中学数学中常用的解题方法与技巧毕业论文（大全五篇）

第一篇：中学数学中常用的解题方法与技巧毕业论文

江西师范大学2013届学士学位毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

中学数学中常用的解题方法与技巧

The commonly used in middle school mathematics problem solving methods and

skills

姓 名： *** 学 号： 090*0**9 学 院： 数学与信息科学学院

专 业： 数学与应用数学

指导老师： 完成时间： 201 年 月 日

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中学数学中常用的解题方法与技巧

*** 【摘要】随着素质教育的推进，在学习中学数学时，常会遇到一些比较复杂的问题，如果用直接求解的方式来解答，往往会使问题变得更加复杂，于是我们提出了数学常用解题方法和技巧，同时也证实了掌握数学解题方法和技巧是十分必要的。为了让读者能够更系统地了解中学数学常用的解题方法和技巧，本文通过理论阐述和例题分析就中学数学常用的解题方法和技巧进行详细的介绍。

本文主要介绍了配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。

【关键词】中学数学 解题方法 解题技巧

I

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The commonly used in middle school mathematics problem

solving methods and skills

********* 【Abstract】With the advancement of quality education, the study of middle school mathematics, often meet some complicated problems, if use direct solving way to answer, often will make problems become more complicated, so we put forward commonly used mathematical problem solving methods and skills, also confirmed the master mathematics problem-solving methods and skills are very necessary.In order to let the reader can understand more system middle school mathematics common problem solving methods and skills, in this paper, through theoretical elaboration and sample analysis the secondary school mathematics common problem solving methods and techniques for detailed introduction.This article mainly introduced the distribution method, the factorization method, the change of variable method, the discriminant method and wada theorem, undetermined coefficient method, construction method, geometric transformation method.【Key words】mathematics solution approach problem-solving skills

II

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目 录 引言..............................................................1 2 中学数学常用的解题方法............................................1 2.1 配方法......................................................1 2.2 因式分解法..................................................2 2.2.1提公因式法.............................................2 2.2.2运用公式法.............................................2 2.2.3十字相乘法.............................................2 2.2.4分组分解法.............................................2 2.3 换元法......................................................3 2.3.1局部换元...............................................3 2.3.2三角换元...............................................4 2.3.3均值变换...............................................4 2.4 判别式法与韦达定理..........................................5 2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征...........................5 2.4.2构造方程，巧妙求根.....................................6 2.5 待定系数法..................................................6 2.5.1用待定系数法分解因式...................................6 2.5.2待定系数法在数列中的应用...............................7 2.5.3待定系数法在函数中的应用...............................7 2.6 构造法......................................................8 2.6.1构造数.................................................8 2.6.2构造函数或方程.........................................8 2.6.3构造等式或不等式.......................................9 2.7 几何变换法..................................................9 2.7.1平移变换...............................................9 2.7.2旋转变换..............................................10 2.7.3对称变换..............................................10 3 小结............................................................11 参考文献...........................................................12

III

江西师范大学2013届学士学位毕业论文 引言

众所周知，数学解题与数学的进展是紧密相关的．我国古代数学经典《九章算术》就是从“解题”形式展现那个时代数学发展的丰硕成果的．伴随着数学的发展，数学解题的思想、方法等也日臻深化和完善．如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙，千变万化，异彩纷呈，美不胜收．著名数学教育家波利亚说过: “一位好的数学老师或学生应努力保持解题的好胃口．”这是因为，解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段;解题是培养分析问题、解决问题能力和创造能力的有效途径． 中学数学常用的解题方法

本节将介绍中学数学常用的解题方法，其中包括配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。

2.1 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成”完全平方”)的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式(ab)2a22abb2，将这个公式灵活运用可得到各种基本配方形式。其次结合其它数学知识，我们可以相应地可得到另外一些配方形式。如：1sin212sincos(sincos)2，x211212(x)2(x)2，„„ 2xxx例1 如果a2b2c2abbcac0，求证：abc 证明

a2b2c2abbcac0

a2abb2bccc2aca0

222 故(ab)(bc)(ca)0

ab0,bc0,ca0所以abc

例2 求证不论为何值，关于x的方程xxcoscos0总有实

416根，并求当为何锐脚时，方程有等根。

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12coscos证明： 41211(cos)0xxcoscos0总有实数，所以方程24161cos0时，即60时，方程有两个实数根。

