正弦函数的性质
通过观察图像，我们得到了正弦函数的定义域、值域、周期性等性质，除此之外，正弦函数还有哪些性质呢？
教师引导学生归纳出以下两条性质：
奇偶性：由诱导公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称． 单调性：观察正弦曲线可以看出，当x由－由－1增大到1；当x由
增大到
增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值
时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减正弦函数在每一个闭区间［－增大到1；在每一个闭区间［小到－1．
三、解释应用 1.例题分析
＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函数取得最大值和最小值的x的集合，并说出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．
（2）y＝sinx＋2．
（3）y＝asinx＋b．
（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．
解：（1）当2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sin2x取得最
（k∈Z）时，函数y＝sin2x大值，最大值是1；当2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．
（k∈Z），即x＝kπ－∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝kπ－
（k∈Z）｝，最大值是1；使函数
（k∈Z）｝，最小值是－1．
（2）由于函数y＝sinx与函数y＝sinx＋2同时取得最大值和最小值．因此，当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最大值，最大值为3；当x＝2kπ－
（k∈Z）时，函数y＝sinx＋2取得最小值，最小值为1．
∴使函数取得最大值的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合为｛x｜x＝2kπ－
（k∈Z）｝，最大值为3；使函数
（k∈Z）｝，最小值为1．
（3）当a＞0时，使函数取得最大值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ－
（k∈Z）｝，ymax
（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 当a＜0时，使函数取得最大值时的ｘ的集合为｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函数取得最小值时的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋
（k∈Z）｝，ymax＝－
（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．
（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝
设t＝sinx，则y＝二次函数的最大值和最小值问题了．，且t∈［－1，1］，于是问题就变成求闭区间上当t＝1，即sinx＝1时，ymax＝1，取最大值时x的集合为｛x｜x＝2kπ＋
（k∈Z）｝；
当t＝－1，即sinx＝－1时，ymin＝－9，取最小值时x的集合为｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［练习］
求下列函数的最值，以及使函数取得值时的自变量ｘ的集合．
（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．
（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函数的周期．
sinx＋．
（1）y＝sin2x．
（2）y＝．
解：（1）要求函数y＝sin2x的周期，只须寻求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正数T即可．
∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正数2T的最小值是2π，∴当2T＝2π时，T＝π． 因此，函数y＝sin2x的周期为π．
（2）要求函数y＝的周期，只须寻求使等式 2.教师启发，诱导学生自主反思
（1）从上面的例题分析中，你是否有所发现？（这类函数的周期好像只与x的系数有关）
（2）一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只须寻求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正数T即可．
∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正数ωT，最小值是2π，∴当ωT＝2π时，T＝.因此，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期为3.巩 固 ［练习］ 求下列函数的周期．
4.进一步强化
例3 不求值，指出下列各式大于零还是小于零．
例4 确定下列函数的单调区间．（1）y＝1－sin3x．
（2）y＝log2sin3x．
四、拓展延伸
1.若常数T为f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能证明正弦函数的最小正周期是2π吗？
3.某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表： 表35-1
经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋B的图像．
（1）试根据数据表和曲线，求出函数y＝Asinωt＋B的表达式．
（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港用的时间）？
第三篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇 46 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．
教学目标
1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．
2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．
教学设计
一、问题情景
1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．
2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．
3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？
二、建立模型
1.数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．
2.等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？ 对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①
依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．
②
由此得到等差数列的前ｎ项和公式
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？
（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？ 学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用 ［例 题］
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
注：恰当选用公式进行计算．
2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．
解：由题意知
注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．
（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从20XX年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，20XX年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从20XX年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．
解：根据题意，从2001～20XX年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从20XX年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．
那么，到20XX年（ｎ＝10），投入的资金总额为
答：从2001～20XX年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元． 注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．
4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋
ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据
由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？
［练习］
1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？
2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝
ｎ2＋
ｎ＋4，求这个数列的通项公式．
3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．
四、拓展延伸
1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？
2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．
分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－
ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．
解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以
于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．
