质数与哥德巴赫猜想（5篇范文）

第一篇：质数与哥德巴赫猜想

质数与哥德巴赫猜想

著名数学家高斯曾说过：“数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后。”数论中最引人入胜的问题之一——哥德巴赫猜想，被誉为“数学是冠上的明珠。”这个至今仍悬而未决的问题与一类特殊的数——质数有关。

我们知道，自然数可以这样分为三类：

1．数“l”：只有它本身作为自己的因数。

2．质数：只有1和它本身作为自己的因数。

3．合数：有两个或两个以上大于1的因数。

上面的分类是按照数的因子的个数来分类的。质数体现出来的这种特殊性质（只被1和它自身整除）引起了人们的兴趣并很早就开始了有关的研究。

早在2000多年前，古希腊学者欧几里得（Euclid，约前330年～前275年）就作出了简单而又生动的证明“不管你取的质数有多大，肯定还能找出比它更大的质数。也就是说，质数有无穷多个。比如说，能找出比13更大的质数吗？

首先，你把不大于13的所有质数2，3，5，7，11，13乘起来，然后把这个乘积再加上1，便得：

2×3×5×7×ll×13＋l＝30031

这个数肯定不能被2，3，5，7，11或13所整除，因为除得的结果都余1。如果30031除了它本身和1之外再也不能被其他数整除，那么它就是质数；如果它还有其他的质因数，那么这个（或多个）其他因数必定大于13。实际上，30031＝59×509，即我们找出59和529这两个比13大的质数。

对于多个质数的情形，我们的推理完全一样。假若2，3，5，7，11，„„，p为所有不大于p的质数，则令

N＝2×3×5×7×11ׄ×p＋1

数N要么是质数，要么所有的质因子都大于P。

欧几里得把这个证明放在了他的巨著《几何原本》第九卷中。不过，他的证明过程并不是读者在本文中所看到的样子，而是用几何的方法来表述的。这个证明方法还可以用于证明质数之间存在着很大的间隙。其方法是，我们可以随意挑出一段足够长的连续的合数，把它们插在两个质数的间隙之中。例如，我们希望插入1000个连续的合数，那么就先找出大于1000的第一个质数1009，下面的这1000个数：

2×3×5×7ׄ×1009＋2

2×3×5×7ׄ×1009＋3

2×3×5×7ׄ×1009＋4

2×3×5×7ׄ×1009＋5

„„

2×3×5×7ׄ×1009＋1001

显然是连续的合数。这意味着我们在两个质数之间找到了至少1000个数的间隙！对于这个结果读者也许会感到有些惊讶，质数之间的间隙竟然要多大有多大！不过，质数之间并不总是这样稀稀拉拉的，人们发现有些质数紧挨在一起（中间仅隔一个数字）而且成对地出现，如 3，5；5，7； 11，13； 17，19；29，31；41，43；„；10016957，10016 959；„；999 9999 9．9959，999 999 999 961；„。这些成对出现的质数被称为孪生质数。关于孪生质数是否存在无穷多对的问题，也是一个尚待解决的世界著名难题。

质数的分布体现出如此的不确定性，有时间隙要多大有多大，有时又紧挨在一起；从1到10这十个数中共有四个自然数，而从1001到1010之间却仅有1009这一个质数。为了找

出质数的分布规律，有人想到了造“表”。

古希腊著名学者埃拉托塞尼（Eratosthenes，约前284～前192）创造了所谓的“筛法”并以此制出了一个不太大的质数表。

他先把从2到N的所有整数写出来，然后从中划去2的所有倍数；再划去3的所有倍数如 6，9，12，15„；接着划掉所有 5的倍数如 10，15，20，„；这样持续地做下去，有些数可能被划掉不止一次，最后剩下的数就是质数，这个被挖去合数的数表就像布满洞眼的筛子，因而得名“埃拉托塞尼筛子”。

这种制质数表的方法毕竟过于繁琐，于是人们开始尝度寻找质数的一般表达式。退一步说，如果能找到一个公式来表达一部分质数也很好。法国数学家费马因此提出了一个奇妙的猜想：

