正弦余弦定理应用定理（5篇范例）

第一篇：正弦余弦定理应用定理

正弦定理、余弦定理练习题

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)

第二篇：正弦定理余弦定理[推荐]

正弦定理 余弦定理

一、知识概述

主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以在此方法推导过程中，要注意对

面积公式的应用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角． 分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题． 解：

可以把面积进行转化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立

当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状． 分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例

4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状． 分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例

5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是

1，2，3，求正方形的边长．

分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数． 解：

设边长为x(1

设x=t，则1

－5)=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解； 如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

例

6、不解三角形，判断三角形的个数． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有两解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC无解．

第三篇：正弦定理余弦定理练习

正弦定理和余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

(1)求角A；(2)若a3,bc3,2BC2cos2A72.求b,c的值.

第四篇：例谈正弦定理、余弦定理的应用

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例谈正弦定理、余弦定理的应用

作者：姜如军

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

答：渡轮实际行驶的速度约为13.5 km/h，实际行驶方向与水流方向约成105°.点评根据平行四边形法则作图，从而构造数学模型，集中了实际问题中的条件与目标，将实际问题转化为求解三角形问题.先由余弦定理确定AC的长，再用正弦定理求出∠ACB，最后过渡到∠BAC.运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形.如果知道两边和夹角，则可先由余弦定理求出角的对边，再由正弦定理求出另外两个角.如果已知两边及其中一边的对角，则先由正弦定理求出另一条边的对角，再由三角形的内角和为180°求出第三个角，最后用正弦定理可以求出第三条边（当然也可用余弦定理求解，但正弦定理更为直接）.上述求解过程说明，求解三角形，一定要注意已知什么；由已知可以求得什么；目标是什么；要求出目标值需要知道什么；搞清楚这些问题后，就可以确定求解的“序”了.另外，在运用正弦定理、余弦定理的同时，还应该结合面积关系灵活选择解决途径.如果建立适当的直角坐标系，与解析法有机结合，或运用向量的有关性质，可能带来更为简便的求解方案，应予重视.

第五篇：§5.5 正弦定理、余弦定理的应用(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习教案 第五编平面向量、解三角形 主备人 张灵芝 总第25期

§5.5 正弦定理、余弦定理的应用

基础自测

1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC=.答案 130°

2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为.答案 =

3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则△ABC是 三角形.答案 等边

4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 km.答案 107

5.线段AB外有一点C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.答案 70 43例题精讲

例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.解 如图所示，在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=3 km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=2AB=(3)+(3sin7562=.△ABC中，由余弦定理，得

sin602262262)-2×3××cos75°=3+2+3-3=5，22∴AB=5(km).∴A、B之间的距离为5 km.159 例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 km，从B到C方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，距离是（9+33）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°.由余弦定理可得

1AC=AB2BC22ABBCcos120= 99233()

2=27=33(km)，在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.1由余弦定理得AD=AC2CD22ACCDcos120= 27(339)2233(339)()

2=9(26)(km)2CDsinACD=AD(339)由正弦定理得sin∠CAD=

32=2.292962∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 所以，从A到D的方位角是125°，距离为

9(26)km.2例3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB 的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以 DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC 的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解 设∠POB=，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得

160 PC=OP+OC-2OP·OCcos=5-4cos.∴y=S△OPC+S△PCD=∴当-1353×1×2sin+（5-4cos）=2sin(-)+.3244222553=，即=时，ymax=2+.326453.4所以四边形OPDC面积的最大值为2+巩固练习

1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？ 解 设∠ACD=，∠CDB=.在△BCD中，由余弦定理得 cos=

143BD2CD2CB2202212312==-，则sin=，72BDCD220217而sin=sin(-60°)=sincos60°-cossin60° =1153433×+×=, 27142721AD21sin=,∴AD==sin60sinsin6021在△ACD中，由正弦定理得

5314=15(千米).32答 这个人再走15千米就可到达A城.2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得 ∠BCD=，∠BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在△BCD中，∠CBD=--，由正弦定理得所以BC=CDsinBDCssin=

sinCBDsin()BCCD=，sinBDCsinCBD在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

stansin.sin()3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图

161 所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比 AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越 好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多 少米？

解 设BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=

12221122

2.c=a+b-2abcos60°，将c=b-代入得(b-)=a+b-ab, 222化简得b(a-1)=a-21.由a＞1,知a-1＞0.b=4a231(a1)22a234=(a-1)+4= 4(a1)a1a1+23+2, 当且仅当a-1=33时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+3.4(a1)2答 AC最短为(2+3)米，此时，BC长为(1+

3)米.2回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°视角，则B、C的距离是 海里.答案 56

2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+3)33.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km, 162 灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 km.答案 3a

4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 176 25.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜 的是（填序号）.①c和②c和b③c和④b和 答案 ④

6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相 距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在 货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.答案 20(6-2)7.在△ABC中，若∠C=60°，则答案 1 8.（2008·苏州模拟）在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且答案

nisaAab+=.bcca=

cosBcosC

=,则∠A=.cb

2二、解答题

9.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=ax-（a-b）x-4c.（1）f（1）=0且B-C=

2，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围.3222

2解（1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0，∴b=4c，∴b=2c，∴sinB=2sinC，163 又B-C=.∴sin(C+)=2sinC，∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC，3333∴353sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，又∵-＜C-＜，∴C=.6666622222

2（2）若f（2）=0，则4a-2(a-b)-4c=0，∴a+b=2c，∴cosC=又2c=a+b≥2ab，∴ab≤c，∴cosC≥2222

a2b2c2c2=，2ab2ab1，又∵C∈（0，），∴0＜C≤.323.410.（2008·泰安模拟）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=(1)求边c的值；（2）求sin(C-A)的值.解（1）c=a+b-2abcosC=1+2-2×1×2×22222

3=2，∴c=2.4（2）∵cosC=3ac17，∴sinC=.在△ABC中，=,即=

sinAsinCsinA44274.∴sinA==

5214,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=.∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA

8852371414×-×=.48481611.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧

AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-，∠OCP=120°.在△POC中，由正弦定理得又OPCP2CP4=，∴=，∴CP=sin.sinPCOsinsin120sin32OC4=，∴OC=sin（60°-）.因此△POC的面积为

sin(60)sin1203S（）==11443CP·OCsin120°=·sin（60°-）× sin·2223343sinsin（60°-）=43sin（1232

cos-sin)=2sin·cos-sin

223=sin2+

332333cos2-=sin(2+)-.∴=时，S（）取得最大值为.6633333164 12.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（3-1）n mile的B处 有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的

缉私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船？

解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=103t，BD=10t.在△ABC中，222∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·cos∠BAC

22=(3-1)+2-2×(3-1)×2×cos120°=6, ∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=BDsinCBD10tsin1201==,∴∠BCD=30°.CD2103t即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.165