《异面直线及其夹角》教案设计5则范文

第一篇：《异面直线及其夹角》教案设计

《异面直线及其夹角》教案设计

1．教材内容的分析

1．1． 地位和作用

异面直线及其夹角是立体几何的重点内容之一。从教材知识编排的角度讲，它是平面内线线关系的深化，也是空间位置关系和数量关系中最基本的一种；从解决问题的方法角度讲，本节课所渗透的将空间问题向平面转化的思想是立体几何学习的核心思想，为进一步学习其他内容提供了依据；从能力培养的角度讲，它是立体几何学习的起始阶段，对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的。1．2．教学重点和难点

教学重点：异面直线的概念、判定和异面直线夹角的定义；将空间角转化为平面角。教学难点：对异面直线和异面直线夹角概念的抽象过程。

2．教材目标的确定

2．1．学情分析

通过初中平面几何的学习，学生能非常熟练的处理平面内两直线的有关问题，但空间意识不强，还没有形成解决空间问题的基本思路。作为高二的学生，他们思维灵活，想象力丰富，求知欲强，对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与探究，但在合作交流意识方面有待加强。

2．2．教学目标

基于上述分析，我从三个方面确定了以下教学目标：（1）理解异面直线和异面直线的夹角，掌握异面直线的判定；

（2）初步感受空间问题到平面问题的化归思想，体会文字语言、图形语言和符号语言的相互转化；

（3）在丰富的数学活动中，能积极参与，交流互动，培养自己的合作意识和团队精神，并感受学习数学的乐趣。2．3。核心问题

认识空间中既不平行也不相交的两条直线。

3．教学方法的选择

波利亚认为，学习任何东西最好的途径是自己去发现。根据教学内容、教学目标和学生的认知 1 水平，本课采用“问题·活动·反思”的教学方式。学生的学法突出自主探究、小组合作，使每个人都有机会经历数学概念抽象的各个阶段，最终形成概念，获得方法，培养能力。教师的教法突出设计与引导，在情境创设、认知策略上给予适当的点拨，并为学生参与交流搭建平台。

4．教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为如下四个阶段： 4．1．创设问题情景、提出核心问题（3分钟）

在这部分里，用多媒体展示日常生活中常见的异面直线现象，如桥与河流、旗杆与白色的跑道、纵横交错的电线等等，并让学生自己列举一些能体现既不平行也不相交的直线的事物，由此提出本节课的核心问题——认识空间中既不平行也不相交的两条直线。

通过多媒体展示生活中的图形，能提高学生学习的兴趣，增强直观性；让学生自己举例能够拉近数学和学生现实的距离，感受数学来源于生活。开门见山的提出核心问题，其设计意图在于以核心问题调动学生的学习，在解决核心问题的过程中表达、归纳，进而产生本节课的新知识，使教学的结果性目标和体验性目标都获得更高的达成度。4．2．探究归纳、解决核心问题（23分钟）

在本阶段的教学中，为使学生充分感受相关知识的生成，经历观察、归纳、抽象的探究过程，加深对两个概念、一个定理的本质的认识，我设计了三个环节,引导学生分别完成对异面直线的三次认识。

4．2．1．探究异面直线概念（8分钟）

本环节的教学主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的正方体出发，直观感知异面直线，并从中提炼出异面直线的定义。

在本环节的教学中，教师先提出问题：平行或者相交的直线具有什么共同特点？学生会回答：共面。教师追问：那么既不平行也不相交的直线又具有什么共同特点？然后引导学生利用正方体模型开展讨论，利用原有的知识证明他们的判断并进行归纳，最后用直接浅显的语言，得出异面直线的概念。

而后教师画出异面直线的图示，并强调辅助平面的作用。

数学教学既要强调对新信息意义的建构，也要强调对原有经验的改造和重组。在完成对异面直线概念的认识后，组织学生对空间两直线的不同位置关系进行分类，以完善其认知结构：（1）按平面的基本性质分类：

①在同一平面内：相交直线、平行直线 ②不在同一平面内：异面直线

2（2）按公共点的数目分类： ①只有一个公共点——相交直线 ②没有公共点：平行直线、异面直线 4．2．2．探究异面直线的判定定理（5分钟）

在对空间两直线的不同位置关系分类完成后，我给出一个正方体ABCDA1B1C1D1，要求学生在底面的边和对角线中找出与侧棱AA1异面的所有直线，并归纳其共同点，从而得出异面直线的判定定理，并分别用文字语言、图形语言和符号语言叙述出来。

