证明线段之间关系的技巧

第一篇：证明线段之间关系的技巧

证明线段之间数量关系的技巧

证明两线段相等

★1.两全等三角形中对应边相等。

★2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形三线合一。

★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。

6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

2.*证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧

证明两条直线互相垂直

★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

★8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。★11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

★4.三角形的中位线平行于第三边。★5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

★7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线

平行于第三边。

例1.如图

3垂线。求证：KH∥

例2.已知：如图6于O。

求证：AC＝AE

DE。

求证：EC＝ED

例3.已知ABC

例4.如图，AB（1）求证：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长

1.已知：如图

于E，且有

2.已知：如图求证：BC＝

3.已知：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC 求证：MP＝MQ

4.(2009年潍坊)交于点I，延长AI交圆（1）求证：BD=DC=DI（2）若圆O的半径为

第二篇：证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧

要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：

（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中

一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中

一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况

一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

证明线段和角相等的技巧

⒈ 怎样证明两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 三角形

①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；

②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；

④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；

⑵ 证特殊四边形

①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；

②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；

③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；

⑶ 圆

①同圆或等圆的半径相等；

②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；

③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都相等；

④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；

⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；

等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若a

cb

c，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等

证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；

⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；

⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；

⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；

⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；

第三篇：021几何中线段关系证明归纳

几何中线段关系证明归纳

几何证明是初中数学的重点内容之一，而线段关系的证明又是几何证明中的一个重点，本文将线段关系证明有关知识归纳如下，供同学们学习参考：

一、证线段不等关系的证明：

1、利用三角形三边关系两边之和大于第三边

例

1、已知：P为ABC内任一点。求证：1ABBCACAPBPCPABBCAE。

2证明：延长BP交AC于D点，则

在ABD中，BP+PD

在PCD中，CP－PD

∴BP+CP

同理，CP+AP

将以上三式相加：

2（AP+BP+CP）<2（AB+BC+AC）即AP+BP+CP

在PAB中，AB

在PBC中，BC

在PAC中，AC

三式相加：AB+BC+AC<2（AP+BD+CP）

∴1ABBCACAPBPCPABBCAC 2

A 例

2、如图在ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，分别交AB、AC于

M、N，连结MN，求证：BM＋CN＞MN。

略证：连结MD并延长至点P，使MD＝DP，连结NP、CP

PM N C

MNDPNDMNPN



BDMCDPBMCPBMCNMN

PNCCPNCPN

2、一个三角形中较大角所对的边较大

二、证线段平方关系

1、利用勾股定理

例

2、在ABC中，A900，点D和E分别在AC、AB上。

求证：BD2DE2BC2。

证明：∵∠A=900由勾股定理 BD2=AB2+AD2DE2=AE2+AD2 ∴BD2－DE2=AB2－AE

2又∵BC2=AB2+AC2CE2=AE2+AC2 ∴BC2－CE2=AB2－AE2BD2―DE2=BC22、利用切割线定理：

3、射影定理

4、垂径定理

C

三、证线段相等

1、利用线段中垂线性质定理和角平分线性质定理

例

3、等边三角形ABC的B、C平分线相交于O点，OB和OC的垂

直平分线与BC分别相交于E、F，交OB于G，OC于H点。

A求证：BE=EF=FC

证明：∵ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBE=∠OCF=300连接OE、OF

∵EG，FH分别是BO、OC垂直平分线

又∵EB=EO，FC=FO∴∠EOB=∠EBO=30

00

∠FCO=∠FOC=30∵∠OEF=∠OFE=60

∴OEF是等边三角形∵OE=OF=EF∴BE=EF=FC

