《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案范文

第一篇：《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案范文

第三章习题答案 3.1（1）非周期

（2）N=1（3）N=10（4）N=4（5）N=20 3.2 2f0fs，fs1521Ts

5（1）3,f0；Ts0.3，f0

503（2）10,f025；Ts0.3，f0（3）5,f00.5；Ts0.3，f0

356（4）3.5,f08.75；Ts0.3，f01j0.2njcos(0.n2)e(e2n1F30.60n.2).2n1j0cos(0n.u2n)()F1.8e2.2ne(nj0n.2nu)n0.6()（5）1.81j0Fe20.2nj0.6un()Fe0n.2n0u.6()

10.9j(10.6e)110.6ej(0.2)3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT % [X]=myDTFT(x, n, w)%X=输出的DTFT数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n’*w)

3.4(1)X(ejj)710.3ej

110.5ej2j（2）X(e)0.5ejj(10.5e)2j

（3）X(ej)0.80.16e10.4e（4）X(ej)1(10.9ej)20.91ej10.9ej20.91ejj(10.9e)2

3.5(1)X(ej)64ej2e2je3j2e4j4e5j6ej6（2）X(ej)64ej2e2je3je4j2e5j4ej66ej7（3）X(ej)64ej2e2je3je4j2e5j4ej66ej7（4）X(ej)64ej2e2je3je5j2ej64ej76ej8

3.6 X(ej)A11 j(0)j(0)21ae1ae1e6jj3.7 N=5，X(ej)1eej1e5j1ejj

N=25，X(ej)1e26jj1ee1e1ej25jj

N=100，X(eN=5，j)1e101jj1ee1e1e100jj

》n =-5:5;x =ones(1,11);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')

幅度部分142相位部分幅值0.5弧度-0.500.5以pi为单位的频率10-20-1-4-1-0.500.5以pi为单位的频率1

N=25, >> n =-25:25;x =ones(1,51);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')

幅度部分15相位部分幅值0.5弧度00-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4以pi为单位的频率0.60.81-5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4以pi为单位的频率0.60.81N=100, >> n =-100:100;x =ones(1,201);

% x(n)

k =-500:499;w =(pi/500)*k;

% [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k);% DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')幅度部分142幅值相位部分0.5弧度0-20-1-0.500.5以pi为单位的频率1-4-1-0.500.5以pi为单位的频率1

随着N的增大，DTFT的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于x(n)1的DTFT特性。3.83.8(1)F[x(n)]X(ej)(2)F[x(n)]X(ej)

(3)F{Re[x(n)]}1X(e21j)X(ej**j))(4)F{jIm[x(n)]}X(e2)X(ejj(5)F[xe(n)]Re[X(e)]

j(6)F[xo(n)]j*Im[X(e)]

nx(),n是5的倍数3.9 y(n)[x(5)(n)x(5)(n)],其中x(5)(n)5

20,其他n13.10(1)DTFT 为纯虚数

（2）DTFT为纯实数

（3）DTFT为纯实数 3.11（1）x(n)为奇序列（2）x(n)为偶序列 3.12（1）H(eb=[1,-3,2];a=[1,-1,0.5];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid jjjjj2j2)Y(eX(e))13e1e2ej0.5e xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应43|H|21000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.911相位(单位：pi)0.50-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

（2）H(eb=[1,0,-3];a=[1,1,0.25];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')j)Y(eX(ejj))13e1ej2jj20.25e

幅度响应86|H|42000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.911相位(单位：pi)0.50-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

（3）H(ej)Y(eX(ejj))1e6jj1e

b=[1,0,0,0,0,0,-1];a=[1,-1];

[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应64|H|2000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.910.5相位(单位：pi)0-0.5-100.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位j4j0.70.80.91

（4）H(ej)Y(eX(ejj))10.4e10.4e4

b=[1,-0.4];

a=[1,0,0,0,-0.4^4];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('|H|')title('幅度响应')

subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi为单位');ylabel('相位(单位：pi)')title('相位响应')

幅度响应1.5|H|10.500.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位相位响应0.70.80.910.2相位(单位：pi)0.150.10.05000.10.20.30.40.50.6频率以pi为单位0.70.80.91

3.13 H()134ej21113ej

~~3.14 X(k)DFSx(n)N1~x(n)en0j2NknN1~x(n)Wn0knN

~2413（1）X(k){4,4*W5,4*W5,4*W5,4*W5}

~（2）X(k){42j,3j,0,13j} ~（3）X(k){2,0,2,0}

~（4）X(k){2j,26j,2j,26j}

~13.15 x(n)IDFSX(k)N~~N1k02~jkn1X(k)eNNN1k0~knX(k)WN

（1）x(n){0.75,0.25,0.75,0.75}

~（2）x(n){2.5,0.50.5j,0.5,0.50.5j}（3）~x(n){0,0.44720.671j,0.44721.4662j,0.44721.4662j,0.44720.671j}

~（4）x(n){0.750.5j,0.250.5j,0.750.5j,1.250.5j}

3.16（1）解法1

N1X(k)nWn0knNk0,1,,N1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为

x(n)nRN(n)

所以

x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n)等式两边进行DFT得到

X(k)X(k)WNNN(k)

k故

X(k)N[(k)1]1WNk,k1,2,N1

当k0时，可直接计算得出X（0）

N1N10NX(0)nWn0nn0N(N1)2

这样，X（k）可写成如下形式：

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN解法2

k0时，N1X(k)k0时，n0nN(N1)2

X(k)0WN2WN3WN(N1)WNkn2k3k4kN1N1knNk2k3k(N1)k(N1)kWNX(k)0WN2WN3WN(N2)WNX(k)WknN(N1)

X(k)Wn1(N1)WN1(N1)Nn0kn所以，X(k)N1WkN,k0 即

N(N1),k02X(k)

N,k1,2,N1k1WN2kn（2）X(k)cosmnWNNn0N1N1n012(ej2Nmnej2Nmn)ej2Nkn

12N1en0j2N(mk)n12N1en0j2N(mk)n22j(mk)Nj(mk)NNN11e1e22j(mk)j(mk)2NN1e1e

1,km且kNmN,0,km或kNm0kN1（3）解法1 直接计算

x8(n)sin(w0n)RN(n)12jejw0nejw0nRN(n)

N1X8(k)n0x(n)WknN12jen0N1jw0nejw0nej2Nkn

12jN1n02j（w0）nj（w02）n1NNee2jjwNjwN1e01e022j(w0k)j(w0k)NN1e1e 解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为

x7(n)ejw0nRN(n)cos(w0n)jsin(w0n)RN(n)

x8(n)sin(w0n)RN(n)Imx7(n)

所以

DFTjx8(n)12DFTjImx7(n)X70(k)

即

X8(k)jX(k)j70X7(k)X7(Nk)

jwNjwN1e01e01()22j(w0k)j(w0(Nk)2j2jNN1e1e1jwNjwN1e01e0()22j(w0k)j(w0k)NN1e1e结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

N1N1knN（4）X(k)(n)Wn0(n)1,kn00,1,,N1

N1（5）X(k)Wn0knN1WkmNkN1WejNk(m1)sin(sin(Nmk),k0,1,,N1 m)N

3.17（1）证明：x(n)IDFT[X(k)]变量代换：

x(Nk)1NN11NN1X(k)Wk0knN

n0X(n)W(Nk)nN1NN1n0X(n)WNkn1NDFT[X(n)]

DFT[X(n)]Nx(Nk)（2）

function y=cirfold(x,N)x1=DFT(x,N)y=1/N*DFT(x1,N)

（3）y(n){2,2,3,4,5,4,3}

3.19（1）X（k）={15-2.92711.3143i-2.9271 + 2.1266i}

幅度部分1510幅度5000.511.52k相位部分2.533.5442弧度0-2-400.511.52k2.533.54

（2）DTFT：

>>x=[2 3 5 3 2];n=0:4;

k = 0:999;w =(pi/500)*k;

X = x*exp(-j*pi/500*n'*k);

% TFT magX = abs(X);angX = angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel(弧度')

幅度部分1510幅值5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率相位部分1.41.61.8242弧度0-2-400.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（3）DFT是对DTFT在0~2pi周期上的等间隔采样。如图所示：

n = 0:4;x =[2,3,5,3,2];

% 序列 x(n)

k = 0:999;w =(pi/500)*k;

% [0, 2*pi] 区间划分成1000个等分频点.X = x*exp(-j*pi/500*n'*k);

% 用式（3.2.35）计算DTFT magX = abs(X);angX = angle(X);

% X的幅度和相位（DTFT）Xk=DFT(x,5);

% 计算DFT

magXk = abs(Xk);angXk = angle(Xk);% Xk的幅度和相位（DFT）subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值')hold on;

plot(n*2/5,magXk,'o');grid subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid

xlabel('以pi为单位的频率');title('相位部分');ylabel('弧度')hold on

plot(n*2/5,angXk,'o');grid

幅度部分1510幅值5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率相位部分1.41.61.8242弧度0-2-400.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（4）内插公式：

N1N212j(2kN2N)X(ej)1Nk0X(k)eej(k)2kN()2N21sin(k)2Nsin2kN()N12kN12j()N2NX(k)e21k0Nsin(k)2NsinN12

令e()jsin(N2)Nsin(N12)则X(ej)X(k)k02k N3.20（1）N=1000 n=-10:10;x=2*(0.8.^n);x1=[x,zeros(1,979)];

X =DFT(x1,1000);

% 计算DFT magX = abs(X);

plot([0:999]/500,magX);grid xlabel('以pi为单位的频率');title('幅度部分');ylabel('幅值');

幅度部分10090807060幅值504030201000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

（2）N=1000

幅度部分54.543.53幅值2.521.510.5000.20.40.60.811.2以pi为单位的频率1.41.61.82

3.21 function y=cirshiftf(x,m,N)n=0:length(x)-1;k=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;

X1=Xk.*WN.^(m*k);y=IDFT(X1,N);

x(n)2n1，0n9，m8,N15

y=x((nm))N={13,15,17,0,0,0,0,0,-1,1,3,5,7,9,11} 3.22 function y=circonvf(x1,x2,N)if length(x1)> N

error('x1的长度必须 <=N ')end

% 检查 x2的长度

if length(x2)> N

error('x2的长度必须 <=N')end

x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];% 将x1、x2尾部补零，长度扩展到N x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];X1=DFT(x1,N);X2=DFT(x2,N);Y=X1.*X2;y=IDFT(Y,N);

3.23(1)yc1={0,0,0,0}(2)yc2={-5.3431

-4.6165

-2.1266

1.1756

4.0287

5.3431

4.6165

2.1266

-1.1756

-4.0287}(3)yc3= {285

250

225

210

205

210

225

250

285

330}(4)yc4={ 1.0000

0.1853

0.8100

0.1501

0.6561

0.1216

0.5314

0.0985

0.4305

0.0798

0.3487

0.0646

0.2824

0.0523

0.2288} 3.24(1)yl1={-5

0

0

0} yl2={ 0

-0.5878

-0.3633

1.1756

4.0287

5.3431

4.6165

2.1266

-1.1756

-4.0287

-5.3431

-4.0287

-1.7634} yl3={

0

130

175

224

276

330

285

240

196

154

115

9} yl4={ 1.0000

0

0.8100

0

0.6561

0

0.5314

0

0.4305

0

0.3487 0

0.2824

0

0.2288

0

0.1853

0

0.1501

0

0.1216

0 0.0985

0

0.0798

0

0.0646

0

0.0523}(2)e(n)yc(n)yl(n)yl(nN)

e1(n)yc1(n)yl1(n){5,5,0,0}yl(nN)

3.25 yc(n)3.26 kyl(n7k)R7(n)

X(1)X(10)32jX(3)X(8)58j*X(5)X(6)96j **X(7)X(4)25jX(9)X(2)13j**

第二篇：数字信号处理习题与答案

3.已知

单位抽样响应为

，通过直接计算卷积和的办法，试确定的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件

求输入为

时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

6.有一信号,它与另两个信号

和的

关系是:

其中

，已知，解：根据题目所给条件可得：

而

所以

8.若是因果稳定序列，求证：

证明:

∴

9．求的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

13.研究一个输入为

和输出为的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16.下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统;所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z变换为

求它们的z变换：，对下列信

号利用(a)

，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b)(c)解：(a){

(b)，(c)

由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

~解: X(k)n05~x(n)W6nkn05j2nk~x(n)e6 j2k1412e6j22k10e6j23k8e6j24k6e6j25k10e6

计算求得:

~2.设x(n)R4(n),x(n)x((n))6.~~ 试求X(k)并作图表示~x(n),X(k)。~~~X(0)60;X(1)9j33;X(2)3j3;~~~X(3)0;X(4)3j3;X(5)9j33。

~解: X(k)n0x(n)W6nk~5n0j~x(n)e52nk6

~~~计算求得：X(0)4;X(1)j3;X(2)1;~~~ X(3)0;X(4)1;X(5)j3。jk1e3j2ke3ejk

n1,0n43.设x(n),h(n)R4(n2),0，其它n~令~x(n)x((n))6,h(n)h((n))4,~试求~x(n)与h(n)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算

~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)7x(n), 0n5设有两序列 x(n)0, 其他ny(n), 0n14 y(n)0, 其他n各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n)y(n)应该得到的点。

解：序列x(n)的点数为N16,y(n)的点数为N215故又x(n)*y(n)的点数应为：NN1N2120f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L15所以，混叠点数为NL20155。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n)时，一个周期 内在n0到n4(NL1)这5点处发生混叠，即f(n)中只有n5到n14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

8.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)x(n), 0nN-1y(n)0, NnrN-1试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

x(n)n0rN1N1j2nkeNN1n00kN1n0nky(n)WrNx(n)WnkrNn0N1j2πnkx(n)eNrkX()rklr(l0,1,N1)在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r1)个其他的数值k(不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X()相等。r 9已知x(n)是长为N点的有限长序列,X(k)DFT[x(n)]现将x(n)的每两点之间补进r1个零值点,得到一个长为rN点的有限长度x(n/r), nir, 0iN序列y(n), y(n)0, 其他n试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

N1n0n0nkx(n)WN,0kN1rN1nky(n)WrNN1i0x(ir/i0N1irkr)WrNx(i)WikN,0krN1Y(k)X((k))NRrN(k)Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

证明 : s2fssF00fsF002其中s是以角频率为变量 的 频谱的周期,0是频谱抽样之间的频谱间隔。fssNF00F0对于本题:fsNfs8KHzN512 8000F015.625Hz51211.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何殊数据处理措施,要求频率分辨力10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定(1)最小记录长度;(2)所允许处理的信号的最高频率;(3)在一个记录中的最少点数。11解:(1)TP而F10Hz TPsF10 最小纪录长度为 0.1s 1110310KHzT0.11 fs2fh fhfs5KHz2 允许处理的信号的最高频率为5KHz(2)fs TP0.11031000,又因N必须为2的整数幂T0.1 一个纪录中的最少点数为:N2101024(3)N

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

34.2z10.8z2H(z)20.6z10.4z2

121.52.1z10.4z21.52.1z0.4zH(z)12121(0.3z0.2z)10.3z0.2z解：H(z)

∵1anznn1m0NbznMmY(z)X(z)

∴a10.3，a20.24(z1)(z21.4z1)H(z)(z0.5)(z20.9z0.8)

2.用级联型结构实现以下系统函数b01.5，b12.1，b20.4

试问一共能构成几种级联型网络。11kz12kz2H(z)A121zzk1k2k解：

4(1z1)(11.4z1z2)112(10.5z)(10.9z0.8z)

∴ A4

111, 110.5 , 210 , 121.4 ,210 , 120.9 ,221 220.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3.给出以下系统函数的并联型实现。

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

0.210.3z14110.5z10.9z10.8z2 G0 110.5 , 210，120.9 ,220.8

010.2 , 110

，021 , 120.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

11H(z)1z116z112z11z11z126

解：

11H(z)(1z1)(16z1)(12z1)(1z1)(1z1)26

111122(1z12z1z)(1z6zz)(1z)26

1537(1z1z2)(1z1z26

2)(z11)8205220581z1zz3z4z531212 5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

0.3n（h(n)(n)N1n01)0.n72(2)n0.11(3n)0

试画出其级联型结构实现。

H(z)根据h(n)zn得：

220.z70.z3114

1H(z)10.z3z0.12)1z23

(10.z20.)(1z10.1z2 0.4而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z)(0k1kz12kz2)k1N2

对照上式可得此题的参数为：

011 , 021, 110.2 , 120.1210.3 , 220.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

52z33z6H(z)1z1

抽样点数N = 6，修正半径r0.9。解；

因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)2166(1rz)H0(z)H3(z)Hk(z)6k1(53z3)(1z3)H(z)1z1 (53z3)(1z1z2)故 H(k)H(Z)Z2k/N (53ejk)(1e因而 H(0)24,H(1)223j,H(2)0 H(3)2,H(4)0,H(5)223j

j3kej2k3)则 H0(z)H(0)241rz110.9z1H(3)2 H3(z)1rz110.9z1

0111z121求 ： Hk(z)k1 时 ：H1(z)2212zrcosrzN

012ReH(1)2Re[223j]411(2)(0.9)ReH(1)W613.643.6z1H1(z)10.9z10.81z2k2 时 ：02120，H2(z)0 7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1H(z)(13z15z23z3z4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件可知：

1331h(n)(n)(n1)(n2)(n3)(n4)5555

则 h(0)h(4)10.253 h(1)h(3)0.65 h(2)1N12 2即h(n)偶对称，对称中心在 n处，N 为奇数(N5)。8．设滤波器差分方程为：

y(n)x(n)x(n1)11y(n1)y(n2)34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)ak1Nky(nk)bx(nk)可得：kk0M

11a1 , a234；

b01 , b11

一阶节级联型：

1z1H(z)111z1z2341z1 11011101(1z)(1z)66

1z111

(10.7z)(10.36z)

一阶节并联型：

H(z)1z1(111011101z)(1z)66

17171010220220110111011z1z66

1.60.610.7z110.36z1

1z1（2）由题意可知 H(z)111z1z234 1ejH(e)1j12j1ee34 j(1cos)jsin11111cosco2sjsinsin23443

幅度为：

H(ej)

(1cos)2sin21111(1coscos2)2(sinsin2)23434

相位为：

sinargH(ej)arg)tg(1cos

11sinsin24tg(3arg)111cosco2s34

（3）输入正弦波为 ： x(t)5sin(2t103)

3由 T210T12 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

13T0.1100.1ms31010

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2)间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为 周期为：T11103s1ms1000

 5sin10x(n)5sin2103nT32104n1 5sinn(n0 ,1 ,5

由此看出,9)

00.2

根据公式可得此稳态输出为：

y(n)5H(ej0)cos0nargH(ej0)12.13cos0.2n51.6

4.试用N为组合数时的FFT算法求N12的结果(采并画出流图。1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50 s 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

每次复加5 s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉对于0nN,有解：依题意：N34r1r2，解: ⑴ 直接计算:

复乘所需时间: T61510N2 51065122 1.31072s

复加所需时间: T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s TT1T21.441536s⑵用FFT计算:

复乘所需时间: T61510N2log2N 51065122log2512 0.01152s

复加所需时间: T20.5106Nlog2N 0.5106512log2512 0.002304s TT1T20.013824s

nn1r2n0,n10,1,2n00,1,2,3 同样： 令Nr2r1 对于频率变量k(0kN)有kkk10,1,2,31r1k0,k00,1,2x(n)x(n1r2n0)x(4n1n0)x(n1,n0)X(k)X(k1r1k0)X(3k1k0)X(k1,k0)11X(k)x(n)Wnk12n032 x(n(4n1n0)(3k1k01,n)0)W12n00n10



第三篇：合工大数字信号处理习题答案2和3章 朱军版

合工大《数字信号处理》习题答案

第2章

习

题

2.1用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。2.1x(n)(n4)2(n2)(n1)(n)(n1)

2(n2)4(n3)0.5(n4)2(n6)

2.2 请画出下列离散信号的波形。

1（1）u(n)

2（2）(2)nu(n)（3）2n1u(n1)（4）u(n1)u(n5)

答案略

2.3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）x(n)Acos(n（2）x(n)e2.3（1）1j(n)8n378)，A是常数。

2014，所以周期为14。3（2）2016，是无理数，所以x(n)是非周期的。

2.4 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)x(nn0)（2）y(n)x(n)（3）y(n)x(n)sin(n)（4）y(n)ex(n)2

2.4（1）由于T[x(n)]x(nn0)T[x(nm)]x(nmn0)y(nm)

所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)ay1(n)by2(n)

所以是线性系统。

（2）T[x(nm)]x2(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]2ay1(n)by2(n)，所以是非线性系统。

（3）T[x(nm)]x(nm)sin(n)y(nm)，所以不是时不变系统。

T[ax1(n)bx2(n)][ax1(n)bx2(n)]sin(n)ay1(n)by2(n)，所以是线性系统。

（4）T[ax1(n)bx2(n)]e系统。

[ax1(n)bx2(n)]eax1(n)ebx2(n)ay1(n)by2(n)，所以是非线性T[x(nm)]ex(nm)y(nm)，所以是时不变系统。

2.5 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y(n)x(n)x(n1)（2）y(n)x(nn0)（3）y(n)e（4）y(n)2.5

（1）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后（(n1)时间）的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)||x(n)||x(n1)|2M，因此系统是稳定系统。

（2）当n00时，系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。当x(n)

nn0knn0x(k)

n00时，系统是因果系统。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。

（3）系统是因果系统，因为n时刻的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M，则|y(n)||ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定系统。

（4）系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和x(n)的未来值有关。如果|x(n)|M，则，|y(n)|nn0knn0|x(k)||2n01|M因此系统是稳定系统。

2.6 以下序列是系统的单位冲激响应h(n)，试说明该系统是否是因果、稳定的。（1）h(n)2nu(n)（2）h(n)2nu(n)（3）h(n)(n2)（4）h(n)1u(n)2n2.6（1）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|202122

所以系统不稳定。

（2）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|2021222

所以系统稳定。

（3）当n0时，h(n)0，所以系统是非因果的。

由于

n|h(n)|1 所以系统稳定。

（4）当n0时，h(n)0，所以系统是因果的。

由于

n|h(n)|111 021222所以系统不稳定。

2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示，试求输出 y(n)。

2.7 y(n)h(n)x(n)[2(n)(n1)0.5(n2)]x(n)

2x(n)x(n1)0.5x(n2)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)4.5(n3)2(n4)(n5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)R3(n)，x(n)R3(n)

（2）h(n)R4(n)，x(n)(n)(n2)（3）h(n)0.5u(n)，x(n)R5(n)2.8（1）y(n)x(n)h(n)R3(n)R3(n)n[(n)(n1)(n2)]R3(n)R3(n)R3(n1)R3(n2)[(n)(n1)(n2)][(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)](n)2(n1)3(n2)2(n3)(n4)（2）y(n)x(n)h(n)[(n)(n2)]R4(n)

R4(n)R4(n2)[(n)(n1)(n2)(n3)][(n2)(n3)(n4)(n5)](n)(n1)(n4)(n5)（3）y(n)x(n)h(n)0.5nu(n)R5(n)

0.5nu(n)[(n)(n1)(n2)(n3)(n4)]0.5u(n)0.5（1）Sa(100t)（2）Sa(100t)

（3）Sa(100t)Sa(50t)2nn1u(n1)0.5n2u(n2)0.5n3u(n3)0.5n4u(n4)

2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔，必须先求出信号频谱的最高频率。

（1）抽样函数对应于门函数：G(t)ESa(/2)，其中为门函数的宽度。由傅立叶变换的对称性知：

ESa(t/2)2G()

由题可知，200。因此，此信号的最高频率是100弧度/秒。因此，2fs1002 即，fs100，Ts100

（2）信号为两个抽样函数的乘积，因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。

通过上一题目可知，Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒，因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。

fs200100，Ts200

（3）由傅立叶变换的线性，总信号的频谱为两个信号频谱的叠加，然后确定最高频率。

fs，Ts100

2.10 设系统由下面差分方程描述：

y(n)11y(n1)x(n)x(n1)22设系统是因果的，（1）求该系统的单位脉冲响应。（2）利用卷积和求输入x(n)ejnu(n)的响应。

2.10（1）x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0

所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1

h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1

h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以

h(n)= 0.5n-1u(n-1)+δ(n)（2）y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1u(n-1)+δ(n)]* ejwnu(n)= [0.5n-1u(n-1)]* ejwnu(n)+ ejwnu(n)= [ejwn-0.5n]/(ejw-0.5)u(n-1)+ ejwnu(n)2.11有一理想抽样系统，抽样频率为s6，经理想低通滤波器Ha(j)还原，其中

1,Ha(j)20,||3||3

今有两个输入，xa1(t)cos2t，xa2(t)cos5t。输出信号ya1(t)、ya2(t)有无失真？为什么？

2.11 根据奈奎斯特定理：

6，所以ya1(t)无失真。26因为xa2(t)cos5t，而频谱中最高角频率a25，所以ya2(t)失真。

22.12 有一连续信号xa(t)cos(2ft)，式中f20Hz，

2因为xa1(t)cos2t，而频谱中最高角频率a12(1)求出xa(t)的周期；

ˆa(t)的表达式。(2)用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x2.12（1）Ta10.05s fˆa(t)xa(t)T(t)（2）xnxa(nT)(tnT)ncos(2fnT)(tnT)

 ncos(40nT)(tnT)

第3章

习

题

3.1 求下列序列的z变换，并标明收敛域。

（1）x(n)(n4)

1（2）x(n)u(n)

21（3）x(n)u(n1)

2（4）x(n)nn1，n1 nn（5）x(n)0.5u(n1)（6）x(n)n0.2u(n)

n答案： 3.1 解（1）由z变换的定义可知，X(z)n(n4)znnz4，z0

n1111nn（2）X(z)u(n)zz，|z|

12n2n021z1211n（3）X(z)u(n1)zzn

2nn12nn

2nznn111，|z| 121z12（4）X(z)1nz nn1dX(z)11n1由于，|z|1 (n)z(zn1)2dzzzn1nn1则X(z)lnzln(1z)ln而X(z)的收敛域和

z 1zdX(z)的收敛域相同，所以X(z)的收敛域为|z|1。X(z)nn1（5）由于x(n)0.5u(n1)0.5所以X(z)0.5z1u(n1)0.5

z0.5，|z|0.5

z0.5z0.5（6）利用z由于X1(z)dX1(z)ZT[nx1(n)] dzz

z0.2所以X(z)zdX1(z)z(z0.2)0.2z，|z|0.2 z22dz(z0.2)(z0.2)3z13.2 已知X(z)，分别求：

25z12z2（1）收敛域为0.5|z|2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|2对应的原序列x(n)。

3z13z3.2 X(z)12225z2z2z5z2nzz12z z21（1）x(n)u(n)2nu(n1)

21（2）x(n)[2n]u(n)

23.3 已知序列x(n)的傅立叶变换为X(ej)，试求下列序列的傅立叶变换。（1）x1(n)x(nn0)（2）x2(n)x(n)（3）x3(n)x(n)nx(n)x(n)（4）x4(n)

2（5）x5(n)(n1)2x(n)3.3（1）X1(ej)ejn0X(ej)

（2）X2(ej)X(ej)（3）X3(ej)X(ej)（4）由于DTFT[x(n)]=X(ejwj)

X(ej)X(ej)X4(e)Re[X(ej)]

2（5）因为X(e)jnx(n)ejn，所以

dX(ej)x(n)(jn)ejn dn即

dX(ej)DTFT[nx(n)]j

d同理

d2X(ej)DTFT[nx(n)] 2d2而

x5(n)(n1)2x(n)n2x(n)2nx(n)x(n)

d2X(ej)dX(ej)jX5(e)2jX(e)2ddj3.4 设题3.4图所示的序列x(n)的傅立叶变换用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算：（1）X(ej0)（2）X(ej)d

（3）X(ej)（4）|X(ej)|2d

题3.4图（西电，丁玉美，P64，题5图）

3.4（1）X(e)j0nx(n)ej0nnx(n)6

（2）X(ej)ejnd2x(n)X(ej)d2x(0)4

j（3）X(e)nx(n)e2jnnx(n)(1)2n112112112

（4）|X(e)|d2jn|x(n)|28

3.5用留数定理法分别求以下X(z)的z反变换： 11z12（1）X(z)，|z|；

121z241112z1（2）X(z)，|z|，141z1411z123.5（1）X(z) 12111z1z42111n1|z|，设为内的逆时针方向的闭合曲线。x(n)zdzcc122j1z1211当n0时，zn1zn

111z1z221在c内有z一个单极点，则

2111x(n)Res[zn,]()nu(n)

122z21又由于x(n)是因果序列，故n0时，x(n)0。所以

1x(n)()nu(n)

2（2）x(n)11n1|z|X(z)zdz，设为内的逆时针方向的闭合曲线。cc42jn1当n0时，X(z)z在c外有一个单极点z1，则 411x(n)Res[X(z)zn1,]7()n

44n1当n0时，X(z)z在c内有一个单极点z0，则

x(n)Res[X(z)zn1,0]8

n1当n0，X(z)z在c内有没有极点，则

x(n)0

综上所述，x(n)8(n)7()u(n1)

14n3.6 试求如下序列的傅立叶变换：（1）x(n)(n3)

（2）x(n)anu(n)，0a

1（3）x(n)eanu(n)

（4）x(n)eanu(n)cos(0n)3.6（1）X(ej)ej3 11az1X(ej)

1aej1j（3）X(e) aj1ee（2）由于X(z)1ejeacos0（4）X(e) ja2j2a12eecos0eej3.7 已知下列因果序列x(n)的z变换为X(z)，求该序列的初值x(0)和终值x()。

1z1z2（1）X(z) 11(1z)(12z)z1（2）X(z)

(10.5z1)(10.5z1)3.7(1)x(0)limX(z)1

z由于极点有一个在单位圆外，所以终值不存在。(2)x(0)limX(z)0

zx()lim(z1)X(z)0

z13.8 用卷积定理求下列卷积和。（1）y(n)5u(n)(n2)（2）y(n)5u(n)u(n1)3.8由y(n)x(n)h(n)可知Y(z)X(z)H(z)nn（1）Y(z)zz2 z5y(n)5n2u(n2)

（2）Y(z)zz5zz1z()z

z5z1z5z14y(n)5n115u(n1)u(n1)44

3.9 用z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)0.9y(n1)0.05u(n)，y(n)0，n1（2）y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)(n)，y(1)0.2，y(2)0.5，y(n)0，n3

3.9（1）Y(z)0.9Y(z)z10.051 11z0.050.05z2Y(z)11(10.9z)(1z)(z0.9)(z1)

z0.9z0.5()z1z0.9y(n)0.5u(n)0.45(0.9)nu(n)

（2）Y(z)0.8z[Y(z)y(1)z]0.15z[Y(z)y(1)zy(2)z]1 1221.0850.03z1Y(z)

10.8z10.15z2F(z)Y(z)z当n0时，n11.0850.03z11.085z0.03nn1zz 12(z0.5)(z0.3)10.8z0.15zy(n)Res[F(z),0.3]Res[F(z),0.5]1.47750.3n0.256250.5n3.10 线性时不变因果系统用下面差分方程描述：

0.29550.51250.3n0.5n 0.20.2y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)x(n)

式中x(n)au(n)，试求系统的响应。n3.10 已知x(n)anu(n)，则

y(n)2ry(n1)cosr2y(n2)anu(n)

将上式进行z变换，得

Y(z)2rY(z)z1cosr2Y(z)z2因此，1az11z3 Y(z)1221(12rzcosrz)(1az)(za)(zz1)(zz2)式中，z1rej，z2rej。

由于系统是因果的（h(n)是因果序列），且x(n)也是因果序列，所以y(n)是因果序列。因

r,a)，且n0时，y(n)0。此，Y(z)的收敛域为：|z|max(y(n)1Y(z)zn1dz，c包含3个极点：a，z1，z2。2jcF(z)Y(z)zn1zn2 (za)(zz2)(zz2)y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),z1]Res[F(z),z2]

zn2(za)|za(za)(zz1)(zz2)zn2(zz1)|zz1(za)(zz1)(zz2)zn2(zz2)|zz2(za)(zz1)(zz2)z1z2an2(az1)(az2)(z1a)(z1z2)(z2a)(z2z1)(reja)(rej)n2(reja)(rej)n22jrsinan22jrsin(reja)(reja)3.11 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：

12n2n2

X1(ej)X2(ej)d[12X1(ej)d][12X2(ej)d]

式中，X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅立叶变换。3.11 令Y(ejw)X1(ejw)X2(ejw)，则

y(n)x1(n)x2(n)

1又x(n)2X(ejw)ejwn1dw，可知x(0)2X(ejw)dw

y(0)[x1(n)x2(n)]|n0mx(m)x12(nm)|n0mx(m)x12(m)

由于x1(n)，x2(n)都是因果序列，所以上式中的m只能为0值，因此

y(0)x1(0)x2(0)1所以

21X1(e)X2(e)dw[2jwjw1X1(e)dw][2jwX2(ejw)dw]

3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零、极点图，试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。

y(n1)5y(n)y(n1)x(n)23.12 H(z)=z/(z2-2.5z+1)=2/3[z/(z-2)-z/(z-0.5)]

(1)|z|>2,h(n)= 2/3[2n-0.5n]u(n)系统是非稳定但是因果的。

（2）|z|<0.5, h(n)=-2/3[2n-0.5n]u(-n-1)系统是非稳定是非因果的(3)0.5<|z|<2,h(n)=-2/3[2nu(-n-1)+0.5nu(n)] 系统是稳定但是非因果的.3.13（1）某离散系统激励为x(n)u(n)时的零状态响应为y(n)2(10.5u)u(n)，求激励为x(n)0.5u(n)的零状态响应。

（2）已知一离散系统的单位冲激响应为h(n)[0.50.4]u(n)，写出该系统的差分方程。

nnn3.13（1）H(z)Y(z)X(z)2(zz)z1z0.522z11

zz0.5z0.5z1激励为x(n)0.5u(n)的零状态响应： nY(z)H(z)X(z)1zz

z0.5z0.5(z0.5)2y(n)2n(0.5)nu(n)

（2）h(n)[0.50.4]u(n)nnY(z)zz0.1z0.1z1 H(z)212X(z)z0.5z0.4z0.9z0.210.9z0.2zy(n)0.1x(n1)0.9y(n1)0.2y(n2)

3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

（1）求系统函数H(z)及单位冲激响应h(n)；

（2）写出传输函数H(ej)表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3）设x(n)ej0n，求输出y(n)。

10.9z13.14（1）H(z) 110.9z10.9z11.8z1H(z)1

10.9z110.9z1y(n)(n)1.80.9n1u(n1)

10.9ej（2）H(e) j10.9ej极点z0.9，零点z0.9

（3）x(n)ej0n

j0ny(n)ej0nH(ej0)e10.9ej0 j010.9e3.15 若序列h(n)是因果序列，其傅立叶变换的实部如下式： HR(ej)1acos，|a|1

1a22acos求序列h(n)及其傅立叶变换H(ej)。3.15

1acos10.5a(ejej)HR(e)1a22acos1a2a(ejej)j10.5a(zz1)10.5a(zz1)HR(z)2111aa(zz)(1az)(1az)IZT[HR(z)]he(n)

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5an1z 1a(za)(za)1因为h(n)是因果序列，所以he(n)必定是双边序列，收敛域取：a|z|a。

n1时，c内有极点a，0.5az2z0.5an11nhe(n)Res[F(z),a]z(za)|a za2a(za)(za1)n0时，c内有极点a，0

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5a1z 1a(za)(za)0.5az2z0.5a1he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]z(za)|zaa(za)(za1)0.5azz0.5a1z(z0)|z011a(za)(za)he(n)he(n)，所以 2

又因为

n01,he(n)0.5an,n00.5an,n0

he(n),h(n)2he(n),0,n01,an,n00,n0anu(n)H(ej)n0n0n0 j1ae

第四篇：数字信号处理习题解答1

第一章

3.判断下面的序列是否周期的(1).x(n)Acos(3n),A是常数78j(1n)(2).x(n)e85.试判断系统是否为线性时不变的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(n)6.试判断系统是否为因果稳定系统（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)e第二章

1.求下列序列的傅里叶变换（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=x(2n)e-jnn=-令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-，m为偶数x(m)e-jm/2mm=-[x(m)(1)-jm/2m=-x(m)]e-jm/2[x(m)e12[X(ej12m=-j(1)2e)]jmx(m)e-jm/2])X(e14.求出下列序列的z变换及收敛域(1)2-nu(n)X(z)n2znnu(n)zn

n2n11,|(2z)|111(2z)z,|z|121z2-3z-117.已知X(z)=,分别求：-1-22-5z+2z（1）收敛域0.5< | z | < 2对应的原序列x(n)(2)收敛域 | z | > 2对应的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收敛域0.5< | z | < 2时：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收敛域 | z | > 2时：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知线性因果网络用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求网络的系统函数及单位脉冲响应h(n)(2)写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z当n1时，有极点z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=20.9n因为系统是因果系统，所以有h(n)=0,n<0当n=0时，有极点z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1h(n)=20.9nu(n-1)+(n)ej+0.9(2)H(e)=je-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j=h(m)x(n-m)m=00n-m）=h(m)ej（m=0

=h(m)ej0ne-j0mm=0=ej0nH(ej0)=ej0nej0+0.9ej0-0.9

第三章

6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)(n)(2)x(n)(nn0)0n0N

1(3)x(n)an(5)x(6)(4)x(n)ej0nRNn

ncos0nRNn

xnsin0nRNn(7)xnnRNn

100kN1

其他0kN1

其他解：(1)X(k)kn0j2Ne

(2)X(k)0kn0N1j2N1aNe2jk

(3)X(k)n0N1ae00kN1其他2knNj(02k)nN

(4)X(k)x(n)Wn0N1nkNen0N1j0neje

(5)x(n)cos(0n)RN(n)1j0n(eej0n)RN(n)211ej0N1ej0NX(k)j0kk21eWN1ej0WN

kk1ej0N1ej0WN11ej0N1ej0WN j0j0kk21eWN1eWNk1cos0Ncos0N1cos0WNk2k12cos0WNWN

(6)

1x(n)sin(0n)RN(n)(ej0nej0n)RN(n)

211ej0N1ej0NX(k)j0kk2j1eWN1ej0WNjNjkk1ej0N1ej0WN11e01e0WN

 kk2j1ej0WN1ej0WNsin0N1sin0WNksin0Nk2k12cos0WNWN1zN

(7)设x1(n)RN(n)，则X1(z)

1z1d1zN

x(n)nx1(n)，则X(z)z1dz1z 

X(z)zNzN11z1z21zNX(k)X(z)zWkN1zNW1WW1W12kNNkNkNk2NNz1zz1z

1z1WN

N11N12kNNkWN1kNkN

因为WN1，WN10

N1n0X(k)k0n123(N1)N(N1)221.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。

(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？

10240Hz10Hz

10241s97.66s（2）抽样点的间隔

T10.24103整个1024点的时宽

T97.661024ms100ms 解：（1）频率间隔

F第四章

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：

(1)512点直接DFT计算的时间： 复数乘法：N=512x512x50us=13.1072s 复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT计算的时间：

复数乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=复数加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间： 假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：

用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 实时处理时，信号采样的最高采样频率：210.302512=1695.36Hz 信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz 7.某运算流图如图所示，问：

（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。解：

（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数HasX(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3s1s3转变为数字传递函数H(z)，采样周期T0.5。

解：Ha(s)3113();ha(s)(ete3t)u(t)2s1s323h(n)T(enTe3nT)u(n),代入T0.523(en2e3n2)u(n)43113(1e32z1)(1e12z1)H(z)()12132141ez4(1e12z1)(1e32z1)1ez3(e12e32)z10.2876z1123212241(ee)zez10.829z10.135z2(2)双线性变换H（z）Ha(s)T1z121z1s3s24s3s41z11z131z121z116()163111z1z3(12z1z2)36z13z21632z116z21616z236z13z23526z13z20.08750.1714z10.0857z210.7429z10.0857z2MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[003];a[143];3(1z1)216(1z1)216(1z1)(1z1)3(1z1)2

[bz1az1]impinvar(b,a,2)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,2)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；结果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Has3转变为数字传递函数H(z)，采样周期2ss1T2。

解：（1）脉冲响应不变法Ha(s)111s2s1(s12)234(s12)2(32)2A1s12j(32)1s12j(32)*s12j(32)A2s12j(32)1j31j3T(12j(32)T1A1j3j3)将T2代入A2A1H(z)1s12j(32)j31e(T(12j(32)Ts12j(32)1ez22e1sin3z10.8386z1121122312ecos3zez10.1181z0..135z其中：sin3sin3180./0.987cos3cos3180./0.1606(2)双线性变换H（z）Ha(s)11z11z1z1s1s2s1s1z11z11z121z1()1111z1z(12z1z2)12z1z21221212zz1z12zz3z20.33330.6667z10.3333z210.3333z2(1z1)2(1z1)2(1z1)(1z1)(1z1)2

MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[001];a[111];[bz1az1]impinvar(b,a,0.5)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,0.5)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；

结果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.设有一模拟滤波器Ha(s)

1，采样周期T2，用双线性变换法将其转换为数字系统函数H(z)。

s2s1解

由变化公式

1z1

sc 11z及c2,T2,可得 T1z1

s

1z1所以

H(z)Ha(s)1z11z1

s

=

11z121z1()()1111z1z

(1z1)2

=

3z218.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为3dB，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为18dB。

解：已知p0.8rad,s0.5rad,p3dB,s18dB

（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器Ha(s)的边界频率。（令T=2）

phtanp2tan0.80.50.006981,shtanstan0.004363 222（2）将Ha(s)的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标

p1,p3dB;sphsh1.6,s18dB

设计程序：

% 调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数； 运行结果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为0.25rad0.45rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为00.15rad和0.55radrad，阻带最小衰减为15dB。解：(1)确定数字带通滤波器性能

，10.25rad，s20.55rad，s10.15rad u0.45rad通带内最大衰减p3dB，阻带内最小衰减s15dB(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s

u2tanutan0.2250.854r1ad/s T2

12tan1tan0.1250.414r2ad/s T2

s22tans2tan0.2751.170r8ad/s T2

s12tans1tan0.0750.2401rad/s T2u10.5948rad/s，通带心频率0带宽Bu10.4399将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：

uu1.941，6110.9416，s2s22.6615，BBBs10.5458，0u11.3521 B

s1(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能

s2202

归一化阻带截频率为s1.9746

s2

归一化通带截频率为p1,p3dB,s18dB(4)设计模拟归一化低通G(p)

s10p1100.31

ksp，1.9746 0.1266sp0.1s1.8p101101

N

取N=3.查表得，G(p)0.1lgksplgsplg0.12663.04

lg1.97461p32p22p1

(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)HasG(p)ps202

sBB3s3s2203222s20sB2s20s2B2s3B332

0.08s55432s60.879s81.448s40.707s60.512s40.110s10.0443(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)H(z)Hass21z1T1z1[0.01811.77641015z10.0543z24.4409z30.0543z42.77561015z50.0181z6][12.272z13.515z23.2685z32.3129z40.9628z50.278z6]1 第七章

7.画出下面系统函数的直接型结构图

2.52z10.6z2

H(z)

10.5z10.6z20.5z3解：

8.用级联方式画出下面系统的结构图

2(z1)(z21.414z1)

H(z)

(z0.3)(z20.9z0.81)21z111.414z1z2解：Hz

10.3z110.9z10.81z2

6.已知FIR的系统函数为

H(z)1(10.9z12.1z20.3z32.2z40.3z52.1z60.9z7z8)15

画出该系统的直接型结构。解：

9.已知FIR系统的16个频率采样值为：

H(0)12，H(1)3j3，H(2)1j，H(3)H(4)......H(13)0，H(2)1j,H(1)3j3，试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。

1zN解：HzNHk,k1k01WNzN1N16

取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得

1r16z16Hz16Hk11610.4401zk116k01rW16z15H010.95z1H110.95W1z116

H15H2H14 1512114110.95W16z10.95W16z10.95W16z110.4401z16

161266.5254z122.6870z1其结构图如1121211.3435z0.9025z11.7554z0.9025z10.95z下图：

第五篇：数字信号处理考试问题及答案

第1章

引 言

1、数字信号处理的含义？

数字信号处理--Digital Signal Processing采用数字技术的方式进行信号处理。将信号转化为数字信号，利用数字系统进行处理。

2、什么是信号？信号主要采用什么方式表达？ 传递信息的载体：进行变化的物理量；

与日常生活密切相关： 语言、音乐、图片、影视

模拟信号的表达：在电子技术中，通过传感器将信号转化为随时间连续变化的电压：模拟电压信号

数字信号的表达：对模拟电压进行等间隔测量，将各测量值采用有限精度的数值表达，体现为顺序排布的数字序列。、什么是模拟信号？什么是数字信号？

信号在时间和数值上都是连续变化的信号称为模拟信号.模拟信号是指用连续变化的物理量表示的信息，其信号的幅度，或频率，或相位随时间作连续变化 数字信号指幅度的取值是离散的，幅值表示被限制在有限个数值之内。时间和幅度上都是离散(量化)的信号。二进制码就是一种数字信号。二进制码受噪声的影响小，易于有数字电路进行处理，所以得到了广泛的应用。4、数字信号具有什么特点？

信号采用抽象数字序列表达，与物理量没有直接关系，在传输、保存和处理过程中，信号精度不受环境因素影响，抗干扰性强。

信号采用数字序列表达后，对模拟信号难以进行的很多处理能够方便地实现，例如：大规模长时间的信号存储、对信号的乘法调制和各种编码调制、信号的时间顺序处理、信号的时间压缩/扩张、复杂标准信号的产生。5、数字信号处理具有什么意义？

数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及对这些序列作处理的一门学科。它具有精度高、可靠性高、灵活性、便于大规模集成化等特点。6、列举一些在生活中常见的数字技术的应用。

商业摄影领域；录音电话机；数码相机；数字电视；MP3播放器等等。

第2章信号的数字化

1、信号数字化需要经过哪些基本步骤？

信号数字化可以分为三步：1）等距采样，实现信号离散化；2）数值量化，用有限精度表达采样值；3）AD转换，对量化值进行二进制编码。

2、对信号进行理想采样时，其频谱会发生什么变化？ 信号频谱被周期性复制。

3、什么是采样定理？

待采样信号必须为带限信号

MXj0采样频率应大于信号最高频率的2倍

22sMNTs

Nyquist 频率

重建滤波器（低通）截止频率应满足 ： McsM

4、什么是镜像频谱？什么是混叠失真？

镜像频谱:混叠失真:当信号的取样频率低于奈奎斯特频率时所出现的一种信号失真现象。

5、实际数字信号处理系统由哪些主要部分构成？ 数字化过程：抗混叠滤波—采样保持—量化编码 数字信号处理过程：滤波、调制、存储、传输 重建过程：DA转换—抗镜像滤波

6、如何对数字信号进行量化？量化位数的变化对量化误差、数据量具有什么影响？ 量化的实现：比较判断。

运算放大器可以作为电压比较器，将采样信号与标准电压比较，得出量化结果：

对于多位量化，需要先用电阻串联形成参考尺度，再采用多个比较器进行判断。

当数据宽度（量化位数）为n位时，存在2个量化状态，量化位数越多,量化状态数越多。n位等距量化时，量化间距为2-n，最大量化误差为2–n-1，信号动态范围为：

Vmax20log Vn20log26ndBmin

7、什么是信号的动态范围？N位等距量化时信号的动态范围为多少？

信号系统的动态范围被定义成最大不失真电平和噪声电平的差。而在实际用途中，多用对数和比值来表示一个信号系统的动态范围。N位等距量化时信号的动态范围为：

Vmax20log Vn20log26ndBmin

8、数字信号的量化精度主要受哪些因素影响？

量化精度和所用的数字编码位数有关，编码位数越多，量化精度越高，误差就越小。

9、改善量化精度的主要方法有哪些？

为了降低量化器成本，可以通过摆动技术和过采样技术的运用提高数据精度：在一个采样周期内对待量化信号叠加一个标准周期信号，再通过多次测量取平均值得出量化结果。

非等距量化方法：当信号主要分布在低幅度时，为了降低小信号的量化误差，加大动态范围，可以采用对量化范围的压扩技术。

10、分析目前采用的主要AD转换的方法，指出其基本原理、特点和使用范围。1）并行转换：Flash AD

n

2）串行转换：逐次逼近AD

数字生成逻辑；DA转换器；比较器。

3）串并结合：Pipeline AD

高速、低成本、精度较差

可以设置为标准转换模块，采用流水线形式逐次进行转换，转换速度快;每级转换模块位数少，系统简单；涉及的模拟运算较多，误差会累积增大。4)过采样AD：

主要利用数字电路提高量化精度，对应模拟电路结构简单，对器件精度和环境要求不高，成本低；转换速率慢，一个n位的数据需要经过2n个时钟周期才能得到。

第3章 信号的频谱：信息的分布

1、信号中的基本信息具有什么特点？

信号中的信息与信号的变化有关；不同的变化模式表征不同的信息； 复杂信息可以由简单信息组合表达。2、付氏分析中采用什么信号表达基本信息？这种信号具有什么特点？

付氏分析中采用单频率信号的组合来表达基本信息。单频率信号均为周期信号，不同频率的单频率信号具有不同的周期。

3、信号的频谱和频率分量分别表达什么含义？

信号的频谱，即为信息分布。相当于是一个以频率为自变量的分布函数，描述了信号在各个频率的分布特征。频率分量是表达某个信号所具有的频率成分（该频率的比重）。4、周期信号的频谱具有什么特点？如何求解周期信号的频谱？

周期信号的频谱具有的特点：离散谱，谐波性。

6、数字信号的单频率信号具有什么特点？

单频率信号为信息基本单元，不同的单频率信号表达不同的信息（变化模式），任何信号都可以采用单频率信号的组合表达。

7、数字频率与对应的模拟频率之间有什么关系？

数字频率与模拟频率关系：

0/Td0T /TTd00

在Nyquist频率范围内，模拟频率与数字频率具有一一对应关系；当模拟频率超出该范围时，数字频谱将出现混叠失真。

由已知离散信号确定对应的模拟频率时，必须先将离散频率对应为数字频率：

j4.4n xneT0.1

d4.40.4mod2

d/T4 08、周期信号的频谱如何通过DTFS进行计算？如何提高频率分辨率？

1）确定基本周期N和基本频率；

2）在时间信号一个周期内N点等距采样，得到N个信号测量值；

13）利用定义式求和，得到频谱解析表达式； cdkxnejkd0nNnN

4）由解析式计算出N个频率分量值。

增加采样点的数目可以提高频率分辨率

9、一般数字信号的频谱如何计算？

1）根据采样定理，选择采样周期；2）对有限时间内的信号进行采样，得到信号测量值表达的数字序列；3）将数字序列直接代入DTFT定义式，得到频谱的解析表达；4）利用解析表达计算频谱。

jnT jXdexnexnejdn nn10、对给定有限长度时间波形和指定的采样周期，写出对应频谱（DTFT）的解析表达式。

jnTj Xdexnexnejdnnn

第4章 DFT和FFT：频谱的计算

1、DFT和FFT分别表达什么含义？

DFT:离散付氏变换。FFT：快速付氏变换。

2、DFT与DTFT有什么区别？如何利用DFT来计算DTFT？

DTFT解析式表达的频谱为连续频谱；为了对DTFT进行数值计算，可以对该频谱进行N点等距采样，用离散频谱表达；这种表达方式称为离散付氏变换（DFT）。

jTnDTFT: Xdxnexnejdnnn ddm2mNDFT：频谱离散化

2 jmnNXmxned

nN

3、DFT与DTFS有什么区别？如何利用DFT来计算DTFS？

DTFS:离散时间付氏级数。

22N1jmn 11jmnjm0nTNcmdxnexneNXmxned NnNNnNn0

XdmNcdm

4、利用N点DFT计算信号频谱，理论上需要多少次复数乘法？

利用N点DFT计算信号频谱，理论上需要N2次复数乘法。

6、FFT的主要运算特点是什么？

采用标准蝶形运算模块，方便运用于硬件设计和软件函数编制。

3输入，2输出模块；1次复数乘，2次复数加； X1=A+B*C X2=A-B*C

7、蝶形运算单元包含哪些基本运算？

每个蝶形运算包含1次复数乘和2次复数加； 累计运算量为：NNlogNlog2N 22log28、采用FFT计算N点信号的频谱，理论上需要多少次复数乘法？

NNlogNlog2N 22log2第8章 IIR系统的设计方法

1、IIR滤波器的特点: N阶系统具有N个不在原点的极点，在设计同样性能的滤波器时，IIR滤波器的阶数通常低于FIR滤波器，设计效率较高。

2、为什么IIR系统不能具有线性相位：

分母多项式系数不可能设置为对称，因此相频特性通常无法控制为线性，只能针对幅频特性进行设计。

3、模拟变换法设计IIR系统的基本设计思想： 设计目标幅频特性为： Hej

（1）将设计目标转换为模拟系统的幅频特性： Hj（2）设计满足要求的模拟系统： Hs

（3）将模拟系统转换为数字系统：HsHz



4、什么是模拟原型滤波器：

当设计目标是对理想滤波器的逼近时，通常可以采用原型滤波器进行变量代换设计。原型滤波器定义： 模拟低通滤波器，截止频率c1

5、常用的模拟原型滤波器有哪几种？各自零极点分布和频率响应具有什么特点？（1）Butterworth原型滤波器：最平坦滤波器

M2112N Hj112N

对于任意阶数N，Hj1 Hj20112 随频率增加，系统增益单调下降；截止频率为-3dB频率；随着N值增大，可以逼近理想滤波器。由幅频特性平方可以求出平方系统的零极点：

M21112N Gs21s2N s2pN1ejmm1,3....jN1spe2Nmm1,3....系统函数为： Hs1sss

p1sp2...sspN

（2）模拟原型滤波器： Chebyshev 1 M2112V2 ； Hj1 N12V2NN阶Chebyshev多项式：

VN2VN1VN2 ； V1 ； V2221

没有零点，极点在单位圆内呈椭圆分布； 通带为等纹波，阻带为单调变化；

（3）模拟原型滤波器： Chebyshev 2 M211VN12V2 ； Hj1/ N1/12V2N1/阻带截止频率 1 ； Hj2ss12 阻带为等纹波，通带单调下降；系统极点分布与1型呈倒数关系；系统具有N个零点分布在虚轴上；（4）模拟原型滤波器：Elliptic M2112Q2 ； Hj1Q N122N为Chebyshev型滤波器的综合形式，采用等纹波逼近设计； N个极点分布在单位圆内，形成通带纹波；个零点分布在虚轴上，形成阻带纹波；

6、利用原型滤波器设计Butterworth低通滤波器设：

对原型滤波器进行变量代换，可以得到指定截止频率的低通模拟滤波器：

Hj:1112N1/N

c2设计参数： 滤波器阶数 N；-3dB截止频率c

N考虑滤波器参数与设计指标之间的关系：

通带波动 p ；通带截止频率 p；阻带波动s ；阻带截止频率 s； 在通带和阻带的边缘，可以得到：

11p/c2N1p ；

11s/c2Ns

利用对数坐标，对纹波采用分贝为单位：

1p/c2N100.1p ； 1s/c2N100.1s

对上式联立求解，可以得到滤波器最低阶数为：

1log10p1log100.1s1 N2logplogs

7、冲激响应不变法 的设计思路和合设计步骤是什么？

设计思路：从数字滤波器频谱到模拟滤波器频谱；从模拟滤波器系统到数字滤波器系统。设计步骤： Hs0.1r1r2...，htr1ep1tr2ep2t...，sp1sp2r1r2...；

1ep1z11ep2z1hnr1ep1nr2ep2n...，Hz设模拟系统函数为：Hs111；

s23s2s1s2设采样周期T=1，对应数字系统函数为 ：

e1e2z111Hz，Hz； 1121121321ez1ez1eezez冲激响应不变法的特点 ：

从时域角度进行对应，可以保障系统暂态响应时间不变；可以将s平面左边的极点对应到z平面单位圆内，保障系统的稳定性；数字滤波器频率响应与模拟滤波器频率响应保持良好线性关系；

8、冲激响应不变法的局限

由于采样定理限制，模拟系统的频率响应必须具有带限特点，否则会导致频率混迭，因此冲激响应不变法只适用于阻带没有纹波的低通或带通滤波器。

9、双线性变换法 设计步骤

利用非线性函数将数字频率区间对应到模拟频率区间：ktgd/2； 完成模拟系统设计后，再进行反变换，从模拟系统函数得到数字系统函数：

skz1，HsHz； z1双线性变换法的特点 ：

没有采样过程，不存在频率混叠问题，适应于各类滤波器的变换；变换将s平面的虚轴对应到z平面的单位圆，可以保持系统稳定性不变； 变换在高频区域体现出强烈的非线性。

为了减少非线性关系的影响，实现正确的变换，可以利用参数k对非线性区的范围进行调节；在初步设计时，通常可以先将k值选择在最高模拟截止频率附近，再根据仿真结果进行调整。

第9章 变采样系统：滤波器的高效设计

1、对数字信号进行抽取会产生什么效果？

数字信号由采样值构成，采样频率应为信号带宽的2倍以上；在信号处理过程中，信号的带宽会发生变化；及时调整采样率，不仅可以提高数据保存和传输效率，也可以提高数字系统的设计效率。

从原始数字序列中进行等距抽取构成新的数字序列。采样周期加大，数据量减少；采样频率降低，标准频谱展宽，可能出现混叠失真！

2、如何对数字信号进行插值？插值会产生什么效果？

在原始数字序列中每2个数据间等距插入L-1个零，构成新的序列。

采样周期缩减，数据量增加；采样频率提高，标准频谱压缩，数字频谱标准区间内出现镜像频谱！

3、什么是抽取/插值滤波器？它们主要发挥什么作用？（1）抽取滤波器 ：

通常在抽取之前，需要先对信号进行抗混叠滤波，限制信号带宽；对于低通信号，抽取滤波器为低通滤波器，截止频率为

cM，；

滤波器卷积方程 ：ynmxmhnm，ynynMxmhnMm，dm；

滤波器运算量为同阶普通滤波器的1/M ；

抽取滤波器作用：采样周期加大，数据量减少；采样频率降低，标准频谱展宽，可能出现混叠失真！（2）内插滤波器

理想内插系统的构成：在插0之后，对信号进行抗镜像滤波，可以将插0点改为理想插值，该滤波器称为内插滤波器；对于低通信号，内插滤波器为低通滤波器，截止频率为

cL，；

滤波器卷积方程

ynkxkhnkynxkhnkL

iik

滤波器运算量为同阶普通滤波器的1/L ；

内插滤波器的作用：采样周期缩减，数据量增加；采样频率提高，标准频谱压缩，数字频谱标准区间内出现镜像频谱！

4、与常规滤波器相比，抽取/插值滤波器具有什么优点？