由于本班是理科实验班，学生的层次相对较好，因此对于定理的教学强调发现的过程，而将其证明留做课后阅读。

4．2．3．探究异面直线夹角概念（10分钟）

这是本节课的重点和难点所在。在此环节中，我设计了三个步骤，使学生更进一步的理解异面直线。

（1）揭示背景

首先教师提出问题：在正方体ABCDA1B1C1D1的面ABCD内，过点C能做多少条直线与直线B1C1异面？为什么？之后教师进一步指出：从位置关系说，这无数多条直线与直线B1C1同为异面直线，但它们与直线B1C1的相对位置有没有区别？学生回答：有区别。教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置？

这样揭示了异面直线夹角出现的背景，将原始的问题暴露给学生，使学生以积极的思维活动开始于新问题的解决中。（2）引出定义

在这一环节中，学生利用自备的正方体模型，探索几对特殊异面直线所成的角可分别用哪两条相交直线的角来度量，然后相互交流、讨论，最后让学生自己来概括得出新概念——异面直线的夹角。其间，对学生表述上的不当之处，进行诱导启发,使之更加准确。

这样设计的意图是希望学生通过动手实践，对两条异面直线夹角概念的产生背景和形成过程有深刻的理解。（3）剖析定义

教师利用课件，引导学生借助课件的“直观性”在头脑中想象出立体图形，感悟空间概念，使学生明确空间两条异面直线必须用角来度量它，理解异面直线夹角定义的合理性。通过直线绕点旋转演示，直观地得出异面直线所成的角的范围是(0,概念。

2]，以及异面直线垂直的这样设计的目的是为了充分发挥多媒体信息技术对课堂教学的辅助作用，把抽象的空间概念转化成具体的实际感知，让学生完全建构起异面直线夹角的概念。4．3．巩固新知、掌握证法（10分钟）

本阶段的教学主要是通过对例题的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握异面直线的判定和夹角的求法。

例 正方体ABCD--A'B'C'D'中E是A'D'的中点,F是A'C'的中点,（1）证明直线AE与CF是异面直线；（2）求异面直线AE与CF所成的角。

对于例题的处理，分为突破难点、详细板书、归纳方法三个步骤。首先是对问题（1）的处理，重在引导学生寻找如何将其中一条直线纳入一个满足定理条件的平面中。对于问题（2），则组织学生讨论如何将两条直线平移成相交直线，然后教师通过课件演示，并在规范板书的基础上，提出立体几何计算题的 “作-证-算”基本步骤。4．4．小节引申、构建体系（4分钟）

归纳小结是培养学生概括能力和语言表达能力的重要环节。本节课我采用让学生谈学习收获的方式对所学知识进行了归纳，也对学习中的体验进行了交流。

根据学生实际，作业的布置既要巩固双基，也要运用方法，具有层次性。具体为：（1）教材第7页的第7题；（2）补充题：空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中点，（Ⅰ）求直线AB和CE所成的角；（Ⅱ）求直线AF和CE 所成的角。

5．设计反思

课堂教学中学生是学习的主体，教师是组织者，引导者。本节课以教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心，通过核心问题调动学生，让学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、交流等数学活动，帮助学生有效的掌握知识，使体验性目标和结果性目标都获得了一个新的高度。

具体到教学过程的四个环节上，围绕“认识空间中既不平行也不相交的两条直线”这一核心问题，提出了三个富有层次的问题，以问题不断驱动学生的学习，使学生在解决问题的过程中突破难点，发现新知，从而能够较好的实现教学目标。

第二篇：高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

异面直线

教材分析

异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．

教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．

教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．

教学目标

1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．

2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．

3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．

任务分析

空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．

教学设计

一、问题情境（１）

1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．

2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？

二、建立模型（１）

1.首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．

2.在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．

强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字． 3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．

（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点 ____________平行直线和异面直线．

4.异面直线的画法．

先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．

显然，图15-2或图15-3较好．

因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．

三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1.我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？

2.回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？

进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？

四、建立模型（2）

在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．

1.异面直线a与b所成的角

已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．

强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．

（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．

（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．

（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线． 2.对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．