分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．
点 评
这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．
对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．
就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。
第四篇：新课程高中数学教学设计与案例
新课程高中数学教学设计与案例
李代友
直线与平面平行的性质
1.教学目的
(1)通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知、获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理；
(2)通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性；
(3)通过命题的证明，让学生体会解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想，培养、提高学生分析、解决问题的能力。2.教学重点和难点
重点：直线与平面平行的性质定理；
难点：直线与平面平行性质定理的探索及P61例3。(人教版)3.教学基本流程
复习相关知识并由现实问题引入课题
引导学生探索、发现直线与平面平行的性质定理 分析定理，深化定理的理解 直线与平面平行的性质定理的应用 学生练习，反馈学习效果 小结与作业4.教学过程
教师活动学生活动设计意图【复习】以提问的形式引导学生回顾相关的知识：线线、线面的位置关系及判定线面平行的方法。思考并回答问题。温故知新，为新课的学习做准备。【引入】(1)提出例3给出的实际问题，让学生稍作思考；
(2)点明该问题解决的关键是由条件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面画线，使得工人师傅按照画线加工出满足要求的工件；
(3)引入课题——在我们学习了《直线与平面平行的性质》这一节课之后，我们就知道如何解决这个实际问题了。思考问题，进入新课的学习。通过实际例子，引发学生的学习兴趣，突出学习直线和平面平行性质的现实意义。【设问】
(1)提出本节《思考》的问题(1)：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行? 1 引导学生做小实验：利用笔和桌面做实验，把一支笔放置到与桌面所在平面平行的位置上，把另一支笔放置在桌面，笔所在的直线代表桌面所在平面上的一条直线，移动桌面上的笔到不同的位置，观察两笔所在直线的位置关系。
(2)一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系? 分析：a∥αa与α无公共点 a与α内的任何直线都无公共点 a与α内的直线是异面直线或平行直线。
(1)学生动手做实验，并观察得出问题的结论：与平面平行的直线并不与这个平面内的所有直线都平行。(2)学生由实验结果猜想问题的答案，再由教师的引导进行严谨的分析，确定猜想的正确性。通过学生的动手实验，得出问题的结论，提高学生的探索问题的热情。续表
教师活动学生活动设计意图【探究】一条直线与一个平面平行，在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行? 讲述：与平面平行的直线，和平面内的直线或是异面直线或是平行直线，它们有一个区别是异面直线不共面，而平行直线共面，那么如何利用这个不同点，寻找这些平行直线呢? 长方体ABCD-ABCD中，AC平行于面ABCD，请在面ABCD内找出一条直线与AC平行。分析：AC与AC这两条平行直线共面，同在面AACC内，可见AC是过AC的平面AACC与面ABCD的交线。
(2)在面ABCD内，除了AC还有直线与AC平行吗?如果有，可以通过什么方法找到? 利用课件演示AC任意作一平面AEFC与面ABCD相交于线EF，验证学生的猜想。
分析：因为AC∥面ABCD，所以AC与这个面内的直线EF没有公共点，由大家的这个方法做出直线EF，就使得EF与AC共面，故EF∥AC。学生随着教师的引导，思考问题，回答问题。(1)根据长方体的知识，学生能够找到直线AC与AC平行。随教师的引导，发现AC的特殊位置关系。(2)由上面特殊例子的启发，学生逐渐形成对问题答案的猜想，随教师的引导，证明猜想的正确性。以长方体为载体，引导学生猜想问题成立的条件，推导出定理。续表教师活动学生活动设计意图【剖析定理】(1)证明定理；(2)分析定理成立的条件和结论；(3)指导学生阅读课本60页倒数第一段的内容。要求学生认真听教师的分析，看定理的证明过程，阅读和理解课本60页倒数第一段的内容。深化学生对定理的理解，明确该定理给出了一种作平行线的重要方法。【巩固练习】
一、提出本节开始提出的问题(2)，让学生自由发言。(不局限只有引平行线的方法)
二、判断题
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行。
(3)如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。学生自由举手发言，说明理由。通过练习再次深化对定理的理解。【讲解例题】例
3、例4要求学生跟随教师的分析引导，自己思考和解决问题。让学生体会定理的现实意义与重要性及解决立体几何问题的重要思想方法——化归思想【课堂练习】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求证：CD∥EF
选取几份有代表性的做法，利用投影仪，讲评练习，反馈学习效果。及时解决学生学习上存在的问题【小结】(1)直线与平面平行的性质定理；(2)直线与平面平行性质定理的应用。
【作业】习题22A组第5、6题总结归纳学习内容，安排适当的课后练习
第五篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列
数列
教材分析
这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点．
教学目标
1.理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式．
2.了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项． 3.进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力．
任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学．数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解．由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想．
教学设计
一、问题情景
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数．
二、建立模型
1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列．
［练习］
下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？（1）全体自然数构成数列
0，1，2，3，…
（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列
82，93，105，119，129，130，132．
（3）无穷多个3构成数列
3，3，3，3，…
（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）
100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．
（5）－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列
－1，1，－1，1，…
（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…
2.引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系
如：数列1，2，0，－1，3，8，…，第1项是1，第4项是－1，……由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定．一般地，数列可以看作定义域为Ｎ（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，…时的一系列函数值．
［问 题］ 数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式．
三、解释应用 ［例 题］
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
（1）1，－，－．
（2）2，0，2，0．
解：（1）.（2）可以写成n-
1也可以写成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．
注：对于（2），可以引导学生得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一．
2.下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形．在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1．
在直角坐标系中的图像见下图：
3.设数列满足试写出这个数列的前5项． 解：∵a1＝1，注：像这样给出数列的方法叫逆推法． ［练习］
1.数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式．
2.已知数列｛an｝满足a1＝1，an＝
－1（n＞1），试写出它的前5项． 3.已知数列的通项公式为an＝n2－10n＋10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？
四、拓展延伸
教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：
1.已知数列｛an｝满足，问：此数列有无最大项和最小项？
2.通常用Sn表示数列｛an｝的前n项的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n项和Sn＝n2－3n＋2，试求｛an｝的通项公式．一般地，如何用Sn表示an呢？
点 评
这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性．问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当；总体设计完整，清晰．另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养． 美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简．
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