形如2n+1的数是质数（n = 0，1，2，3，4，„）后人把这类数称为费马数。

按照这个表达式，当n=0，1，2，3，4时，所得的数3，5，17，257，65537的的确确都是质数。但不幸的是，费马的猜想就在n=5的时候出了差错。七八十年代后，瑞士数学家欧拉（Euler，1707~1783）指出，n=5时所得数21214294967297是合数：

4294967297=641×6700417

而且奇怪的是，从那以后，数学家们至今却再也没能找到任何一个是质数的费马数了。推翻费马猜想的欧拉也提出了一个公式： 2532

f(n)=n2n+41

把n=0，1，2，3，4„，40代入这个式子可以得到41，41，43，47，„，160共40个不同的质数。

1798年，法国数学家勒让德（Legendre，1752~1833）提

f(n)=2n2+29

把n=0，1，2，3，„，28代入这个式子可以得到29，31，37，„，1597共29个质数。

2p1

随后，又有许多人提出了各种各样的公式，比如f(n)=n279n+1601, f(p)=3(p是奇质数)等等，但这些公式都会从某个数开始失效，人们在这方面的尝试并没有取得很大进展。

质数领域的一个著名难题就是一开始我们曾经提到过的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach,1690~1764）是德国人，彼得堡科学院院士。他在1742年6月7日给欧拉的信中提出了这个猜想。这个猜想的完整内容是：任何不小于6的偶数均能表示成两个奇质数之和。任何不小于9的奇数均能表示成三个奇质数之和。同年6月30日，欧拉在复信中写道：“任何不小于6的偶数都是两奇质数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”实际上，这个问题的后一半可以很容易地从前一半推出，反过来则不行。

哥德巴赫猜想引起了众多数学家和业余数学爱好者的极大兴趣，但它的证明极其困难，直到十九世纪结束的200多年前没有取得任何进展。不过有人做了大量的验证工作，现在已经有人验证了对于所有大于4而不超过33000 000的偶数，猜想都正确。这是迄今为止被验证得最多的数学猜想。

1900年，在巴黎召开的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特（Hibert，1862~1943）发表了世界数学需要研究的23个难题（名为希尔伯特问题），其中第8个提到了哥德巴赫猜想。1912年，德国著名数论大师兰道（Landau，1877~1938）在第五届国际数学家会议上的报告中声称：“即使要证明下面较弱的命题：任何不小于6的整数都能表示成c(c为一个确定整数)个质数之和，这也是现代数学力所不及的。”可见这个猜想证明的难度之大。

尽管如此，数学家们锲而不舍的努力终于使得这个问题的研究取得了突破性的进展。1920年，挪威数学家布龙（Brun）证明了每个充分大的偶数都可以表示为2个质因数不超过9个的正整数之和。人们把这个命题称为“9+9”。随后，数学家们陆续取得了下面的成果：

1924年，德国数学家雷特马赫（Rademacher）证明了“7+7”。

1932年，英国数学家埃司特曼（Estermann）证明了“6+6”。

1937年，意大利数学家蕾西（Ricci）证明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。1938年，苏联数学家布赫夕太勃证明了“5+5”，随后在1940年又证明了“4+4”。1956年，中国数学家王元证明了“3+4”。

1957年，中国数学家王元又证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国数学家潘承洞和苏联数学家巴尔班分别独立证明了“1+5”。

1963年，王元、潘承洞和巴尔班又分别独立证明了“1+4”。

1965年，苏联数学家维诺格拉朵夫和希赫夕太勃以及意大利数学家庞比利独立证明了“1+3”。

1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”并于1973年发表了他的论文《大偶数表示的一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，在国际上引起了轰动。英国数学有哈伯斯坦姆（Halberstam）与德国数学家李希特（Richet）合著的一本名为《筛法》的数论专著，原有十章，付印后见到了陈是润的论文，便加印了第十一章，章目为“陈氏定理”。

从陈景润的“1+2”到最后的“1+1”仅有一步之遥了，但到目前为止，数学家们虽努力改进证明方法，但仍然没有明显进展。这一颗耀眼而孤独的“皇冠上的明珠”仍等待着人们去摘取。

在数学家们一次次的攻关过程中，发明发现了许多新的数学方法和理论，从这个意义上讲，在向世界难题进军过程中所作的努力和尝试对数学的促进与推动也许比最终解决难题本身更有意义吧。

