非线性动力学数据分析

第一篇：非线性动力学数据分析

时间序列分析读书报告与数据分析

刘愉

200921210001

时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。

一、时间序列分析涉及的基本概念

对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方

1、测量

程等。如果用Xt或X(t)表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成

Xt1f(Xt)或

dXdtF(X)

其中X可以是单变量，也可以是向量，F是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。

在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用Xt或X(t)表示）的若干观测值（用Dt或D(t)表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。

2、噪声

测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画：

p(x)dx1222exp(xM)22dx

（1）

其中M和均为常数，分别代表均值和标准差。

3、均值和标准差

最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。（1）均值

如果M是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M的真实水平方法是：认为N个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的Mest即可作为M的估计。于是定义Dt与Mest的偏离为(DtMest),所以，使下面E最小的M的估计值即为所求：

N22E(Dtt1Mest)

（2）

1/11 经过求道计算，得到

M1NNestDtt

1（3）

即样本的均值即为系统真是均值的估计值。

（2）标准差

标准差代表了系统在均值两侧的波动情况。对时间样本有：

VtDtMest

（4）

为了分析所有时间上平均的波动情况，我们也可以尝试对波动取平均，即：

1NNt1(DtMest1)NNt1DtMest0

（5）我们发现，这样平均的结果是正负波动抵消了，波动的平均恒为零，为了避免这种情况，改用波动的平方的平均水平代替，即

21NNVtt121NN(Mestt1Dt)

（6）

2即为标准差。（3）均值的标准误差

我们用Mest估计M，存在一定偏差或不确定性，即：

MestMuncertainty

（7）

实际上，这种不确定性来自每次测量偏差的平均，通常每次测量偏差是服从高斯分布的，所以平均的不确定性计算得：

N

（8）

我们称之为均值的标准误差。

二、线性时间序列分析方法及模型举例

对于线性时间序列，主要的分析方法有：均值和标准差、线性相关分析和功率谱分析。

1、均值和标准差分析前面已经讲过；

例：模型一（模型本身是确定的（无外界干扰等随机波动），观测序列是真实值加上高斯白噪声；）

有限差分方程系统：xt1Axt，其平稳状态为xtA/(1)M；观测时间序列DtxtWt，其中，Wt 独立的服从均值为0，标准差为的高斯分布。从系统的差分方程我们可以看到，系统本身不受外界干扰，是确定性模型。所以观测得到时间序列的波动完全来自于测量过程。

对于上述模型，可以通过均值、方差的估计即可估计模型、作出预测。

2、线性相关分析

2/11 这种分析方法用于研究时间上相关的序列，即后一时刻的值完全或部分由前一时刻的或前几个时刻的值决定。在模型一中，我们假设Wt之间是独立的；当这种假设不成立时，取另一种极端，即后一时刻完全取决于前一时刻的值：

Vt1f(Vt)

（9）

我们以简单的线性函数为例：

Vt1Vt

（10）

如果结合完全独立的情形与式（10），则有以下情况：

Vt1VtW

（11）

ρ在-1到1之间取值，ρ越接近0，数据间越不相关；ρ接近1，表示线性正相关；ρ接近-1，表示线性负相关

通过时间序列的一系列观测值Dt减去均值得到Vt，我们可以通过以下公式计算相关系数，estt1N1Vt1VtVtVtt1N

1（12）

例：模型二（模型本身有不确定因素（外界干扰），观测序列是真实值加上高斯白噪声）

受外界因素影响的有限差分方程：xt1Axtvt，引入的vt是外界干扰造成的系统本身的波动，测量过程仍然像Model One一样，DtxtWt，这是如果做Vt1对Vt的变化图（见课本figure 6.7），发现二者之间有强烈的线性关系。对于这类模型，我们即可用线性相关分析来建模、预测。

如果将线性相关加以推广，可以得到自相关函数，它反映的是Vt与Vtk之间的关系：

R(k)t1NkVtkVtVtVtt1Nk

（13）

3、功率谱分析（1）傅里叶变换

对线性系统，一个信号可以分解成为不同频率的正弦波。

（a）频率为ω的正弦输入，它的输出也是同频率的正弦信号，但是幅度和相位可能发生改变。输出正弦波的振幅与输入正弦波的振幅满足：

Aoutput()G()Ainput()

