从一道几何证明题谈面积法

第一篇：从一道几何证明题谈面积法

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从一道几何证明题谈面积法

作者：李小龙

来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期

如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求证：CF=PD+PE

对于该题，一般同学会想到截长法与补短法

如图2，过点P作P⊥CF于，则四边形PFD是矩形，则PD=F易证△PC≌△CPE，则C=PE于是CF=F+C=PD+PE这种方法叫做截长法

如图3，过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N，则四边形NCFD是矩形，则CF=DN易证△CPN≌△CPE，则PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE这种方法叫做补短法

无论是截长法还是补短法，都需要证明三角形全等，比较麻烦如果能够注意到已知条件中的垂直条件，联想到三角形的面积公式，于是便有如下简捷证法：

如图4，连结AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP

由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得

这样我们仅根据图形面积间的关系，利用三角形的面积公式便轻而易举地完成证明这种证明几何命题的方法叫做“面积法”巧用“面积法”证明几何命题，往往能收到出奇制胜、简捷明快之效

说明平行线具有“传递面积”的功能也就是说，如果两条直线互相平行，那么在其中一条直线上取两定点，以这两个定点和另一条直线上的任意一点构成的三角形的面积都相等

第二篇：一道几何证明题的探究

一道几何证明题的探究

在很多人眼里，数学的学习首先是识记一些知识点，其次更重要的是要做大量的题，见很多不同的题，这样才能真正把数学学好。但是在茫茫题海中很多学生却找不到了方向，这又是为什么呢？其实上面这种题海的学习方法并不完全正确，做题固然重要，但是知识点也同等重要，做题只是一个手段，是为了更好的掌握所学的知识点，更重要的是通过一道题你真正从当中学会什么知识，学会什么解题方法等等，换句话说题不一定要做多，关键是要做得“精”，每做一道题就要从当中去“挖”你所需要的东西，之后再和你所学的知识点进行联系对比学习，这样两者结合才是学好数学的最佳办法，比如我们从下面一道题来讲解。

例.如图：在ABC中，B2C.A

求证：AC2AB

分析：这道题的已知条件是给出一个三角

形和一个等式，要证明的却是一个不等

C式，从所学过的三角形知识入手，联系已B

知条件和结果的重要定理为：三角形两边

之和大于第三边，故应该把AC（或者是和AC相等的线段）和AB（或者是和AB相等的线段）放在同一个三角形里边，这道题的关键就是如何构造含AC和AB的三角形。

证法一：（割补法中“补边”的思想）

延长线段CB到点D，使得BDAB

BDBA

ADBAD

又ABCDBAD

ABC2D

又ABC2C

DBCD

ACAD

在ABD中，ADABDB2AB

AC2AB

这种证法是把AB和与AC相等的线段AD放在同一个三角形里，欲证明结论只需要证明BDBA，通过唯一的一个条件B2C可以证明到ABD为等腰三角形，再利用三角形的不等式性质可以轻松进行证明。

证法二：（割补法中“割边”的思想）A

作AD交BC于点D，使ABAD

BADB

ADBCDAC,BCDAC

B又 B2C DCC

CDACADDC又ABAD

ABADDC在ADC中，ACADDC

AC2AB

这种证明方法是通过把AC2AB中的2AB化为ADDC，与证法一类似还是通过构造等腰三角形和三角形的两边之和大于第三边来证明结论。

证法三：（割补法中“补角”的思想）

以C为顶点作BCDACB其中CD与AB的延长线角于点DABC2ACB,ACBBCDBCD为等腰三角形；故BDBC,2BCCDAA;ABCACDABC∽ACD

AB

ACCD2

AC2AB

BC

1

B

C

A

D

这种证法与证法一相对应，证法一是通过补边得到等腰三角形，这里是 通过补角构造等腰三角形来进行证明。证法四：（割补法中“割角”的思想）

A作ABC的角平分线BD交AC于点D

易证：ABD∽ACB

ABAC

BDCB

AB

ACBDBC

C

又ABC2C

B

BCD为等腰三角形BDDC

又BC2BD(三角形两边之和大于第三边）AB

ACBDBC



ACBD2BD

AC2

AC2AB

这种证明方法与证法二相对应，证法二是通过割边，这里是通过割角来构造等腰三角形，利用三角形相似来得到AC和2AB的大小关系。

证法五：作ABC的外接圆⊙o

作AC的中垂线OD交⊙o于点D则AD=DC

又 B2C

ADC=2AB

B

ABADDC

在ADC中，ADDCACAC2AB

这种证明方法是通过三角形外接圆的性质构造等腰三角形来进行证明。

证法六：由正弦定理得：则

ABsinC



ACsin2C



AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 0cosC1





ABAC



12cosC



B

C

即AC2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

ACsinB

BCsinA

2R，R为ABC外接圆半径）

很多人一看这道题还以为只是在讲一题多解的问题，其实并不是这样，因为当中蕴含着很多的东西。通过这道题我们可以想到一些问题：（1）一道几何题，甚至可以说是一道数学题，往往都可以一题多解。（2）通过一题多解可以培养学生不断思考的能力，有利于学生思维的培养。（3）正是由于一题多解就导致其中会涉及到很多内容，很多知识点，很多学生在做了题过后根本就不知道做题是为了什么？他有没有学到东西？其实做题只是一个手段，是为了通过题来更好地掌握知识，把所学的知识点，方法学会。这道题看似很简单，其实把每种解法看了过后，你就会发现里面几乎涉及了所有初中几何方面的知识，比如：辅助线的作法，角平分线定理，正弦定理，圆的知识等等。也就是说每做一道题我们都应该教学生如何去思考，往深处想，往广处想，看似越简单的题里面蕴含的知识，方法就越多，不要做完题就“走人”，这样是达不到学习效果的，如果长期以这种态度做题，即使你做再多的题也是没有效果的。

第三篇：几何证明题

几何证明题集（七年级下册）

姓名：_________班级：_______

一、互补”。

E

D

二、证明下列各题：

1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D

3ACB2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.AD BCE3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，1求证：CE//DF.CE

FD

2B7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC

A E8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上图，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求证：AB//CD.

第四篇：谈初中几何证明题的入门

谈初中几何证明题的入门

l初一了，学生开始从实验几何向论证几何过渡。在之前，虽然学过一部分，但没有格式上的特殊要求，只要能看懂图形，根据图形回答问题，也就是说初一是学生学习几何的关键期。要学好几何证明题，关键是顺利闯过几何证明题入门这一关。如果能把握好了这一步，就可以顺利地进行几何这门学科的学习。那么，怎样才能使学生过好这一关呢？

一、强心理攻势——闯畏难情绪关

初

一、初二学生的年龄，一般都在十三、十四岁左右，从心理学角度来看，正是自觉思维向逻辑思维的过度阶段。因此，几何证明的入门，也就是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生才接触，肯定会遇到一些困难。从自己多年的教学实践来看，有的学生在这时“跌倒了”，就丧失了信心，以至于几何越学越糟，最终成了几何“门外汉”。但有的学生，在这时遇到了一些困难，失败了，却信心十足，不断地去总结，认真思考，最后越学越有兴趣。2008学年当我接班伊始，我就注意到那个坐在教室中间的小周：虽然她平时上课能安静听讲，但是集中注意力时间很短，记忆能力也特别差，当老师提问她时，总是羞涩地低下头，默不作声。她经常偷工减料地写作业，对自己的要求也不高，所以她数学总分只有30多分。我想自己一定要努力改变这一情况，共同寻找一条适合她的教学之路。

通过与她谈心，让她意识到几何证明题是学习几何的入门，是学生逻辑思维的起步。“你和同学们同时开始学习几何，相信自己的能力，只要上课认真听讲，在学习过程中不断地总结经验，有不懂的，有疑问的及时问老师，相信自己的能力，同时也是证明自己不比别人差的一个最好的机会。”“不管在什么情况下，老师做到有问必答，也保证不会有任何批评的话。老师相信在你自己的不断总结和尝试下，在几何证明这一块上不会输于任何一个学生。”我让其明白初

一、初二正是学习几何证明的一个契机，只要能学好，代数部分也会有所提高，更何况她的前一阶段的数学成绩在个人的努力下还是有所提高，说明思维能力还是比较强的。通过谈心她表示愿意克服困难，和大家一起学习几何证明。当她有进步后，及时地给予表扬。“你做得真好，继续努力！”“虽然有点小问题，但有进步，加油!”在交上的作业中，总是给予点评，写些鼓励的语言。在不断的鼓励和帮助下，学习逐渐有了信心，学习成绩在逐步提高。

