高中数学新课程创新教学设计案例50篇__8_函数的单调性

第一篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇__8_函数的单调性

函数的单调性

教材分析

函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．

教学目标

1.通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．

2.掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．

任务分析

这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．

教学设计

一、问题情境

1.如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2.分别作出下列函数的图像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x2．

根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？

二、建立模型

1.首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？ 以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝

．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．

注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．

2.在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括 设函数f（x）的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］． 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？

（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．

（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．

三、解释应用 ［例 题］

1.证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数． 注：要规范解题格式．

2.证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．

思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？ 3.设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．

证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．

［练习］

1.证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．

（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．

2.判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．

3.如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．

四、拓展延伸

1.根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．

2.判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明． 3.如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

4.函数值的改变量与自变量的改变量的比的平均变化率．

叫作函数f（x）在x1，x2之间（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．

（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？

点 评

这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．

这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面： 1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．

2.注重联系，提高对数学整体的认识

数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性． 3.注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．

第二篇：《函数单调性》教学案例

《函数单调性》教学案例

1.【案例背景】

“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。“课标”规定两个课时，所选案例为第一课时。

函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。

2.【教学内容分析】

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.3.【学情分析】

高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想 使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．

因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新 问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程． 最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．

4.【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）

【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。

生1（主动回答）：0～4时，温度下降，4～14时温度上升，14～24时温度下降。问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二．借助图象，直观感知

问题3：观画出y=x和yx2的函数图象，回答下面两个问题：

⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？

【设计意图】顺应学生的认知规律。

（小组合作探求）

生1：一次函数y=x其定义域上是上升的，二次函数yx2是先下降后上升。师：这样回答准确吗？

生2：一次函数y=x在区间（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函数y=x2在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。

⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？

【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间）

这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过“几何画板”展示y=x图象上A点的运动情况，让学生观察x，y值的变化。师（及时提问）：同学们能用数学语言把y=x图象“上升”的特征描述出来吗？ 生3：该函数随着x的值增大，y的值相应的增大。师（面向全体学生）：大家同意生4的回答吗？

生4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着x的值增大，y的值相应的增大。师：生5补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数yx2呢？ 生5：函数yx2在区间（-∞，0）上随着x的值增大，y的值相应的减小；在区间（0，+∞）上是随着x的值增大，y的值相应的增大。

师：在数学上，我们把y随着x的增大而增大，称为增函数；把y随着x的增大而减小，称为减函数。

五、巩固概念，适当延展

练习2：证明函数f(x)x在[0,)上是增函数． 〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

六、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2.课后探究：

研究函数yx1(x0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． x 在整个教学过程当中收获了以下几点心得：

1、概念教学就是对知识发生过程的了解，数学概念是一系列常识不断精细化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求。本案例通过“直观”到“抽象”的跨越，使学生意识到自己能力上的缺陷，从而引发认知上的不平衡，产生学习的动力。

2、概念形成困难的原因在于新旧知识结构上的矛盾（如语言形式上的差异太大，学生认知水平、抽象水平与新内容的要求落差大等），所以解决的策略应是要培植知识的生长点，搭建恰当的脚手架。为此，我循序渐进、螺旋式地设计了问题组和运用了信息技术，是学生从“形”到“数”有了清新的认识。

第三篇：函数单调性教学设计

函数单调性教学设计

关于函数的单调性习题课教学设计，本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅，结合平时的教学，有些教学方面的心得如下，希望专家和同行批评指正。

本节课是高中数学新课程标准必修1的第2章函数里的函数基本性质中介绍的第一个性质。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，而且函数单调性在解决函数变化趋势、值域、最值、不等式等许多问题中有着广泛的应用。对整个高中数学教学起着重要的奠基作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。下面我就这部分内容的习题教学提出一些不成熟的做法。

教学目标：

（1）在知识方面，通过习题训练，使学生能加深对函数单调性概念的理解，进一步掌握判断并证明函数的单调性方法、学会应用函数的单调性解决相关问题。

（2）在能力方面，培养学生归纳、抽象以及推理的能力，提高学生创新的意识，并渗透数形结合的思想。

（3）在价值观和情感教育方面，让学生在解题的过程中体验数学美，培养学生乐于求索的精神，提高学生的数学修养，使其养成科学、严谨的研究态度。教学重点和难点：

本节课的教学重点是函数单调性的判定、证明及应用。其中的教学难点是函数单调性的应用和复合函数单调性的理解。教法和学法：

在教法上采用传统的讲练结合。在具体实施上，将采用计算机辅助教学的手段，为了贴切地服务于教学目标，课件的制作是为了能更好的讲练习题，提高课堂效率，用是PowerPoint软件。而学生在学习过程中不仅要训练知识技能，还要达到思维的训练，因此这节课要以学生为主体，给学生充足的活动空间。作为教师，我要做好启发和规范地指导，引领学生大胆地探索，并培养其严谨的数学品质。