根。又当22.2 因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、这种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。2.2.1提公因式法

如果一个多项式中含有公因式，将这个公因式提取出来放在括号的前面从而将一个多项式华为两个整式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

例3(1)6x2y23xy(2)(ab)23(ba)解：(1)6x2y23xy3xy(2xy1)

(2)(ab)23(ba)(ab)23(ab)(ab)(ab3)2.2.2运用公式法

这里的公式指的是平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立方和公式。

例4 把下列各式进行因式分解：(1)a4

1(2)9x212xy4y2

解：(1)a41(a2)212(a21)(a21)(a21)(a1)(a1)

(2)9x212xy4y2(3x2y)2 2.2.3十字相乘法

十字相乘法主要解决二次三项式这一类问题。具体操作如下：

（1）十字型的左边是把二次项分解成两个因式的成绩，右边是把常数项分解成两个因数的乘积，使得交叉相乘乘积的和等于一次项的系数；

（2）书写时要横着写且十字形左边的未知数常常省略。2.2.4分组分解法

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把多项式中某些项放在一起从而实现因式分解，这种分解方法叫分组分解法，一般地当多项式项数多于三项时用分组分解法。

例5 把下列各式进行因式分解：

(1)mnmn1(2)a22abb21

解：(1)mnmn1(mnm)(n1)m(n1)(n1)(m1)(n1)

(2)a22abb21(a22abb2)1(ab)21(ab1)(ab1)

2.3 换元法

一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质就是“转化与化归”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，获得问题的解决[3]。

换元的基本方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。2.3.1局部换元

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，摸个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为(2x)22x20，设2xt(t0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

例6 求函数f(x)x11的极值。x11x（-,0）(0,+), 解：因为函数的定义域为：（1）当x(0,)时，x112，设x2t(t0)，xx1(1t)22 则原函数2t 2t2t(1t)2 2

2(1t)

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2 1t 25 2 当且仅当t0即x1 时取等号。

（2）当x(,0)时，x0，f(x)f(x)51时，f(x)min；

2251 当x2或时，f(x)max。

2255，所以f(x)。22 所以当x2或

2.3.2三角换元

三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1，设xsin2，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

2例7

实数x、y满足4x25xy4y25（式），设Sx2y2，求的值。

xScossincos5，解：设代入式得，4S5SySsin1Sxma1nmiS

解得S10；

85sin25sin2

1sin2138



101010 1385sin31Smax3138

Smin1010512.3.3均值变换

如遇到xyS形式时，设x例

SSt，yt等等。22B，8

ABC的三个内角A、B、C满足：AC24

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AC112，求cos的值。

2cosAcosCcosBAC120解：ABC中已知AC2B，可得，由AC120，B60A60设，代入已知式得：

C60111111cosAcosCcos(60)cos(60)1313cossincossin222cos

13cos2sin244cos

22

3cos24

2.4 判别式法与韦达定理

一元二次方程 2ax+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判别，△=2b-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征

判断一元二次方程根的情况，一般依据根的判别式，有时还要结合韦达定理，以下是我们常见的三种情况：

000两个正根x1x20，两个负根x1x20，一正一负。

xx0xx0xx0121212例9 如果函数yx22(m2)xm21图像与x轴有两个交点，且都在x轴的正半轴上，求m的取值范围。

解：由题意知：x22(m2)xm210有两个不相等的正实数根，设它的

[2(m2)]24(m21)002(m2)0两个根为x1、x2，则有：x1x20，即 2xx0m1012

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解不等式组得：55m1或m1，(,1)(1,)。即m的取值范围是： 442.4.2构造方程，巧妙求根

如果知道两项的和与积，让我们求解两项。按照一般的代入化简，利用求根公式求值，计算量很大。而利用两项的和与积构造一元二次方程，运用“十字相乘法”求解，则容易得多。一般的，已知x1x2、x1x2，所对应的的二次方程为x2(x1x2)xx1x20。

例10 已知公差大于0的等差数列{an}中，a3a4117，a2a522，求：an。

解：a2a5a3a422又a3a4117

设a3、a4分别为方程x222x1170的两个根

数列{an}的公差大于0，解之得：a39，a41

3da4a3139

4an9(n3)44n3

2.5 待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题意设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。2.5.1用待定系数法分解因式

例11 分解因式x2xy6y22x11y3。解：先把x2xy6y2分解成(x3y)(x+2y)

设 x2xy6y22x11y3(x3yA)(x2yB)