第二篇：《哥德巴赫猜想》读后感

前几天,看了青年批评家李云雷的“重读《哥德巴赫猜想》”的文章，《哥德巴赫猜想》读后感。也许文章经过岁月的沉淀，以彼时彼地来看这篇当时曾轰动一时的作品，会更客观和理性，也会更能看出它成功的原因。作者从徐迟的这篇报告文学所产生的巨大的轰动效应，而到90年代他所写的《来自高能粒子的信息》的反应平平。这种反差的现象，作者不是简单从艺术的角度或者科学的角度去分析。而是把它放在当时的社会环境和人文环境中来分析。《哥德巴赫猜想》写作时，是人民文学主动邀请的，这是为1978年“全国科学大会”召开所做的一种思想和舆论准备。可以说是时代所需，那时正是知识分子的转型期，从文化大革命对知识分子的摧残到逐渐的恢复。《哥德巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以才会引起反响。徐迟之前曾是以诗歌而引起关注的，之后转向报告文学。但诗人的富于激情的语言结合科学的客观性，而成就了文学与科学的完美结合。完美的艺术，知识分子对知识的渴求，国家对知识的重视。大环境和小环境的需要，正是它成功的原因。而90年代徐迟的报告文学，却反响平平。不是因为他的艺术水平的欠缺。而是当今的环境，在市场环境，消费主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一切的标准。文学，科学，知识的边缘化。人们价值观念的缺失。这种种的社会环境所致的啊。人类社会往往会从一个极端而走向另一个极端。盲目的向前发展，而没看到事物的两面性。由极端的追求精神需要到极端的物质追求，在追求精神建设的时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候忽略了精神的建设，直至出现了许多问题的时候才有所警醒。所以只好由缺失而警醒而改变。这种被动的去改变，发展。有时候是走走退退再退退走走的反复过程之中。客观而理性的分析，让我受益匪浅。也悟出了许多人生，社会的道理。由于“哥德巴赫猜想”这一世界数学难题的被突破，人们知道了陈景润的名字，同时，也一样知道了王亚南的名字，知道了华罗庚的名字，知道了熊庆来的名字。正如《人民日报》在转载徐迟同志的文章时所加的编者按里说的：“千里马常有，而伯乐不常有。”发现人才，选拔人才，是不十分容易的，读后感《《哥德巴赫猜想》读后感》。我们很可以这样设想，没有王亚南这位“懂得人的价值的政治经济学批判家，突破哥德巴赫猜想的陈景润，很可能在50年代就为病魔缠倒，作为一个普通的中学教师默默无闻地死去！”王亚南为陈景润的进修和个性的发展，创造了方便的物质和生活条件，而华罗庚则从这位青年的数学论文中，发现了他身上的奇光异彩，立刻建议把他选调到科学院数学研究所来当实习研究员--正是在这里，陈景润在严师、名家的帮助熏陶下，得以充分发挥自己的才能，以飞速的步伐，跨上人类知识的顶峰，夺得具有世界水平的重大成就。如像王亚南发现陈景润一样，如果没有那一位也是懂得人的价值的大数学家、大教育家熊庆来的话，作为连初中也没有念完的穷青年华罗庚，恐怕也难跻身于世界数学权威的行列之中。我国地域广大，人才众多，由于社会的、历史的、家庭的、、、等种种不同因素的限制，特别是近10年来“四人帮”一伙的破坏和干扰，许多具备某种专业特长、有培养发展前途的青年，未必都能恰如其愿地被安排在他适合的岗位上。虽说中学教师的陈景润和数学家的陈景润，都一样是为人民服务，但是，实践证明，作为数学家的陈景润，却可以比中学教师的陈景润为人民服务得更好，作出更大的贡献。在为实现四个现代化而使全民族精神大振奋的今天，我们但愿那些居于要津的同志，都能成为像王亚南、华罗庚和熊庆来那样的“伯乐”，把我们民族中的“千里马”选拔出来，让他们为我们祖国、为世界人类作出更大的贡献。(2/27写)读后感：1978年3月24日，《人民日报》发表一篇新华社记者述评《大家都来做伯乐》，提出了在全国范围大胆发现、选拔人才的问题，指出在选拔人才中一个不利的因素是对人的“求全责备”。其中有一段话说：“名驹难免有瘢，美玉难免有瑕。十全十美、没有任何缺点的人，世界上是没有的。如果因瘢废马，因瑕弃玉，哪还有什么千里马可寻，还有什么杰出人才可选呢?这种求全责备的思想既不符合客观实际，也不符合党的知识分子政策。”这段话可说是说到我心坎里去了。我虽不敢自比为千里马，但在当时的农村中小学中几乎难寻比较合格的教师的现实下，我自认要比其中某些揽竽充数的人强得多了。我在3月29日的日记里这样写着：“这个观点，与我的的短文《由哥德巴赫猜想所想起的、、、》中的观点是一致的。”当然，这文中的难点，也就难免有点毛遂自荐之嫌了。

