正弦定理教学设计及反思

第一篇：正弦定理教学设计及反思

湖北省宜昌市第十八中学高中数教师学教学反思：正弦定理教学设计

及反思

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。在教学过程中，采用了以学生互动探究为主的“五二五”教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够通过观察、归纳、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现与创造的历程；掌握正弦定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论结果。）探究一：在△ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出△ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准：书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2，3，4，5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。

总的来说，本节课是以学生自己学、小组学、集体学为主要学习模式的课，充分调动了学生的学习积极性，每一位学生都动了起来，都有所收获。数学知识也在欢乐和谐的氛围中主动的进入了学生的大脑。

第二篇：《正弦定理》教学反思

通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：

1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

第三篇：正弦定理 教学反思

教学反思

（二）——关于《正弦定理》这一节课的教学反思

1．本节课虽然在教师的引导下，完成了教学任务，但是一味地为了完成任务而忽略了对学生正确思维的展开和引导.上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，只有从思想上真正转变为以学生的发展为根本，才不会为了进度而将学生强拉进自己事先设计好的轨道.正是教学有法，又无定法.2．问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.本节课通过对课本引例的解决、展开，引导学生在问题解决中发现结论.符合认识问题的思维规律，对激发学生探究问题兴趣是非常有益的.3．正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法.但在具体的推导时，要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力.在教学设计和课堂教学中应充分了解学生、研究学生，备课不仅是备知识，更重要的是备学生.作为教师只有真正树立以学生的发展为本的教学理念，才能尊重学生思维过程的发生、发展，才能从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，才能为学生提供充分的数学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人.

第四篇：正弦定理教学设计与反思

“正弦定理”的教学设计和反思

“正弦定理”的教学设计

一、教材分析

1、正弦与余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理，《标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用这两个定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，从而使学生进一步了解数学在实际中的运用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

2、定理的探究可以采用向量的方法。向量在研究与解决有关几何问题时提供了两种方法——向量法与坐标法，它在实际问题与数学问题、“形”与“数”之间搭起了“桥梁”。向量在数学与物理中运用广泛，在解析几何运用更直接，用向量方法便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，是一张具有优良运算通性的数学体系。

3、定理的探究也可以采用几何推理的方法。

4、在必修4中，学生已经学习了三角函数的基础知识、图像性质与恒等变形等三角函数和平面向量的有关内容，对三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，是学习正弦定理的知识基础。学生已经掌握的知识和方法形成的认知结构，是学习正弦定理的能力基础。

正弦定理是必修5 中第一章 解三角形第一节

正弦定理和余弦定理中的第一

正弦定理，起着承上启下的作用。

二、教学目标

1、掌握利用几何或平面向量证明正弦定理的方法，引导学生运用向量知识解决问题的意识。

2、掌握正弦定理，并能解决一些简单三角形度量问题。

3、能根据三角形边长和角度的关系，进行三角形和解的个数的判定。

4、培养学生的观察，归纳、猜想、探究的思维方法与能力。

三、教学重点、难点 重点：正弦定理的探究与运用

难点：根据三角形边长和角度的关系，进行形状和解的个数的判定。

四、教学过程

（一）、创设情景，导入新课

问题

1、在测量某水池东西两端A与B之间距离实践活动中。学生甲的测量方法是：从水池的一端点A出发，沿西北方向走了10米到C点出，又再C点测得点B在C的南偏西60度的方向上···试判断：依据学生甲的测量数据是否能计算出水池两端A、B之间的距离/若能求出A与B之间的距离？

利用直角三角形的边角关系可以直接求解。正弦定理的引入

问题

2、p2探究

AbcCBa

在初中我们学习了关于任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确化的表示呢？

对于此问题，首先研究比较特殊的直角三角形（锐角三角函数）由于涉及边角之间的数量关系（引导学生到三角函数）问题

3、在初中，我们已学过如何解直角三角形，那么在直角三角形中存在怎样的边角关系呢？

正弦定理的探究

AbCc探究

aB

如同：在Rt△ABC中，在∠c=90°，设BC=a，AC=b,AB=c,sinA=

sinB=

sinC= 可以得到直角三角形中的正弦定理

abcC sinAsinBsinCacbccc思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否成立？

abc sinAsinBsinC探究；根据三角形的分类，可分为锐角三角形和钝角三角形亮种情况进行讨论；

（二）合作交流，解读新知

一般三角形的计算：采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。问题是生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都化为直角三角形求解，很麻烦，能不能，像直角三角形一样利用边角关系求解呢? 锐角三角形