（14）

输出相位相对输入相位在每个频率上有固定的偏移，即：

()output()input()3/11

（15）G()称为系统的增益，它在不同频率上通常不一样。()称为相移，在不同的频率成分通常相移也不同。

（b）线性叠加的输入的输出结果等于各个输入分别输入时的输出的叠加。把一个信号分解成不同频率正弦信号的方法即傅里叶变换。

特殊的，输入为白噪声时，Ainput()是一个与噪声标准差成正比的常数，与频率无关，即白噪声可以认为是所有不同频率成分信号之和，所以称之为“白”。（c）传输函数

如果已知输入和输出，可以得到：

G()Aoutput()Ainput()

()outp()inpu()utt

（16）

（16）中两个函数成为出传输函数，可以用于描述系统特性。

（d）功率谱

如果我们不能准确得到输入信号，但是我们知道或假设它是白噪声。则Ainput()就是常数，进而有：

G()constAoutput()

（17）

G()的平方称为功率谱。功率谱包含了与自相关函数完全一样的信息。事实上，功率谱就是自相关函数的傅里叶变换。尽管它们蕴含的信息是一样的，但不同形式使它们在分析数据时又具有各自的优势。所以有时使用功率谱来分析数据比用自相关函数更有优势。

三、非线性时间序列分析方法及模型

前面列举了一系列线性时间序列的分析方法，但是对于非线性系统，存在一种特殊的状态，即混沌状态，对于混沌状态的时间序列，我们无法用线性的分析方法区分。

例：第一章的有限差分方程：

xt1xt(1xt)

（18）

Dtxt

（19）

观测值即使不引入噪声，其时间序列也在不断波动，当=4时，系统进入混沌状态，用线性自相关函数分析，如图6.14，发现我们无法区分这个非线性模型与模型一。

我们需要探索一些分析非线性时间序列的方法。对于非线性时间序列分析，主要包括两部：重构系统动态模型和系统特征的刻画。

1、系统动态模型的重构：

（1）对于有限差分方程——构建return map

Return map 是观测值Dt1关于Dt的图像（回归曲线），反映的是xt1与xt的关系。（2）对于微分方程——重构相平面

一维高阶微分方程可以转化为多维一阶微分方程组，以二阶微分方程为例，4/11

dxdt22bx

（20）

转化为两个一阶微分方程组：

dxydtdybxdt

（21）

要做变量x与y的相平面，首先要做如下离散化和近似： 观测值D0,D1,，将x关于t的导数近似为：

dx(t)dtx(th)x(t)hdDtdtDthDthlimh0

（22）

其中h只能取整数，最小取1，事实上，h去较大值也可以得到合适得结果。重建相平面实际是做DthDthdxdt关于Dt的图，有时候，只可以只做Dth关于Dt的图。

dydt对于更一般的微分方程：

f(x,y),g(x,y)

（23）

虽然情况更复杂，但也可以通过这种方法重建相平面，图6.17-6.19可以说明这一过程的合理性。

（3）嵌入时间序列

对于更高维的时间序列（p维），需要用嵌入时间序列的方法构建相平面（相空间），p维的的嵌入时间序列构成如下：

Dt(Dt,Dth,Dt2h,,Dt(p1)h)

（24）

其中p是嵌入维数，h是嵌入延迟。

经过上述三种方法，可以基本得到模型的基本特征。

2、系统特征的描述：

在模型重构后，可以通过拟合等方式对系统特征做进一步刻画。

四、混沌时间序列的刻画

混沌定义：bounded, deterministic dynamics that are aperiodic and display sensitive dependence on initial conditions.根据定义中体现的混沌系统的特征，用时间序列分析的方法研究。

1、有界

有界的定义是当时间趋于无穷时，系统永远保持在有限空间内运动。这个定义直接用于时间序列分析并不是很有效，因为测量的时间序列是时间上是有限的，变化范围也是一定的。

在时间序列分析中可以用另一种方法研究系统是否有界——稳态，即时间序列在演化过程中是否体现了相同的行为特性。相似的行为可以用均值和方差衡量。一种常用的衡量方法是将时间序列等分（三分、四分或十分等等），计算每段的均值和方差是否相近或统

