2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理

第一篇：2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得

a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R

∴△ABC一定是等腰三角形．

方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．

答案：B

2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()

A．4B．2C．1D．不确定

accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝

∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A

abc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosC

A．等腰三角形B．等边三角形

C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确

解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B

sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC

8553A.B.C.D.5835

解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5

答案：D

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4

A．45°B．30°C．120°D．15°

11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42

b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc

答案：A

6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()

A．5B．6C．7D．8

11解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22

＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C

二、填空题

7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2

又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°

π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 32

13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22

2AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3

答案：33

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4

则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.424

π∴tanC＝1.∴C＝.4

π答案： 4

三、解答题

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B；

(2)若a3b，判断△ABC的形状．

解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB

所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC； →→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2

sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC

1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.8

1∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.8

5→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22

又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2

(1)求sinC的值；

(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．

C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1＝2sin2∴sin222

CCC由sin，得2cos1＝2sin 222

CC1∴sincos.222

13两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44

CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244

由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，所以c7＋1.

第二篇：2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理

2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理

一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

二、知识梳理： 1.正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

a

__R（R为ABCsinA

sinA

②

abc,sinB,sinC2R2R2R；③sinA:sinB:sinCa:b:c．

（5）三角形面积公式：SABC________=_________=________．

(6)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。2.余弦定理： a_____________________；b

2____________________；

c2_____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；



b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosC(4)变形：cosA cosB．

2bc2ac2ac

（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其

他两个角.3.解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

①若A为锐角时:

absinA无解

absinA一解(直角)



bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

②若A为直角或钝角时:ab无解

ab一解(锐角)

三、基础检测：1.在 中，则 等于（）

A．B．C．D．

2.若 是（）

A．等边三角形B．有一内角是30°

C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形

3.在，面积，则BC长为（）

A．B．75C．51D．49

4．在 中，已知角 则角A的值是（）

A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

5． 中，sinB=1,sinC,则a：b：c为（22）

A.1：3：2B.1：1：C.1：2： D.2：1：或1：1：

6.如图，在△ABC中，D是边AC

上的点，且ABCD,2AB,BC2BD，则sinC的值为

A

． B

． C

．D

．

7.若 的三个内角 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。

8.在 中，的值为______。

9.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

10.在ABC中。若b=5，B4，tanA=2，则sinA=_______；a=__________。

11.已知ABC 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________.12.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A

（1）若6)2cosA,求A的值；

1cosA,b3c3（2）若，求sinC的值.cosA-2cosC2c-a=cosBb． 13.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

sinC1

（I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

14.设ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c，已知a1.b2.cosC（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值 1.4

第三篇：正弦定理余弦定理[推荐]

正弦定理 余弦定理

一、知识概述

主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以在此方法推导过程中，要注意对

面积公式的应用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角． 分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题． 解：

可以把面积进行转化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立

当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状． 分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例

4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状． 分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例

5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是

1，2，3，求正方形的边长．

分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数． 解：

设边长为x(1

设x=t，则1

－5)=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解； 如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

例

6、不解三角形，判断三角形的个数． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有两解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC无解．

第四篇：正弦定理余弦定理练习

正弦定理和余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

(1)求角A；(2)若a3,bc3,2BC2cos2A72.求b,c的值.

第五篇：正弦定理与余弦定理的证明

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac