“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

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第一篇:“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

(第14讲)“哥德巴赫猜想”证明(9)

主讲王若仲

第13讲我们讲解了核心部分的定理3,这一讲我们讲核心部分的定理4。

定理4:对于任何一个比较大的偶数2m,设奇素数p1,p2,p3,„,pt均为不大于√2m的全体奇素数(pi´<pj´,i´<j´,i´、j´=1,2,3,„,t),t∈N,且偶数2m均不含有奇素数因子p1,p2,p3,„,pt;那么集合{ pi,2pi,3pi,4pi,5pi,„,mipi }∩{ pj,2pj,3pj,4pj,5pj,„,mjpj }∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{ps,2ps,3ps,4ps,5ps,„,ms ps }∩{pe,2pe,3pe,4pe,5pe,„,mepe}∩{pu,2pu,3pu,4pu,5pu,„,mupu}∩„∩{pv,2pv,3pv,4pv,5pv,„,mvpv}∩{pw,2pw,3pw,4pw,5pw,„,mwpw}中正整数的总个数与集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}∩{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}∩„∩{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}∩{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}∩{pe,2pe,3pe,4pe,5pe,„,mepe}∩{pu,2pu,3pu,4pu,5pu,„,mupu}∩„∩{pv,2pv,3pv,4pv,5pv,„,mvpv}∩{pw,2pw,3pw,4pw,5pw,„,mwpw}中正整数的总个数相等。其中其中pi,pj,„,mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,„,mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,mepe为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,mupu为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,„,mvpv为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,mwpw为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明:对于集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)},我们令2m-mipi=hi,因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,显然hi<pi,则2m-(mi-1)pi=2m-mipi+pi=pi+hi,2m-(mi-2)pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi,„,(2m-2pi)= 2m-[mi-(mi-2)]pi=(mi-2)pi+2m-mipi=(mi-2)pi+hi,(2m-pi)=2m-[mi-(mi-1)]p1 =(mi-1)pi+2m-mipi =(mi-1)pi+hi;那么集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}={hi,(pi+hi),(2pi+hi),„,[(mi-2)pi+hi],[(mi-1)pi+hi]};我们令2m-mjpj=hj;„;2m-mrpr=hr;2m-msps=hs。同理可得:{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}={hj,(pj+hj),(2pj+hj),„,[(mj-2)pj+hj],[(mj-1)pj+hj]},„,{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}={hr,(pr+hr),(2pr+hr),„,[(mr-2)pr+hr],[(mr-1)pr+hr]},{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}={hs,因为前面令2m-mipi=hi,2m-mjpj=hj;„;2m-mrpr=hr;2m-msps=hs。那么有2m≡hi(modpi),2m≡hj(modpj),„,2m≡hr(modpr),2m≡hs(modps);所以集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}对应同余方程xi≡h(;集合{(2m-pj),imodpi)(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}对应同余方程xj≡hj(modpj);„;集合{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}对应同余方程xr≡hr(modpr);集合{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}对应同余方程xs≡hs(modps)。

由孙子—高斯定理可知,同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余,因为(pepu„pvpw,pipj„prps)=1,由同余性质定理1可知,同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw同余,又因为偶数2m是同余方程xi≡hi(modpi)的解,偶数2m也是同余方程xj≡hj(modpj)的解,„,偶数2m也是同余方程xr≡hr(modpr)的解,偶数2m也是同余方程xs≡hs(modps)的解;那么偶数2m也是同余方程组xi≡h(,xj≡h(,„,imodpi)jmodpj)xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的一个解。在偶数2m范围内,同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的所有解对应集合{ h´,(pipj„prps+h´),(2pipj„prps+h´),´]},其中vpipj„prps„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然集合{ h´,(pipj„prps +h´),(2 pipj„prps +h´),(3 pipj„prps +h´),„,[(v-2)pipj„prps+h´],[(v-1)pipj„prps+h´]} 对应同余方程w≡h´(mod pipj„prps)。