5/11 计意义上可以认为相同。

如果一个时间序列是分平稳的，我们可以通过对时间序列做一些变换使之平稳，如一阶差分或后一时刻与前一时刻相除等。

2、非周期

混沌的系统是非周期的，由于噪声因素，即使周期的序列也可能出现非周期，那么如何判定时间序列是否存在周期呢？对于一维时间序列或p维的嵌入时间序列 Dt，我们定义时间i和j的测量值之间的距离定义为：

i,j|DiDj|

（25）

严格的周期T定义是当|ij|nT,n0,1,2,时，i,j0，对于有噪声的时间序列，我们定义一个距离r，当i,jr时，我们就在坐标(i, j)处打点，我们将这样做出的图成为recurrence plots，它可以看出重建的轨线如何重复自身的演化。（图6.26和图6.27是r取不同值时的图，都可以看出系统的周期，图6.28和6.29是混沌的情形）。对于混沌的时间序列，图的形状可能和r的选取有关，于是定义出这样一个correlation integral：

C(r)numberoftimes|DiDj|rN(N1)

（26）

这是一个对于混沌系统很重要的指标，它的重要意义不在于某个r处C(r)的取值，而在于C(r)如何随r变化。

（1）对周期序列，r微小的变化不会引起C(r)明显的变化；

（2）对混沌序列，r微小的变化会使C(r)明显增大，即打点明显增多；（3）对于白噪声，r微小变化时C(r)增大更快。

事实上，C(r)与分形维数密切相关，取一点做参考点，随着r增加，距离参考点r范围内的点与rv成正比，其中v是系统，所以有：

C(r)Arv

（27）

A是比例常数，两边取log得到：

logC(r)vlogrlogA

（28）

所以，只要对log C(r)与log r拟合，即可推算出维数。用相关维数可以分析混沌时间序列的吸引子，当嵌入时间维数p≥2v+1时，可以重构出系统吸引子，有时候p≥v也足够了。

3、确定性

如果已知t时刻的值，在预测下一时刻值过程中没有随机因素，那么系统就是确定的，如模型一；如果混入了随机因素（外界干扰），则系统是不确定的。但是，在观测时间序列中，噪声是不可避免的，如果预测是完美的，就成系统完全确定，如果预测是好的但不完美，就说系统有一个确定成分。

假设观测数据最后时刻是T，我们可以用一下方法预测T+1时刻的值：（1）产生嵌入时间序列Dt；（2）找到时间T的嵌入点列：

DT(DT,DTh,,DT(p1)h)

6/11 找到其他的嵌入时间序列中与DT最接近的点Da；

（3）基于系统的确定性，Da+1可以看做是由Da预测出来的，所以将Da+1作为是T+1时刻的预测值，记PT+1。

另一种预测方法是用与DT最接近的K个点Dai的下一时刻Dai1的平均值作为T+1时刻的预测值，即：

T11KKDa（29）

ii1既然是预测，一定有预测误差，衡量预测误差，通常是将观测数据分为两半，用前一半数据预测后一半数据，后一半数据测量值与预测值比较，衡量预测误差，即：

1TT(Di1TkPTk)（30）

ε越小，说明预测越好，至于ε小到什么程度算预测足够好，可以与最差的预测（如所有观测值序列的平均值，丧失了所有时间信息，只保留了系统的平均水平）的误差做比较，lazy1TT(DTkk1Plazy)

（31）

当PlazyMest时，lazy其实就是时间序列的方差σ，所以用

22即可衡量预测误差的大小，比值越小越好。

4、对初值的敏感性

混沌系统的另一重要特征就是对初值敏感，衡量系统对初值的敏感性可以用Lyapunov指数，其计算步骤可以如下概括：

（1）在给定初值后，经迭代产生序列x0,x1,,xn1（2）计算每点处的斜率（3）计算李氏指数：

1n1t0dfnxt dx（4）当给定两个初始值x0，y0时，n步迭代后的值xn和yn的差距约为：

n1xnynt0dfdxxt|x0y0|

五、混沌和非线性的检测

混沌是一种复杂的现象，判定一个时间序列是否来自对非线性系统或混沌系统的观测，更严格的方法是假设检验。

1、零假设：数据来自线性系统

7/11 xt1a0xta1xt1a2xt2ap1xt(p1)vt

2、构造检验统计量：在零假设条件下用观测时间序列计算统计量，常用的三种统计量有：非线性系统的预测方差、李氏指数、相关维数等，当然还有一些其他的统计量也可以用来假设检验。

