第一篇:2014年高考数学第一轮复习:正弦定理、余弦定理
2014年高考数学第一轮复习:正弦定理、余弦定理
一、考试要求:了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理;掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
二、知识梳理: 1.正弦定理: ____________________.强调几个问题:(1)正弦定理适合于任何三角形;(2)可以证明的外接圆半径);(3)每个等式可视为一个方程:知三求一;(4)公式的变形:①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;
a
__R(R为ABCsinA
sinA
②
abc,sinB,sinC2R2R2R;③sinA:sinB:sinCa:b:c.
(5)三角形面积公式:SABC________=_________=________.
(6)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边,求其它两边和一角。②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。2.余弦定理: a_____________________;b
2____________________;
c2_____________________.强调几个问题:(1)熟悉定理的结构,注意“平方”“夹角”“余弦”等;(2)知三求一;(3)当夹角为90时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例);
b2c2a2a2c2b2a2b2c2
cosC(4)变形:cosA cosB.
2bc2ac2ac
(5)余弦定理的应用范围:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其
他两个角.3.解斜三角形(1).两角和任意一边,求其它两边和一角;(2).两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
①若A为锐角时:
absinA无解
absinA一解(直角)
bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)
已知边a,b和A
a 无解 a=CH=bsinA仅有一个解 CH=bsinA ②若A为直角或钝角时:ab无解 ab一解(锐角) 三、基础检测:1.在 中,则 等于() A.B.C.D. 2.若 是() A.等边三角形B.有一内角是30° C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形 3.在,面积,则BC长为() A.B.75C.51D.49 4.在 中,已知角 则角A的值是() A.15°B.75°C.105°D.75°或15° 5. 中,sinB=1,sinC,则a:b:c为(22) A.1:3:2B.1:1:C.1:2: D.2:1:或1:1: 6.如图,在△ABC中,D是边AC 上的点,且ABCD,2AB,BC2BD,则sinC的值为 A . B . C .D . 7.若 的三个内角 成等差数列,且最大边为最小边的2倍,则三内角之比为________。 8.在 中,的值为______。 9.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=D 在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于______。 10.在ABC中。若b=5,B4,tanA=2,则sinA=_______;a=__________。 11.已知ABC 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为_______________.12.在△ABC中,角A、B、C所对应的边为a,b,c sin(A (1)若6)2cosA,求A的值; 1cosA,b3c3(2)若,求sinC的值.cosA-2cosC2c-a=cosBb. 13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sinC1 (I)求sinA的值;(II)若cosB=4,b=2,ABC的面积S。 14.设ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知a1.b2.cosC(Ⅰ)求ABC的周长 (Ⅱ)求cosAC的值 1.4 正弦定理 余弦定理 一、知识概述 主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用,正弦定理是指在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.通过两定理的学习,掌握正弦定理和余弦定理,并能利用这两个定理去解斜三角形,学会用计算器解决解斜三角形的计算问题,熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题.认识在三角形中,已知两边和其中一边的对角解三角形,产生多解的原因,并能准确判断解的情况. 二、重点知识讲解 1、三角形中的边角关系 在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,则有 (1)角与角之间的关系:A+B+C=180°; (2)边与角之间的关系: 正弦定理: 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 射影定理:a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+ bcosA 2、正弦定理的另三种表示形式: 3、余弦定理的另一种表示形式: 4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法 在△ABC中,易证明再在上式各边同时除 以在此方法推导过程中,要注意对 面积公式的应用. 例 1、在△ABC中,ab=60, sinB=cosB.面积S=15,求△ABC的三个内角. 分析: 在正弦定理中,由 进而可以利用三角函数之间的关系进行解题. 解: 可以把面积进行转化,由公式 ∴C=30°或150° 又sinA=cosB∴A+B=90°或A-B=90°显然A+B=90°不可能成立 当C=30°时,由A+B=150°,A-B=90°得A=120°B=30° 当C=150°时,由A-B=90°得B为负值,不合题意故所求解为A=120°,B=30°,C=30°.例 2、在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的外边,若b=2a,B=A+60°,求A的值. 分析: 把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系,2RsinB=4RsinA,即sinB=2sinA. 解: ∵B=A+60° ∴sinB=sin(A+60°)=sinAcos60°+cosAsin60° = 又∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA,∴sinB=2sinA 例 3、在△ABC中,若tanA︰tanB=a2︰b2,试判断△ABC的形状. 分析: 三角形分类是按边或角进行的,所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式,从而得到诸如a+b=c,a+b>c(锐角三角形),a+b<c(钝角三角形)或sin(A-B)=0,sinA=sinB,sinC=1或cosC=0等一些等式,进而判定其形状,但在选择转化为边或是角的关系上,要进行探索. 