数学论文 一道不等式证明题所引起的思考

第一篇：数学论文 一道不等式证明题所引起的思考

一道不等式证明题所引起的思考

王伟卿洛阳市第四十六中学

原问题：设a,b,x,yR,且a2b21,x2y21,试求ax+by1.这是洛阳市2010——2011学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷的第19题。考查范围是人教A版选修2—2第二章《推理证明》相关的不等式证明问题。笔者在批改试卷时发现学生在处理本道题时采用了许多种不同的方法，虽然有些方法还不成熟，还存在一些问题，但让我还是感到了欣喜。

高中数学新课程标准中指出：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的重要途径。因此，在新课标下数学的学习要注重学生思维，创造力的培养，一题多解恰恰可以体现学生发散性思维的创造力，运用以前学过的知识解决问题。

就本题而言，学生完全可以采用选修2—2第二章《推理证明》中所讲到的综合法、分析法、反证法来做。下面列举学生的以下处理方法。

（一）综合法：

证明：由题意a2b2x2y2

2又a2x22axb2y22by

2ax2bya2b2x2y22

即axby

1又ax+byaxby

ax+by1

此种方法应该在处理上和理解上都没有什么问题，而且简单明了。而在实际考试中，很少同学可以想到运用此种方法，即使想到的，也存在对绝对值符号的运用问题，不理想。

（二）分析法：

证明：要证明ax+by1成立

只需证ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

只需证a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbya2y2b2x2

即a2y22axbyb2x20

即aybx0恒成立

ax+by1成立

此种方法是大部分同学采用的，也很好理解，只是在“1”的代换上可能还不够熟练，有些同学解题过程有些问题。建议老师在处理此种方法时一定要让学生充分体会“1”的代换上的妙用。

（三）反证法： 22

证明：假设ax+by1

则ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbyaybx

222222即a2y22axbyb2x20即aybx0

与事实上aybx0相矛盾

原命题 ax+by1成立

在学习过反证法后，很多学生认为什么证明题目都可以用反证法，尤其在不等式证明题中。当然此题用反证法也不错。

以上这些都是基本的常规方法，学生应当掌握。下面让我看看学生采用的向量法、三角还原法。实在不错，值得推广。

（四）向量法： 2证明：设m(a,b),n(x,y)

又a2b21x2y21 m1n1又m nax+by，且m nmncosm,ncosm,nax+bycosm,n又cosm,n

1ax+by1

（五）三角还原法：

证明：由题意：设a=sin,b=cos;

x=sin,y=cos

ax+by=sinsincoscos

=cos()

又cos()1

ax+by1

对于同一道题目，从不同的角度去分析研究，可以引发出多种不同的解法，是学生在处理问题时，充分运用所学的基本不等式，三角函数、向量知识等等来解决问题，不仅可以达到对知识的活学活用，也让学生感受到学习数学的兴趣和喜悦。在一定程度上开拓了学生的思维空间。

第二篇：一道不等式证明题的研究

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一道不等式证明题的研究

作者：丛俐

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

摘要：不等式的证明对逻辑推理能力要求较高，历来是高考中学生公认的难点.教学中如何高效引导学生对不等式的证明进行有效地思维，一直是数学教师“永远的痛”，笔者结合一道经典的例题给出了完整的思维过程，对推动这一难点的研究尽一点微薄之力.关键词：求比法；变形的求差法；变形的基本不等式法；放缩法；导数法

不等式的证明，是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容.因题型广、起点高、证法活、难度大等方面的原因，不少省编教材已将其列入理科生的选学内容.不等式的证明只要掌握正确的思维过程，学生的畏惧心理就会得到有效的调节.思维过程依次为①比较法（求差或求比都可以考虑）；②基本不等式法（常用的几个不等式最好能牢记）；③分析综合法（二者往往同时出现）；④其他方法（放缩法、数学归纳法等）.如果再注意表达严谨，得分率就可能有明显提高了.这里，笔者结合一道不等式的证明题的思维过程，具体谈谈不等式证明的相关要点.这道证明题，在各类教材辅导用书中出现的概率比较大.其原因有三：一是作为试题，该题在考查相关知识点的考卷中出现的频率高；二是考生对该题普遍出现“动手率高、得分率低”的怪状，有一定的指导价值；三是二次根式是学生的薄弱环节，对提高学生的数学运算能力大有帮助.面对这道习题，学生理所当然地首先考虑比较法.众所周知，比较法的关键在于对“差”或“比”进行变形，变形的方法较多，常用的有配方法、因式分解法、有理化法.本题求差还是求比？观察到两边都是绝对值，利用求比也就比较合乎常理了.

