人教课标版高中数学选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式教案4（大全）

第一篇：人教课标版高中数学选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式教案4（大全）

高中数学选修4-5教案

第一备课人：姚雪艳

第一讲

不等式和绝对值不等式

课题： 第04课时绝对值三角不等式 教学目标：

知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。

过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：

一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0x0，如果x0。

x，如果x0 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）aa，当且仅当a0时等号成立，aa.当且仅当a0时等号成立。

（2）aa2，（3）abab，（4）那么abab?abab?

二、讲解新课：

探究: a,b,ab, ab之间的什么关系?

结论：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

aba(b0)b已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）方法一：证明:10.当ab≥0时, 20.当ab<0时，ab|ab|,ab|ab|，|ab|(ab)2 2|ab|(ab)22 a2abba22abb2 22|a|2|ab||b| |a|22|a||b||b|2 |a|22|a||b||b|2(|a||b|)2

(|a||b|)2 |a||b||a||b|

综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）

定理1 如果a,b是实数，则ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？

aba

abab

根据定理1，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab 注：当a,b为复数或向量时结论也成立.推论1：a1a2an≤a1a2an

推论2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc,当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立.思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

三、典型例题：

cc例

1、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)例

2、已知x·10

四、课堂练习：

·x·20

1.(课本P20习题1.2第1题)求证: ⑴abab≥2a;⑵abab≤2b 2.(课本P19习题1.2第3题)求证: ⑴xaxb≥ab;⑵xaxb≤ab 3．（1）、已知Aacc,Bb.求证：(AB)(ab)c。22（2）、已知xacc,yb.求证：2x3y2a3bc。46

五、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义: a(a0)⑴a0(a0);（定义）

a(a0)⑵a的几何意义: 2．定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab注意取等的条件。

六、课后作业：

课本P19第2，4，5题

七、板书设计：

新课知识

八、教学后记：

比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．

课题 例1 例2 练习作业

第二篇：高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法(一)

2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

（一）【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.实数a，b，c不全为0的条件为（）

A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是 负数.【典型例题】

ama.例1.利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，则

例3.设a3b32，求证ab2.例4.设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b不可能同时大于1

【课堂检测】

1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解B．有两个解

C.至少有三个解D．至少有两个解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0.1y1x和中至少有一个小于2.xy

3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1.2

4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大1于 4

【总结提升】

1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

第三篇：2014年人教A版选修4-5教案 三 排序不等式

三 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：

一、复习准备：

1.提问： 前面所学习的一些经典不等式？

（柯西不等式、三角不等式）

2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课： 1.教学排序不等式： ① 看书：P42~P44.② 提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b2···+anbn(同序和)a1c1a2c2+···+ancn(乱序和)a1bna2bn1+···+anb1(反序和)当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

anaa3111.1a1223n2232n

2分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.又1111，由排序不等式，得 22223n a1anbna2a3b2b3b… 12232n22232n2

小结：分析目标，构造有序排列.② 练习：

已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，于是 a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习： 1.练习：教材P4

51题 2.作业：教材P453、4题

第四篇：人教课标版七年级数学下册教案9.2 实际问题与一元一次不等式

教学目标：

1．熟悉解一元一次不等式的步骤，掌握一元一次不等式的解法；

2．探究实际问题中的不等关系，体会利用不等式解决问题的基本过程．

教学重点、难点：

1．一元一次不等式的解法；

2．把实际问题抽象为不等式，并利用不等式加以解决的过程．

教学过程：

新课：

看这样一个问题：小明与小华坐在翘翘板的两端，小明42kg，小华39kg，一只小狗跑上了翘翘板，坐在了小华这一端，这就使得小华这一端的翘翘板比小明那端低了，小狗至少要有多重？

这个问题不难解决，如果设小狗的重量至少是xkg，则有x+39>42，两边同时减去39，得x>3，也就是说小狗要超过3kg．

上面这个问题我们就是利用了不等式的性质，求出了不等式的解集，类似以前学过的利用等式性质来解一元一次方程，我们同样可以利用不等式的性质来求解一元一次不等式，下面来看例题：

例1.(教材P132例1)2002年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？

分析：根据题意不难求得2002年空气质量良好的天数，设出2008年比2002年增加的天数x，则x+2002年空气质量良好的天数即2008年空气质量良好的天数，再根据2008年这样的比值要超过70%，不难列出不等式，要注意2008年为闰年，全年天数为366．

解答：见书P132～P133．

例2.(教材P133例2)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；小明得分要超过90分，他至少要答对多少题？

分析：如果设小明答对的题数为x道，则根据题意，答错或不答的总数就是(20−x)道，再由每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，可以得出小明的得分即10x−5(20−x)，因为他的得分要超过90，则可列出不等式，求出x，要注意本题最后问的是至少要答对的题数，显然应该是正整数．

