第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1

第一篇：第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1

第四讲：数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲

例

1、用数学归纳法证明

1111111112342n12nn1n22n

分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：

11111当n=1时，左边=1-2=2，右边=11=2，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，1即111111112342k12kk1k22k。

那么，当n=k+1时，111111112342k12k2k12k2 11111k1k22k2k12k21111111111()234k2k32k2k1k12k211111k2k32k2k12(k1)

这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。点评：

数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加

11一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将k1与2k2合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。练习：

1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4 解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C 2.用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N 证明：

×(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.1115,(n2,nN*)3n6例

2、求证：n1n2．

分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

证明：

11115（1）当n=2时，右边=34566，不等式成立．

*nk(k2,kN)时命题成立，即（2）假设当1115k1k23k6．

则当nk1时，111111(k1)1k(1)2k3k3k13k23(1111111()k1k23k3k13k23k3k151111()63k13k23k3k151111()63k33k33k3k15115(3).63k3k16

所以则当nk1时，不等式也成立．

*n2,nN

由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

1)点评：本题在由nk到nk1时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由nk到nk1时不等式左端项数的增减情况；

（2）应用了放缩技巧：

111111113.3k13k23k33k33k33k33k3k1

例

3、已知，Sn1111,nN*23n，nS2n1(n2,nN*)2用数学归纳法证明：．

证明：

（1）当n=2时，S22111113211234122，∴命题成立．

*nk(k2,kN)时命题成立，即（2）假设当S2k1111kk12322．

则当nk1时，S2k11111111kkkk12322122k111k111kkk11k1k1k12212222222k1k1k112kk111.22222 1

所以则当nk1时，不等式也成立．

*n2,nN

由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

点评：本题在由nk到nk1时的推证过程中，1k1k

（1）不等式左端增加了2项，而不是只增加了“2”这一项，否则证题思路必然受阻；

（2）应用了放缩技巧：

11111111k2.kkk1k1k1k1k12122222222

练习：

1、证明不等式：

分析

1、数学归纳法的基本步骤：

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 证明：（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即

那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立． 根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．

n2*22n(nN)． 2.求证：用数学归纳法证明

证明：

（1）当n=1时，221，不等式成立； 当n=2时，222，不等式成立；

32223当n=3时，不等式成立． 2212*k2nk(k3,kN)22k（2）假设当时不等式成立，即 ．

则当nk1时，2k122(2k2)22k22(k1)2k22k3，2kk3∵，∴2k3(k3)(k1)0，（*）

从而2k12(k1)2k22k3(k1)2，k1222(k1)∴．

即当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，22n对一切nN都成立．

点评： 因为在（*）处，当k3时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．

3．求证：e2mn2*3m，其中m1，且mN．

分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法 证法一：用数学归纳法证明．

44e232，不等式成立．（1）当m=2时，*mk(k2,kN)时，有e2k3k，（2）假设则 e2(k1)e2ke23ke26k，∵k2，∴6k3(k1)3k30，即6k3(k1)．

2(k1)e6k3(k1)，从而

2m

即mk1时，亦有e3m．

m1,mN由（1）和（2）知，对都成立．

证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．

e2m3m(11)2m3m012C2CCm2m2m3m2m(2m1)3m212mm3m12m02m∴当m1，且mN时，e3m．

(m12m11)

例

4、（2005年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）

已知数列证明{an} 的各项都是正数,且满足:a01,an11an,(4an),nN.2

anan12,nN;

求数列{an}的通项公式a.n分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a01,a113a0(4a0),2∴a0a12，命题正确.2°假设n=k时有ak1ak2.11ak1(4ak1)ak(4ak)22

则nk1时,akak1112(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak).22

ak1ak0,4ak1ak0,akak10.而

又ak111ak(4ak)[4(ak2)2]2.22

∴nk1时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：

anan12.1°当n=1时，a01,a113a0(4a0),22∴0a0a12；

2°假设n=k时有ak1ak2成立，f(x)

令所以由假设有：1x(4x)2，f(x)在[0，2]上单调递增，f(ak1)f(ak)f(2)，111ak1(4ak1)ak(4ak)2(42),22即2

也即当n=k+1时

所以对一切akak12成立，nN,有akak12．

an111an(4an)[(an2)24],22（2）下面来求数列的通项：

22(a2)(a2)n1n所以

令bnan2, 则

121122112221122n12nbnbn(b)()b()bn1n2n1222222 1nbn()21,2又bn=－1，所以 1n即an2bn2()212．

点评：

本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性．

1nan2()21{a}2本题也可先求出第（2）问，即数列n的通项公式，然后利用函数12x1f(x)2()2的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．

练习：

1.试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=q,c=bq(q＞0且q≠1)

1bnnn∴an+cn=q+bnqn=bn(q+qn)＞2bn

ancnac2(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞(2)n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：

a2c2ac2()22222①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴ akckack(),22②设n=k时成立，即

ak1ck1124(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)则当n=k+1时，11＞4(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=4(ak+ck)(a+c)acacac＞(2)k·(2)=(2)k+1 根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．

二.基础训练

一、选择题

1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（）A.30

B.26

C.36

D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

二、填空题

12.观察下列式子：131151117,122,12222234„则可归纳出_________.232341解析：131211即111222(11)2

111511221,即12122323(11)2(21)2

1112n1n12232(n1)2(n∈N*)归纳为1答案:11112n1n12232(n1)2(n∈N*)3an1a33.已知a1=2,an+1=n,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.13a1233同理,3.解析:a2a1313725 23a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n5333333 答案:、、、78910n5

三、解答题

11113n1n22n24.4.若n为大于1的自然数，求证：证明：(1)当n=2时，11713 2122122411113(2)假设当n=k时成立，即 k1k22k241111111则当nk1时,k2k32k2k12k2k1k1131111311 242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)2411113*n1n22n24 所以：对于n∈N，且n>1时，有5.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+„+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1bn)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较1Sn与3logabn+1的大小，并证明你的结论.b11b1110(101)10bd145d312(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2(2)证明：由bn=3n－2知

11Sn=loga(1+1)+loga(1+4)+„+loga(1+3n2)11=loga［(1+1)(1+4)„(1+ 3n2)］

1113而3logabn+1=loga3n1,于是，比较Sn与3logabn+1的大小比较(1+1)(1+4)„13(1+3n2)与3n1的大小.333取n=1，有(1+1)=84311 13)8373321取n=2，有(1+1)(1+4 113*推测：(1+1)(1+4)„(1+3n2)＞3n1()①当n=1时，已验证()式成立.*

113*②假设n=k(k≥1)时()式成立，即(1+1)(1+4)„(1+3k2)＞3k1 1111(11)(1)(1)(1)33k1(1)43k23(k1)23k1则当n=k+1时，3k233k13k1

(3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k4022(3k1)(3k1)33k1(3k2)33k433(k1)13k1

111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)1*43k23k1,即当n=k+1时，()式成立

由①②知，()式对任意正整数n都成立.*

11于是，当a＞1时，Sn＞3logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜3logabn+1

6.设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果nS2n＜3,求q的取值范围.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0，lim9∴q≠0,a2=－2, ∵an·an+1=－q,an+1·an+2=－q nn+1两式相除，得an1an2q,即an+2=q·an

1nn于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·q„猜想：a2n+1=－2q(n=1,2,3,„)

2qk1 n2k1时(kN)1kq n2k时(kN)综合①②，猜想通项公式为an=2

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

k－1(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·q则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1

k∴a2k+1=2·q即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.1k设n=2k时，a2k=－2q,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k, 1k所以a2k+2=－2q+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.2qk1 当n2k1时(kN)1k当n2k时(kN)q 2这样所求通项公式为an=

S2n=(a1+a3„+a2n－1)+(a2+a4+„+a2n)12n-12n=2(1+q+q+„+q)－2(q+q+„+q)2(1qn)1q(1qn)1qn4q()()1q2(1q)1q2

1qn4qlimq0,故limS2n(1q)(2)n由于|q|＜1,∴n= n4q2依题意知2(1q)＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜5

三.巩固练习

1.（06 年湖南卷.理.19本小题满分14分）

0a11,an1f(an),n1,2,3,.a已知函数f(x)xsinx,数列{n}满足:

1an1an30an1an1;(ⅱ)6证明:(ⅰ).证明:（I）．先用数学归纳法证明

0an1，ｎ＝1,2,3,…

(i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k时结论成立,即

0ak1.因为0

f'(x)1cosx0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续, 从而f(0)f(ak)f(1),即0ak11sin11.故n=k+1时,结论成立.0an1对一切正整数都成立.由(i)、(ii)可知，又因为0an1时，an1anansinanansinan0，所以an1an，综上所述0an1an1．

1g(x)sinxxx36，0x1．由（I）知，当0x1时，sinxx，（II）．设函数

x2x2x2x22xg(x)cosx12sin2()0.2222从而 '所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0，1g(an)0,即sinananan306