第三篇：关于一道不等式证明问题的感想思考

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关于一道不等式证明问题的感想思考

作者：王壮志

来源：《学习导刊》2013年第11期

摘要：不等式的证明问题对高中学生来讲是个难点，因为不等量关系比等量关系不好利用，证明起来难度大，为此，需从多方面寻求证明问题的方法。

关键词：构造，放缩，换元思想，函数单调性，极值等。

不等式的证明问题对高中学生来讲是个难点，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，不易掌握。解决这个问题的途径在于熟练掌握，并能灵活运用不等式的基本性质，除此之外，还应灵活搭建各知识间的桥梁，形成全方位解决问题的方法。下面是对一道不等式证明题不同证明方法的总汇（一题多解），它一定会给您带来一种全新的感觉。

总之，不等式的证明多种多样，没有固定的模式，但它却是发挥学生想象力的一个领域，上面给出的五种证明方法就充分地体现了这一点。

参考文献：

1.《少年智力开发报》2010—2。

2.高中总复习教学参考丛书，数学版，221，226，230。天津教育出版社。

第四篇：一道几何证明题的探究

一道几何证明题的探究

在很多人眼里，数学的学习首先是识记一些知识点，其次更重要的是要做大量的题，见很多不同的题，这样才能真正把数学学好。但是在茫茫题海中很多学生却找不到了方向，这又是为什么呢？其实上面这种题海的学习方法并不完全正确，做题固然重要，但是知识点也同等重要，做题只是一个手段，是为了更好的掌握所学的知识点，更重要的是通过一道题你真正从当中学会什么知识，学会什么解题方法等等，换句话说题不一定要做多，关键是要做得“精”，每做一道题就要从当中去“挖”你所需要的东西，之后再和你所学的知识点进行联系对比学习，这样两者结合才是学好数学的最佳办法，比如我们从下面一道题来讲解。

例.如图：在ABC中，B2C.A

求证：AC2AB

分析：这道题的已知条件是给出一个三角

形和一个等式，要证明的却是一个不等

C式，从所学过的三角形知识入手，联系已B

知条件和结果的重要定理为：三角形两边

之和大于第三边，故应该把AC（或者是和AC相等的线段）和AB（或者是和AB相等的线段）放在同一个三角形里边，这道题的关键就是如何构造含AC和AB的三角形。

证法一：（割补法中“补边”的思想）

延长线段CB到点D，使得BDAB

BDBA

ADBAD

又ABCDBAD

ABC2D

又ABC2C

DBCD

ACAD

在ABD中，ADABDB2AB

AC2AB

这种证法是把AB和与AC相等的线段AD放在同一个三角形里，欲证明结论只需要证明BDBA，通过唯一的一个条件B2C可以证明到ABD为等腰三角形，再利用三角形的不等式性质可以轻松进行证明。