我们设集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}∩{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}∩„∩{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}∩{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}∩{pe,2pe,3pe,4pe,5pe,„,mepe}∩{pu,2pu,3pu,4pu,5pu,„,mupu}∩„∩{pv,2pv,3pv,4pv,5pv,„,mvpv}∩{pw,2pw,3pw,4pw,5pw,„,mwpw}中的任一奇数均对应同余方程y≡a(modpipj„prpspepu„pvpw)的一个解,则a为小于pipj„prpspepu„pvpw的正整数,因为同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw 同余,由同余性质定理1可知,a=pepu„pvpwh´,我们再设同余方程z≡h´(mod pipj„prpspepu„pvpw),那么在偶数2m范围内,同余方程z≡h´(mod pipj„prpspepu„pvpw)的所有解对应的集合为{ h´,(pipj„prpspepu„pvpw +h´),(2 pipj„prpspepu„pvpw +h´),(3 pipj„prpspepu„pvpw +h´),„,[(u-2)pipj„prpspepu„pvpw +h´],[(u-1)pipj„prpspepu„pvpw +h´]},其中u pipj„prpspepu„pvpw为不大于偶数2m的最大正整数;显然pepu„pvpwh´<

pipj„prpspepu„pvpw,所以在偶数2m范围内,同余方程y≡a(modpipj„prpspepu„pvpw)的所有解对应的集合为{ a,(pipj„prpspepu„pvpw +a),(2pipj„prpspepu„pvpw +a),(3pipj„prpspepu„pvpw +a),„,[(u-2)pipj„prpspepu„pvpw +a],[(u-1)pipj„prpspepu„pvpw+a]},显然(u-1)pipj„prpspepu„pvpw+pepu„pvpwh´<2m。所以a对应pipj„prpspepu„pvpwu,(pipj„prpspepu„pvpw+a)对应pipj„prpspepu„pvp(,(2pipj„wu-1)prpspepu„pvpw+a)对应p1p2p3„pt(u-2),(3p1p2p3„pt+a)对应p1p2p3„p(,„,[(u-1)pipj„prpspepu„pvpw+a]对应pipj„prpspepu„pvpw。tu-3)

所以集合{ pi,2pi,3pi,4pi,5pi,„,mipi }∩{ pj,2pj,3pj,4pj,5pj,„,mjpj }∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{ps,2ps,3ps,4ps,5ps,„,ms ps }∩{pe,2pe,3pe,4pe,5pe,„,mepe}∩{pu,2pu,3pu,4pu,5pu,„,mupu}∩„∩{pv,2pv,3pv,4pv,5pv,„,mvpv}∩{pw,2pw,3pw,4pw,5pw,„,mwpw}中正整数的总个数与集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}∩{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}∩„∩{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}∩{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}∩{pe,2pe,3pe,4pe,5pe,„,mepe}∩{pu,2pu,3pu,4pu,5pu,„,mupu}∩„∩{pv,2pv,3pv,4pv,5pv,„,mvpv}∩{pw,2pw,3pw,4pw,5pw,„,mwpw}中正整数的总个数相等。故定理4成立。

参考文献

[1]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版 [3]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版

[4]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版

二〇一四年四月十九日

第二篇:“哥德巴赫猜想”讲义(第19讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

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所以对于“偶数2m=奇数+奇数”来说,就只有下面几种情形: ①偶数2m=奇合数+奇合数,②偶数2m=奇合数+奇素数,③偶数2m=奇素数+奇素数,④偶数2m=1+奇合数,⑤偶数2m=1+奇素数。

对于“偶数2m=奇数+奇数”的情形,我们下面一步一步具体分析:

(ⅰ)、对于偶数2m,当m为奇素数时,我们不妨令m=p,p为奇素数,那么2m=p+p,这种情形下,显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

(ⅱ)、对于偶数2m,假如集合{(2m-p1),(2m-p2),(2m-p3),„,(2m-pt)}中至少有一个奇数为奇素数,我们不妨令(2m-pi)为奇素数,pi∈{p1,p2,p3,„,pt},那么2m=(2m-pi)+pi,显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

“哥德巴赫猜想针对的是无穷的偶数,为了解决无穷的问题,一般情况下,我们设定一个非常大的偶数2m,设奇素数p1,p2,p3,„,pt均为不大于√2m的全体奇素数(pi< pj,i<j,i、j=1,2,3,„,t),t∈N;并且假设偶数2m均不含有奇素数因子p1,p2,p3,„,pt,为了解保奇素数p1,p2,p3,„,pt均要被筛除,我们还要假设集合{(2m-p1),(2m-p2),(2m-p3),„,(2m-pt)}中的奇数均为奇合数;因为偶数2m=(2m-p1)+ p1,2m=(2m-p2)+ p2,2m=(2m-p3)+ p3,„,2m=(2m-pt)+ pt。在说上面这样的情形在无穷多的偶数中是必然存在的。说明白了就是对偶数2m对应的集合{1,3,5,7,9,„,(2m-3),(2m-1)}中的奇数,要达到筛除的最大化,即达到筛除的极限。