计算(x3yA)(x2yB)

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x2xy6y2(AB)x(2A3B)yAB

AB22A3B11 则有AB3，解得 A1,B3。

故x2xy6y22x11y3(x3y1)(x2y3)。2.5.2待定系数法在数列中的应用

例12 求和：Sn1111。123234345n(n1)(n2)解：设1ABC，比较系数，得 n(n1)(n2)nn1n21111121，B1，C，故()，22n(n1)(n2)2nn1n2 A1121121121)] 则Sn[()()(2123234nn1n2111222111)()] [(1)(22n23n134n21121)

(22n1n22.5.3待定系数法在函数中的应用

例13 已知直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过A、B两点，且对称轴方程为x1，求此二次函数的解析式。

解：对称轴方程为x1，可设二次函数的解析式为ya(x1)2k，直线yx3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，由此可求得两点坐 标分别为：A(3,0)，B(0,3)，(31)2k0 根据二次函数的图像经过A、B两点可得，2a(01)k3 a1，k4

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此二次函数的解析式为y(x1)24x22x3

2.6 构造法

“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情：那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”这是著名数学家韦尔在《数学的思维方式》中向我们介绍构造法时讲的一段话[6]。

所谓构造法，是指按定势思维难以奏效时，应根据题设条件或结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察分析解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的外形、数值、位置等特征，使用已知条件中的元素为元件，运用已知数学关系式为支架，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐讳不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，并借助该数学对象简捷地解决数学问题的方法［10］． 2.6.1构造数

构造某些特殊结构，特殊性质的整数或整数组合，能使一些复杂的数变得有规律，使计算更加简单。

例14 证明：N911139999990.003 1012141000000证明：本题若直接计算十分繁杂，且方法不具一般性。下面构造辅助量

101214999998 11*** 显然MN

*** 又NM(,,)，所以N2MN，***30.00

3从而N1000 M2.6.2构造函数或方程

构造函数或方程，就睡从问题本身的特点出发构作一个辅助函数或方程，把问题转化为研究这一函数或方程的性质，从而达到解题的目的。

，例1

5已知a、b、c、d、e是实数，且abcde8a2b2c2d2e216，求证：0e16。5

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abcd8e解：将已知条件变形为2，由此联想到构造一个关于 2222abcd16e t的二次函数f(t)(ta)2(tb)2(tc)2(td)2

f(t)0，对于任意实数t恒成立，故其二次式的判别式小于或等于零，即 4(abcd)216(a2b2c2d2)0

5e216e0，解得0e2.6.3构造等式或不等式

2z22x22y2例16 求满足下列方程组的实数解x，y，z。

1z21x21y216 52a2解：此方程组以常规方法是不易求解的，观察每个方程都有的形式，1a22z21z212x222 联想到ab2ab，于是构造下列不等式：1，与原方程组比 21x2y2121yx10x21xz 较，得，yx，故有xyz，代入元方程组解得y10或y21

z0z1zy122.7 几何变换法

利用几何变换的思想和方法解几何问题，为我们克服解几何问题作辅助线的困难提供了一条有效途径。利用几何变换解题时，一般不需要对整个图形进行变换，而只需要对图形中有关部分进行变换，将其余部分保持不变，从而使整个图形改组，化不规则图形为规则图形，化一般为特殊，化隐蔽关系为明显关系，通过变换将不利条件转化为有利条件，让有用条件保持不变，这就是利用几何变换解题的基本途径[8]。

几何变换一般包括：平移变换、旋转变换、对称变换。2.7.1平移变换

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将几何图形中的各顶点沿它们所在的一组平行线向同一方向移动相同的距离, 这种几何变换的方法叫做平移变换。

例17 如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，B与C互余，点分别是AD、1BC的中点，试证明MN(BCAD)。

2解析：线段MN、BC、AD比较分散，没有集中在一个三角形中，由于AD∥BC，所以可以分别将AM、DM进行平移变换，构成BC与AD的差，然后再证明MN等于它的一半。2.7.2旋转变换

将几何图形绕着一固定点按顺（或逆）时针方向转动到另一个位置，像这样的变换叫做旋转变换。

例18 如图2，P是等边ABC外一点，试说明PAPBPC。

解析：本题采用其他方法证明有一定的困难。若采用旋转变换思想，问题就

'，简单的多。将ACP绕点A顺时针旋转60得到ABP'，则有APAPCPBP'，PAP'60，所以APP'是等边三角形，所以PP'AP。在BPP'中，根据三角形三边之间的关系有：PP'BPBP'，于是PAPBPC得证。2.7.3对称变换