3、假设检验：在零假设下观测时间序列得到的检测统计量如果落在拒绝域内，则认为系统为非线性的或混沌的，否则接受原假设，认为是线性系统。

六、实例数据分析

P4.txt、TP8.txt是2个时间序列信号的数据文件，该数据的采样率是500Hz。试实现：

1、在时间轴上显示原始数据波形；

2、求每个信号的功率谱，在频率轴上显示结果，并对结果进行简单地讨论；

3、求每个信号的自相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论；

4、求2个信号的互相关函数，在时间轴显示结果，并对结果进行简单地讨论。分析结果：

1、时间轴上数据波形：

从时间序列上看，两组数据基本维持在一个平衡水平，但是都存在尖峰，从时间序列看不出更丰富的信息，需要用其他方法进一步分析。

2、功率谱：

功率谱的计算有两种方式：

（1）计算时间序列的自相关函数，再对自相关函数做傅里叶变换的幅度谱；（2）时间序列傅里叶变换的幅度谱的平方除以点数N。这里采用的第一种方法，结果如下图：

8/11

从两个时间序列的功率谱看，能量主要集中在了低频部分，高频部分能量分布极少，为了更清晰的看能量在低频的分布，我们截取0-20Hz部分的频率谱，如下图：

从图上可以看出，两个时间序列的低频成分中能量最大的频率大概都在1.7Hz左右，TP8的能量分布更集中，P4还有较多能量分布在0.5Hz左右。

3、自相关函数：

自相关函数反映的是t时刻与前t-k时刻记录值的关系，如果信号本身是周期的，其自相关函数保持与时间序列相同的周期，从下面两个序列的自相关函数图中，数据没有周期现象，而且相关函数随k增大很快降到0.2一下，并在-0.2和0.2之间震荡，TP8震荡的频率更高。

9/11

截取前1000个点，进一步观察：

从上图可以更好的体现出相关系数的变化，而且可以看出两个时间序列变化的一致性，TP8比P4相关程度衰减得更快。为了更好的研究两组数据的相关性，我们下面将做两组数据的相关函数。

4、两组数据的互相关函数：

10/11

截取两侧各500个点观察：

上图反映了两个时间序列数据的相关性，在k=0时，互相关函数最大，所以两个时间序列是同步的。

11/11

第二篇：动力学分析方法

动力学分析方法

结构动力学的研究方法可分为分析方法（结构动力分析）和试验方法（结构动力试验）两大类。[7-10]

分析方法的主要任务是建模（modeling），建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程。在结构动力学中，着重研究力学模型（物理模型）和数学模型。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型（或机理模型）。因为在正问题中，对所研究的结构（系统）有足够的了解，这种系统成为白箱系统。我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件（element），对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程（如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等），再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解（称黑箱系统——black box system）或不完全了解（称灰箱系统——grey box system）的情况，它必须对系统进行动力学实验，利用系统的输入（载荷）和输出（响应——response）数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。

在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达式为：

IP0……………………………………(2)Mu其中M为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的产量；I和P是与位移和速度有关的向量，而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。可以定义：

………………………………………(3)IKuCu如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。

将公式(2)代入(1)中，则有

CuKuP…………………………………(4)Mu上述平衡方程是动力学中最一般的通用表达式，它适合与描述任何力学系统的特征，并且包含了所有可能的非线性影响。求解上述动力问题需要对运动方程在时域内积分，空间有限元的离散化可以把空间和时间上的偏微分基本控制方程组在某一时间上转化为一组耦合的、非线性的、普通微分方程组。

线性动力问题是建立在结构内各点的运动和变形足够小的假设基础之上的，能够满足线性叠加原理，且系统的各阶频率都是常数。因此结构系统的响应可以由每个特征向量的线性叠加而得到，通常所说的模态叠加法由此而来。

