随机变量的均值与方差的计算公式的证明（5篇材料）

第一篇：随机变量的均值与方差的计算公式的证明

随机变量的均值与方差的计算公式的证明

姜堰市励才实验学校姜近芳

组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。

预备知识: 1.kCnkn1!nCk1 kn!nn1k1!nk!k!nk!

k1k1k1k1k2k2.k2Cn=nkCn1nCn1nk1Cn1=nCn1nn1Cn2

3.N个球中有M个红色的,其余均为白色的,从中取出n个球,不同的取法有: 0n1n12n2lnlnn,M.CMCNMCMCNMCMCNMCMCNMCNlmin

公式证明:

1.X～Bn,p1EXnp.2VXnp1p.证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpn

0010Cnp1pCnp1pn

0nCn1p1pn1222Cnp1pn2n2nnnCnp n112Cn1p1pn1nCn1p 

np1pp

np.n1

VXx1p1x2p2xnpn 222

x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

22222p1p2p3pn

n12222Cnp1p

n1n2nnn2Cnp222 n1n1 Cn1p

n3n2n2Cn2 2p1Cnp1p0npCn1p11Cn1p1pn2n20nn1p2Cn1p21Cn1p2p

np1pp

np1p.n1nn1p21ppn2n2p2

2.X～Hn,M,N1EX =nMnMNMNn.2VX.NN2N1证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpnlminn,M10n1n12n2lnl0CCCC2CClCCMNMMNMMNMMNM nCN

M0n11n2l1nlCCCCCCM1NMM1NMM1NM nCN



=Mn1CN1 nCNnM.N

222VXx1p1x2p2xnpn

2222x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

2p1p2p3pn

120n21n122n22lnl20CC1CC2CClCC MNMMNMMNMMNMnCN

=10n11n2l1nl〔MCM1CNMCM1CNMCM1CNM nCN

MM1CM2CNMCM2CNMCM2CNM〕 0n21n3l2nl2

1nMn1n2nMCNMM1C 1N2NCN2

nMnn1nMMM1 NNN1N2

nMNMNn.N2N1

第二篇：离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差一、三维目标：

1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：

三、教学难点：

四、教学过程：

（一）、复习引入：

1..数学期望

则称 Ex1p1x2p2„xnpn„为ξ的数学期望，简称期望．2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3.期望的一个性质: E(ab)aEb

5、如果随机变量X服从二项分布，即X ～ B（n,p），则EX=np

（二）、讲解新课：

1、(探究1)某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？111122 X2334101

4321102103104102

(探究2)某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？

s21[(x1x)2(xix)2(x2 n

nx)]

s21

[(12)2(12)2(12)2(12)2(22)2

(22)2(22)2(32)2(32)2(42)2]1

s24(12)23(22)22(32)2110101010(42)22、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X的分布为：

则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,„n)相对于均值EX的偏离程度，而n

DX (x2iEX)pi

i

1为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX叫做随机变量X的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练

求DX和DX解：EX00.110.220.430.240.1

2DX(02)20.1(12)20.2(22)20.4(32)20.2(42)20.11.2

= 40 000;

DX.21.09

5（四）、方差的应用

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。解：EX19,EX29DX10.4,DX20.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。

问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？

问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1= 1400 ,DX1 =(1200-1400)2 ×0.4 +(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX2 =(1000-1400)2×0.4+(1 400-1400)×0.3 +(1800-1400)2×0.2 +(2200-1400)2×0.l

= 160000.因为EX1 =EX2, DX1

（五）、几个常用公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(六）、练习：

1、已知318，且D13,则D

2、已知随机变量X的分布列

求DX和 DX3、若随机变量X满足P（X=c）=1,其中c为常数，求DX。

(七)、小结：

1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义

2、记住几个常见公式：

（1）若X服从两点分布，则DX=p(1-p）。（2）若X～B(n，p)，则DX=np(1-p)（3）D（ax+b）= a2DX；(八)、作业：P691、4

第三篇：样本方差证明

一弛，你好！

样本方差有2种表达方式：

S2

n1n(Xi)2-----（1）ni1

1n

Sn1(Xi)2-----（2）n1i12

从理论上说这2种定义都是可行的，现实生活中更经常使用方程（2），是因为方程（2）是总体方差真实值2的无偏估计量，而（1）是有偏估计量。无偏性在应用中非常重要，估计量只有无偏才能保证在样本数目足够大时无限趋近于真实值，估计才有意义。证明方程（2）的无偏性如下，思路是对估计量求期望，看是否等于总体方差：

n1E(Sn1)E[(Xi)2]n1i1

n1E{[(Xi)()]2}n1i1

nn12E{[(Xi)2(Xi)()n()2}n1i1i12

n1{E(Xi)22nE()2nE()2}n1i1

n1{E(Xi)2nE()2}n1i1

212{nn()}n1n

2

证毕。

如果有问题，可随时联系我。

祝好！

陈谢晟

第四篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,bR，求证：ab(ab)abab2abba2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)＞6abc

3、(abc)(1119) abbcca24、设a,bR，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dR求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值

（1）已知x＞0，求y2x

（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x

2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

13、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

x2x220x)lg(8x6a3)0有唯一实根，求a的取值范围

第五篇：均值不等式证明

均值不等式证明

一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。