证法二：（割补法中“割边”的思想）A

作AD交BC于点D，使ABAD

BADB

ADBCDAC,BCDAC

B又 B2C DCC

CDACADDC又ABAD

ABADDC在ADC中，ACADDC

AC2AB

这种证明方法是通过把AC2AB中的2AB化为ADDC，与证法一类似还是通过构造等腰三角形和三角形的两边之和大于第三边来证明结论。

证法三：（割补法中“补角”的思想）

以C为顶点作BCDACB其中CD与AB的延长线角于点DABC2ACB,ACBBCDBCD为等腰三角形；故BDBC,2BCCDAA;ABCACDABC∽ACD

AB

ACCD2

AC2AB

BC

1

B

C

A

D

这种证法与证法一相对应，证法一是通过补边得到等腰三角形，这里是 通过补角构造等腰三角形来进行证明。证法四：（割补法中“割角”的思想）

A作ABC的角平分线BD交AC于点D

易证：ABD∽ACB

ABAC

BDCB

AB

ACBDBC

C

又ABC2C

B

BCD为等腰三角形BDDC

又BC2BD(三角形两边之和大于第三边）AB

ACBDBC



ACBD2BD

AC2

AC2AB

这种证明方法与证法二相对应，证法二是通过割边，这里是通过割角来构造等腰三角形，利用三角形相似来得到AC和2AB的大小关系。

证法五：作ABC的外接圆⊙o

作AC的中垂线OD交⊙o于点D则AD=DC

又 B2C

ADC=2AB

B

ABADDC

在ADC中，ADDCACAC2AB

这种证明方法是通过三角形外接圆的性质构造等腰三角形来进行证明。

证法六：由正弦定理得：则

ABsinC



ACsin2C



AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 0cosC1





ABAC



12cosC



B

C

即AC2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

ACsinB

BCsinA

2R，R为ABC外接圆半径）

很多人一看这道题还以为只是在讲一题多解的问题，其实并不是这样，因为当中蕴含着很多的东西。通过这道题我们可以想到一些问题：（1）一道几何题，甚至可以说是一道数学题，往往都可以一题多解。（2）通过一题多解可以培养学生不断思考的能力，有利于学生思维的培养。（3）正是由于一题多解就导致其中会涉及到很多内容，很多知识点，很多学生在做了题过后根本就不知道做题是为了什么？他有没有学到东西？其实做题只是一个手段，是为了通过题来更好地掌握知识，把所学的知识点，方法学会。这道题看似很简单，其实把每种解法看了过后，你就会发现里面几乎涉及了所有初中几何方面的知识，比如：辅助线的作法，角平分线定理，正弦定理，圆的知识等等。也就是说每做一道题我们都应该教学生如何去思考，往深处想，往广处想，看似越简单的题里面蕴含的知识，方法就越多，不要做完题就“走人”，这样是达不到学习效果的，如果长期以这种态度做题，即使你做再多的题也是没有效果的。

第五篇：一道高中题引起的对初中物理教学的思考

【摘 要】从一道高考模拟题得到这样的启示：初中物理教学作为高中物理教学的前沿阵地，要求我们每一个初中物理教学工作者对初、高中涉及的物理知识的衔接有了解，对初中物理知识讲解的程度会把握，对初中物理知识为高中教学作铺垫会引导。这样，学生才能伸出更长更敏锐的思维触角，教师教学的创造性也能得到更好的发挥。

【关键词】初中物理教学；高中物理教学；衔接有了解；程度会把握；铺垫会引导 笔者最近遇到了这样一道高考模拟题：

某一物体所受的重力是G，现在有一个推力将它压在墙上，推力方向水平，墙面竖直、平整，且足够高，推力大小满足F＝kt（其中t代表时间，k是恒量），t＝0开始计时，这一物体所受的摩擦力f 随时间t的变化图像是()

解析：t=0时，物体和墙面间无挤压，f=0，随后，由于物体受到摩擦力f和重力G的两个力的作用（只研究水平方向）。最初fG，物体向下作减速直线运动，减速直到为零。在这一运动过程中，所受的是滑动摩擦力，其大小用高中的公式展开可表示为f滑＝μF＝μkt，是正比例函数图线。最后物体处于静止以后，摩擦力变成静摩擦力，其大小可以表示为f静＝G，是一条水平的直线。因此，本题的正确答案是B。

解析这道题是以高中物理教学中的受力分析为背景，但是利用初中物理中力与运动的关系和影响滑动摩擦力大小的因素的相关知识就能顺利解题，也不一定需要运用到高中公式f滑＝μF。因此，在初中物理教学时完全可以将其作为拓展题在习题课上讲解一下，或许会取得意想不到的收获。笔者由此得到这样的启示：初中物理教学作为高中物理教学的前沿阵地，要求我们每一个初中物理教学工作者对初、高中涉及的物理知识的衔接有了解，对初中物理知识讲解的程度会把握，对初中物理知识为高中教学作铺垫会引导。

一、对初、高中物理知识衔接要了解 初中生进入高中阶段的学习,普遍会产生“高原反应”，觉得物理突然变得难学了,某高中对高一新生进行了期末学习情况的普查，结果有60％的学生感觉老师上课所讲的半懂不懂，常常做题短路，感觉思路一会儿清晰一会儿模糊，导致越来越怕学物理。如何搞好高、初中物理教学的衔接,让学生实现初中向高中过渡的“软着陆”,就成为初、高中物理教师必须探讨的问题。

初、高中物理的知识环节有着一定的联系，没有初中的物理基础，高中的物理学起来非常费劲，而高中物理知识的内容比初中要多很多，难度也比初中要大很多，更注重学生的综合分析能力、逻辑思维能力、空间想象能力、实践应用能力等方面的强化与培养。

比如，就运动学来说，初中重点学习了匀速直线运动，高中在此基础上介绍了匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动。后两者是曲线运动，在初中教学中属于识记和了解的内容，但在高中阶段是重点内容；再如，电磁学部分，初中介绍了欧姆定律、串并联电路、电功、电功率、电热等内容，而在高中物理教学时，恒定电流部分要考虑到电源存在的内阻，从而拓展了欧姆定律，称为闭合电路欧姆定律；电学部分在高考中主要考实验，而中考更注重计算题的考察。