解：设小明答对的题数为x，则答错或不答的题数为20−x

根据题意得，10x−5(20−x)>90

解这个不等式可得x>12

而本题中x应是正整数，且不能超过20，所以小明至少要答对13道题．

归纳：

1.解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式，一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．

2.用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：

①弄清题意和题目的数量关系，用字母表示未知数；

②找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；

③根据不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式；

④解这个不等式，求出解集；

⑤写出答案．

第五篇：人教课标版七年级数学下册教案9.3 一元一次不等式组

教学目标

1)知识与技能目标

1．通过由学生动手操作：用各种不同长度的木棒去拼三角形，归纳出能拼出三角形的各边长之间的关系和不能拼成三角形的三边的特征，目的是归纳出同时符合几不同条件的不等式的公共范围，即不等式组的解集．

2．通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较，抽象出这二者中的异同，由此理解不等式组的公共解集．

2)过程与方法目标

通过由一元一次不等式，一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力．

3)情感态度与价值观目标

通过培养学生的动手能力发展学生的感性认识与理性认识，培养学生独立思考的习惯．

教材解读

本节内容是在学习了不等式的解集之后的知识内容，在此基础上提出若某数同时满足几个不等式时，如何去确定这个数的取值范围，这就是不等式组的公共解集的确定，在实际生活中同样会遇到一个数所能满足的条件不止一个的问题，这就要用到不等式去确定其解．

学情分析

不等式的解集已经在前一节中学习并运用其解决实际问题，若由多个不等式构成的不等式组的解集如何确定呢？不等式的解集可类比方程的解进行求解，是否不等式组的解与方程组的解也类似呢？因此学生就会进行类比，进而可得出其解集的公共部分．

一、创设情境，导入新课

小明、小华、小芳是同班同学，学校体检有一项称体重，称完之后，小芳说：“我有38kg”，小明说：“我有48kg”，这时，小芳和小明就问站在一旁的小华：“你有多重？”小华说：“我比小明轻，但是要比小芳重！”那么你能说出小华大概有多重吗？

当然，这个问题很简单，如果小华有xkg，小华比小芳重：x>38，小华比小明轻：x<48，那么x的取值要使不等式 x>38 和x<48 都成立．记作：，在数轴上表示为

可以看出，使不等式组成立的x值，是所有大于38并且小于48的数(记作38

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．

二、师生互动，课堂探究

(一)提出问题，引发讨论

在学习不等式组之前，我们来开展小组活动吧，每个小组的同学准备五根小木棒，使它们的长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm，用这些小木棒来搭三角形，要求所搭成的三角形的三边中必须有3cm和10cm这两根木棒，请大家先想想我们还有多少种不同的搭配方式，它们都能搭出三角形吗？再动手试试，验证你们的想法．

搭配方式有三种：3cm、10cm、6cm；3cm、10cm、9cm；3cm、10cm、14cm．•但并不是每种搭配方式都能搭成三角形．要构成三角形，必须有两条较短的边拼起来后要略比长边长，也即“任意两边之和大于第三边”，将此不等式变形后成为“任意两边之差小于第三边”，这样可发现只有一种搭配方式可构成三角形，通过拼图验证可得到如课本P143中图．

用不等式来解释，设第三边长为xcm，则有x>10−3又x<10+3，即x>7与x<13，这二者并不矛盾，比7大比13小的数在数轴上可表示为如图，在这部分数中任取一个都能与10cm和3cm构成一个三角形，所给的三条边6cm、9cm、14cm中只有9cm符合要求．这就是说第三边的取值必须同时满足两个条件：比7大且比13小，把x>7与x<13组合成一个整体即构成一元一次不等式组，即把两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．由此例可知不等式组的解集即为各个不等式的解集的公共部分．

(二)导入知识，解释疑难

典型例题讲解

例：解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

(1)(2)(3)(4)

解：(1)由①得x>5，由②得x>−2，在数轴上表示为如图．

它们的公共部分为x>5，故不等式组的解集为x>5．

(2)由不等式①得x<6，由不等式②得x≥1，在数轴上表示为如图．

它们的公共部分为1≤x<6，即为不等式组的解集．

(3)由不等式①得x<1，由不等式②得x≥2，在数轴上表示为如图．

它们没有公共部分，故此不等式组无解．

(4)由不等式①得x<−3，由不等式②得x<，在数轴上表示为如图．

它们的公共部分是x<−3，即为不等式组的解集．

由上述例题可发现不等式组的解集有四种情况：

若a>b：①当时，•则不等式的公共解集为x>a；

②当时，不等式的公共解集为b

③当时，不等式的公共解集为x

④当时，不等式组无解．

(三)归纳总结，知识回顾

1．你是如何确定方程组的解的？

方程组的解即是指同时满足各个方程的解．

2．方程组的解与不等式组的解有什么异同？

无论是方程组还是不等式组，它们的解均是指同时满足各个方程(不等式)的解的公共部分，但方程组的解一般只有一组，而不等式组的解一般有很多范围可选择．

3．不等式组的解的四种情形．