引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．

强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．

（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．

五、解释应用 ［例 题］

1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．

注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．

2.已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．

［练习］

1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？

4.已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．

2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有 ____________ 条．（无数）

3.已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有 ____________ 条．（2）

若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？ 点 评

这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．

第三篇：《异分母分数加减法》教案设计

⑵能准确计算异分母分数加减法

教学目标: ⑴通过学习自主探究，掌握异分母加减法的计算方 法和算理 ⑶初步渗透转化，建模等数学思想，提高学生解决问题的能力 教学重难点: 掌握异分母加减法的计算方法和算理 教学过程: 一 创设情景，导入新课

⑴ 提问：①前几节课我们学习了什么？（通分，约分）

②通分方法是什么？（先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数）

③同分母分数加减法的法则是什么？（同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。）④同分母分数为什么能直接相加减？（生：分母相同的分数单位相同）（2）老师这里有几道分数加减法请你们快速抢答 2／5＋2／5 3／11＋4／11 11／18＋7／18 2／9＋1／9 7／12－5／12 8／9＋2／9 出示⑵：1／2＋1／4时

刚才同学们为什么不能象上面那样那么快就知道答案？（生；因为这两个分数的分母不同）分母相同的分数叫做同分母分数，猜猜看，像这样不同分母的分数叫什么？（生；叫异分母分数）板书课题；异分母分数加减法 二 合作学习，探究新知 出示：例1

出示主题图

要求废金属和纸张是垃圾回收的主要对象，它们在生活垃圾中共占几分之几？怎样列式？

（生； 1／4＋3／10）

要求1／4＋3／10等于多少？怎样计算请同学们思考;⑴这个算式的分数单位不同能直接相加吗？⑵可以应用已有的知识把它转化成已学的知识来解决吗？分小组讨论一下 谁来把讨论的结果告诉大家

（生；把1／4和3／10变成5／20和6／20再直接相加）你们也是这样想的吗？ 1／4＋3／10＝5／20＋6／20 从等式的左边变成等式的右边实际是做了什么？（生；通分）板书；

3／4＋1／10＝5／20＋6／20＝11／20 答：废金属和纸张在生活垃圾中共占11／20 2）危险垃圾多还是食物残渣多，多多少？

师；要想知道谁多谁少？多多少？首先应该做什么?（生；先要比大小）师；怎样 列式？

（生； 3∕10－3∕20）师；你会算吗？有困难的同学有三种求助方式

(1)问问你的同学

（2）问问老师

（3）向书上要答案

反馈； 3/10－3/20=6/20—3/20=3/20 师；你现在知道异分母分数加减法怎么计算吗？（计算异分母分数加减法，要先把异分母分数转化成同分母分数再进行计算。）

完成板书；

异分母分数加减法

↓转化 同分母分数加减法

三 巩固练习，形成能力 1）；基本练习1∕2＋1∕4 5∕6+3∕8 11/12-5/6 3/4-2/5 2）；计算1—3/4要先把1化成（）/（）后再减3/4，结果是（）/（）(3）；开放练习

（）/（）+（）/（）=11/12 四 课后总结

师；通过今天的学习你有什么收获？

还有什么问题？

第四篇：《直线、射线和角》教案设计（定稿）

《直线、射线和角》教案设计

【教材分析】

1、教材的地位及作用本课教材内容包括直线、线段、射线和角的认识。这部分内容是在学生初步认识了线段、角和直角的基础上教学的，是几何形体知识中最基本的概念之一，也是认识三角形等图形的知识以及进一步学习几何形体知识的基础。

2、教学目标：

（１）使学生进一步认识直线、线段；认识射线；知道直线、线段、射线的区别；认识角和角的符号，知道角的各部分名称、比较角的大小。

（２）培养学生的观察、对比、综合、记忆及动手协作能力。

（３）教学生用科学的眼光观察事物，从而培养学生的学习兴趣。

3、教学重难点：

（１）认识射线，知道射线与直线、线段的区别和联系；在射线概念的基础上说明角的概念，渗透运动的观点。（２）角的形成。

4、学生准备：每人准备：两根吸管、一个图钉、一副三角尺。【学情分析】学生学习长度单位和角的初步认识时，已会直观描述它们的特点。本课尊重学生的认知规律，从“有限”到“无限”，引导学生认识直线和射线，掌握角的概念。【教学策略】