C2、利用三角形全等证线段相等

例

4、已知，如图，ABC，DCE都是等边三角形，且B、C、E共线，M、N

分别为BD、AE的中点。

求证：CM=CN。

证明：在ACE和BDE中CE=CDAC=BC∠ACE=600+∠ACD∠BCD=60

+∠

ACD

∵∠ACE=∠BCD

∴ACE≌BDE（SAS）又∵CM是BD边中线，CN是AE边中线

∴CM=CN（全等三角形对应边上中线相等）

3、用线段比例关系

例4 已知：如图，E是菱形ABCD的边DC上一点，AE交BC的延长线于F，EG∥AD交DF于G点．

求证EG=EC．

分析： 这里虽是证两线段相等，但以前的方法很难凑效．题设中给了许多直线平行的条件，由此可写出很多比例式．所以应考虑通过证明比相等来证明线段相等的方法．

说明： 应用比例证明线段相等的方法是：

五、证明线段的倍分关系

1、截长补短法

例

5、如图，AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D。求证：AB=AE+BC。

证明：在AB上截取AF=ED，连结DFAE=AF∠1=∠2AD=AD

∵AED≌AFD（SAS）E

∴∠E=∠AFD

又∵AE∥BC∴∠E+∠C=1800∠AFD+∠C=1800

又∵∠AFD+∠DFB=1800

∴∠C=∠DFB∠3=∠4 BD=BD

∵DFB≌DCB（AAS）∴BF=BC即AB=AE+BC2、加倍折半法

例

6、已知ABC中，AB=AC，E为AB中点，在AB延长线上取一点D，使BD=BA。

求证：CD=2CE。

证明：延长CE到F，使EF=CE，连结BF∵AE=EB，∠AEC=∠BEF，CE=FE

∵AEC≌BEF∴∠A=∠1，AC=BF

又∵AB=AC=BD

∴BF=BD，∠CBF=∠CBA+∠1，∠CBD=∠ACB+∠∴∠CBF=∠CBD

又∵BC=BC∴CBF≌CBD

∵CF=CD∴CE=1

CD∴CD=2CE

C

第四篇：两点之间,线段最短教学设计

教学任务分析

教

学

目

标

知识与技能

理解两点之间，线段最短的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。

数学思考

经历观察、实验、猜想等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

解决问题

初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

情感态度价值观

能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造。

重点

结论的应用过程和拓展问题的探究过程

难点

拓展问题的探究过程

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1 热身准备 我想试试 活动2 课题引入

1、幻灯片：组图

2、数学活动 活动3 新课教学 解释、应用与交流 问题

1、怎样走最近？ 问题

2、河道长度 问题

3、九曲桥

3、拓广探索与交流蚂蚁爬行最短问题

课前准备

活动4 回顾、思考与交流

以这首小诗，激发学生大胆参与课堂探究的勇气。

以实际问题情境引入，激发学生学习兴趣。

在解释、应用与交流中理解数学内容

引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，渗透转化思想学习、反思，提高、升华

教具

学具

补充材料

课件

正方体模型

教学过程设计

问题与情景

师生行为

设计意图

比较一下谁最短？

热身准备 我想试试 罗赛蒂

那个说我想试试的小孩 他将登上山巅，那个说我不成的小孩，在山下停步不前。我想试试每天办成很多事，我不成就真一事无成。因此你务必说我想试试，将我不成弃于埃尘。

一、课题引入

1、幻灯片：组图

绿地里本没有路，走的人多了 你能解释一下原因何在？

2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，得出结论

二、新课教学

1、出课题：两点之间，线段最短

学生朗读我想试试

教师提出问题

学生独立思考，小组交流后回答 教师布置数学活动

学生分组进行活动，给出探究结论。

教师板书课题

地的最短道路？

以这首小诗，激发学生大胆参与课堂探究的勇气。

以实际问题情境引入，激发学生学习兴趣，引入本节课题 动手具体做一做，在做中领悟数学

2、解释、应用与交流 问题

1、怎样走最近？

如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B

教师提出问题

学生思考、讨论，发表看法

教师注意对学生几何语言的训练（强调连接AB）

在解释、应用与交流中理解数学内容

问题

2、河道长度

如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？

图2

问题

3、九曲桥

（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。

图3

你还能举出一些类似的例子吗？

小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？

有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？

其他

学生独立思考、小组讨论、组间交流，发表看法，相互评价

设置三个问题，通过解释、应用与交流活动，强化理解所学新知。

理解的四个层次：

1、可以结合自己的体验或用自己的话阐述复杂概念；

2、进行联想、比喻及推论；

3、在新环境中能解决问题；

4、做出创新。

举例也是考察学生对事物真正理解与否的方式之一。

3、拓广探索与交流

蚂蚁爬行路线最短问题

如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？

图4

利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。

学生独立思考，小组实验、探究与交流，组间相互评价

动手实验，自主探究，合作交流。

发表观点，引发思考

引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，达到理解的第三层次。力争达到第四层次，学生作出创新。

道理暂时说不出不要紧。关键是在活动中获得的副产品。

三、回顾、思考与交流

设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。

四、作业

对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？

请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验。

学习思考、组内交流、组间交流

学习、反思，提高、升华

第五篇：财务报表之间的关系

财务报表之间的关系

企业资产负债表、利润表、现金流量表和所有者权益变动表都是基于相同的交易或事项，但是提供了不同的信息，这四张报表相互之间都是不可替代的，因为他们都代表了不同的重要的公司财务信息。四张财务报表之间存在的数量关系为：企业利润表中的净利润是所有者权益变动表中本年增减变动金额的起点。利润表和所有者权益变动表是资产负债表中“未分配利润”项目的展开说明（净利润是怎么形成的，又是怎样分配的），现金流量表则是对资产负债表中“现金及现金等价物”年内数量变化的展开说明（现金流量净额是怎么形成的）。四张报表原来是一张报表！因此，不管出现多少张报表，它们都是一张基本报表——资产负债表和说明其某些方面的其他报表的组合体。