如果我们设集合A={1,3,5,7,9,„,(2m-3),(2m-1)},又设集合A1={ p1,3p1,5p1,7p1,9p1,„,(2m1-1)p1},集合A1´={(2m-p1),(2m-3p1),(2m-5p1),(2m-7p1),(2m-9p1),(2m-11p1),„,[2m-(2m1-1)p1]},集合A2={p2,3p2,5p2,7p2,9p2,„,(2m2-1)p2},集合A2´={(2m-p2),(2m-3p2),(2m-5p2),(2m-7p2),(2m-9p2),(2m-11p2),„,[2m-(2m2-1)p2]},集合A3={p3,3p3,5p3,7p3,9p3,„,(2m3-1)p3},集合A3´={(2m-p3),(2m-3p3),(2m-5p3),(2m-7p3),(2m-9p3),(2m-11p3),„,[2m-(2m3-1)p3]},„,集合At={pt,3pt,5pt,7pt,9pt,„,(2mt-1)pt},集合At´={(2m-pt),(2m-3pt),(2m-5pt),(2m-7pt),(2m-9pt),(2m-11pt),„,[2m-(2mt-1)pt]};其中奇数(2m1-1)p1为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2m2-1)p2为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2m3-1)p3为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,„,奇数(2mt-1-1)pt-1为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数,奇数(2mt-1)pt为该表达形式下不大于奇数(2m-1)的最大奇数。

对于偶数2m以内的全体奇数,偶数2m对应的集合{1,3,5,7,9,„,(2m-3),(2m-1)},我们在集合A={1,3,5,7,9,„,(2m-3),(2m-1)}中进行埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛这两种筛法配合筛:

〈1〉在集合A中筛除属于集合A1中的奇数,又在集合A中筛除属于集合A1´中的奇数,得到集合B1;因为我们设偶数2m均不含有奇素数因子p1,p2,p3,„,pt。所以集合A和集合A1无公共元素。〈2〉在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数,又在集合B1中筛除属于集合A2´中的奇数,得到集合B2;

〈3〉在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数,又在集合B2中筛除属于集合A3´中的奇数,得到集合B3;

〈t-1〉在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数,又在集合Bt-2

中筛除属于集合At-1´中的奇数,得到集合Bt-1;

〈t〉在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数,又在集合Bt-1中筛除属于集合At´中的奇数,最终得到集合Bt。

最后在集合Bt中再筛除奇数1和(2m-1)得到集合H,如果我们 能判定集合H中确实有奇数,那么集合H中的奇数必定为奇素数,同时还能判定偶数2m可表为两个奇素数之和。因为集合{1,3,5,7,9,„,(2m-3),(2m-1)}中的奇数经过上面的配合筛后,如下情形中的奇数被全部筛除:

①偶数2m=奇合数+奇合数,②偶数2m=奇合数+奇素数,③偶数2m=1+奇合数,④偶数2m=1+奇素数。

说明最后在集合H中的奇数必定为奇素数,并且集合H中的奇数必定

只满足“偶数2m=奇素数+奇素数”的情形。

参考文献

[1]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版 [3]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版

[4]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日

第三篇:“哥德巴赫猜想”讲义(第12讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

(第12讲)“哥德巴赫猜想”证明(7)

主讲王若仲

第11讲我们讲解了核心部分的定理1,这一讲我们讲核心部分的定理2。

定理2:对于任何一个比较大的偶数2m,设奇素数p1,p2,p3,„,pt均为不大于√2m的全体奇素数(pi< pj,i<j,i、j=1,2,3,„,t),t∈N,且偶数2m均不含有奇素数因子p1,p2,p3,„,pt;那么集合{ pi,2pi,3pi,4pi,5pi,„,mipi }∩{ pj,2pj,3pj,4pj,5pj,„,mjpj }∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{ps,2ps,3ps,4ps,5ps,„,ms ps }中正整数的总个数与集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}∩{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}∩„∩{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}∩{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}中正整数的总个数相等。其中pi,pj,„,pr,ps为两两互不相同的奇素数,且均小于√2m;mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,„,mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明:对于集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)},我们令2m-mipi=hi,因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,显然hi<pi,则2m-(mi-1)pi=2m-mipi+pi=pi+hi,2m-(mi-2)pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi,„,(2m-2pi)= 2m-[mi-(mi-2)]p1=(mi-2)pi+2m-mipi=(mi-2)pi+hi,(2m-pi)=2m-[mi-(mi-1)]p1 =(mi-1)pi+2m-mipi =(mi-1)pi+hi;那么集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}={hi,(pi+hi),(2pi+hi),„,[(mi-2)pi+hi],[(mi-1)pi+hi]};