本节内容是在学生认知线段的基础上编排的，共分三个层次进行教学。第一个层次，让学生观察、复习线段的特点，引出射线和直线。并进一步指出“射线只有一个端点，可以向一端无限延伸”“直线没有端点，可以向两端无限延伸”。第二个层次，让学生讨论直线、射线和线段有什么联系和区别？从知识的内在联系进一步巩固对直线和射线的认识。第三个层次，利用射线的概念给角下定义，复习角的各部分名称及角的表示方法和读法。【教学过程】

一、复习导入、引出新知

（一）1、线段、射线与直线的认识：出示一条线段：问：a.这是什么？（板书：线段）b.你觉得线段有什么特点？（板书：有两个端点）又问：有两个端点的线就是线段？（画曲线）引导：直的（板书）

c.你也画一条线段吧？（用尺量）谁来重新认识老师的线段？和老师的比比看？（小结：能量出长度---有限长）d、你周围有线段吗？找一找。

2、画一画：

你能画出一条与线段不同的线吗？

自由练（根据学生实际情况进行适当启发）

二、反馈汇报、学习新知。

1、（1）投影展示“直线”

a.问：你画的这条线和线段有什么不同？（没有端点）

b.师：在数学上，我们把这种没有端点，可以向两端无限延长的线叫直线。（板书：直线）

c.你会画直线吗？介绍一下你的直线。和老师的直线比比看，你发现什么？（无限长）

（2）投影展示“射线”

a.这条线与线段有什么不同之处？（只有一个端点，可以向一端无限延长）

b.说明“射线”的概念。

c.你会画“射线”吗？（自由画，一生板演），介绍射线。

反馈：讲评画法。先定点然后引出一条线。（再画一条巩固）

（3）你在生活中看到过这样的线吗？（自由说一说）

（4）小结：大家说的这些都可以看作是射线。

2、线段、射线与直线的比较

小组同学合作完成表格：线段、射线、直线的区别与联系。

3、练习四（1）P39/1（判断各图是线段、射线还是直线）（2）过一点画射线。如果给你一点，你能画出多少条射线？

a.先定点，（30秒画射线比赛）

b.汇报。如果给你时间你还能画吗？

c.电脑演示无数条。

d.公共端点的认识。

（二）角的认识：

1、观察有公共端点的许多条射线，你发现了什么图形？

自由说（如果学生回答不出，逐步减少射线的条数。）板书：角

2、探索角的秘密。

关于角，你已知道了什么？（找角、试画角等）书本是我们最好的老师，我们再来深入探究角的秘密吧！

3、看书36页自学。（1）自学，可以说一说、画一画、比一比。（2）小组探讨，确定交流内容。

4、集体交流。（老师及时引导）（1）学生概括得出角的概念。角是由什么组成的吗？（出示没有公共端点的两条射线）你也来画几个角。画角（先自由画，再一生实物投影演示）说说你是怎么画的？（定点，引出两条射线）（2）角的各部分名称。老师引导用你刚才画的角，同桌介绍角的各部分名称。（3）角的符号介绍，书写并与小于号比较。你画的角怎么表示？