二、小梯度递进——闯层层技能关

学好几何证明，起步要稳，因此要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。

1、牢记几何语言

几何证明题，要使用几何语言，这对于刚学几何的学生来说，仅当又学一门“外语”，并努力尽快地掌握这门“外语”的语言使用和表达能力。

首先，从几何第一课起，就应该特别注意几何语言的规范性，要让学生理解并掌握一些规范性的几何语句。如：“延长线段AB到点C，使AC=2AB”,“过点C作CD⊥AB，垂足为点D”，“过点A作l∥CD”等,每一句通过上课的教学，课后的辅导，手把手的作图，表达几何语言；表达几何语言后作图，反复多次，让学生理解每一句话，看得懂题意。其次，要注意对几何语言的理解，几何语言表达要确切。例如：钝角的意义是“大于直角而小于平角的叫钝角”，“大于直角或小于平角的角叫钝角”，把“而”字说成了“或”字，这就是学习对几何语言理解不佳，造成的表达不确切。“一字之差”意思各异，在辅导时，注重语言的准确性，对其犯的错误反复更正，做到学习之初要严谨。

2、规范推理格式

数学中推理证明的书写格式有许多种，但最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求证的结论来。这种证题格式一般叫“演绎法”，课本上的定理证明，例题的证明，多数是采用这种格式。它的书写形式表达常用语言是“因为„，所以„”特别是一开始学习几何证明，首先要掌握好这种推理格式，做到规范化。如：在平行线性质的教学中，开始以填空的形式填写，图1：因为∠1=∠2（已知）

所以 a∥b（）

其后把图形复杂化

图2：因为∠DAB=∠B（已知）

所以DE∥BC()

改变填空的形式

因为____________（已知）

所以DE∥BC()

通过反复、不同形式的填写，让学生掌握基本性质的表达格式，体会图形与题目存在的依存关系。同时通过从定义、性质、判定出发，由简到难，逐步深入，让学生提高对几何证明的信心。

3、积累证明思路

“几何证明难”最难莫过于没有思路。怎样积累证明思路呢？这主要靠听讲，看书时积极思考，不仅弄明白题目是“如何证明？”，还要进一步追究一下，“证明题方法是如何想出来的？”。只有经常这样独立思考，才会使自己的思路开阔灵活。随着证明题难度的增加，还要教会学生用“两头凑”的方法，即在同一个证明题的分析过程中，分析法与综合法并用，来缩短已知与未知之间的距离，在教学安排时，要给其足够的时间思考，而且重复证明思路，提高对解题思路的理解和应用能力。例如：在教授平行线和角平分线的关系时,设置了不同的例题：

如图3：已知BE平分∠ABC，∠DBE=∠DEB.求证:DE∥BC

通过讲解,要求学生仿写一遍,总结思路,形成”角平分线和等量代换可以证明平行线"的思想，之后，又共同完成与上面例题相仿的变式练习：

如图4：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AE=DE.求证: DE∥BC.经过学生之间的互学互教进一步掌握方法和解题格式,再通过变式训练达到本课的教学要求。

通过反复操练解题思路，在注重解题格式的要求下，每个学生在每一堂课上积累一个解题思想，学到一点新知识，都有所收获增强对学习几何的信心。

4、培养书写证明过程中的逻辑思维能力

有的学生写出的证明过程，条理清楚，逻辑性强，但有的学生写出的证明过程逻辑混乱，没有条理性，表达不清楚，这种情况，就是在平时的教学中，没有注意培养学生的逻辑思维能力。

首先，一开始学习几何，一定要在书写证明过程中逐步培养学生的逻辑思维能力。强调由哪个条件才能得出什么结论，不要根据初三数学对几何证明的要求，忽略中间的条件的描

述。例如在三角形全等的几何证明中，如图，AC∥DE，AC=DE，BD=FC.说明△ABC≌△EFD.解：因为AC∥DE（已知）

所以∠ACB=∠EDF(两直线平行，内错角相等)（第一段）

因为BD=FC（已知）

所以BD+DC=FC+DC(等式性质)