我们令2m-mjpj=hj;„;2m-mrpr=hr;2m-msps=hs。同理可得:(2m-pj){,(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}={hj,(pj+hj),(2pj+hj),„,[(mj-2)pj+hj],[(mj-1)pj+hj]},„,{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}={hr,(pr+hr),(2pr+hr),„,[(mr-2)pr+hr],[(mr-1)pr+hr]},{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}={hs,(ps+hs),(2ps+hs),„,[(ms-2)ps+hs],[(ms-1)ps+hs]}。

因为前面令2m-mipi=hi,2m-mjpj=hj;„;2m-mrpr=hr;2m-msps=hs。那么有2m≡hi(modpi),2m≡hj(modpj),„,2m≡hr(modpr),2m≡hs(modps);所以集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}对应同余方程xi≡h(;集合{(2m-pj),imodpi)(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}对应同余方程xj≡hj(modpj);„;集合{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}对应同余方程xr≡hr(modpr);

集合{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}对应同余方程xs≡hs(modps)。

由孙子—高斯定理可知,同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj

(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余,又因为偶数2m是同余方程xi≡h(imodpi)的解,偶数2m也是同余方程xj≡hj(modpj)的解,„,偶数2m也是同余方程xr≡hr(modpr)的解,偶数2m也是同余方程xs≡hs(modps)的解;那么偶数2m也是同余方程组xi≡h(,xj≡h(,„,imodpi)jmodpj)xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的一个解。那么同余方程组xi≡hi(modpi),xj≡hj(modpj),„,xr≡hr(modpr),xs≡hs(modps)的解总可以转化为同余方程y≡k(modpipj„prps)的解, k为小于pipj„prps的正整数,且k=2m-pipj„prpsu,pipj„prpsu为小于偶数2m的最大正整数。那么2m-(u-1)pipj„prps=2m-pipj„prpsu+pipj„prps=pipj„prps+k,2m-(u-2)pipj„prps=2m-pipj„prpsu+2pipj„prps=2pipj„prps+k,„,(2m-2pipj„prps)=2m-[u-(u-2)] pipj„prps=(u-2)pipj„prps+2m-pipj„prpsu=(u-2)pipj„prps+k,(2m-pipj„prps)=2m-[u-(u-1)] pipj„prps=(u-1)pipj„prps +2m-pipj„prpsu=(u-1)pipj„prps+k;那么集合{(2m-pipj„prps),(2m-2pipj„prps),(2m-3pipj„prps),(2m-4pipj„prps),(2m-5pipj„prps),„,(2m-upipj„prps)}={ k,(pipj„prps+k),(2pipj„prps+ k),„,[(u-2)pipj„prps+k],[(u-1)pipj„prps+k]}。

又从前面可知,偶数2m是同余方程y≡k(modpipj„prps)的一个

解,则偶数2m=upipj„prps+k。所以k对应pipj„prpsu,(pipj„prps+k)对应pipj„prp(,(2pipj„prps+k)对应pipj„prp(,(3pipj„su-1)su-2)prps+k)对应pipj„prps(u-3),„,[(u-1)pipj„prps+k]对应pipj„prps。故集合{ pi,2pi,3pi,4pi,5pi,„,mipi }∩{ pj,2pj,3pj,4pj,5pj,„,mjpj }∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{ps,2ps,3ps,4ps,5ps,„,ms ps }中正整数的总个数与集合{(2m-pi),(2m-2pi),(2m-3pi),(2m-4pi),(2m-5pi),„,(2m-mipi)}∩{(2m-pj),(2m-2pj),(2m-3pj),(2m-4pj),(2m-5pj),„,(2m-mjpj)}∩„∩{(2m-pr),(2m-2pr),(2m-3pr),(2m-4pr),(2m-5pr),„,(2m-mrpr)}∩{(2m-ps),(2m-2ps),(2m-3ps),(2m-4ps),(2m-5ps),„,(2m-msps)}中正整数的总个数相等。故定理2成立。