解法一:由同角三角函数关系及正弦定理可推得,∵A、B为三角形的内角,∴sinA≠0,sinB≠0. . ∴2A=2B或2A=π-2B,∴A=B或A+B=所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:由已知和正弦定理可得: 整理得a-ac+bc-b=0,即(a-b)(a+b-c)=0,于是a=b或a+b-c=0,∴a=b或a+b=c.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状,此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角,要么同时化角为边,然后再找出它们之间的关系,注意解答问题要周密、严谨. 例 4、若acosA=bcosB,试判断△ABC的形状. 分析: 本题既可以利用正弦定理化边为角,也可以利用余弦定理化角为边. 解: 解法一:由正弦定理得:2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A+2B=180°∴A=B或A+B=90° 故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二:由余弦定理得 ∴a(b+c-a)=b(a+c-b)∴(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 6、正弦定理,余弦定理与函数之间的相结合,注意运用方程的思想. 例 5、如图,设P是正方形ABCD的一点,点P到顶点A、B、C的距离分别是 1,2,3,求正方形的边长. 分析: 本题运用方程的思想,列方程求未知数. 解: 设边长为x(1 设x=t,则1 -5)=16t 三、难点剖析 1、已知两边和其中一边的对角,解三角形时,将出现无解、一解和两解的情况,应分情况予以讨论. 下图即是表示在△ABC中,已知a、b和A时解三角形的各种情况. (1)当A为锐角时(如下图),(2)当A为直角或钝角时(如下图),也可利用正弦定理进行讨论. 如果sinB>1,则问题无解; 如果sinB=1,则问题有一解; 如果求出sinB<1,则可得B的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2、用方程的思想理解和运用余弦定理:当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时,等式便成为方程.式中有四个量,知道任意三个,便可以解出另一个,运用此式可以求a或b或c或cosA. 3、向量方法证明三角形中的射影定理 在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c. 4、正弦定理解三角形可解决的类型:(1)已知两角和任一边解三角形; (2)已知两边和一边的对角解三角形. 5、余弦定理解三角形可解决的类型:(1)已知三边解三角形; (2)已知两边和夹角解三角形. 6、三角形面积公式: 例 6、不解三角形,判断三角形的个数. ①a=5,b=4,A=120° ②a=30,b=30,A=50° ③a=7,b=14,A=30° ④a=9,b=10,A=60° ⑤a=6,b=9,A=45° ⑥c=50,b=72,C=135° 解析: ①a>b,A=120°,∴△ABC有一解.②a=b,A=50°<90°,∴△ABC有一解. ③a ④a0 ∴△ABC有两解. ⑤b>c,C=45°,∴△ABC无解(不存在).⑥b>c,C=135°>90°,又由b>c知∠B>∠C=135°,这样B+C>180°,∴△ABC无解. 第十九教时 教材:正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课 目的:通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固,应用更自如。过程: 一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之:x62 22(622)3bca13622 当c时cosA222 二、例一 证明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆半径 证略 见P159 注意:1.这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求证:a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 证:左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB) =2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边 例三 在△ABC中,已知a3,b2,B=45 求A、C及c 解一:由正弦定理得:sinAasinB3sin453b22 ∵B=45<90 即b 当A=60时C=7cbsinC2sinsinB7562sin452 当A=120时C=15 cbsinC2sin156sinBsin4522 解二:设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入,整理:x26x10 22bc22622(31)22从而A=60 C=75 当c622时同理可求得:A=120 C=15 例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中,BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根,且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解: 1cosC=cos[ (A+B)]= cos(A+B)=∴C=120 2由题设:ab23ab2 ∴AB 2=AC2 +BC 2AC•BC•osCa2b22abcos120 a2b2ab(ab)2ab(23)2210 即AB=10 3S1113△ABC=2absinC2absin12022232 例六 如图,在四边形ABCD中,已知AD CD, AD=10, AB=14,BDA=60BCD=135 求BC的长 D C 解:在△ABD中,设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA A B ,即142x2102210xcos60 整理得:x210x960 解之:x116 x26(舍去)由余弦定理: BCBD16sin3082 ∴BCsinCDBsinBCDsin135 例七(备用)△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1求最大角 2 求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。解:1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1 a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4 2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去 1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109 42设夹C角的两边为x,y xy4 1515(x24x)44SxysinCx(4x)当x2时S最大=15 三、作业:《教学与测试》76、77课中练习 a2b2b2c2c2a20 补充:1.在△ABC中,求证: cosAcosBcosBcosCcosCcosAD A 2.