“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

第一篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第14讲）“哥德巴赫猜想”证明（9）

主讲王若仲

第13讲我们讲解了核心部分的定理3，这一讲我们讲核心部分的定理4。

定理4：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi´＜pj´，i´＜j´，i´、j´=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。其中其中pi，pj，„，mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mepe为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mupu为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mvpv为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mwpw为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，因为（pepu„pvpw，pipj„prps）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。在偶数2m范围内，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解对应集合{ h´，（pipj„prps+h´），（2pipj„prps+h´），´]}，其中vpipj„prps„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然集合{ h´，（pipj„prps +h´），（2 pipj„prps +h´），（3 pipj„prps +h´），„，[（v-2）pipj„prps+h´]，[（v-1）pipj„prps+h´]} 对应同余方程w≡h´（mod pipj„prps）。

我们设集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中的任一奇数均对应同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的一个解，则a为小于pipj„prpspepu„pvpw的正整数，因为同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu„pvpw的乘积关于模M´=pipj„prpspepu„pvpw 同余，由同余性质定理1可知，a=pepu„pvpwh´，我们再设同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（mod pipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ h´，（pipj„prpspepu„pvpw +h´），（2 pipj„prpspepu„pvpw +h´），（3 pipj„prpspepu„pvpw +h´），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +h´]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw +h´]}，其中u pipj„prpspepu„pvpw为不大于偶数2m的最大正整数；显然pepu„pvpwh´＜

pipj„prpspepu„pvpw，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡a（modpipj„prpspepu„pvpw）的所有解对应的集合为{ a，（pipj„prpspepu„pvpw +a），（2pipj„prpspepu„pvpw +a），（3pipj„prpspepu„pvpw +a），„，[（u-2）pipj„prpspepu„pvpw +a]，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]}，显然（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+pepu„pvpwh´＜2m。所以a对应pipj„prpspepu„pvpwu，（pipj„prpspepu„pvpw+a）对应pipj„prpspepu„pvp（，（2pipj„wu-1）prpspepu„pvpw+a）对应p1p2p3„pt（u-2），（3p1p2p3„pt+a）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）pipj„prpspepu„pvpw+a]对应pipj„prpspepu„pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，„，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，„，mupu}∩„∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，„，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，„，mwpw}中正整数的总个数相等。故定理4成立。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日

第二篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第19讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

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所以对于“偶数2m=奇数+奇数”来说，就只有下面几种情形： ①偶数2m=奇合数+奇合数，②偶数2m=奇合数+奇素数，③偶数2m=奇素数+奇素数，④偶数2m=1+奇合数，⑤偶数2m=1+奇素数。

对于“偶数2m=奇数+奇数”的情形，我们下面一步一步具体分析：

（ⅰ）、对于偶数2m，当m为奇素数时，我们不妨令m=p，p为奇素数，那么2m=p+p，这种情形下，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

（ⅱ）、对于偶数2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），„，（2m-pt）}中至少有一个奇数为奇素数，我们不妨令（2m-pi）为奇素数，pi∈{p1，p2，p3，„，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。

“哥德巴赫猜想针对的是无穷的偶数，为了解决无穷的问题，一般情况下，我们设定一个非常大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N；并且假设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt，为了解保奇素数p1，p2，p3，„，pt均要被筛除，我们还要假设集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），„，（2m-pt）}中的奇数均为奇合数；因为偶数2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，„，2m=（2m-pt）+ pt。在说上面这样的情形在无穷多的偶数中是必然存在的。说明白了就是对偶数2m对应的集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中的奇数，要达到筛除的最大化，即达到筛除的极限。

如果我们设集合A={1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}，又设集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，„，（2m1-1）p1}，集合A1´={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），„，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，„，（2m2-1）p2}，集合A2´={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），„，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，„，（2m3-1）p3}，集合A3´={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），„，[2m-（2m3-1）p3]}，„，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，„，（2mt-1）pt}，集合At´={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），„，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，„，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。

对于偶数2m以内的全体奇数，偶数2m对应的集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}，我们在集合A={1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中进行埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛这两种筛法配合筛：

〈1〉在集合A中筛除属于集合A1中的奇数，又在集合A中筛除属于集合A1´中的奇数，得到集合B1；因为我们设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt。所以集合A和集合A1无公共元素。〈2〉在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数，又在集合B1中筛除属于集合A2´中的奇数，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数，又在集合B2中筛除属于集合A3´中的奇数，得到集合B3；

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〈t-1〉在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数，又在集合Bt-2

中筛除属于集合At-1´中的奇数，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数，又在集合Bt-1中筛除属于集合At´中的奇数，最终得到集合Bt。

最后在集合Bt中再筛除奇数1和（2m-1）得到集合H，如果我们 能判定集合H中确实有奇数，那么集合H中的奇数必定为奇素数，同时还能判定偶数2m可表为两个奇素数之和。因为集合{1，3，5，7，9，„，（2m-3），（2m-1）}中的奇数经过上面的配合筛后，如下情形中的奇数被全部筛除：