例

5:证明集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99}∩{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98}中正整数的总个数与{(100-3),(100-6),(100-9),(100-12),(100-15),(100-18),(100-21),(100-24),(100-27),(100-30),(100-33),(100-36),(100-39),(100-42),(100-45),(100-48),(100-51),(100-54),(100-57),(100-60),(100-63),(100-66),(100-69),(100-72),(100-75),(100-78),(100-81),(100-84),(100-87),(100-90),(100-93),(100-96),(100-99)}∩{(100-7),(100-14),(100-21),(100-28),(100-35),(100-42),(100-49),(100-56),(100-63),(100-70),(100-77),(100-84),(100-91),(100-98)}中正整数的总个数相等。

证明:因为集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99}∩{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98}={21,42,63,84}。

又因为集合{(100-3),(100-6),(100-9),(100-12),(100-15),(100-18),(100-21),(100-24),(100-27),(100-30),(100-33),(100-36),(100-39),(100-42),(100-45),(100-48),(100-51),(100-54),(100-57),(100-60),(100-63),(100-66),(100-69),(100-72),(100-75),(100-78),(100-81),(100-84),(100-87),(100-90),(100-93),(100-96),(100-99)}∩{(100-7),(100-14),(100-21),(100-28),(100-35),(100-42),(100-49),(100-56),(100-63),(100-70),(100-77),(100-84),(100-91),(100-98)}={(100-21),(100-42),(100-63),(100-84)}。所以集合{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99}∩{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98}中正整数的总个数与{(100-3),(100-6),(100-9),(100-12),(100-15),(100-18),(100-21),(100-24),(100-27),(100-30),(100-33),(100-36),(100-39),(100-42),(100-45),(100-48),(100-51),(100-54),(100-57),(100-60),(100-63),(100-66),(100-69),(100-72),(100-75),(100-78),(100-81),(100-84),(100-87),(100-90),(100-93),(100-96),(100-99)}∩{(100-7),(100-14),(100-21),(100-28),(100-35),(100-42),(100-49),(100-56),(100-63),(100-70),(100-77),(100-84),(100-91),(100-98)}中正整数的总个数均为4个。(证毕)

参考文献

[1]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版 [3]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版

[4]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版

二〇一四年四月十八日

第四篇:“哥德巴赫猜想”讲义(第13讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

(第13讲)“哥德巴赫猜想”证明(8)

主讲王若仲

第12讲我们讲解了核心部分的定理2,这一讲我们讲核心部分的定理3。

定理3:对于任何一个比较大的偶数2m,设奇素数p1,p2,p3,„,pt均为不大于√2m的全体奇素数(pi< pj,i<j,i、j=1,2,3,„,t),t∈N,且偶数2m均不含有奇素数因子p1,p2,p3,„,pt;那么集合{p1,2p1,3p1,4p1,5p1,„,m1p1}∩{p2,2p2,3p2,4p2,5p2,„,m2p2}∩{p3,2p3,3p3,4p3,5p3,„,m3p3}∩„∩{pt,2pt,3pt,4pt,5pt,„,mtpt}中正整数的总个数与集合{p1,2p1,3p1,4p1,5p1,„,m1p1}∩{p2,2p2,3p2,4p2,5p2,„,m2p2}∩{p3,2p3,3p3,4p3,5p3,„,m3p3}∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)}∩{(2m-pr+2),(2m-2pr+2),(2m-3pr+2),(2m-4pr+2),(2m-5pr+2),„,(2m-mr+2pr+2)}∩{(2m-pr+3),(2m-2pr+3),(2m-3pr+3),(2m-4pr+3),(2m-5pr+3),„,(2m-mr+3pr+3)}∩„∩{(2m-pt),(2m-2pt),(2m-3pt),(2m-4pt),(2m-5pt),„,(2m-mtpt)}中正整数的总个数相等。其中m1p1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,m2p2为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,m3p3为对应的集合情形下不大于偶数

2m的最大正整数,„,mtpt为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明:对于集合{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)},我们令2m-mr+1pr+1=hr+1,因为mr+1pr+1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数,显然hr+1<pr+1,则2m-(mr+1-1)pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1,2m-(mr+1-2)pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1,„,(2m-2pr+1)= 2m-[m r+1-(m r+1-2)]pr+1=(mr+1-2)