可见，高中物理与初中物理相比，知识体系是螺旋式上升的。不少高中学校在开学的第一、二周就专门进行了初高中衔接的查漏补缺，但短短半个月时间很难有立竿见影的效果，学生们在知识内容方面的不足虽然有所改进，但仍无法做到无缝对接。所以，在初中阶段就为高中物理的学习打好基础势在必行。

二、对初中物理知识讲解程度合理把握

高中物理与初中物理相比，知识框架几乎是一样的，包括力、光、热、电、原子物理等几部分，可以说涉及全部初中物理知识体系，初中物理哪一部分学不好，到了高中就要受到影响。但是，初、高中的物理教学又不是重复教学，它们各自的教学如何分工呢？就初中物理教学而言，需要讲解到什么程度才是比较合理呢？下面笔者就一些观点和做法谈谈自己的体会。

（一）高中生往往认为初中物理有一些概念是片面的，甚至是错误的。因为有一些物理概念或模型的分析是要用到初中未涉及到的知识和原理的，所以初中物理教学只能用一种模糊的方式处理过去。比如，高中物理上的“速度”既强调速度的大小也强调其方向，是矢量；而初中物理上的“速度” 只是强调速度的大小，即速率，是标量。这是不是说初中的教学有问题呢？笔者认为不是，初中教材中这样的安排是针对初中生的具体情况来考量的，在初中阶段，把“速度”看做一个标量来对待可以让学生集中精力加强对速度计算的理解，应用，更加直接、可行，今后在高中教学中再把速度概念升华拓展显得更加自然。

（二）有些老师对初中物理教学中的知识点挖掘得过深只会适得其反。初中生特有的知识层面要求：初中物理是只需要掌握一些最表面的、最基本的现象和相关知识，更有利于激发学生学习物理的兴趣和热情，而高中物理更加接近于物理的实质与真理的挖掘，为一批喜欢物理探索的学生在大学的进一步深造打基础，培养人才。譬如说在讲解苏科版初二物理知识凸透镜成像规律时，讨论物距、焦距、像距的关系，初中教学不需要给出1/u+1/v=1/f这样的公式进行定量计算，只需要学生通过实验进行定性讨论就可以了，公式的推导只会干扰初中生对实验现象、实验规律的简单认识和记忆。

（三）做到因材施教，对于一些“吃不饱”的学生可以在竞赛辅导的过程中进行合理的引导和启发。譬如高中物理对初中数学的掌握要求是非常高的，代数运算中最重要的三角函数学不好就很难学好力学；解二次方程组不熟练，遇到高中的碰撞问题就会很尴尬。所以说对于优等生，可以在初中阶段就尝试一些高中物理与初中物理或数学相关联的问题，使他们获得更大的提升空间。

三、对初中物理知识为高中教学作铺垫合理引导

刚才提到有些老师对初中物理教学中的知识点挖掘得过深只会适得其反，那是不是在平时的初中物理教学中只需要掌握书本罗列的知识点，而不需要加以解释和拓展呢？ 有人认为，在初中阶段进行高中知识的引导是做无用功，中考根本不会考到高中知识。其实，这种想法是错误的。最近几年的中考题就已经有意无意渗透了初、高中物理知识的衔接，题型难度稍微有了一些跨度，这样做就是为了初中老师在教学时能引导学生不仅 “知其然”，也“知其所以然”。譬如2011年株洲有类似于这样一道中考试题：初中有很多用比值定义法定义的物理量，如速度、密度、功率、压强等等。高中物理中也有类似的定义方式：如把物体在单位时间内速度的变化量称为加速度，接下来就针对加速度这个概念的理解和应用进行了3个小问题的提问求解。对于这样一道题目，笔者并没有让初中生直接去完成没有学过的内容，而是把高中物理的“加速度”这个概念放在信息阅读题中出现，让学生根据题目中给出的信息进行相关知识点的形成、应用。这样的做法明显提供了一个信号：作为一个初中物理教学的引路人必须对初、高中知识点的衔接做到“胸中有沟壑”，这样才能在平时的解题能力培养上有突破。

综上所述，在新课程改革的过程中，初中物理教师应当转变教学理念，加强自身发展，同时也应注重在教学与备考过程中实现初、高中知识的无缝衔接，并合理把握教学尺度，进行有效的引导。这样，学生才能伸出更长更敏锐的思维触角，教师教学的创造性也能得以更好的发挥。