即BC=FD（第二段）

在△ABC和△EFD中

AC=DE（已知）

∠ACB=∠EDF（已证）

BC=FD（已证）

所以△ABC≌△EFD（S.A.S）（第三段）

在描述中不要漏了条件的大括号，判定依据等，检验在写的过程中是否符合所写的几何命题的格式等注意思维的严密性。

其次，在书写证明过程时，要逐步培养学生书写证明过程中的整体逻辑性，即通过分析，这个证明过程可分几大段来写，每一段之间的逻辑关系是什么?哪些段应先写，哪些段应后写。例如在上面的几何证明过程中，分成三大段，强调应先写第一段和第二段，第一段和第二段可以互换，第三段与第一段和第二段之间不能互换，提醒注意段与段之间的逻辑性，在搞清楚了这些之后，然后再分段书写证明过程，前面已证明的结论，在后面的证明过程中直接应用应把条件在写一次，体现其逻辑性。这样写出来的证明过程才条理清楚，逻辑性强。

三、善于总结经验——把好思维总结关

随着几何课程的进展，几何证明题的内容和难度都会不断地增加。因此，学习了一段之后，要回顾一下，看看已学了哪些知识点？自己在审题，推理、思路分析，证明过程等的书写方面掌握了没有，熟练的程度如何？如果在某些方面掌握得还不很好，就要在该方面多作一些练习，多想多问，使自己达到即熟练，又会“巧用”的程度。

例如在经过一个星期的几何证明学习后，每个星期出好一份与前一阶段讲课内容一致的练习题，通过学生的答题了解学生的掌握情况，在试卷分析的时候着重对思维能力较强的，学生错的较多的问题进行讲解，同时通过小组之间的合作，互相说出解题思路和错误的原因，不断的地找出自己在解题过程中的问题，总结前一阶段学习中的几何证明推理和思维上存在的问题，使下一阶段的学习更优化。

总之，如果以上过程都一步一个脚印地走好了，那么你就会很轻松地进入几何证明学习的大门，在几何证明的王国里遨游。我始终坚持帮助学生闯过畏难心理，坚信每一个孩子都是拥有巨大的潜能，永不放弃一个学生。我反复把握关键点，反复指导学生，让他们体会学习数学的乐趣，获得成功的喜悦。我相信只要时刻关注学

第五篇：谈初中几何证明题教学（模版）

谈初中几何证明题教学

众所周知，几何证明是初中数学学习的难点之一，其难就难在如何寻找证明思路，追根问底还是因为几何证明题的本质不易把握。为此，在初等几何的学习中融入数学思想方法，具有重要意义，而且切实可行。通过平时的学习、探索和积累，我发现其中的“结构思想”，即“数学是一个有机的整体，观察数学问题要着眼于结构的整体性。从宏观上对数学问题进行整体研究，抓住问题的框架结构和本质关系，把一些貌似独立而实质又紧密联系的特征视为系统中的整体”对探寻几何的证明思路，把握问题的本质，培养观察能力有一定的指导意义。

新一轮课程改革立足于“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。”在这样的指导思想下，初中几何发生了较大的变化。

初中几何一直就是中学数学的重要内容，秉承“深化教育改革，全面推进素质教育”的指导思想，在这次新课程改革中，初中几何部分有了较大的调整。对比新课程改革后初中几何的变化，深入理解教改的初衷，全面贯彻教改的思想，不但有利于更好地完成教改的任务，而且有利于利用新教材创造性地提高学生的数学素养。

考题：如图，在Rt△ABC中∠C=90°以AC为直接径，作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E，连接ED。

⑴求证：ED是⊙O的切线。

⑵E为BC的中点，如果⊙O的半径为1.5，ED=2，求AB的长。

这是某市九年级人教版秋季学期一道期考试题，从题型看这是一道再普通不过的圆有关证明和计算的几何考题，而我校作为一所比较有名的初中，全校九年级约500个考生的答卷中，第问“求AB的长”尚有80％左右的考生能正确的解答出来，而第（1）“求证：ED是⊙O的切线”只有约10％的考生能正确地写出证明解答过程。究其原因何在？笔者认为，其主要原因是教师在平时的课堂教学中，对几何证明的指导不到位、引导方法不够灵活，措施不到位造成的直接后果。