利用锐角三角形中，同一条高的不同表示，证明锐角三角形中的正弦CABD定理。

asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形

ab，同理可得，sinAsinBAB边上的高，CDasinBbsinA，则钝角三角形

P3探究，当三角形ABC是钝角三角形时，以上等式成立吗？是否可以用其他方法证明正弦定理，学生自己探究，小组讨论，教师提示

钝角三角形中的正弦定理（正弦函数的诱导公式）作一边上的高，总结：正弦定理abc sinAsinBsinC正弦定理的证明

方法有：向量法、三角形面积公式。

前面我们学习了排名向量，能否运用向量的方法证明呢？

CiAB但△ABC是锐角三角形时，过点A作单位向量

i垂直于AB，因为ACABAC，所以 iACi(ABBC)

iACiABiBC

所以bcos(900A)ccos900acos(900B)

即bsinAasinBab sinAsinB当△ABC是钝角三角形时，类似证明。

提问为什么要做单位向量，引入单位向量有什么用？

因为垂直的两向量的数量积等于0，所以过点A引入单位向量是为了消去第三边。

正弦定理说明：（1）同一个三角形中，三条边与其对应角的正弦成正比且比例系数为改三角形外接圆的直径2R。即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（2）、anisbcAnisBnisCanisbcbac,, AnisBnisCnisBnisAnisC（3）三角形面积公式 解三角形

(1)、说明是解三角形p3 三角形的元素，三边对应三角（传统）（2）正弦定理可以用于两类解三角形的问题

P3思考

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？（正弦定理说明（2））

（1）两角与一边（三角形内角和定理，求另一角，）正弦定理求另两边。

（2）两边与一边对角，正弦定理求另一边的对角正弦值（确定角）和其他边和角。

（三）、例题讲解（正弦定理的应用）P3例1 P4例2

教师提示学生动手做，叫学生上黑板演练，注意两边和一边对角，解三角形，在某些条件下，出现无解情形 关于解三角形的进一步讨论。（三角形中大边对大角）

（四）、课堂练习P4练习

（五）、小结与作业

1、正弦定理的应用，在同一个三角形中，大角队大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大。

即三角形中，A>B，等价于a>b等价于sin A>sin B

2、解决三角形中的计算与咱们问题时，要注意以下几点，sinA=sin(B+C)

3、三角形常用的面积公式

教学反思

本节课是正弦、余弦定理教学的第一街课，重点是正弦定理的探究原因如下：教学的目的不仅是传授知识与技能，更主要的是再此过程中，培养学生的能力，特别是思维能力；素材适合于学生教学“观察与分析”，“归纳与猜想”，“实验与证明”等思维能力的训练，正弦定理的探究包含利用向量方法证明定理。缺点是，课堂思维容量大，教学进度受学生的思维水平的影响；教学中容易出现突发事件影响教学进度；故要求教师灵活处理随机事件的能力高，在组织教学中，采取“让学生走上讲台”、“让学生自学课本”、“师生、生生讨论”等模式，形成学生主动观察、分析、归纳、探究、猜想、证明为主线的，教师的主导作用，真正体现了新课改的理念。教学的注意

对学生情况的把握是否到位，教学设计与学生的生成是否精彩，师生配合度是否默偰，方法是否得当。

学习数学不仅是知识的自我和应用，更主要的是知识的建构和思维能力的培养，体现了知识的探究、建构过程、体现了学生的主体作用。对教材教学适当的处理，分层递进，理解思维方法，从特殊到一般，从归纳猜想到实验证明，培养学生的探究问题的科学方法。