①偶数2m=奇合数+奇合数，②偶数2m=奇合数+奇素数，③偶数2m=1+奇合数，④偶数2m=1+奇素数。

说明最后在集合H中的奇数必定为奇素数，并且集合H中的奇数必定

只满足“偶数2m=奇素数+奇素数”的情形。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日

第三篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第12讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第12讲）“哥德巴赫猜想”证明（7）

主讲王若仲

第11讲我们讲解了核心部分的定理1，这一讲我们讲核心部分的定理2。

定理2：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。其中pi，pj，„，pr，ps为两两互不相同的奇素数，且均小于√2m；mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，„，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，„，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），„，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我们令2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），„，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，„，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），„，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），„，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；„；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），„，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；„；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj„prps同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，„，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡h（，xj≡h（，„，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。那么同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），„，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解总可以转化为同余方程y≡k（modpipj„prps）的解, k为小于pipj„prps的正整数，且k=2m-pipj„prpsu，pipj„prpsu为小于偶数2m的最大正整数。那么2m-（u-1）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+pipj„prps=pipj„prps+k，2m-（u-2）pipj„prps=2m-pipj„prpsu+2pipj„prps=2pipj„prps+k，„，（2m-2pipj„prps）=2m-[u-（u-2）] pipj„prps=（u-2）pipj„prps+2m-pipj„prpsu=（u-2）pipj„prps+k，（2m-pipj„prps）=2m-[u-（u-1）] pipj„prps=（u-1）pipj„prps +2m-pipj„prpsu=（u-1）pipj„prps+k；那么集合{（2m-pipj„prps），（2m-2pipj„prps）,（2m-3pipj„prps），（2m-4pipj„prps），（2m-5pipj„prps），„，（2m-upipj„prps）}={ k，（pipj„prps+k），（2pipj„prps+ k），„，[（u-2）pipj„prps+k]，[（u-1）pipj„prps+k]}。

又从前面可知，偶数2m是同余方程y≡k（modpipj„prps）的一个

解,则偶数2m=upipj„prps+k。所以k对应pipj„prpsu，（pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（2pipj„prps+k）对应pipj„prp（，（3pipj„su-1）su-2）prps+k）对应pipj„prps（u-3），„，[（u-1）pipj„prps+k]对应pipj„prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，„，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，„，mjpj }∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，„，ms ps }中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），„，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），„，（2m-mjpj）}∩„∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），„，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），„，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。故定理2成立。

例

5：证明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数相等。

证明：因为集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因为集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整数的总个数均为4个。（证毕）

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版



二〇一四年四月十八日

第四篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第13讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（第13讲）“哥德巴赫猜想”证明（8）

主讲王若仲

第12讲我们讲解了核心部分的定理2，这一讲我们讲核心部分的定理3。

定理3：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，„，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，„，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，„，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。其中m1p1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m2p2为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m3p3为对应的集合情形下不大于偶数

2m的最大正整数，„，mtpt为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。

证明：对于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}，我们令2m-mr+1pr+1=hr+1，因为mr+1pr+1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hr+1＜pr+1，则2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，„，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），„，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），„，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我们令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），„，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），„，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），„，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因为前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；„；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），„，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}对应同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}对应同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}对应同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；„；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}对应同余方程xt≡ht（modpt）。

由孙子—高斯定理可知，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）有无穷多解,且这些解关于模M=pr+1pr+2p r+3„pt同余，因为（p1p2p3„pr，pr+1pr+2p r+3„pt）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，又因为偶数2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶数2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，„，偶数2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶数2m也是同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的一个解；在偶数2m范围内，同余方程组x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的所有解对应集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p

r+3

„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„

pt+h´]}，其中vpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然

集合{ h´，（pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2pr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3pr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（v-2）pr+1pr+2p r+3„pt，+h´]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3„pt+h´]} 对应同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt）。

我们设集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中的任一奇数均对应同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的一个解，对于同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），e为小于p1p2p3„pt的正整数，因为同余方程组x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,„，t）的任一解与p1p2p3„pr的乘积关于模M´=p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt同余，由同余性质定理1可知，e=p1p2p3„prh´，根据前面得到的同余方程w≡h´（modpr+1pr+2p r+3„pt），我们再设同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ h´，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+h´]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+h´]}，其中up1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt为不大于偶数2m的最大正整数；显然p1p2p3„prh´＜p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt，而

e=p1p2p3„prh´，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡e（modp1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt）的所有解对应的集合为{ e，（p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（2p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e），（3p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+ e），„，[（u-2）p1p2p3„prpr+1pr+2p r+3„pt+e]，[（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+e]}，显然（u-1）p1p2p3„prpr+1pr+2pr+3„pt+p1p2p3„prh´＜2m。所以e对应p1p2p3„ptu，（p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，（2p1p2p3„pt+e）tu-1）对应p1p2p3„p（，（3p1p2p3„pt+e）对应p1p2p3„p（，„，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3„pt+e]对应p1p2p3„pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，„，mtpt}中正整数的总个数与集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，„，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，„，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，„，m3p3}∩„∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，„，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），„，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），„，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），„，（2m-mr+3pr+3）}∩„∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），„，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。故定理3成立。