5、判断下面图形哪些是角，哪些不是。说说为什么?（注意引导学生运用“概念”去判断）

6、角的大小

学生先找到规律，则边玩边验证。活动角介绍，玩活动角

a、个人玩摆大小不同的角（初步感知角的大小与边叉开大小有关）

b、同桌玩一人拉一角，另一个同学拉出一个比他大的角。（进一步感知）

c、验证：角的大小与两边叉开的大小有关。

d、多媒体出示一组大小差异很大的角，哪一个角大？（观察法）

多媒体出示一组大小相近的角，哪一个角大？（重叠法，分两步进行，注意让学生讨论概括方法。）

比一比三角板上角的大小，并说给同桌听。

e、出示一组大小相同，边长短不同的角。哪一个角大？

小结：角的大小与边的长短无关。

三、巩固练习，深化主题

1.线段有两个端点，能量出它的长度。„„„„„„„„„（）

2.一条射线长3厘米。„„„„„„„„„„„„„„„„（）

3.小明画了一条5厘米长的直线。„„„„„„„„„„„（）

4.小冬用一个能放大10倍的放大镜去看一个角，结果这个

角的大

小

放

大

了

10倍。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

5、数角：39页2题。

四、小结：

这节课，你学会了什么？你是怎么学会的？

附：板书设计

直线、射线和角名称图形联

系区

别线段都是直的线段、射线都是直线的一部分两个端点，可以度量射线一个端点无限长直线没有端点

第五篇：如果两条直线平行教案设计

6.4 如果两条直线平行

●教学目标

（一）教学知识点

1.平行线的性质定理的证明.2.证明的一般步骤.（二）能力训练要求

1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.（三）情感与价值观要求

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.●教学重点：

证明的步骤和格式.●教学难点：

理解命题、分清条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证.●教学方法

尝试指导、引导发现与讨论相结合.●教具准备：幻灯片.●教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

［师］上节课我们通过推理证明了平行线的判定定理（复习近平行线的判定定理），如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换，得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”.二、讲授新课

［师］我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：

两直线平行，同位角相等.下面大家来分组讨论（出示投影片6.4 A）

议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？

［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等.［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补.［师］很好.下面大家来想一想：（出示投影片6.4 B）

（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？

图6－23 ［生甲］根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图6－23.［生乙］因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图6－23，把这个文字命题改写为符号语言.即：

已知，如图6－23，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2.［师］乙同学叙述得很好.（出示投影片6.4 C）

（投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？

［生丙］要证明内错角∠1=∠2，从图中知道∠1与∠3是对顶角.所以∠1=∠3，由此可知：只需证明∠2=∠3即可.而∠2与∠3是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证.［师］丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.（学生举手，请一位同学来说明根据）

［生丁］证明：∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠2（等量代换）

接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题（出示投影片6.4 D）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.［师］来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上.［生甲］已知，如图6－24，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.图6－24 证明： 方法一： ∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）∴∠1+∠2=180°（等量代换）

［师］谁还有其他的证明方法？他应用了两直线平行的性质公理，还 可以用两直线平行的性质定理.（证明如下）

图6－25 证明： 方法二：如图6－25 ∵a∥b（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）

∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）∴∠1+∠2=180°（等量代换）

三、课时小结：

［师］同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.证明的一般步骤：

第一步：根据题意，画出图形.第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.四、课堂练习：根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：（1)垂直于同一直线的两直线平行；

（2)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（3)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.（二）补充练习（出示投影片6.4 F）

图6－26 1.证明邻补角的平分线互相垂直.已知：如图6－26，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.证明：∵OE平分∠AOB.OF平分∠BOC（已知）∴∠EOB= ∠AOB ∠BOF= ∠BOC（角平分线定义）

∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）

∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）即∠EOF=90°

∴OE⊥OF（垂直的定义）

（二）强化练习：证明邻补角的平分线互相垂直.已知：如图6－27，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.图6-27

五、课堂小结：

这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.1.平行线的性质：

公理：两直线平行，同位角相等 定理：两直线平行，内错角相等 定理：两直线平行，同旁内角互补 2.证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形.（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.课后作业： 课本P194习题6.5 1、2、3 根据学生的接受情况来做活动与探究

六、活动与探究

图6－27 1.已知，如图6－27，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.［过程］让学生在证明这个题时，可从多方面考虑，从而拓展了他们的思维，要证：AD∥BC，可根据平行线的三种判定方法，结合图形，可证同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.［结果］证法一：∵AB∥DC（已知）

∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=∠D（已知）

∴∠D+∠C=180°（等量代换）

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

图6－28 家庭作业：用两种方法让同学生证明。

证法二：如图6－28，延长BA（构造一组同位角）∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠B=∠D（已知）∴∠1=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

图6－29 证法三：如图6－29，连接BD（构造一组内错角）∵AB∥CD（已知）

∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）∵∠B=∠D（已知）

∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）∴∠2=∠3 ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）板书设计：

6.4 如果两条直线平行

一、直线平行的性质公理： 两直线平行，同位角相等

图6－30

二、议一议

1.定理：两直线平行，内错角相等.已知，如图6－30，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2 证明：∵a∥b（）∴∠3=∠2（）∵∠1=∠3（）∴∠1=∠2（）

图6－31 2.定理：两直线平行，同旁内角互补.已知，如图6－31，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°

三、议一议 证明的一般步骤 1.2.3.四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业