在静力分析中，结构响应与施加在结构上的载荷和边界条件有关，使用有限元方法可以求解得到应力、应变和位移在空间上的分布规律；在动力分析中，结构响应不但与载荷和边界条件有关，还和结构的初始状态有关，在时域的任何一点上都可以使用有限元方法求解空间上的应力、应变和位移，然后可以使用一些数值积分技术来求解得到时域中各个点上的响应。

某特定系统动力分析方法的选择在很大程度上依赖于是否需要详细考虑非线性的影响。如果系统是线性的，或者系统能够被合理地线性化，最好选用模态分析的方法，因为程序对线性问题分析的效率较高，而且同时在频域和时域范围内求解将更有利于洞察系统的动力特性。1.1 模态叠加法

对于多自由度系统，如果考虑粘性阻尼，则其受迫振动的微分方程为：

CuKuf(t)…………………………………(5)Mu解此运动方程一般有两类方法，一类是直接积分法，就是按时间历程对上述微分方程直接进行数值积分，即数值解法。另一类解法就是模态（振型）叠加法。

若已解出系统的各阶固有频率1，2，，n和各阶主振型（模态）1，2，，n，并有：

Tia1i，a2i，，ani………………………………(6)因为主振型的正交性，可知主振型是线性无关的，设有常数1，2，，n使

i1nii0……………………………………………(7)上式两端左乘TjM有：

ii1nTjMi0………………………………………(8)注意到主振型关于质量阵的正交性：TjMi0，并代入上式，可推出12n0，这就是证明了1，2，，n线性无关。

于是，由线性代数理论知向量1，2，，n构成了n维空间的一组向量基，因此对于n个自由度系统的任何振动形式（相当于任何一个n维矢量），都可以表示为n个正交的主振型的线性组合，即

uii……………………………………………(9)

i1n写成矩阵的形式为：

u………………………………………………(10)上式就是展开定理。用模态（振型）叠加法求系统响应就是建立在展开定理的基础上。在实际问题的应用中，应注意的是系统自由度太多，而高阶模态对应的影响通常又很小，所以应用时在满足工程精度的前提下，只取低阶模态(N<

根据展开定理，对方程(2)实行坐标变换，再以模态矩阵的转置T乘方程的两边，得：

TCTKTf(t)………………(11)TM若系统为比例阻尼，则可利用正交条件使上述方程变位一系列相互独立的方程组：

CKf………………………………(12)M其中M、C和K都是对角矩阵，它们的对角线元素分别为：

miiTMi

ciiTCi2iiMi

kiiTKii2Mi

i2kimi

i1,2,,n…………………………(13)其广义力为：

fiiTf(t)………………………………………(14)这样方程组(11)可写为： CKf

i1,2,,n

(15)Miiii这是n个相互独立的单自由度系统的运动方程，每一个方程都可以按自由度系统的振动理论去求解。

如果fi为任意激振力，对于零初始条件的系统可以借助于杜哈梅积分公式求出响应，即：

ihi()fi(t)d…………………………………(16)

0t其中hi()为单位脉冲响应函数。如果fi为简谐激励，即：

fifi0ejt………………………………………(17)则系统的稳态响应为：

ii0ejt………………………………………(18)将上式代入(14)，可解得：

i或

fikimijci2…………………………………(19)ififi ………………(20)ki(1i2j2ii)mii2(1i2j2ii)其中，ii，在主坐标i解出之后，应返回到原广义坐标ui上，利用公式(9)和(20)得：

iTfi……………………………(21)u2i1kimijcin上式表示了多自由度系统在简谐激振力f作用下的稳态响应。从中可以看出激振响应除了与激振力f有关外，还与系统各阶主模态及表征系统动态特性的各个参数有关。

通过以上的内容可以看出在以模态理论为基础的各种分析过程中，必须首先进行模态分析，提取结构的自然频率。对于自由振动方程在数学上讲就是固有（特征）值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不仅给出了特征值(eigenvalues)，即结构的自振频率和特征矢量——振型或模态(eigenmodes)，而且还能使结构在动力载荷作用下的运动方程解耦，即所谓振型分解法或叫振型叠加法(modal summation methods)。

特征值或特征频率的提取是建立在一个无阻尼自由振动系统上的，即振动方程中没有阻尼项的影响：

Ku0………………………………………(22)Mu特征值和结构振动模态描述了结构在自由振动下的振动特点和频率特征。通过使用振型分解法解得振兴和频率，能够很容易地求得任何线性结构的响应。在结构动态分析中，响应通常与低阶响应有关。而且在通常实际问题中，只需要考虑前面几个振型就能获得相当精度的解。对于只有几个自由度的力学模型，只需要考虑一个或者两个自由度就能求得动力响应的近似解，而对于具有几百个甚至上千个自由度的高度复杂有限元模型，就需要考虑数十个甚至上百个振型对响应的影响。

第三篇：弹道动力学分析

导引弹道动力学分析与动态特性分析在导弹总体设计中的作用

在导引弹道动力学分析中，我们需要设定的参数有目标的初速度、目标的初始x向位置、目标的初始y向速度，发动机的推力、发动机的工作时间、升力变化系数、阻力变化系数。经计算我们便可以得到导弹的速度曲线、弹道曲线、需用法向过载时间曲线、攻角时间曲线、舵偏角时间曲线、推力时间曲线。例如设定参数如下

可得导弹的速度曲线、弹道曲线、需用法向过载时间曲线、攻角时间曲线、舵偏角时间曲线、推力时间曲线分别如图所示：

导引弹道运动学分析对总体工作是一个相当不错的工具，使得总体能够在方案论证阶段就能掌握系统需用过载的情况，从而为后续的弹体结构设计、气动设计以及控制系统设计提供依据。而导引弹道动力学分析能对导引弹道运动学分析的功能进行扩展，使得总体工程师在总体方案设计过程中随着定量数据信息的积累能够采用导引弹道分析方法获得更多的系统特征量的需用值。

导引弹道动力学分析是基于“瞬时平衡”假设的。所谓“瞬时平衡”就是认为导弹绕弹体轴的转动是无惯性的，即导弹的姿态运动是没有过度过程的，更进一步说就是从舵偏角到法向加速度的动力学变成了一个比例环节。在“瞬时平衡”假设下，导弹在整个飞行过程中的任意时刻都处于平衡状态。

为了给出导引弹道动力学分析的方法的思路，首先对导弹质点弹道运动方程组进行分析。导弹在铅锤平面内的质心运动方程组为

dVmdtPcosBXmgsin①mVdPsinYmgcos②BdtdxVcos③ dtdyVsin④dtdmmc⑤dt加入控制方程

Bmzzmzz

就可以实现方程组的闭合。同样，我们可以将质点弹道与导引弹道运动学方程组结合，就能构造出一组新的封闭方程组，作为导引弹道动力学分析的工具。

对于动态特性分析的重要性，因为总体工程师的一个主要目标是保证导弹作为一个被控运动体具有良好的被控特性，而被控特性从不同的控制理论出发来理解是不同的，对于古典控制理论，我们所关注的被控对象特性集中体现在增益、阻尼和固有频率这三个特征量上。对于现代控制理论，我们更关心系统的可镇定性和可检测性。

对于一名总体工程师，只有真正了解了导弹作为一个被控的动力学系统，其动力学特性的特点、抽象的“被控特性”与实际物理参数之间的关系乃至从控制角度对导弹动力学所提出的主要要求，才能够真正在总体设计中把握住明确的目标，理清工作的脉络。

通过以上分析，我们可以得出结论，在进行导弹导引动力学分析时，设计的主要学科有： 1.理论力学

2.导弹飞行力学——导引弹道运动学分析 在进行动态特性分析时，涉及的主要学科有： 1.自动控制原理 2.导弹飞行力学

第四篇：无碳小车动力学分析

2、相关计算：

原动机构的作用是将重物下降的重力势能转化为小车的动能。

在重物下降过程中，驱动轴转动，为小车提供动力，设重物质量为M,下降高度为h，则其重力势能为Mgh,转化为自身的动能EK1、小车的动能EK2、小车行走过程中的摩擦及损耗

W损，Mgh12Mv12，E1k1EK2W损

其中，EK112Mv12，EK1v为重物下降的速度，也是驱动轴的线速度；

n周，v2为同一时刻小车的行进速度，也是后轮的线速度；设驱动轴转动一周，后轮转动所以，vv

12d驱动轴nd后轮

设重物下降过程中加速度为a, 绳子的拉力为T, 有：

TM(ga)

由此产生的力矩为：

M1TR驱动轴（其中为考虑摩擦影响而设置的系数）

分析可得：

1.当拉力一定时，驱动轴半径越大，产生的力矩越大，驱动轴半径越小，产生的力矩越小； 2.当力矩M达到一定的大小保持不变，驱动轴半径越小，拉力T越大，从而使物块减速。

3、机构设计

根据前面的分析与计算，将驱动轴设计为阶梯轴：

3.1.3动力学分析模型 a、驱动

如图：重物以加速度向下加速运动，绳子拉力为T，有Tm(ga)

产生的扭矩M2Tr21，（其中1是考虑到摩擦产生的影响而设置的系数。）

驱动轮受到的力矩MA，曲柄轮受到的扭矩M1，NA为驱动轮A受到的压力，FA为驱动轮A提供的动力，有

MAM1M22i（其中2是考虑到摩擦产生的影响而设置的系数）

MANAFAR

b、转向

假设小车在转向过程中转向轮受到的阻力矩恒为MC，其大小可

Nc1BRc1112()E1E222c由赫兹公式求得，NccB2b

由于b比较小，故 MccbB142

对于连杆的拉力Fc，有

sinc2c1r1sin1 l2arcsinc(1cos)lcosc2

McFccosc2csinc1M1Fccsin(c2)c、小车行走受力分析

设小车惯量为I，质心在则此时对于旋转中心O的惯量为I

22IIm[(Aa1)a3]（平行轴定理）

NcNB22IFAA(Aa1)d(Aa1a2)rcR

小车的加速度为：

aAA

aAaRr2

整理上述表达式得：

第五篇：动力学论文

《结构动力学》小论文

利用对称性求解动力问题

组员姓名：

专业班级:

土木班

指导老师：

完成时间：2014年X月

《结构动力学》小论文

——动力计算中对称性的运用问题

一、摘要

用柔度法计算对称结构的振动频率和周期时，选取半结构可以简化计算。学习之初，对如何建立等效的半结构模型存在一些疑问，通过老师的讲解以及自己的摸索，逐渐形成了一个比较清晰的概念，这篇小论文将就这一问题和如何选取对称结构进行一个小结。

二、对称法理论分析简介

1.利用对称性求解多自由度体系的自振频率及其相应的主振型

（a）

结构对称，质量分布也对称。该类结构不仅可以利用对称性求自振频率和主振型；而且应充分的利用对称性进行简化计算。

图（1）

图1为一对称结构，质量分布也对称，其自由振动的微分方程为

yi=-j=14mjyjδij

（i=1,2,3,4）

（a）

由于对称性，有：

m1=m4，m2=m3

δ11=δ44，δ22=δ33，δ13=δ42，δ21=δ34

根据位移互等定理，有δij=δji（i不等于j）。将式（a）的第一式和第四式相加，第二式和第三式相加，分别得：

y1’=-m1y1’δ11‘-m2y2’δ12’

（b）

y2’=-m1y1’δ21‘-m2y2’δ22‘

（b）

式中：

y1’=y1+y4，y2’=y2+y3

δ11，=δ11+δ14，δ22，=δ22+δ23

δ12，=δ21，=δ12+δ13=δ21+δ24

再将式（a）的第一式减去第四式，第二式减去第三式，分别可得：

y1‘’=-m1y1‘’δ11‘’-m2y2‘’δ12‘’

（c）

y2‘’=-m1y1‘’δ21‘’-m2y2‘’δ22‘’

（c）

式中：

y1‘’=y1-y4，y2‘’=y2-y3

δ11‘’=δ11-δ14，δ22‘’=δ22-δ23，δ12‘’=δ21‘’=δ12-δ13=δ21-δ24

至此，把一组四元二阶方程式（a)简化为两组二元二阶微分方程式（b)和(c)，也就是说，求四个自由度体系的频率和主振型简化成求两个自由度体系的频率和主振型。

利用对称性计算频率和主振型时，通常可取半边结构计算。图1所示体系，其主振型不外乎图2，3和4，5所示的四种形式。图2，3为对称振型，图4，5为对称振型。它们分别可取图6和7所示的半边结构进行计算.下面给一算例：

例：求图示结构的自振频率及相应的主振型，EI为常数

图一

图二

对称结构，计算正对称振型时，B截面既不能转动，又不能移动，如图二，可取半边结构如下图三

图三

图四

计算反对称振型时，振型如图五，B截面只能转动，不能移动，可取半边结构如图六

图六

图五

图七

两种振型见图二和图五，由计算结果可知，该结构反对称主振型为第一主振型，其对应频率为第一主频率。

因此不管是静定结构还是超静定结构，是计算静态问题还是动态问题，对称结构在计算时通常可以简化，我们应充分利用对称性，使求解得以简化，以加快解题速度，达到更好的效果。

但对称法中还有很多值得商榷的小问题，以例题的形式开始讨论：

三、建立等效半结构模型

1、自由振动时半结构的选取

例1

试求图示刚架的自振频率。

L

EI

EI

EI

L

m

m

解：（1）结构对称，可取半结构。计算简图如下：

根据柔度系数的定义，在质量m处作用单位力，画出结构的弯矩图，图乘即得到柔度系数。

EIE

EI

EI

L

L/2

半结构计算简图

弯矩图

需注意，由于取了半结构，在计算自振频率时，质量应由原来的2m变为m进行计算。

（2）求整个结构的柔度系数，计算简图如下：

计算简图

弯矩图

绘弯矩图时，由于结构对称，可取半结构进行计算。但最终对整个结构进行图乘。

注意，此题实际上并没有取半结构，因此计算频率时质量仍为2m，虽然柔度系数为取半结构计算时的二倍，但与质量相乘可以约分，所得结果与取半结构计算是一样的。

（3）结论：

①

计算对称结构的自振频率时，如果取半结构，则质量应为原来的二分之一；对于半结构求柔度系数，应按柔度系数的定义在结构上施加单位力，绘出半结构的弯矩图并图乘，即所有的计算都是基于半结构的；

②

若仅仅对于绘弯矩图阶段取半结构，则单位力应变为原来的二分之一，求出整个结构的弯矩图并图乘，即计算是基于整个结构的，因此最后求频率时质量不变，实际上对于整个题目而言并没有取半结构；

2、受迫振动时半结构的选取

例2

图示结构在柱顶有电动机，试求电动机转动时的最大水平位移和柱端弯矩的幅值。已知电动机的质量集中于柱顶，W=20kN，电动机水平离心力的幅值，电动机转速，柱的线刚度。

h=6m

W

I=∞

解：（1）此题结构对称，仍可取半结构计算。根据结构的振动形式（水平振动），其半结构的选取以及弯矩图如下所示。

半结构计算简图

弯矩图

图乘，得：

注意，由于取了半结构，质量变为原来的一半（），外力幅值也应取原来的二分之一，即。

（2）求整个结构的柔度系数，仅在绘弯矩图时取半结构。则与例1相同，求柔度系数时施加在半结构的单位力变为，但结构的质量与施加在结构上的外力大小不变。计算过程如下。

弯矩图

图乘得：

注意，解法二实际上仍是基于整个结构的，仅仅在绘弯矩图时应用了对称性，因此质量与外力均不变。

（3）结论：

受迫振动时，有外力作用于对称结构上，如果选取半结构进行计算，则不仅质量变为原来一半，外力幅值也应变为原来的二分之一。但外力的频率不变。

四、总结

如何选取半结构（如什么时候该用滑动支座和铰支座），选取半结构之后各物理量应如何做出相应变化（如，求柔度系数时单位力是否变为原来一半，外力幅值是否变化等），以及如何避免计算结果与正确值相差二倍。对此，我们组经过讨论以及在做题的过程中也思考了很多。其实，现在看来，这个问题就变得很简单了，只要明白，如果一开始就利用对称性取了半结构，那么后面的求解都是基于半结构的；而如果仅仅在求柔度系数绘弯矩图时取半结构，那么计算还是基于整个结构的，这样就能明白到底哪些量应变为原来的一半，哪些不用变了。最后感谢龙老师对我们的谆谆教诲，让我们对结构有了更深的了解。