如图ABBCD=75 BC CD=33 BDC=45 ACB=30 求AB的长(112) B C 《正弦定理和余弦定理》学习成果测评 基础达标: 1.在△ABC中,a=18,b=24,∠A=45°,此三角形解的情况为() A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定 2.在△ABC 中,若a2,bcA的度数是() A.30°B.45°C.60°D.75° 2223.ΔABC中,若a=b+c+bc,则∠A=() A.60B.45C.120D.30 4.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为() A.90°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC中,已知a3,b2,B=45.求A、C及c.06.在ABC中,若B 45,c bA.7.在ABC中,已知a134.6cm,b87.8cm,c161.7cm,解三角形.8.在ABC中,若a2b2c2bc,求A.能力提升: AB的取值范围是()AC A.(0,2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9.锐角ΔABC中,若C=2B,则 10.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为()A. 14B.1 422ABC.D.锐角ΔABC中,若C=2B,则的取值范围是 33AC 11.等腰三角形底边长为6,一条腰长12,则它的外接圆半径为() 12.在ABC中,已知三边a、b、c满足abcabc3ab,则C=() A.15B.30C.45D.60 13.钝角ABC的三边长为连续自然数,则这三边长为()。 A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 sinC2(61),则∠A=_______.sinB 5abc_____.15.在△ABC中,∠A=60°,b=1,c=4,则sinAsinBsinC14.在ΔABC中,BC=3,AB=2,16.在△ABC中,∠B=120°,sinA:sinC=3:5,b=14,则a,c长为_____.综合探究: 17.已知钝角ABC的三边为:ak,bk2,ck4,求实数k的取值范围.a2b2sin(AB)18.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,证明:.2sinCc 参考答案: 基础达标: 1.B2.A3.C4.B 5.解析: asinB3sin45解法1:由正弦定理得:sinA b22 ∴∠A=60或120 bsinC2sin7562当∠A=60时,∠C=75,c; sinB2sin45 bsinC2sin1562当∠A=120时,∠C=15,c.sinB2sin45 解法2:设c=x,由余弦定理bac2accosB 将已知条件代入,整理:xx10 解之:x222262 2 22222)3bca132 当c时,cosA2bc2622(1)22222(从而∠A=60,∠C=75; 2时,同理可求得:∠A=120,∠C=15.2 bc6.∵,sinBsinC当c csinBsin45∴sinC,b∵0C180,∴C60或C120 ∴当C60时,A75; 当C120时,A15,; 所以A75或A15. 7.由余弦定理的推论得: b2c2a287.82161.72134.62 0.5543,cosAA56020; c2a2b2134.62161.7287.82 cosBB32053; C1800(AB)1800(5602032053) 8.∵bcb2c2a2,0.8398,b2c2a21∴由余弦定理的推论得:cosA ∵0A180,∴A60.能力提升: 9.C10.A11.C 12.D.由abcabc3ab,得ab2abc3ab 222 a2b2c21,∴由余弦定理的推论得:cosC2ab2 ∵0C180,∴C60.13.B;只需要判定最大角的余弦值的符号即可。 选项A不能构成三角形; 22324210,故该三角形为钝角三角形; 选项B中最大角的余弦值为2234 324252 0,故该三角形为直角三角形; 选项C中最大角的余弦值为:243 42526210,故该三角形为锐角三角形.选项D中最大角的余弦值为2458 14.120 1516.4综合探究: 17.∵ABC中边ak,bk2,ck4,∴ak0,且边c最长,∵ABC为钝角三角形 ∴当C为钝角时 a2b2c2 0,∴cosC2ab ∴abc0, 即abc ∴k2(k2)2(k4)2, 解得2k6,又由三角形两边之和大于第三边:k(k2)k4,得到k2,故实数k的取值范围:2k6.18.证法一:由正弦定理得: 222222 a2b2sin2Asin2Bcos2Bcos2A c2sin2C2sin2C =2sin(BA)sin(BA)sinCsin(AB)sin(AB)==.222sinCsinCsinC 222证法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA,a2b2c22bccosA2b1cosA,则22ccc 又由正弦定理得bsinB,csinC a2b22sinBsinC2sinBcosA1cosA∴ 2csinCsinC sin(AB)2sinBcosA sinC sinAcosBsinBcosAsin(AB).sinCsinC sin(AB)sinAcosBsinBcosA证法三:.sinCsinC sinAasinBb,,由正弦定理得sinCcsinCc sin(AB)acosBbcosA∴,sinCc 又由余弦定理得 a2c2b2b2c2a2absin(AB)sinCc (a2c2b2)(b2c2a2) 22c a2b2 .c2 正弦定理和余弦定理练习 一、选择题 1、已知ABC中,a4,b43,A300,则B=() A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中,AB6,A300,B1200,则SABC() A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中,a:b:c1:3:2,则A:B:C() A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中,sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0),则k的取值范围是() A.2,B.,0C.二、填空题 1、已知ABC中,B300,AB23,AC2,则SABC 2、已知ABC中,b2csinB,则角 3、设ABC的外接圆的半径为R,且AB4,C450,则R= 4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A= 5、已知ABC中,B450,C600,a2(31),则SABC 三、简答题 01、在ABC中,若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中,C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式;(2)当a等于多少时,Smax?并求出Smax.23、已知ABC中,aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:,求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边,4sin (1)求角A;(2)若a3,bc3,2BC2cos2A72.求b,c的值.第二篇:正弦定理余弦定理[推荐]
第三篇:正弦定理和余弦定理的复习
第四篇:《正弦定理和余弦定理》测试卷
第五篇:正弦定理余弦定理练习