第五篇：正弦定理 教学设计

《正弦定理》教学设计

郭来华

一、教学内容分析

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标

1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

五、教学重点与难点

重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导

六、教学过程设计

（一）设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度v15km/h，水流速度v13km/h。【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于

（二）提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

1、船应开往B处还是C处？

2、船从A开到B、C分别需要多少时间？

3、船从A到B、C的距离分别是多少？

4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。

师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问

A图 1BC生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角：

|v||v1||v2||v1||v2|35, 22BDEC534，22v1vFAv2图 2sin 用计算器可求得37

BDv1vv2AF图 3EC船从A开往C的情况如图3，|AD||v1|5，|DE||AF||v2|3，易求得AEDEAF45，还需求DAE及v，我还不知道怎样解这两个问题。

师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？ 部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？ 生3：不知道。

师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？

生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中ADE是直角三角形，而图3中ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。

师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？

【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。

生5：能，过点D作DGAE于点G（如图4），|DG||v1|sinDAG|DE|sinAED|AG||v1|cosDAGBDv1vAGv2EC，|EG||DE|cosAED

F图 4sinDAG|DE|sinAED|v1|3sin4553210

|v||AG||GE|

师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。

（三）解决问题

1、正弦定理的引入

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。

师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。

（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。

（2）展示学生研究的结果。

【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。

师：请说出你研究的结论？ 生7：asinAbsinBcsinC

师：你是怎样想出来的？

生7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边c。

师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。）

师：asinAbsinBcsinC对一般三角形是否成立呢？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。那么生9：成立。师：对任意三角形

asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC对等边三角形是否成立呢？

是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验，„„

【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。

2、正弦定理的探究（1）实验探究正弦定理

师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

结论：asinAbsinBcsinC对于任意三角形都成立。

【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。

生10：（通过计算）与生5的结果相同。

师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。

【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。

（2）点明课题：正弦定理（3）正弦定理的理论探究

师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：

直角三角形——已验证； 锐角三角形——课堂探究； 钝角三角形——课后证明。

【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？

生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则ADcsinBbsinC，所以

bsinBcsinCAcabB，同理可得

asinAbsinBCD图 5 锐角三角形

师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： csinBbsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！

【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。

师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：

证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是ABC的三条高。则有

ADbsinACB，BEcsinBACCFasinABCAFcaD图 6 EbCB。

bcsinBACc12casinABC12SABCa12absinACBbsinABC

AsinBACsinACB

cB

a证法三：如图7，设BD2r是ABC外接圆的直径，则BAD90，ACBADB

BD2r

sinADBab2r同理可证：sinBACsinABCsinACBasinBACbsinABCcsinACBccb

D

C图 7 三角形外接圆

【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式 及asinAbsinBcsinC2r一并牵出，使知识的产生自然合理。

、BC、CA间有什么关系？ 师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？

师：任意ABC中，三个向量AB生12：ABBCCA0

师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由ABBCCA0转化成数量关系？

师：在ABBCCA两边同乘以向量j,有(ABBCCA)j0,这里的向量j可否任意？又如何选择向量j?

生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量j与三个向量中的一个向量（如向量BC）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？

教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。

证法四：如图8，设非零向量j与向量BC垂直。

因为ABBCCA0，所以(ABBCCA)j0 即ABjCAj0 B|AB||j|cosAB,j|CA||j|cosCA,j0 c|j|cos(90B)b|j|cos(90C)0 c|j|(sinB)b|j|sinC0

AcjbaC图 8 向量所以bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）

师：ABjCAj0有什么几何意义？

生15：把ABjCAj0移项可得CAjBAj义可知CA与BA在j方向上的投影相等。，由向量数量积的几何意生16：我还有一种证法

证法五：如图9，作ADBC，则AB与AC在AD方向上的投影相等,即ABADACAD

|AB||AD|cos(90B)|AC||AD|cos(90C)C

csinBbsin 师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）

AcBDabC图 9 向量故bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！

【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。

（四）小结

师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。

（五）作业

1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；

2、思考：证法五与证法一有何联系？

3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？

4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。

七、教学反思

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题2.5 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。

总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。