《数字信号处理(第四版)》部分课后习题解答

第一篇：《数字信号处理(第四版)》部分课后习题解答

Chapter 9 9.1 Develop a lowpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 100 Hz, stopband edge frequency at Fs = 600 Hz, passband ripple ap = 1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.9.2 Develop a highpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 600 Hz, stopband edge frequency at Fs = 100 Hz, passband ripple ap =1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.

第二篇：数字信号处理习题解答1

第一章

3.判断下面的序列是否周期的(1).x(n)Acos(3n),A是常数78j(1n)(2).x(n)e85.试判断系统是否为线性时不变的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(n)6.试判断系统是否为因果稳定系统（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)e第二章

1.求下列序列的傅里叶变换（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=x(2n)e-jnn=-令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-，m为偶数x(m)e-jm/2mm=-[x(m)(1)-jm/2m=-x(m)]e-jm/2[x(m)e12[X(ej12m=-j(1)2e)]jmx(m)e-jm/2])X(e14.求出下列序列的z变换及收敛域(1)2-nu(n)X(z)n2znnu(n)zn

n2n11,|(2z)|111(2z)z,|z|121z2-3z-117.已知X(z)=,分别求：-1-22-5z+2z（1）收敛域0.5< | z | < 2对应的原序列x(n)(2)收敛域 | z | > 2对应的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收敛域0.5< | z | < 2时：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收敛域 | z | > 2时：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知线性因果网络用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求网络的系统函数及单位脉冲响应h(n)(2)写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z当n1时，有极点z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=20.9n因为系统是因果系统，所以有h(n)=0,n<0当n=0时，有极点z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1h(n)=20.9nu(n-1)+(n)ej+0.9(2)H(e)=je-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j=h(m)x(n-m)m=00n-m）=h(m)ej（m=0

=h(m)ej0ne-j0mm=0=ej0nH(ej0)=ej0nej0+0.9ej0-0.9

第三章

6.设下列x(n)长度为N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)(n)(2)x(n)(nn0)0n0N

1(3)x(n)an(5)x(6)(4)x(n)ej0nRNn

ncos0nRNn

xnsin0nRNn(7)xnnRNn

100kN1

其他0kN1

其他解：(1)X(k)kn0j2Ne

(2)X(k)0kn0N1j2N1aNe2jk

(3)X(k)n0N1ae00kN1其他2knNj(02k)nN

(4)X(k)x(n)Wn0N1nkNen0N1j0neje

(5)x(n)cos(0n)RN(n)1j0n(eej0n)RN(n)211ej0N1ej0NX(k)j0kk21eWN1ej0WN

kk1ej0N1ej0WN11ej0N1ej0WN j0j0kk21eWN1eWNk1cos0Ncos0N1cos0WNk2k12cos0WNWN

(6)

1x(n)sin(0n)RN(n)(ej0nej0n)RN(n)

211ej0N1ej0NX(k)j0kk2j1eWN1ej0WNjNjkk1ej0N1ej0WN11e01e0WN

 kk2j1ej0WN1ej0WNsin0N1sin0WNksin0Nk2k12cos0WNWN1zN

(7)设x1(n)RN(n)，则X1(z)

1z1d1zN

x(n)nx1(n)，则X(z)z1dz1z 

X(z)zNzN11z1z21zNX(k)X(z)zWkN1zNW1WW1W12kNNkNkNk2NNz1zz1z

1z1WN

N11N12kNNkWN1kNkN

因为WN1，WN10

N1n0X(k)k0n123(N1)N(N1)221.(1)模拟数据以10.24KHz速率取样，若已知1024个取样的离散傅立叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。

(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅立叶反变换，求离散傅立叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？

10240Hz10Hz

10241s97.66s（2）抽样点的间隔

T10.24103整个1024点的时宽

T97.661024ms100ms 解：（1）频率间隔

F第四章

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复数乘法需要50us，每次复数加法需要5us。用它来计算N=512点DFT，问直接计算需要多少时间，用FFT计算需要多少时间？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：

(1)512点直接DFT计算的时间： 复数乘法：N=512x512x50us=13.1072s 复数加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512点直接DFT计算的时间=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT计算的时间：

复数乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=复数加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT计算的时间=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT进行快速卷积对信号处理时间： 假设IFFT也用FFT程序计算，则在实时计算中使用的时间是两次FFT时间（h(n)的FFT计算按照事先计算好存储备用），外加一次512点的复数乘法：

用FFT进行快速卷积对信号处理时间=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 实时处理时，信号采样的最高采样频率：210.302512=1695.36Hz 信号的最高频率=1695.36/2=847.68Hz 7.某运算流图如图所示，问：

（1）图示是按时间还是按频率抽取的FFT？（2）把图示中未完成的系数和线条补充完整。解：

（1）分析图示的流图结构，发现其中基本的蝶形运算单元是先加减后乘系数的，因此是按频率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数HasX(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3s1s3转变为数字传递函数H(z)，采样周期T0.5。

解：Ha(s)3113();ha(s)(ete3t)u(t)2s1s323h(n)T(enTe3nT)u(n),代入T0.523(en2e3n2)u(n)43113(1e32z1)(1e12z1)H(z)()12132141ez4(1e12z1)(1e32z1)1ez3(e12e32)z10.2876z1123212241(ee)zez10.829z10.135z2(2)双线性变换H（z）Ha(s)T1z121z1s3s24s3s41z11z131z121z116()163111z1z3(12z1z2)36z13z21632z116z21616z236z13z23526z13z20.08750.1714z10.0857z210.7429z10.0857z2MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[003];a[143];3(1z1)216(1z1)216(1z1)(1z1)3(1z1)2

[bz1az1]impinvar(b,a,2)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,2)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；结果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脉冲响应不变法及双线性变换法将模拟传递函数Has3转变为数字传递函数H(z)，采样周期2ss1T2。

解：（1）脉冲响应不变法Ha(s)111s2s1(s12)234(s12)2(32)2A1s12j(32)1s12j(32)*s12j(32)A2s12j(32)1j31j3T(12j(32)T1A1j3j3)将T2代入A2A1H(z)1s12j(32)j31e(T(12j(32)Ts12j(32)1ez22e1sin3z10.8386z1121122312ecos3zez10.1181z0..135z其中：sin3sin3180./0.987cos3cos3180./0.1606(2)双线性变换H（z）Ha(s)11z11z1z1s1s2s1s1z11z11z121z1()1111z1z(12z1z2)12z1z21221212zz1z12zz3z20.33330.6667z10.3333z210.3333z2(1z1)2(1z1)2(1z1)(1z1)(1z1)2

MATLAB程序及运算结果如下：%脉冲不变法、双线性变换法；b[001];a[111];[bz1az1]impinvar(b,a,0.5)%脉冲不变法bz1分子系数az1分母系数；[bz2az2]bilinear(b,a,0.5)%s双线性变换法bz2分子系数az2分母系数；

结果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.设有一模拟滤波器Ha(s)

1，采样周期T2，用双线性变换法将其转换为数字系统函数H(z)。

s2s1解

由变化公式

1z1

sc 11z及c2,T2,可得 T1z1

s

1z1所以

H(z)Ha(s)1z11z1

s

=

11z121z1()()1111z1z

(1z1)2

=

3z218.用双线性变换法设计巴特沃兹数字高通滤波器，要求通带边界频率为0.8rad，通带最大衰减为3dB，阻带边界频率为0.5rad，阻带最小衰减为18dB。

解：已知p0.8rad,s0.5rad,p3dB,s18dB

（1）将数字高通滤波器的边界频率转换为相应的模拟高通滤波器Ha(s)的边界频率。（令T=2）

phtanp2tan0.80.50.006981,shtanstan0.004363 222（2）将Ha(s)的指数转换为模拟低通归一化原型滤波器G（p）的指标

p1,p3dB;sphsh1.6,s18dB

设计程序：

% 调用函数buttord,butter,lp2hp和bilinear用双线性变换法设计巴特沃思数字高通滤波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az为所设计巴特沃思数字高通滤波器的阶数和系统函数； 运行结果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.设计巴特沃兹数字带通滤波器，要求通带范围为0.25rad0.45rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为00.15rad和0.55radrad，阻带最小衰减为15dB。解：(1)确定数字带通滤波器性能

，10.25rad，s20.55rad，s10.15rad u0.45rad通带内最大衰减p3dB，阻带内最小衰减s15dB(2)确定模拟滤波器性能。若T＝2s

u2tanutan0.2250.854r1ad/s T2

12tan1tan0.1250.414r2ad/s T2

s22tans2tan0.2751.170r8ad/s T2

s12tans1tan0.0750.2401rad/s T2u10.5948rad/s，通带心频率0带宽Bu10.4399将频率对B归一化，得到相应归一化带通边界频率：

uu1.941，6110.9416，s2s22.6615，BBBs10.5458，0u11.3521 B

s1(3)由归一化带通性能确定相应模拟归一化低通性能

s2202

归一化阻带截频率为s1.9746

s2

归一化通带截频率为p1,p3dB,s18dB(4)设计模拟归一化低通G(p)

s10p1100.31

ksp，1.9746 0.1266sp0.1s1.8p101101

N

取N=3.查表得，G(p)0.1lgksplgsplg0.12663.04

lg1.97461p32p22p1

(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)HasG(p)ps202

sBB3s3s2203222s20sB2s20s2B2s3B332

0.08s55432s60.879s81.448s40.707s60.512s40.110s10.0443(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)H(z)Hass21z1T1z1[0.01811.77641015z10.0543z24.4409z30.0543z42.77561015z50.0181z6][12.272z13.515z23.2685z32.3129z40.9628z50.278z6]1 第七章

7.画出下面系统函数的直接型结构图

2.52z10.6z2

H(z)

10.5z10.6z20.5z3解：

8.用级联方式画出下面系统的结构图

2(z1)(z21.414z1)

H(z)

(z0.3)(z20.9z0.81)21z111.414z1z2解：Hz

10.3z110.9z10.81z2

6.已知FIR的系统函数为

H(z)1(10.9z12.1z20.3z32.2z40.3z52.1z60.9z7z8)15

画出该系统的直接型结构。解：

9.已知FIR系统的16个频率采样值为：

H(0)12，H(1)3j3，H(2)1j，H(3)H(4)......H(13)0，H(2)1j,H(1)3j3，试画出其频率采样结构图，如果取r=0.95,画出其修正的采用实系数乘法的频率采样结构图。

1zN解：HzNHk,k1k01WNzN1N16

取修正半径r=0.95，将上式中互为复共轭得并联支路合并，得

1r16z16Hz16Hk11610.4401zk116k01rW16z15H010.95z1H110.95W1z116

H15H2H14 1512114110.95W16z10.95W16z10.95W16z110.4401z16

161266.5254z122.6870z1其结构图如1121211.3435z0.9025z11.7554z0.9025z10.95z下图：

第三篇：数字信号处理习题解答

数字信号处理习题解答

第1-2章：

1.判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由（1）f1(t)= sin2t + cos3t

（2）f2(t)= cos2t + sinπt

2、判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。若不是，说明理由

（1）f1(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 则周期是N=

3、判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期;若不是，说明理由

（1）f(k)= sin(πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)解

1、解 β1 = π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8，N2 = 4，故f(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

（2）β1 = 3π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8，N2 = 4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。

4、画出下列函数的波形(1).(2).解 f1(t)tu(t1)

f2(t)u(t)2u(t1)u(t2)

5、画出下列函数的波形

x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)

6.离散线性时不变系统单位阶跃响应g(n)8

nu(n)，则单位响应h(n)=?

h(n)g(n)g(n1)8nu(n)8n1u(n1)

7、已知信号为fs（200)Hz。

f(t)5cos(200t)，则奈奎斯特取样频率

38、在已知信号的最高频率为100Hz(即谱分析范围)时，为了避免频率混叠现象，采样频率 最少要200 Hz：

9.若信号f(t)的最高频率为20KHz，则对该信号取样，为使频谱不混叠，最低取样频率是40KHz

10、连续信号：xa(t)5sin(2*20*t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期

解：T10.01，x(n)xa(nT)5sin(0.4n)

3fs2 N025 0.4

11、连续信号：xa(t)Acos(80t3)用采样频率fs100Hz 采样，写出所得到的信号序列x(n)表达式，求出该序列x(n)的最小周期长度。解：T10.01，x(n)xa(nT)Acos(0.8n)

3fs25;N5 0.82 2012、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n1)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n1)u(n1)

n解：

13、设系统的单位取样响应h(n)au(n),0a1，输入序列为 x(n)(n)2(n2)

完成下列各题：

y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的Z变换。

(1)求出系统输出序列

解：y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]=anu(n)+2an2u(n2)X(z)n[(n)2(n2)]zn12z H(z)2nau(n)znnanznn01 11az12zY(z)H(z)X(z)1az1

14、设系统的单位取样响应

h(n)u(n)，输入序列为

x(n)(n2)，求系统输出序列y(n)

y(n)x(n)*h(n)u(n)*(n2)u(n2)

解：

15、离散时间单位延迟器的单位响应为(k1)

16、线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）； 则输入为9x（n-23）时，输出是9y（n-23）

17、求x(n)cn的z变换（1nnc

1)解 X(z)nx(n)znnnnczcz

n0 X1(z)cnznn011cz1cz1czzc

z1

c X2(z)nc1nznc1，sk|h(k)||a|k0k则存在公共的收敛区域X(z)1cz1

,cz11cz1czc的线性时不变系统 18、分析单位脉冲响应为h(k)aku(k),的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的

2）如果 |a|<1, 则 s1 故系统是稳定的1|a|

如果 |a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。故系统仅在|a|<1时才是稳定的

19、分析单位脉冲响应为h(k)0.5ku(k),的线性时不变系统 的因果性和稳定性。

解：1）因为 k0时，h（k）=0，因此系统是因果的 2）skh(k)0.5k0k12,10.故系统是稳定的nx(n)au(n),0a1 的DTFT求序列解

X(e)aejn0njn(aen0jn1)1aej)=|H(e)|e

jω

jθ(ω)

21、如果信号的自变量和函数值都取 __ ____值，则称为数字信号。离散 22.数字滤波器的频率响应函数可表示为H(e

jω

。式中，|H(ejω)|称为 函数，θ(ω)称为 函数。幅频特性，相频特性

23、因果稳定（可实现）系统的系统函数H(z)收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆()，收敛域在某个圆()。

24、已知线性因果网络用下面差分方程描述：

y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

(1)求系统函数H(z)；(2)写出H(ej)

解：（1）y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)

对方程两边进行z变换，得Y(z)0.9Y(z)z1X(z)0.9X(z)z1

H(z)

第3--5章： Y(z)10.9z（2）X(z)10.9z1110.9ejH(e)H(z)|zej

10.9ejj1.求序列 x(n)(n),0nN1的DFT

nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WNN1n0解

nk(n)WN1,1kN1n0N1

2.求序列x(n)an(0nN1)的DFT

N1n0nkX(k)DFT[x(n)]x(n)WN解nkanWNn0N1kN1(aWN)1aN1,1kN1kk1aWN1aWN

3.求有限长序列x(n)=cos(nπ解：由DFT的定义

/6)(0n11)的N点DFT

nkj2e12nnjnnk111j6X(k)cosW12ee66n0n02111e2n0112jn(k1)12en0112jn(k1)12

利用复正弦序列的正交特性, 再考虑到k的取值区间，6k1,11可得X(k)

0 elsek,k[0,11].按基-2 FFT算法 , N=16的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（4）级蝶形运算过程。5.按基-2 FFT算法 , N=64的时间抽取法的 FFT运算 流图中，从x(n)到X(k)需（6）级蝶形运算过程。

6.序列x1（n）的长度为8，序列x2（n）的长度为16，则它们线性卷积的长度是（23），要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为圆周卷积的长度（≥ 23）7.设有限长(N=4)序列为:x(n)=2δ(n)-δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3)，X(k)=DFT[x(n)]N, 试计算(1)X(k)k-0(2)X（N22)(3)X(k)(4)|X(k)|。

k0N1N1k0解：(1)X(0)x(n)WN0x(n)5

n0n0N1N1N1N1NnN/2(2)X()x(n)WNx(n)(1)n5

2n0n0

N11N11N10(3)x(0)X(k)WNX(k)，故X(k)Nx(0)8

Nk0Nk0k0

(4)由离散帕塞瓦尔定理，得 X(k)2Nx(n)260

k0n0N1N

18、数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成(无限长单位脉冲响应(IIR))滤波器和(有限长单位脉冲响应(FIR))滤波器。

9.无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的两种常用设计方法是冲激响应不变法和双线性 变换法.冲激响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即ω=ΩT;冲激响应不变法的最大缺点会产生不同程度的 频率混叠失真。

10.采用按时间抽取的基-2 FFT算法计算N=1024点DFT，需要计算()次复数加法，需要()次复数乘法。1024*10，512*10 11.设模拟滤波器的系统函数为

H(s)211s26s8s2sT=2s

试利用双线性变换法，设计IIR数字滤波器H(z)。

解：利用双线性变换法

C=2/T=1

1z1H(z)H(c)11z111z11z1 2411z1z11z11z113z53z112、有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力≤10Hz（2）信号的最高频率≤4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。

解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。

（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T.fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小记录点数N，它应满足N≥2fh /F=800

13、对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F ≤10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定:

(1)最小记录时间Tpmin;(2)最大的采样间隔Tmax;(3)最少的采样点数Nmin。

14、频率分辨率与信号实际长度成 比，信号越长，其分辨率越。反，高。

15.由RC组成的模拟滤波器系统函数为Ha(s)1 s1(1)采样间隔T=2s，试用双线性不变法将该模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z);

(2)求出H(z)对应的序列h(n);

(3)判断系统H(z)的稳定性与类型（IIR、FIR）

解：（1）H(z)Ha(s)sc1z11z1110.50.5z

1s1sc1z11z（2）h(0)=0.5, h(1)=0.5

（3）FIR，稳定

16、如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭_____对称___分量和共轭____反对称____分量。

第四篇：数字信号处理课后习题Matlab作业

数字信号处理MATLAB

第1页

习题数字信号处理MATLAB习题

M1-1 已知g1(t)cos(6t)，g2(t)cos(14t)，g3(t)cos(26t)，以抽样频率fsam10Hz对上述三个信号进行抽样。在同一张图上画出g1(t)，g2(t)和g3(t)及抽样点，对所得结果进行讨论。

解：

第2页

从以上两幅图中均可看出，三个余弦函数的周期虽然不同，但它们抽样后相应抽样点所对应的值都相同。那么这样还原回原先的函数就变成相同的，实际上是不一样的。这是抽样频率太小的原因，我们应该增大抽样频率才能真实还原。如下图：f=50Hz

第3页

程序代码

f=10;

t=-0.2:0.001:0.2;g1=cos(6.*pi.*t);g2=cos(14.*pi.*t);g3=cos(26.*pi.*t);k=-0.2:1/f:0.2;h1=cos(6.*pi.*k);h2=cos(14.*pi.*k);h3=cos(26.*pi.*k);% subplot(3,1,1);

% plot(k,h1,'r.',t,g1,'r');% xlabel('t');% ylabel('g1(t)');% subplot(3,1,2);

% plot(k,h2,'g.',t,g2,'g');% xlabel('t');% ylabel('g2(t)');% subplot(3,1,3);

% plot(k,h3,'b.',t,g3,'b');% xlabel('t');% ylabel('g3(t)');

plot(t,g1,'r',t,g2,'g',t,g3,'b',k,h1,'r.',k,h2,'g.',k,h3,'b.')

第4页

xlabel('t');ylabel('g(t)');

legend('g1(t)','g2(t)','g3(t)');

M2-1 利用DFT的性质，编写一MATLAB程序，计算下列序列的循环卷积。

(1)g[k]={1,-3,4,2,0,-2,},h[k]={3,0,1,-1,2,1}；(2)x[k]=cos(k/2),y[k]=3k,k=0,1,2,3,4,5。解：(1)循环卷积结果

6.0000-3.0000 17.0000-2.0000 7.0000-13.0000

程序代码

第5页

g=[1-3 4 2 0-2];h=[3 0 1-1 2 1];l=length(g);L=2*l-1;GE=fft(g,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y(k)')title('循环卷积')

(2)循环卷积结果

-71.0000-213.0000 89.0000 267.0000 73.0000 219.0000

第6页

程序代码

k=0:5;

x=cos(pi.*k./2);y=3.^k;l=length(x);L=2*l-1;GE=fft(x,L);HE=fft(y,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);

else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y’(k)')title('循环卷积')

第7页

M2-2 已知序列x[k]cos(k/2N),|k|N

0,其他(1)计算序列DTFT的表达式X(ej),并画出N=10时，X(ej)的曲线。

(2)编写一MATLAB程序，利用fft函数，计算N=10时，序列x[k]的DTFT在m2m/N的抽样值。利用hold函数，将抽样点画在X(ej)的曲线上。

解：

(1)X(e)DTFT{x[k]}jkx[k]ejkkNcos(k/2N)eNjk

程序代码

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));W=linspace(-pi,pi,512);

第8页

X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

plot(W,abs(X))xlabel('W');ylabel('abs(X)');

(2)

程序代码

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));X_21=fft(x,21);L=-10:10;

W=linspace(-pi,pi,1024);X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

第9页

plot(W,abs(X));hold on;

plot(2*pi*L/21,fftshift(abs(X_21)),'o');xlabel('W');ylabel('abs(X)');

M2-3 已知一离散序列为x[k]Acos0kBcos[(0)k]。用长度N=64的Hamming窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的取值，确定用Hamming窗能分辨的最小的谱峰间隔wc的值。

解：f1=100Hz f2=120Hz时

2中cN

f2=140Hz时

第10页

f2=160Hz时

第11页

由以上三幅图可见

f2=140Hz时，各谱峰可分辨。则f又

wc2N

40Hz

且

wT2fT2401 800所以c=3.2（近似值）

程序代码

N=64;L=1024;

f1=100;f2=160;;fs=800;

A=1;B1=1;B2=0.5;B3=0.25;B4=0.05;T=1/fs;ws=2*pi*fs;k=0:N-1;

x1=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B1*cos(2*pi*f2*T*k);x2=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B2*cos(2*pi*f2*T*k);x3=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B3*cos(2*pi*f2*T*k);x4=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B4*cos(2*pi*f2*T*k);hf=(hamming(N))';x1=x1.*hf;x2=x2.*hf;x3=x3.*hf;x4=x4.*hf;

X1=fftshift(fft(x1,L));X2=fftshift(fft(x2,L));X3=fftshift(fft(x3,L));X4=fftshift(fft(x4,L));

W=T*(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1);plot(W,abs(X1));title('A=1,B=1');xlabel('W');ylabel('X1');subplot(2,2,2);

第12页

plot(W,abs(X2));title('A=1,B=0.5');xlabel('W');ylabel('X2');subplot(2,2,3);plot(W,abs(X3));title('A=1,B=0.25');xlabel('W');ylabel('X3');subplot(2,2,4);plot(W,abs(X4));title('A=1,B=0.05');xlabel('W');ylabel('X4');

M2-4 已知一离散序列为x[k]cos0k0.75cos1k,0k63。其中, 02/15，12.3/15。

(1)对x[k]做64点FFT, 画出此时信号的谱。

(2)如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64点信号补0而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因。

解：(1)

第13页

程序代码

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x);

plot(k/N,abs(X));grid on;

title('64点FFT');

(2)

第14页

第15页

由以上三幅图看出：不能对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰，这样的方法只能改变屏幕分辨率，但可以通过加hamming窗来实现对谱峰的分辨。程序代码

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;L=1024;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x,L);

plot((0:L-1)/N,abs(X));grid on;

title('1024点FFT');

M2-5 已知一连续信号为x(t)=exp(-3t)u(t)，试利用DFT近似分析

第16页

其频谱。若要求频率分辨率为1Hz，试确定抽样频率fsam、抽样点数N以及持续时间Tp。

解：

本题使用矩形窗，则Nfsamfsam1fsam，Tp1 f1f

第17页

由以上三幅图可以看出当fsam越来越大时，近似值越来越接近

第18页

于实际值。即fsam越大拟合效果越好，造成的混叠也是在可以允许的范围内。程序代码

fs=100;ws=2*pi*fs;Ts=1/fs;N=fs;

x=exp(-3*Ts*(0:N-1));y=fft(x,N);l=length(y);

k=linspace(-ws/2,ws/2,l);

plot(k,Ts*fftshift(abs(y)),'b:');hold on;

w=linspace(-ws/2,ws/2,1024);y1=sqrt(1./(9+w.^2));plot(w,y1,'r')

title('fs=100Hz时的频谱')legend('近似值','实际值);

M2-6 试用DFT近似计算高斯信号g(t)exp(dt2)的频谱抽样值。

π2通过和频谱的理论值G(j)exp()比较，讨论如何根据时域的信

d4d号来恰当地选取截短长度和抽样频率使计算误差能满足精度要求。

解：

第19页

第20页

由以上三幅图可以看出：

当时域截取长度相同时，抽样间隔越小时误差越小，当抽样间隔一定时，时域截取长度越长，误差越小。当取抽样间隔为1S，时域截取长度为2S时，误差较大，绝对误差在0.5左右；当抽样间隔为0,5S，时域截取长度为2S时，误差比间隔为1S时小，绝对误差不大于0.2；当抽样间隔为0.5S时域截取长度为4S时，误差更小，绝对误差不大于0.04。因为时域截取长度越长，保留下来的原信号中的信息越多，抽样间隔越小，频谱越不容易发生混叠，所以所得频谱与理论值相比，误差更小。

程序代码

Ts=0.5;N=4;N0=64;

k=(-N/2:(N/2))*Ts;

第21页

x=exp(-pi*(k).^2);X=Ts*fftshift(fft(x,N0));

w=-pi/Ts:2*pi/N0/Ts:(pi-2*pi/N0)/Ts;XT=(pi/pi)^0.5*exp(-w.^2/4/pi);subplot(2,1,1)

plot(w/pi,abs(X),'-o',w/pi,XT);xlabel('omega/pi');ylabel('X(jomega)');

legend('试验值','理论值');

title(['Ts=',num2str(Ts)subplot(2,1,2)plot(w/pi,abs(X)-XT)ylabel('实验误差')

xlabel('omega/pi');

'N=',num2str(N)]);第22页

' '

第五篇：数字信号处理习题与答案

3.已知

单位抽样响应为

，通过直接计算卷积和的办法，试确定的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件

求输入为

时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

6.有一信号,它与另两个信号

和的

关系是:

其中

，已知，解：根据题目所给条件可得：

而

所以

8.若是因果稳定序列，求证：

证明:

∴

9．求的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

13.研究一个输入为

和输出为的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16.下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统;所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z变换为

求它们的z变换：，对下列信

号利用(a)

，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b)(c)解：(a){

(b)，(c)

由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

~解: X(k)n05~x(n)W6nkn05j2nk~x(n)e6 j2k1412e6j22k10e6j23k8e6j24k6e6j25k10e6

计算求得:

~2.设x(n)R4(n),x(n)x((n))6.~~ 试求X(k)并作图表示~x(n),X(k)。~~~X(0)60;X(1)9j33;X(2)3j3;~~~X(3)0;X(4)3j3;X(5)9j33。