pr+1+2m-m r+1pr+1=(m r+1-2)pr+1+hr+1,(2m-pr+1)=2m-[mr+1-(mr+1-1)]pr+1 =(mr+1-1)pr+1+2m-mr+1pr+1 =(mr+1-1)pr+1+hr+1;那么集合{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)}={(pr+1-kr+1),(2pr+1-kr+1),(3pr+1-kr+1),„,[(mr+1-1)pr+1-kr+1],(mr+1pr+1-kr+1)}={ hr+1,(pr+1+hr+1),(2pr+1+hr+1),„,[(mr+1-2)pr+1+hr+1],[(mr+1-1)pr+1+hr+1]};我们令2m-mr+2p r+2=hr+2;2m-mr+3pr+3=hr+3;„;2m-mtpt=ht;同理可得:集合{(2m-pr+2),(2m-2pr+2),(2m-3pr+2),(2m-4pr+2),(2m-5pr+2),„,(2m-mr+2pr+2)}={ hr+2,(pr+2+hr+2),(2pr+2+hr+2),„,[(mr+2-2)pr+2+hr+2],[(mr+2-1)pr+2+hr+2]};集合{(2m-pr+3),(2m-2pr+3),(2m-3pr+3),(2m-4pr+3),(2m-5pr+3),„,(2m-mr+3pr+3)}={ hr+3,(pr+3+hr+3),(2pr+3+hr+3),„,[(mr+3-2)pr+3+hr+3],[(mr+3-1)pr+3+hr+3]};„;集合{(2m-pt),(2m-2pt),(2m-3pt),(2m-4pt),(2m-5pt),„,(2m-mtpt)}={ ht,(pt+ht),(2pt+ht),„,[(mt-2)pt+ht],[(mt-1)pt+ht]}。

因为前面令2m-mr+1pr+1=hr+1,2m-mr+2p r+2=hr+2;2m-mr+3pr+3=hr+3;„;

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1(modpr+1),2m≡hr+2(modpr+2),2m≡hr+3(modpr+3),„,2m≡ht(modpt);所以集合{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)}对应同余方程xr+1≡hr+1(modpr+1);集合{(2m-pr+2),(2m-2pr+2),(2m-3pr+2),(2m-4pr+2),(2m-5pr+2),„,(2m-mr+2pr+2)}对应同余方程xr+2≡hr+2(modpr+2);集合{(2m-pr+3),(2m-2pr+3),(2m-3pr+3),(2m-4pr+3),(2m-5pr+3),„,(2m-mr+3pr+3)}对应同余方程xr+3≡hr+3(modpr+3);„;集合{(2m-pt),(2m-2pt),(2m-3pt),(2m-4pt),(2m-5pt),„,(2m-mtpt)}对应同余方程xt≡ht(modpt)。

由孙子—高斯定理可知,同余方程组x≡h i(modpi)(i= r+1, r+2, r+3,„,t)有无穷多解,且这些解关于模M=pr+1pr+2p r+3„pt同余,因为(p1p2p3„pr,pr+1pr+2p r+3„pt)=1,由同余性质定理1可知,同余方程组x≡hi(modpi)(i= r+1, r+2, r+3,„,t)的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余,又因为偶数2m是同余方程x≡hr+1(modpr+1)的解,偶数2m也是同余方程x≡h r+2(modp r+2)的解,偶数2m也是同余方程x≡h r+3(modp r+3)的解,„,偶数2m也是同余方程x≡ht(modpt)的解;那么偶数2m也是同余方程组x≡h i(modpi)(i= r+1, r+2, r+3,„,t)的一个解;在偶数2m范围内,同余方程组x≡h i(modpi)(i= r+1, r+2, r+3,„,t)的所有解对应集合{ h´,(pr+1pr+2p r+3„pt+h´),(2pr+1pr+2p r+3„pt+h´),(3pr+1pr+2p

r+3

„pt+h´),„,[(v-2)pr+1pr+2p r+3„pt,+h´],[(v-1)pr+1pr+2p r+3„

pt+h´]},其中vpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然

集合{ h´,(pr+1pr+2p r+3„pt+h´),(2pr+1pr+2p r+3„pt+h´),(3pr+1pr+2p r+3„pt+h´),„,[(v-2)pr+1pr+2p r+3„pt,+h´],[(v-1)pr+1pr+2p r+3„pt+h´]} 对应同余方程w≡h´(modpr+1pr+2p r+3„pt)。