怎样指导学生对几何证明题进行有效正确的证明分析解答，并简单地写出证明过程，笔者通过对本考题学生答卷出现的各种错误情况，结合本校使用新课改教材突出的特点，归纳总结出以下4个步骤，进行指导，收到良好的效果。

1.读

读就是阅读题目和题图的过程中，做到逐个条件，逐个问题地对号入座地进行审题、读图。

2.记

记就是在“读”的过程中，对题目中给出的条件和问题作简要的浓缩并作划记，并用①、②„„和“？”作标记。如本考题问可作标记为：已知①∠C=90°；②AC为直径；③OE∥AB求证ED是⊙O的切线？

3.选

“选”就是选定解题思路，确定解题方法，即根据读题和标记的结果，结合自己所掌握的数学知识。选定解题思路，最终确定解题方法，并写出简要解答过程。如本题中，要证明DE为⊙O的切线，得作辅助线：连结

OD，则点D就是⊙O的外端，只须再证明OD⊥DE（即∠ODE=90°）就可以了，从而选定证明∠ODE=90°；而要达到这个∠ODE=90°这个结果，只有通过证明△EOC≌△EOD从而也就确定了解题方法。

4.返

就是选定了解题思路、确定了解题方法，并写出解答的过程中，特别是遇到解答的过程受阻时，不断地返回到题目中已作的标记和题图的标记和已知条件中去，检查是否漏用或误用已知条件，及时调整解题方案。可以看出，“读、记、选、返”四个步骤通俗易懂、浅显具体，只要始终坚持渗透课程数学课堂教学之中，并要求学生始终运用到平时的练习之中，善于积累，逐渐养成“见其型，通其路，套其法”的良好习惯，就能很好纠正学生不良的解题思维习惯和学习习惯！

初中数学，广西贺州市从2008年秋季学期启用人教版新课改教材至今，恰好经历了两个周期。五年来，课改的新理念、新思维、新评价如风暴袭来，我们有过欣喜和期盼，教学实践中，没有石头照样过河。

评价考试后，我们充满困惑与无奈，却不知路在何方。长期以来，我们数学课堂教学关注的是大量繁杂的公式，陷入了题的海洋。中学数学课堂教学最应该关注什么？既不是单纯的方法总结，也不是数学知识技能的简单积聚。数学教育的发展方向应与教育发展的大方向相一致，数学教育更应该关注思考：上完一节数学课，在学生颔首的同时还是有那么多的学生仍在质疑，到底学到了什么？他们对自己在数学学科上付出那么多的时间和精力感到惋惜，对自己在数学上的天赋和能力产生怀疑与反思。而教师本身是否也反省过自己，一节课下来我们到底教给了学生什

么？方法、过程，还是答案？所谓“点石成金”我们到底教给学生“点石”的手指还是“点成”的金子？我们不能武断地归结于学生的不努力，我们的数学教育有没有问题。就目前的状况，中学数学教育仍旧可以用“纸上谈兵”这句成语简单概括之。

课堂是教师演练阵容的战场，解题成为操起的刀戈，忽略了解题思路、解题方法，一味追求解题结果，将会逐渐迷失自我，丧失自我思考的能力！我们是否思考过：路就在自己的脚下，路就在自己的每一节课中，让校本科研走进我们每一个数学教师的每一节课中吧！

当今世界，反思意识已成为学术界的重要特征。要使基础教育课程改革向纵深推进，就必须提高教师的素质，尤其是提高教师的反思特质。开展校本教育科研活动，有利于学校引导教师理性反思教学，唤醒教师的自觉能动性和创造性，促使教师不断追求教育实践的合理性，让教师学会“教”，学生学会“学”。

学校要倡导教师以科学的精神、研究者的姿态，在不断反思中自觉运用先进的教育理论指导实践，探索教育规律。这既是时代对教师的要求，也是促进每一个学生都得到发展的前提条件。

校本科研的特征是“为了学校，在学校中，基于学校”，教师要获得专业发展，离不开“校本科研”的引领。学校应积极构建以校为本的研究机制，引领教师专业成长，反之又以教师的专业成长来推动学校发展，提升学校的办学水平。教学的生机与活力存在于教学研究中，教科研必须充分考虑教师的感受和内在需求。从教师角度讲，加强理论学习，并自觉接受理论的指导，努力提高教学理论素养，这也是教师专业成长的必经之路。