第三篇：哥德巴赫猜想的证明

《哥德巴赫猜想的严谨定性证明》 作者姓名：崔坤

作者单位：即墨市瑞达包装辅料厂 E-mail:cwkzq@126.com 关键词：CK表格，陈氏定理，瑞尼定理，哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想：哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：

任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

由于近代数学规定1不是素数，那么除2以外所有的素数都是奇素数，据此哥猜等价：

定理A:每个≥6的偶数都是2个奇素数之和。推论B: 每个≥9的奇数O都是3个奇素数之和；

证明：首先我们设计一个表格---CK表格：

第一页 在这个表格中通项N=An=2n+4,它是有2层等差数列构成的闭合系统，即上层是：首项为3，公差为2，末项是奇数（2n+1）的递增等差数列。

下层是：首项为奇数（2n+1），公差为-2，末项是3的递减等差数列。

由于偶数是无限的，故这个表格是个无限的，由此组成的系统就是一个非闭合系统。表中D(N)表示奇素数对的个数，H(N)表示奇合数对的个数，M(N)表示奇素数与奇合数成对的个数。不超过2n+1的奇素数个数为 π(2n+1)-1有CK表格可知：D(N)= π(2n+1)-1-M(N)根据CK表格、陈氏定理1+

1、瑞尼定理1+2，第一层筛得：

N1=P1+H1,偶数N1≥12，奇素数P1≥3，奇数H1≥9，即： N1=P1+H1=P1+P3=P5+H3,筛得：N1=P1+P3，其中奇素数P1≥3，奇素数P3≥3，奇素数P5≥3，奇合数H3≥9 偶数N1的最小值是3+3=6，故每个N1≥6的偶数都是2个奇素数之和 故命题得证

同理：第二层筛得：

N2=P2+H2,偶数N2≥12，奇素数P2≥3，奇数H2≥9，第二页 即：

N2=P2+H2=P2+P4=P6+H4,筛得：N2=P2+P4，其中奇素数P2≥3，奇素数P4≥3，奇素数P6≥3，奇合数H4≥9 偶数N2的最小值是3+3=6，故每个N2≥6的偶数都是2个奇素数之和 故命题得证

第三层筛得： N3=N1+N2, N4=H3+H4 则N3=P5+P6+ H3+H4= P5+P6+ N4 那么N3-N4=P5+P6 设N=N3-N4, 则N=P5+P6，其中奇素数P5≥3，奇素数P6≥3 故每个N1≥6的偶数都是2个奇素数之和 故命题得证 综上所述：

故定理A得证:每个≥6的偶数都是2个奇素数之和。

第三页

推论B: 每一个大于等于9的奇数O都可以表示成三个奇素数之和。简言：O=P1+P2+P3 证明：设P1、P2、P3均为≥3的奇素数，那么根据定理A可知：P3+N=P3+P1+P2, 因为P3为≥3，N≥6,所以奇数O=（P3+N）≥9，即奇数O=P1+P2+P3 故：每一个大于等于9的奇数O都可以表示成三个奇素数之和。

简言：O=P1+P2+P3,故推论B得证 至此我们成功的证明了哥德巴赫猜想。作者：崔坤

即墨市瑞达包装辅料厂 2016-09-14-14-38

第四页

第四篇：哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想

1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。

实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于 7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!

第五篇：背景资料：哥德巴赫猜想

背景资料：哥德巴赫猜想

哥德巴赫，德国数学家。1742年6月7日，他在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：

一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和：

二、任何不小于9的奇数，都是3个奇质数之和。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中，明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。

1900年，20世纪最传大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。

1957年，我国数学家王元证明了“2+3”。1962年，我国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

目前，有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。