我们设集合{p1,2p1,3p1,4p1,5p1,„,m1p1}∩{p2,2p2,3p2,4p2,5p2,„,m2p2}∩{p3,2p3,3p3,4p3,5p3,„,m3p3}∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)}∩{(2m-pr+2),(2m-2pr+2),(2m-3pr+2),(2m-4pr+2),(2m-5pr+2),„,(2m-mr+2pr+2)}∩{(2m-pr+3),(2m-2pr+3),(2m-3pr+3),(2m-4pr+3),(2m-5pr+3),„,(2m-mr+3pr+3)}∩„∩{(2m-pt),(2m-2pt),(2m-3pt),(2m-4pt),(2m-5pt),„,(2m-mtpt)}中的任一奇数均对应同余方程y≡e(modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt)的一个解,对于同余方程y≡e(modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt),e为小于p1p2p3„pt的正整数,因为同余方程组x≡hi(modpi)(i= r+1, r+2, r+3,„,t)的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余,由同余性质定理1可知,e=p1p2p3„prh´,根据前面得到的同余方程w≡h´(modpr+1pr+2p r+3„pt),我们再设同余方程z≡h´(modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt),那么在偶数2m范围内,同余方程z≡h´(modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt)的所有解对应的集合为{ h´,(p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´),(2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´),(3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´),„,[(u-2)p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´],[(u-1)p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+h´]},其中up1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数;显然p1p2p3„prh´<p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt,而

e=p1p2p3„prh´,所以在偶数2m范围内,同余方程y≡e(modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt)的所有解对应的集合为{ e,(p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e),(2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e),(3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+ e),„,[(u-2)p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e],[(u-1)p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+e]},显然(u-1)p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+p1p2p3„prh´<2m。所以e对应p1p2p3„ptu,(p1p2p3„pt+e)对应p1p2p3„p(,(2p1p2p3„pt+e)tu-1)对应p1p2p3„p(,(3p1p2p3„pt+e)对应p1p2p3„p(,„,[(u-1)tu-2)tu-3)p1p2p3„pt+e]对应p1p2p3„pt。故集合{p1,2p1,3p1,4p1,5p1,„,m1p1}∩{p2,2p2,3p2,4p2,5p2,„,m2p2}∩{p3,2p3,3p3,4p3,5p3,„,m3p3}∩„∩{pt,2pt,3pt,4pt,5pt,„,mtpt}中正整数的总个数与集合{p1,2p1,3p1,4p1,5p1,„,m1p1}∩{p2,2p2,3p2,4p2,5p2,„,m2p2}∩{p3,2p3,3p3,4p3,5p3,„,m3p3}∩„∩{pr,2pr,3pr,4pr,5pr,„,mrpr}∩{(2m-pr+1),(2m-2pr+1),(2m-3pr+1),(2m-4pr+1),(2m-5pr+1),„,(2m-mr+1pr+1)}∩{(2m-pr+2),(2m-2pr+2),(2m-3pr+2),(2m-4pr+2),(2m-5pr+2),„,(2m-mr+2pr+2)}∩{(2m-pr+3),(2m-2pr+3),(2m-3pr+3),(2m-4pr+3),(2m-5pr+3),„,(2m-mr+3pr+3)}∩„∩{(2m-pt),(2m-2pt),(2m-3pt),(2m-4pt),(2m-5pt),„,(2m-mtpt)}中正整数的总个数相等。故定理3成立。

参考文献

[1]戎士奎,十章数论(贵州教育出版社)1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤,严士健,初等数论(人民教育出版社)1983年2月第6版 [3]刘玉琏,付沛仁,数学分析(高等教育出版社)1984年3月第1版

[4]王文才,施桂芬,数学小辞典(科学技术文艺出版社)1983年2月第1版

二〇一四年四月十九日

第五篇:“哥德巴赫猜想”讲义(第1讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

(

数学名家。哥德巴赫首先去莱比锡,拜访了大数学家莱布尼茨。莱布

尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)对于数学的最大贡献是发明了微

积分。哥德巴赫的到来,使莱布尼茨感到很高兴,对于这位朝气蓬勃的晚辈,莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高

屋建瓴的观点,也使哥德巴赫终身受益。接着哥德巴赫又到伦敦访问

棣莫弗。棣莫弗(De Moivre,1667-1754)是法国人,因躲避宗教迫

害移居英国。棣莫弗最擅长的研究领域是概率论,并对此做出了很大的贡献。概率论是研究偶然性(或者随机现象)的数学分支,它的起

源与掷骰子赌博的输赢问题有关。哥德巴赫对于理论研究和实际问题

都很有兴趣。后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市,分别见到伯努利

家族的几位成员,其中丹尼尔 • 伯努利和哥德巴赫关系密切。16世

纪末,伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害,从比利时的安特卫普辗转

来到瑞士的巴塞尔,在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统,也有

个别人行医,似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后,却在三代

人中出现了八位数学家,其中几位有相当大的成就。欧洲的旅行,使

哥德巴赫不断开阔眼界,增长了学识,还在学术圈里交了不少朋友,收获颇丰。

1724年哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡,此时的哥德巴赫已经 34

岁。俄罗斯彼得大帝听取莱布尼茨的建议,1724年1月颁布谕旨,决定成立圣彼得堡科学院,彼得大帝拟定了科学院章程,其中强调,科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献,章