数字信号由采样值构成，采样频率应为信号带宽的2倍以上；在信号处理过程中，信号的带宽会发生变化；及时调整采样率，不仅可以提高数据保存和传输效率，也可以提高数字系统的设计效率。

抽取滤波器作用：采样周期加大，数据量减少；采样频率降低，标准频谱展宽，可能出现混叠失真！内插滤波器的作用：采样周期缩减，数据量增加；采样频率提高，标准频谱压缩，数字频谱标准区间内出现镜像频谱！

5、如何利用变采样系统设计窄带低通滤波器？设计效率提高多少？

数字信号由采样值构成，采样频率应为信号带宽的2倍以上；在信号处理过程中，信号的带宽会发生变化；及时调整采样率，不仅可以提高数据保存和传输效率，也可以提高数字系统的设计效率。

从原始数字序列中进行等距抽取构成新的数字序列。

通常在抽取之前，需要先对信号进行抗混叠滤波，限制信号带宽；对于低通信号，抽取滤波器为低通滤波器，截止频率为cM

滤波器卷积方程 ：ynmxmhnm，ynynMxmhnMm，dm；

滤波器运算量为同阶普通滤波器的1/M ；

6、如何利用变采样系统设计宽带陡降低通滤波器？设计效率提高多少？ 设计原理：

首先设计宽过渡带的低阶滤波器及其互补滤波器；

利用内插压缩频谱，使过渡带变窄；

采用频率响应掩蔽法选取通频带和阻带。设计要求：

在标准数字频率范围内，过渡带宽度为d的锐截止宽带低通滤波器； 设计步骤：

先设计截止频率为  /2的低通滤波器H1z，设定其过渡带宽度为Ld/2；同时实现其互补滤波器H2z1H1z；通过L倍内插，使频谱压缩为1/L并周期化，各过渡带宽度变为d；

利用宽过渡带滤波器 F1z和 F2z作为内插滤波器（设其过渡带宽度为/L），选出几个周期的镜像频谱进行组合，就可以实现具有锐截止过渡带的宽带滤波器；

为了减少设计难度，可将上述各滤波器相对过渡带宽设计为相等，即有：

LdL，由此可以得出过渡带宽为d的滤波器设计时的内插倍数为Ld。

若采用相对过渡带宽度描述，则为：L1。2

7、什么是临界抽取M通道滤波器组？具有什么特点？ M通道滤波器组：

在信号分析，编码，压缩和传输等应用中，通常需要将信号分解为带宽相等的M个独立子频带进行分别处理；采用M通道滤波器组可以实现频带分解的要求；信号被分割为M个子带 M通道滤波器组面临的问题：

每个滤波器都要求很窄的过渡带，滤波器实现非常复杂；

将N点原始信号送入滤波器组，每个滤波器输出信号都表现为N点序列，信号总量增大M倍； M通道滤波器组的特点：

对于各子带信号，带宽只是原来的1/M；可以采用更小的采样率进行表达；对每个子带的信号进行M倍抽取后，信号的总样点数可以减少到和原始信号相同；这种抽取称为临界抽取；

8、如何对滤波器进行多相分解？分析滤波器组与多相分量矩阵的关系是什么？ 多相分解

Hzh0h1z1h2z2h3z3h4z4h5z5...Hzh0h2z2h4z4...z1h1h3z2h5z4...HzH1z2z1H2z2

系统被分解为子系统的组合，各子系统称为原系统的多相分量。多相分解

Hzhkzk0N/MNkN/MhMlzl0l0MlN/MhMl1zl0M1j0Ml1...hMlzl0MMlz1hMl1zMl...zjEjzMMlN/MEjzhMljzl0N/M 称为原系统的多相分量 ；

原抽取滤波器被分解为多相子系统的并联形式，各子系统可以直接运用恒等变换：

对于重建滤波器与内插，也可以采用类似的变换：

M1j0HzzM1jRjzM，RjzEM1jz，

每一个子频带需要M个 Ejz 和 Rjz滤波器，则对M个子频带，这些滤波器的运算构成M阶的方阵 Ez和 Rz：

9、如何对给定的数字序列进行Haar小波变换？该变换的频域特点是什么？

小波变换属于时间频率变换的一种形式。通过小波变换能够非常方便地同时描述信号的时间特性和频率特性。

第一级系数由原始数据计算得到；后一级系数继承前一级d系数，由前级c系数计算新的系数；每个c系数都是由两个输入相加得出；每个d系数都是由两个输入相减得出。

小波变换后的数字序列可以采用不同级别系数表达： 原始信号 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 第一级 c10 c11 c12 c13 d10 d11 d12 d13 第二级 c20 c21 d20 d21 d10 d11 d12 d13 第三级 c30 d30 d20 d21 d10 d11 d12 d13 每一级变换都保持数据量不变。Haar小波变换的运算特点：

运算结构非常简单，只涉及实数的加减运算，对于N点数据变换，得出全部c系数和d系数也只需要N数量级的实数加法，效率很高。每一级小波系数都可以完整表达信号，在应用中可以根据需要，控制运算的级别，使系统得到简化。

Haar小波变换的频域特点：

cj1,kcj,2kcj,2k1 2点移动平均（低通滤波）

dj1,kcj,2kcj,2k1 2点移动差分（高通滤波）

c系数表达信号的低频分量；d系数表达信号的高频分量。

每一级采用完全相同的滤波系统；每一级滤波对输入信号进行高低频分离；后级系统保留前级的高频分量，对前级的低频分量继续分离，直到低频分量只剩下一个数据为止。Haar小波变换的特点 ：

高频信号的频率分辨率低，时间分辨率高，适应高频信号周期短的特征；低频信号的频率分辨率高，时间分辨率低，适应低频信号周期长的特征；增加分析级别减少意味着增加低频频率分辨率；舍弃低级别系数意味着舍弃高频信息。

10、离散小波变换DWT与临界抽取滤波器组有什么关系？该变换具有什么应用意义？

Haar小波变换的频域形式可以看作是2通道临界抽取滤波器组的一种实现形式： 分析滤波器组为抽取滤波器：

cj1,kcj,2kcj,2k1，ynx2nmhm

m01利用冲激响应系数，可以将变化式表达为：

cj1kcj2k1mh0m，dj1kdj2k1mh1m，h0m11，h1m11；

m0m011对应的多相分量为 ：Ez11 11111，容易看出满足准确重建关系。211类似可以得到重建系统的多相分量：RzDWT应用的意义：

DWT利用变换方式实现2通道信息分离;利用这种系统的组合,可以实现各种形式的多通道信息分离,在时间分辨、频率分辨和数据量规模等方面做出灵活多样的选择，在音频信号、视频信号和互连网图象信号的处理和传输方面可以发挥重要的作用。

第十章

数字图象处理简介

1、数字图象采用什么形式表达？在图象的数字化过程中，采样间距和量化位数分别影响数字图象的哪些指标？

通过对图像亮度的二维等距采样，可以将模拟图像采集成为二维的离散数字信号。每个采样点称为一个像素点。像素点之间的间隔（采样周期）越小，图像分辨率越高。

每个像素的亮度值需要进行量化，以便可以用有限长度的二进制数据串表达，量化后的数值称为灰度值。像素强度可以用单色的灰度值或3原色的灰度值表达。常用的灰度表达量化等级为1位（二值图像）、8位（256级）、16位和24位。

2、对数字图象进行相加、相减、相乘运算分别会产生什么效果？在图象处理中，这些运算主要应用是什么？ 加法运算：

将两幅图像叠加起来；由于灰度值都表现为正值，加法通常会使图像变亮；加法常用于图像合成；在运动图像中采用加法可以起到消除噪声的作用。减法运算：

从一幅图象中减去另一幅图象，通常会使图象变暗；减法主要用于图象对比，运动变化检测； 乘法运算：

对应灰度值相乘；经常采用的有图像自乘运算、乘以常数的运算；乘法运算可以改变图像的对比度。对于未归一的多位灰度值的图象，相乘可能会产生溢出，导致图象饱和（全白）。

考虑到0乘任何数得到0，1乘以任何数则保持不变，经常用只有0和1两种灰度取值的图象作为掩膜，通过与其他图象相持相乘实现局部图象的截取操作； 数字图像的几何运算：

除了算术运算外，以数字形式存放在矩阵中的图像也能够很方便地进行剪切，旋转，缩放等几何操作。

在图像放大过程中，涉及到图像的插值运算，需要根据具体要求选择插值计算方法和抗混叠低通滤波器的具体形式。

3、什么是灰度分布？如何利用改变灰度分布来改善图象对比度？

灰度分布是指不同灰度值的像素在图像中所占比例。通常采用直方图形式表达。灰度分布对于图像的对比度具有重要影响，可以通过调整灰度分布达到改善图像对比度的效果。

通过加宽灰度分布，可以使图像获得更好的对比度，能够更好地突出图像的某些特征，或显示出图像的一些局部细节。灰度调整可以采用线性比例方式进行，也可以采用非线性的方式，对局部区域的灰度分布进行调整。

4、如何通过灰度分布截取实现图象的分离及合成？

在数字图像中，不同的图像对象常常具有与背景不同的灰度分布区域，通过对灰度分布进行分割截取，可以实现图像的区域分离，将不同的对象分别提取出来，各自进行处理。合理利用上述技术可以非常方便地从各种图片资料中选取对象，进行景象合成。

图像分割常用基本方法可分为如下步骤：

(1)分析所关注的图像对象的灰度区域，确定将对象和背景分离的阈值；(2)利用设定的阈值进行灰度调整，形成黑白掩膜，对象区域取1，背景区域取0；(3)将掩膜与原始图像相乘，就可以得到只保留提取对象的图像；、数字图象的频谱如何表达？低频信息和高频信息分别表达图象的什么信息特点？

(1)与一维信号类似，二维的图像信号也能够采用付氏分析方法进行变换和处理。

二维DFT变换的定义为： Xi,kM1N1m0n0xm,nej2kimj2nNMe

通过二维DFT变换，一个二维的图像矩阵变换成为二维的频谱矩阵。该矩阵的元素通常为复数，可以分别通过一个幅频矩阵和一个相频矩阵表现出来。

(2)在数字图像处理中，频率表达了像素灰度沿空间坐标的变化率。低频表达缓慢的像素灰度变化，高频则表达像素灰度的急剧变化。在一幅图像频谱中，低频分量主要由图像中大块的灰度基本一致的区域所贡献，而高频分量则体现了各图形对象边缘提供的信息。

6、典型的空间域低通滤波器具有哪些形式？它们各具有什么特点？

最常用的低通滤波器有平滑滤波器、中值滤波器、自适应滤波器等。

平滑滤波器：将卷积核覆盖区域的所有像素灰度值相加后，求出灰度平均值，作为中心点的像素灰度；实现简单；去噪效果随区域加大而增强；对图像边缘有模糊作用；

中值滤波器：将卷积核覆盖区域的所有像素灰度值按大小排序后，选取中间的一个灰度值作为中心点像素灰度；能够在去噪的同时保护图像边缘；对散粒噪声滤波效果好；

自适应滤波器：也称为维纳（wiener）滤波器，根据卷积核覆盖区域的所有像素灰度值的方差来决定中心点像素灰度；对于高斯噪声具有较好的滤波效果。

7、典型的空间域高通滤波器具有哪些形式？它们各具有什么特点？

最常用的高通滤波器主要有sobel滤波器和laplacian滤波器。

sobel滤波器：分别提取像素点附近像素灰度在水平方向的差分和垂直方向的差分作为该像素点的灰度值；具有单独强化水平边缘或垂直边缘的作用。

laplacian滤波器：提取像素点附近像素灰度的二维二阶差分作为该像素点的灰度值；具有同时强化所有边缘的作用。

8、如何进行数字图象滤波器的频域设计？

将具有线性相位的一维FIR滤波器进行二维处理，即可构成二维的图像滤波器。可以采用成熟的时域窗口法或频域逼近法进行滤波器设计。

9、在JPEG标准中，如何利用DCT进行图象的数据压缩？

DCT在图像压缩标准JPEG中的应用,与DFT相比，DCT的优势在于不涉及复数运算，同时又具有与FFT类似的快速算法，因此能够很快的计算。同时，DCT倾向于将图像信息集中到较低的序号的系数中（低频段），使得图像信息能够被有效地压缩。目前图像压缩领域采用最广泛的标准为JPEG标准。该标准典型的处理方式是将原始图像分为8*8的子块，对这些子块进行DCT处理；由于DCT的重要系数都集中在左上角，通常只保留左上角的有限系数，而将其他系数都当作0处理。

10、如何利用二维DWT进行图象的数据压缩？

小波分析及变换在数字图象处理领域得到了最广泛的应用。数字图象信号通常涉及大规模的数据量。将数字图象数据按重要程度加以区分，进行分层处理，这是提高效率的根本途径。小波技术正是在这一方面显示了独特的优点。

数字图象采用二维数据矩阵表达，图像信息处理需要采用二维DWT进行处理。这种处理方式通过分析在图像的行和列上其灰度级的变化，可以将水平、垂直和对角细节分开。

二维DWT分析步骤如下：

（1）对N*N的图像每一行进行一维DWT分解（低通和高通），得到2个N*（N/2）的图像；（每个子图的列数比分解前减少一半）

（2）对得到的两个N*（N/2）的图像的每一列进行一维DWT分解（低通和高通），由此得到4个（N/2）*（N/2）的图像；（每个子图的行数比分解前减少一半）

通过上述步骤就完成了一级DWT分解，分解后得到4个子图，分别代表了原图像的低通近似、水平高通、垂直高通和对角高通。上述4个图的数据总量与原始图形一致。

类似于一维DWT分析，可以对低通近似图象进一步分解，得出不同级别的图形。分析可以进行到获得的子图象只包含一个像素点为止。