把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重合,称这两个图形成轴对称。如果一个图形沿着某直线对折,对折的两部分能够完全重合, 这种图形称为轴对称图形。

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例19 如图3，在ABC中，BCAB，BD平分B，交AC于D。求证：CDDA。

解析：CD和DA分别是BCD、BAD的边，但这两个三角形没有两组边相等，故CDDA不能利用两个三角形证得。若将BCD沿着BD翻折到BED的位置，这样这两个三角形就全等，于是把CD迁移到DE的位置。因DE、DA是DAE的两边，要证DEDA，只需证DAEE，在ABC中，DAE是其外角，C是不相邻的一内角，故DAEE，CDDA得证。小结

从上述的例子中可以看到，解题运算中方法和技巧越是灵活，运算也就越快，越准。在某种意义上来说，解题运算能力的提高，往往是在运算的技巧上表现出来，我们看一个学生解题能力的高低，往往是看他是否能采用灵活和简捷的方法，因而灵活的解题运算技巧在运算能力的提高中具有重要作用，合理的解题技巧要以简化解题运算程序，提高解题运算速度，经常注意解题的合理技巧的培养及训练，还可以锻炼学生的观察分析能力，使思维敏捷而深刻，长期的训练学生合理的解题运算技巧，使他们会探索、会思考、会独立地分析问题和解决问题，才能使之终生受益。

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参考文献

[1]刘光明,龙建新.配方法在数学解题中的应用[J].高中生, High School Students, 2010年12期：18 [2]翁仕林.浅谈中学数学因式分解的几种方法[J].考试(教研版), Examinations，2012年05期：92 [3]李胜平.数学联想思维方法在组合等式中的应用[J].大理学院学报，2007，6（6）：75-76.[4]王军.如何用韦达定理求解数学问题[J].现代教育，2011-02-03：55 [5]和洪云.“换元法”在数学解题中的应用[J].大连理学报，2011年04期：17-19 [6]佟健华,李海滨.中学数学构造法的模式[J].张家口职业技术学院学报,1999年02期：50-52 [7]黎家银.浅谈几何变换在初中数学中的运用[J].四川文理学院学报,2008年S1期：137-138 [8]张雄,李得虎.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社.2005 [9]冯克诚.实用中学数学解题思路策略与当打技巧大典[M].中国对外翻译出版公司，1999 [10]张学斌.中学数学教学教程[M].北京：科学出版社，2000

第二篇：中学数学常用的解题方法

数学常用的解题方法

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

第三篇：PETS信件写作解题方法与技巧

PETS信件写作解题方法与技巧 PETS考试

英语等级考试三级考试常考的信件有:邀请信, 应征信,求职信, 感谢信, 致歉信, 道贺信, 投诉信, 询问信, 推荐信

（一）英文书信的组成英文书信通常有包括以下几部分:

1.信头(Heading): 指写信人的地址和写信日期

信头的目的是使收信人知道书信来自何处，何时发出。信头一般位于信函的右上角，包括发信人的地址和写信日期。

信头的地址的写法要注意英文和中文的不同，英文应遵循“先小后大”的原则，第一行写门牌号和街道的名称，第二行写区、市名、省名、国家名。国家名之前加上邮政编码。门牌名与街道名之间不用逗号隔开。最后一行写上发信日期。日期一般有以下几种写法：

12th Sept, 2006 12 Sept, 2006 Sept.12th, 2006

如，Mr.Zhang Peng

Department of Foreign Language

Jiangxi Teachers’ College

Nanchang, Jiangxi Prov., 330241

P.R.C.Sept.12, 2006

2．信内地址(Inside Name & Address): 指收信人的姓名和地址

信内地址一般位于信函的左上角，位于信纸的左边顶格，低于信头一两行写起。

3．称呼(Salutation): 对收信人的称呼用语

称呼是写信人对收信人表示尊敬的敬称。称呼从信纸的左端顶格写起，比信内姓名和地址低一行。称呼有多种，视写信人和收信人的关系而定。每个开头字母用大写，结尾用逗号不用冒号。

对男士的称呼，多用Mr., 对女士的称呼,多用Mrs., Madam, Miss或Ms.,但是需要注意的是,这些称呼用在姓氏前或姓氏和名字前,但是不能使用在名字的前面。