教学过程设计：

大概分为复习回顾、例题讲解、规律小结、巩固练习四个版块，最后布置作业。下面为每部分的具体构思。

1、复习分为概念回顾和基础练习两部分，预计费时7到8分钟左右，其中概念为（1）函数单调性和单调区间的定义以及用定义证明函数单调性的步骤，（2）怎么判断函数单调性及单调区间——可以用定义法，也可以从图象上观察。形式主要由学生口答。基础练习部分选择了5道小题目，课件形式给出，请学生口答，内容涉及单调性的理解，一次函数、二次函数的单调性，最后一题让学生们画出图象，观察图象的“升降”写出单调区间，渗透数形结合的思想，都是小题目，难度小，用时少，但紧扣概念，也让学生迅速热身，无形中抓住了学生的课堂注意力。

2、例题选择方面：

关于例

1、试判断函数f(x)变式：讨论函数f(x)x(1x1)的单调性并证明； x21ax(1x1)的单调性。x21选择这个题目是为了让学生更好地掌握定义法证明函数单调性的方法和基本步骤，变式的选择是为培养学生分情况讨论的意识和能力，讲解过程中要注意证明的规范性，进一步培养学生严谨、规范的科学态度和品质。

关于例

2、求函数yx21的值域。x2函数单调性的一个很重要的应用是求函数的值域或最值，选择这道题，教会学生利用单调性来求函数值域的方法。让学生体会利用单调性求值域时的简捷有效。丰富学生的知识体系。

关于例

3、已知函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且f()f(x)f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)1,解不等式f(x5)2

这是一道抽象函数的题目，对于求出f(1)、f(9)分别是0和2用的是赋值法，这是抽象函数中常用的方法，不等式变为f(x5)f(9)，应用函数单调性，将抽象函数函数值的大小关系，转化为自变量之间的大小关系，即x59，提醒学生注意函数定义域！

x50选择这个抽象函数的例子，目的就是让学生体会并掌握怎么样利用单调性转化函数和自变量的大小关系。

关于例

4、已知f(x)是R上的减函数，g(x)x24x，求函数h(x)f(g(x))的单调增区间。

最终的那个函数明显是个复合函数，函数g(x)图象的对称轴是x2，开口向下，在[2,)上递减，又f(x)也递减，所以[2,)是个增区间。

本题小结：两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。

3、关于这部分的课堂小结：

我们可以应用函数的单调性求函数值域、解不等式，以及证明一些代数命题。

4、关于巩固练习题目方面的选择：

这部分选两题，类型在例题中已出现，其中第一个要先证明函数的单调性，再求值域。而第二题则先要判断单调性，再进行证明，确定了单调性之后再应用到三角形的问题中，使学生在解题的过程中体会在一些代数不等式证明中如何应用函数单调性的。

这部分让学生自己做，用投影仪和板书结合，规范其书写和论证。

5、关于作业布置方面：

结合本节课的讲解内容，为进一步巩固教学成果，在作业题型选择上，本人力求做到紧扣和深化上课内容。一共有三大题，第一题是求单调区间，其中要用图形，数形结合；第二题要利用例4的小结“两个函数单调性相同则复合后是增，相反则复合后是减。”；第三题是抽象函数题，与课上的例3类型一样，让学生课后练习巩固。

以上是我对这部分习题教学方面的一些思考，希望得到专家的指正！

第四篇：《函数单调性》的教学案例

《函数单调性》的教学案例

一、教学目标:

(1)知识与技能：理解增函数、减函数的概念，初步掌握判断 函数单调性的方法;

(2方法与过程：通过观察、归纳、抽象、概括等，培养学生 从图象中发现函数的单调性，并用数学语言加以刻画的能力，领会数形结合的数学思想方法。

(3)情感态度与价值观：在学习中，体验数学的科学价值和应

用价值，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点

教学重点：在图象中发现函数的单调性并形成概念;

教学难点：将函数单调性的图形语言或直观语言转化为数学 语言，用定义证明函数的单调性。

三、《函数单调性》 教学过程：

在下一页用图表说明。

《函数单调性》 教学过程

第五篇：函数的单调性教学案例

函数的单调性教学案例

【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】

重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】

（一）问题情境

1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落？

2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。

如何用学过的函数图象来描绘这些成语？

设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发 学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新

1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究yx时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义：

问题4：如何定义单调减函数呢？ 2可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质 如：函数y上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2

1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域(,0)(0,)上xx

1）。

2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明：

1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y|x1|

1、y|x21|的图象，写出他们的单调区间。

设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。