参考文献

[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版

[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版



二〇一四年四月十九日

第五篇：“哥德巴赫猜想”讲义(第1讲)

“哥德巴赫猜想”讲义

（

数学名家。哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。莱布

尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）对于数学的最大贡献是发明了微

积分。哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬勃的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高

屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。接着哥德巴赫又到伦敦访问

棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫

害移居英国。棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大的贡献。概率论是研究偶然性（或者随机现象）的数学分支，它的起

源与掷骰子赌博的输赢问题有关。哥德巴赫对于理论研究和实际问题

都很有兴趣。后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利

家族的几位成员，其中丹尼尔 • 伯努利和哥德巴赫关系密切。16世

纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时的安特卫普辗转

来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统，也有

个别人行医，似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后，却在三代

人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。欧洲的旅行，使

哥德巴赫不断开阔眼界，增长了学识，还在学术圈里交了不少朋友，收获颇丰。

1724年哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡，此时的哥德巴赫已经 34

岁。俄罗斯彼得大帝听取莱布尼茨的建议，1724年1月颁布谕旨，决定成立圣彼得堡科学院，彼得大帝拟定了科学院章程，其中强调，科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献，章

程中的重要一条是，邀请国外的一些知名学者到科学院工作，以带动



俄罗斯科学的发展。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝，建

议成立北京科学院，可惜未被采纳。1725年哥德巴赫又到俄罗斯。

丹尼尔 • 伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院，哥德巴赫就有

了共同研究的伙伴，他们时常徜徉在涅瓦河畔，切磋讨论数学问题。

1728年欧拉也到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年，他是

约翰 • 伯努利的学生，也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。在数学的历史上，人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数

学家。由于丹尼尔的关系，哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了，涅瓦

河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁，哥德巴赫欣

赏欧拉的聪明和勤奋，欧拉钦佩哥德巴赫见多识广，他们之间是一种

忘年之交。后来欧拉由于身体原因去了德国柏林，哥德巴赫与远在德

国柏林的欧拉一直保持通信，讨论各种数学问题。1742年6月7日

在莫斯科的哥德巴赫给柏林的欧拉一封信，同年 6月30日欧拉给哥

德巴赫回信。哥德巴赫在信中说：“对于那些虽未切实论证但很可能

是正确的命题，我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后

万一证明它们是错误的，也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经

证明的那样，费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的，但如

果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话，那也是

一个很了不起的结果”。当 m ≥ 1 时，Fm 是形如 4n+1 的正整数。

由上述费尔马的一个命题，如果 Fm 是素数的话，那么 Fm 自然就可

以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是，在无法保

证 Fm 是素数的情况下，看看能否证明弱一点的结果“ Fm 可以用唯一

的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。

哥德巴赫在信中又说：“类似地，我也斗胆提出一个猜想：任何由两

个素数所组成的数都是任意多个数之和，这些数的多少随我们的意愿

而定，直到所有的数都是 1 为止。例如：4=1+3=1+1+2=1+1+1+1，5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1，6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1，„。哥德巴赫又在页边的空白处补充道：“重新读过上面的内容后，我发现，如果猜想对于n成立，而且n+1可以表成两个素数

之和的话，那么，可以严格地证明猜想对于n+1也成立。证明是容易的。无论如何，看来每个大于2的数都是三个素数之和”。这里哥德

巴赫把1看成了素数。下面欧拉也采用这种看法，欧拉在回信中说：

关于每个可以分成两个素数之和的数又可分拆为任意多个素数之和

这一论断，可由你以前写信告诉我的一个观察（即每个偶数是两个素

数之和）来说明和证实。如果所考虑的数n是偶数的话，那么它是两

个素数之和。又因为n-2也是两个素数之和，所以n是三个素数之和，同理它也是四个素数之和，如此等等。如果n是奇数的话，因为n-1

是两个素数之和，所以n是三个素数之和，因此它可以分拆为任意多

个素数之和。无论如何，我认为“每个偶数是两个素数之和”是一条

相当真实的定理，虽然我不能证明它。因为这是私人间的通信，所以

其中的说法相当随意，在数学上是不严格的。后人在数学上将它们严

格化，并称之为“哥德巴赫猜想”。

英国数学家华林(E.Waring,1736-1798),在1770年出版的《代

数沉思录》一书中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:



1.每个大于2的偶数都是两个素数之和;

2.每个奇数或者是一个素数,或者是三个素数之和。

标准的现代版本是这样的:

1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和;

2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

也可以将它们写成下面的数学公式:

1.N=p1+p2 , 当N(N≥6)是偶数;

2.N=p1+p2+p3,当N(N≥9)是奇数;其中pi（i=1，1，3）均为奇素数。

哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运算在数学中是最基本和最常见的。

据说早在哥德巴赫之前,法国哲学家和数学家笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)在他的手稿里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫猜想已经远远超出他的能力之外。

1900年,

从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题,而成了近代数学重要的一环。后来的发展证明,希尔伯特的眼光是非常正确的。

参考文献

[1]贾朝华，从哥德巴赫说开去

二〇一四年四月十日 