4．正文(Body):

5．结束语(Complementary Close): 写信人对收信人的谦称

结束语从信纸的中间或稍右的地方写起，位于正文下面空两三行处。不同关系使用不同的结束语。对于不熟悉的人或团体：Yours truly, Truly yours, Yours faithfully, Faithfully yours

对于上级和长者：Yours respectfully, Respectfully yours, Yours gratefully, Gratefully yours对于朋友和亲属：Yours, Your loving daughter, Your devoted friend

6．签名(Signature):

7．附件(Enclosure):

（二）信件开头结尾常用语:

1.信件开头常用语

I am writing to you to ask about the meeting to be held next month.I have received your letter on Feb.2nd 1998.Thank you very much for the position you are offering.It’s a long time that we haven’t seen each other.I’m writing to introduce to you one of my good friends, Mr.Smith.2.信件文中常用语Your presence on this occasion would be our greatest honour.3.信件结尾常用语With many thanks.Wish you the best of health and success.Your early reply will be highly appreciated.Expecting to hear from as soon as possible.Looking forward to the pleasure of meeting you.Regretting the inconvenience caused to you.Thanks once more.Many thanks for your kindness.Thanks a lot and best wishes for you.We sincerely hope that you’ll accept our apology and keep in contact with us.We look forward to receiving your confirmation by letter or e-mail.2

第四篇：深圳小升初数学应用题解题方法与技巧

深圳小升初数学应用题解题方法与技巧 复合应用题

(1)有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。

(2)含有三个已知条件的两步计算的应用题。

-求比两个数的和多（少）几个数的应用题。

-比较两数差与倍数关系的应用题。

(3)含有两个已知条件的两步计算的应用题。

-已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。-已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。

(4)解答连乘连除应用题。

(5)解答三步计算的应用题。

(6)解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。

3、典型应用题

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。

(1)平均数问题：平均数是等分除法的发展。

-解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

-算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

-加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

-数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

-差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

-数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用

公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+=, 汽车的平均速度为2 ÷=75（千米）

第五篇：浅谈几何证明题的解题方法与技巧

浅谈几何证明题的解题方法与技巧

作者：容茂和完成时间：2011年12月

【内容摘要】:针对学生解决几何证明题比较困难的情况，给学生分析研究几何证明题的解题方法与技巧，提高学生学习几何的兴趣，增强解决问题的信心。

【关键词】: 方法与技巧 ；注重基础 ； 善于归类 ；突破难关

在初中阶段，学生学习数学都会遇到两大难题：一是代数中的列方程解应用题；二是几何中的证明题。下面，笔者结合多年的教学经验和方法谈谈几何证明题的解题方法与技巧。

一、注重基础，善于归类。知识要靠平时的积累，只有当量变发生到一定程度才能产生质变。因此，在平时的学习中，特别是从七年级开始学习几何这门课时，就要做到每学习一个几何概念、定理、推论等都要分清它们的用途，并进行归类，为以后的学习打下基础。例如：在人教版七年级上册第四章《图形认识初步》中，在学习“线段的中点”、“角的平分线”、“等角的补角相等”、“等角的余角相等”等概念和性质时，就要分清：“线段的中点”可以用于证明两条线段相等；“角的平分线”、“等角的补角相等”及“等角的余角相等”等概念和性质都可以用来证明两个角相等。随着学习的不断深入，需要学习掌握的定理、性质就会更多。因此，学生必须做到边学习边归类，三年下来，整个初中阶段就会形成一个环环紧扣、条理清晰的几何知识系统。

二、明确几何证明题的类型。在知识的归类中，我们可以逐渐发现上述所学习的定理、性质、推论等的用途基本上都不外乎用来证明：两条线段相等、两个角相等、两条线段（或直线）平行、两个三角形全等（或相似），或者一个图形是某些特殊的图形（如平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形

等）。比较常见的是前面的四种证明题类型。因此，学生在碰到相应类型的证明题时，头脑中就要有相应的定理、性质、推论的出现，而对于用哪一个或几个定理去解决问题，取决于证明题的需要。

三、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回

1到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。

四、要善于挖掘及利用题目图形中的隐藏条件。有的证明题中的已知条件有限，仅从已知条件出发未必能够找出正确的证明方法，但如果善于观察及利用图形中的隐藏条件，则可能很容易证明。例如

“对顶角相等”、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“在同一个圆中，同一段弧所对的圆周角相等”等等就不需要在题目及图形中说明或指出，但它们也属于已知条件。

除了要掌握几何证明题的常用方法外，还要知道一些类型题的解题技巧。下面以证明“两条线段相等”这一类型为例，说明它的解题技巧。

（一）要证明相等的两条线段在同一条直线或线段上。

这种题型的证明方法都是从“求证”问题入手，通过分析，寻求

“证据”回到“已知”条件。具体的证明方法是通过线段的加或减得到，例如：人教版九年级上册第88页第8题，如图1，两个圆都是以

O为圆心，求证：AC=BD。分析：要求证相等的两条线段AC与BD

都在同一条线段AB上，而AB是大圆的弦交小圆于C、D两点；而题目中可用的条件不多，B

因此可以结合圆、弦考虑作辅助线：过圆心O作

线段OEAB于E，则构成垂径定理，于是有AE=BE，CE=DE，AECE=AC，BEDE=BD，所以AC=BD。图

1（二）要证明相等的两条线段在同一个三角形内。

这种题型的主要证明方法是考虑用“等角对等边”定理展开证

明。例如：如图2，在△ABC中，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC，求证：AB=AC。

分析：如果要证明AB=AC 证明：∵AE平分∠DAC∴∠DAE=∠EACE∵AE∥BC∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C

∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形BC

图2∴AB=AC

（三）要证明相等的两条线段分别在两个三角形内。

这种题型的主要证明方法是考虑根据“三角形全等”的定理展开

证明。在证明前，首先要把这两条线段分在两个三角形内，再去考虑证明这两个三角形全等。例如，人教版八年级下册第121页第8题，如图3，四边形ABCD是等腰梯形，点E、F在BC上，且BE=FC，连接DE，AF，求证：DE=AF。

分析：因为要证明线段DE、AF相等，显然DE、AF不在同一个三角形内，也不在同一直线或线段上，所以要考虑用“三角形全等”的中，定理去进行证明，AF在△ABF中，DE在△DCEAD 因此可能性围绕证明△ABF≌△DCE，然

后结合已知条件“等腰梯形”有

AB=DC，∠B=∠C，这时已有“一边一角”，但还有一个条件“BE=FC”未BEFC 用，于是有BE+EF=FC+EF，即BF=CE，于是构图3成“SAS”，因此△ABF≌△DCE。这题主要从

“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”：△ABF≌△DCE。

如果遇到一些证明题比较棘手，利用上述三种方法都不能证明

时，可以考虑用线段的“转移”，即把“求证”中的其中一条线段使之与图中的另一条线段相等，于是就使得“求证”中的另一条线段与这条线段或在同一条直线（或线段）上，或在同一个三角形内，或在两个三角形中，再用上述三种方法的其中一种去进行证明。这种证明方法属于借助中间“桥梁”（当然可能还有其它方法可证，这要由题目的已知条件和图形去确定解题方法）。

例如，如图4，在△ABC中，AF是BC边上的中线，D是AF上的一

点，BD的延长线交AC于点E，且∠BDF=∠CAF。求证：BD=AC。

分析：在图4中所要求证的两条线段虽然可以分在两个三角形

（BD在△ABD或△BDE，AC在△ACF或△ABC）中，但它们显然不全

等，这时可以考虑通过作辅助线，使“AC”与BD在同一个三角形中，再用定理“等角对等边”去进行证明。辅助线作法：延长AF到G，使FG=AF，连接BG，如图5。这时△ACF≌△GBF（SAS），于是可得BG=AC以及∠G=∠CAF，而已知∠BDF=∠CAF，所以∠BDF=∠G，故BD=BG，从而得到BD=AC。这个过程相当于把AC转移到一条和它相等的线段BG

上，使之在同一个三角形中，这就是线段的“转移”，这也是证明题中的一种常用技巧。

A

E

BFC

图

4A

E

BFC

G

图

5当然题目及题型是千变万化、错综复杂的，“求证”起来有难有易。但求解任何一道题目时，学生都需要有信心、耐心，相信自己一定能够解决问题。无论怎样难以“求证”的题目都离不开书本的基础知识。因此只有立足于书本知识，夯实基础，才能以不变应万变。在平时的学习训练中还要善于开拓思维，灵活变通，从不同的角度去思考问题，做到一题多解，这样才能突破几何证明题这一难关。