~解: X(k)n0x(n)W6nk~5n0j~x(n)e52nk6

~~~计算求得：X(0)4;X(1)j3;X(2)1;~~~ X(3)0;X(4)1;X(5)j3。jk1e3j2ke3ejk

n1,0n43.设x(n),h(n)R4(n2),0，其它n~令~x(n)x((n))6,h(n)h((n))4,~试求~x(n)与h(n)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算

~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)~~~y(n)~x(n)*h(n)h(nm)7x(n), 0n5设有两序列 x(n)0, 其他ny(n), 0n14 y(n)0, 其他n各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n)y(n)应该得到的点。

解：序列x(n)的点数为N16,y(n)的点数为N215故又x(n)*y(n)的点数应为：NN1N2120f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L15所以，混叠点数为NL20155。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n)时，一个周期 内在n0到n4(NL1)这5点处发生混叠，即f(n)中只有n5到n14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

8.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)x(n), 0nN-1y(n)0, NnrN-1试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

x(n)n0rN1N1j2nkeNN1n00kN1n0nky(n)WrNx(n)WnkrNn0N1j2πnkx(n)eNrkX()rklr(l0,1,N1)在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r1)个其他的数值k(不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X()相等。r 9已知x(n)是长为N点的有限长序列,X(k)DFT[x(n)]现将x(n)的每两点之间补进r1个零值点,得到一个长为rN点的有限长度x(n/r), nir, 0iN序列y(n), y(n)0, 其他n试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。解: X(k)DFTxn Y(k)DFTy(n) 

N1n0n0nkx(n)WN,0kN1rN1nky(n)WrNN1i0x(ir/i0N1irkr)WrNx(i)WikN,0krN1Y(k)X((k))NRrN(k)Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

证明 : s2fssF00fsF002其中s是以角频率为变量 的 频谱的周期,0是频谱抽样之间的频谱间隔。fssNF00F0对于本题:fsNfs8KHzN512 8000F015.625Hz51211.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何殊数据处理措施,要求频率分辨力10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定(1)最小记录长度;(2)所允许处理的信号的最高频率;(3)在一个记录中的最少点数。11解:(1)TP而F10Hz TPsF10 最小纪录长度为 0.1s 1110310KHzT0.11 fs2fh fhfs5KHz2 允许处理的信号的最高频率为5KHz(2)fs TP0.11031000,又因N必须为2的整数幂T0.1 一个纪录中的最少点数为:N2101024(3)N

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

34.2z10.8z2H(z)20.6z10.4z2

121.52.1z10.4z21.52.1z0.4zH(z)12121(0.3z0.2z)10.3z0.2z解：H(z)

∵1anznn1m0NbznMmY(z)X(z)

∴a10.3，a20.24(z1)(z21.4z1)H(z)(z0.5)(z20.9z0.8)

2.用级联型结构实现以下系统函数b01.5，b12.1，b20.4

试问一共能构成几种级联型网络。11kz12kz2H(z)A121zzk1k2k解：

4(1z1)(11.4z1z2)112(10.5z)(10.9z0.8z)

∴ A4

111, 110.5 , 210 , 121.4 ,210 , 120.9 ,221 220.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3.给出以下系统函数的并联型实现。

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.21.58z11.41z21.6z3H(z)112(10.5z)(10.9z0.8z)

0.210.3z14110.5z10.9z10.8z2 G0 110.5 , 210，120.9 ,220.8

010.2 , 110

，021 , 120.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

11H(z)1z116z112z11z11z126

解：

11H(z)(1z1)(16z1)(12z1)(1z1)(1z1)26

111122(1z12z1z)(1z6zz)(1z)26

1537(1z1z2)(1z1z26

2)(z11)8205220581z1zz3z4z531212 5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

0.3n（h(n)(n)N1n01)0.n72(2)n0.11(3n)0

试画出其级联型结构实现。

H(z)根据h(n)zn得：

220.z70.z3114

1H(z)10.z3z0.12)1z23

(10.z20.)(1z10.1z2 0.4而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z)(0k1kz12kz2)k1N2

对照上式可得此题的参数为：

011 , 021, 110.2 , 120.1210.3 , 220.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

52z33z6H(z)1z1

抽样点数N = 6，修正半径r0.9。解；

因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)2166(1rz)H0(z)H3(z)Hk(z)6k1(53z3)(1z3)H(z)1z1 (53z3)(1z1z2)故 H(k)H(Z)Z2k/N (53ejk)(1e因而 H(0)24,H(1)223j,H(2)0 H(3)2,H(4)0,H(5)223j

j3kej2k3)则 H0(z)H(0)241rz110.9z1H(3)2 H3(z)1rz110.9z1

0111z121求 ： Hk(z)k1 时 ：H1(z)2212zrcosrzN

012ReH(1)2Re[223j]411(2)(0.9)ReH(1)W613.643.6z1H1(z)10.9z10.81z2k2 时 ：02120，H2(z)0 7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1H(z)(13z15z23z3z4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件可知：

1331h(n)(n)(n1)(n2)(n3)(n4)5555

则 h(0)h(4)10.253 h(1)h(3)0.65 h(2)1N12 2即h(n)偶对称，对称中心在 n处，N 为奇数(N5)。8．设滤波器差分方程为：

y(n)x(n)x(n1)11y(n1)y(n2)34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)ak1Nky(nk)bx(nk)可得：kk0M

11a1 , a234；

b01 , b11

一阶节级联型：

1z1H(z)111z1z2341z1 11011101(1z)(1z)66

1z111

(10.7z)(10.36z)

一阶节并联型：

H(z)1z1(111011101z)(1z)66

17171010220220110111011z1z66

1.60.610.7z110.36z1

1z1（2）由题意可知 H(z)111z1z234 1ejH(e)1j12j1ee34 j(1cos)jsin11111cosco2sjsinsin23443

幅度为：

H(ej)

(1cos)2sin21111(1coscos2)2(sinsin2)23434

相位为：

sinargH(ej)arg)tg(1cos

11sinsin24tg(3arg)111cosco2s34

（3）输入正弦波为 ： x(t)5sin(2t103)

3由 T210T12 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

13T0.1100.1ms31010

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2)间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为 周期为：T11103s1ms1000

 5sin10x(n)5sin2103nT32104n1 5sinn(n0 ,1 ,5

由此看出,9)

00.2

根据公式可得此稳态输出为：

y(n)5H(ej0)cos0nargH(ej0)12.13cos0.2n51.6

4.试用N为组合数时的FFT算法求N12的结果(采并画出流图。1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50 s 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

每次复加5 s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉对于0nN,有解：依题意：N34r1r2，解: ⑴ 直接计算:

复乘所需时间: T61510N2 51065122 1.31072s

复加所需时间: T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s TT1T21.441536s⑵用FFT计算:

复乘所需时间: T61510N2log2N 51065122log2512 0.01152s

复加所需时间: T20.5106Nlog2N 0.5106512log2512 0.002304s TT1T20.013824s

nn1r2n0,n10,1,2n00,1,2,3 同样： 令Nr2r1 对于频率变量k(0kN)有kkk10,1,2,31r1k0,k00,1,2x(n)x(n1r2n0)x(4n1n0)x(n1,n0)X(k)X(k1r1k0)X(3k1k0)X(k1,k0)11X(k)x(n)Wnk12n032 x(n(4n1n0)(3k1k01,n)0)W12n00n10