程中的重要一条是,邀请国外的一些知名学者到科学院工作,以带动



俄罗斯科学的发展。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝,建

议成立北京科学院,可惜未被采纳。1725年哥德巴赫又到俄罗斯。

丹尼尔 • 伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院,哥德巴赫就有

了共同研究的伙伴,他们时常徜徉在涅瓦河畔,切磋讨论数学问题。

1728年欧拉也到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年,他是

约翰 • 伯努利的学生,也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。在数学的历史上,人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数

学家。由于丹尼尔的关系,哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了,涅瓦

河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁,哥德巴赫欣

赏欧拉的聪明和勤奋,欧拉钦佩哥德巴赫见多识广,他们之间是一种

忘年之交。后来欧拉由于身体原因去了德国柏林,哥德巴赫与远在德

国柏林的欧拉一直保持通信,讨论各种数学问题。1742年6月7日

在莫斯科的哥德巴赫给柏林的欧拉一封信,同年 6月30日欧拉给哥

德巴赫回信。哥德巴赫在信中说:“对于那些虽未切实论证但很可能

是正确的命题,我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后

万一证明它们是错误的,也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经

证明的那样,费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的,但如

果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话,那也是

一个很了不起的结果”。当 m ≥ 1 时,Fm 是形如 4n+1 的正整数。

由上述费尔马的一个命题,如果 Fm 是素数的话,那么 Fm 自然就可

以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是,在无法保

证 Fm 是素数的情况下,看看能否证明弱一点的结果“ Fm 可以用唯一

的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。

哥德巴赫在信中又说:“类似地,我也斗胆提出一个猜想:任何由两

个素数所组成的数都是任意多个数之和,这些数的多少随我们的意愿

而定,直到所有的数都是 1 为止。例如:4=1+3=1+1+2=1+1+1+1,5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1,6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1,„。哥德巴赫又在页边的空白处补充道:“重新读过上面的内容后,我发现,如果猜想对于n成立,而且n+1可以表成两个素数

之和的话,那么,可以严格地证明猜想对于n+1也成立。证明是容易的。无论如何,看来每个大于2的数都是三个素数之和”。这里哥德

巴赫把1看成了素数。下面欧拉也采用这种看法,欧拉在回信中说:

关于每个可以分成两个素数之和的数又可分拆为任意多个素数之和

这一论断,可由你以前写信告诉我的一个观察(即每个偶数是两个素

数之和)来说明和证实。如果所考虑的数n是偶数的话,那么它是两

个素数之和。又因为n-2也是两个素数之和,所以n是三个素数之和,同理它也是四个素数之和,如此等等。如果n是奇数的话,因为n-1

是两个素数之和,所以n是三个素数之和,因此它可以分拆为任意多

个素数之和。无论如何,我认为“每个偶数是两个素数之和”是一条

相当真实的定理,虽然我不能证明它。因为这是私人间的通信,所以

其中的说法相当随意,在数学上是不严格的。后人在数学上将它们严

格化,并称之为“哥德巴赫猜想”。

英国数学家华林(E.Waring,1736-1798),在1770年出版的《代

数沉思录》一书中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:



1.每个大于2的偶数都是两个素数之和;

2.每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数之和。

标准的现代版本是这样的:

1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和;

2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

也可以将它们写成下面的数学公式:

1.N=p1+p2 , 当N(N≥6)是偶数;

2.N=p1+p2+p3,当N(N≥9)是奇数;其中pi(i=1,1,3)均为奇素数。

哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运算在数学中是最基本和最常见的。

据说早在哥德巴赫之前,法国哲学家和数学家笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)在他的手稿里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫猜想已经远远超出他的能力之外。

1900年,

从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题,而成了近代数学重要的一环。后来的发展证明,希尔伯特的眼光是非常正确的。

参考文献

[1]贾朝华,从哥德巴赫说开去

二〇一四年四月十日 

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