所以当0x1时，g(x)>0成立.于是． 1an1an36

故．

点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决 问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用各分支的数学知识.2.（05 年辽宁卷.19本小题满分12分）

f(x)已知函数x3(x1).{aa1,an1f(an)，数列{bn}满足x1设数列n}满足1bn|an3|,Snb1b2bn(nN*).(31)nbn2n1；

（Ⅰ）用数学归纳法证明Sn23.3

（Ⅱ）证明分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力 x0时,f(x)1（Ⅰ）证明：当所以

21.x1 因为a1=1，an1(nN*).(31)nbn.n12下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b1=31，不等式成立，(31)kbk.k12（2）假设当n=k时，不等式成立，即

bk1|ak13|那么

(31)|ak3|1ak

31(31)k1bk.k22

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。

(31)nbn.n12（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(31)2(31)nSnb1b2bn(31)22n1 所以

31n)122(31)(31)3.313131122 1(nN,Sn23.3）故对任意3.（05 年湖北卷.理22.本小题满分14分）已知不等式1111[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过23n2log2n的最大整数.设数列{an}的各项为正，且满足a1b(b0),annan1,n2,3,4,

nan（Ⅰ）证明an2b,n3,4,5,

2b[log2n]（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； 分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.n2时,0an（Ⅰ）证法1：∵当

nan11nan111,,nan1annan1an1n

111,aan1n 即n111111111,,,.aa12a3a23anan1n 于是有 211111.aa123n 所有不等式两边相加可得 n111[log2n].aa12由已知不等式知，当n≥3时有，n

a1b,∵

2b[log2n]111[log2n].anb22ban2b.2b[log2n]

f(n)证法2：设11123n，首先利用数学归纳法证不等式

anb,n3,4,5,.1f(n)b

a3（i）当n=3时，由 知不等式成立.3a233b.32a3a21f(3)b1131a22a1

b,1f(k)b

ak（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak1则(k1)akk1k11f(k)b(k1)ak(k1)1(k1)1akb (k1)b(k1)(k1)f(k)bbb1(f(k)1)bk1b,1f(k1)b

即当n=k+1时，不等式也成立.an由（i）、（ii）知，b,n3,4,5,.1f(n)b

an又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且nb11[log2n]b2

2b,n3,4,5,.2b[log2n]

liman0.2b221,令,2b[log2n][log2n][log2n]5（Ⅲ）∵

10logn[logn]10,n21024, 22则有

1an.5 故取N=1024，可使当n>N时，都有

第二篇：第1单元《梭伦改革》全套教案(新人教选修1)

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第一单元、梭伦改革

一、课程目标 内容标准 教学要求

教学建议

了解梭伦改1．了解梭伦改革前雅典1．结合地理环境，帮助学生了解雅典城革前雅典的城邦出现的平民与贵族的邦的经济状况、社会阶层与政体特点。社会状况，认尖锐矛盾以及工商业奴隶

2．引导学生从宏观的社会背景分析梭伦识梭伦改革主的政治要求。

改革：在内忧外患的困境面前雅典推举梭的必要性。

2．知道雅典贵族进行伦全权负责改革。的局部调整不能缓和

3．联系必修Ⅰ中古希腊城邦文明与地理日益尖锐的社会矛盾。

环境的有关知识，分析雅典的社会阶级关3．认识梭伦改革的必系，认识梭伦改革的深层次原因。要性。

4．引导学生感受“六一汉”的生存状况与贵族的专横，体会辉煌的雅典文明也走过风雨飘摇的历程。简述梭伦改1．简述梭伦改革在颁1．指导学生阅读教材，用提炼关键词、革的主要措布“解负令”、确立财产制作表格等方式来把握梭伦改革的主要施，指出改革等级制度和推行国家措施。的基本特点。权力机构改革等方面

2．关于梭伦对国家权力机构的改革可以的主要措施。

指导学生用图示法来说明其中所包含的2．指出梭伦改革呈现政治民主性。的“革命性”与“中庸式

3．梭伦改革的革命性特点主要体现为触”的基本特点。

及土地占有关系和打破贵族专权；中庸式3．感受诗人政治家冲特点主要体现为既改善平民的经济状况破阻力、振兴城邦的襟和政治地位又确认财产等级制度和保护怀和理想。贵族特权。教学时要对特点给予必要的提

示和论述。

4．适当地援引梭伦的诗歌来进行教学。

分析梭伦改1.分析梭伦改革对雅革对雅典民典民主政治建设的积主政治建设极影响。的影响。

2.了解梭伦改革的历史局限性。

3．认识到制度设置是

1．注意引导学生先从改革的若干措施来? 咛宸治觯俣运舐赘母锏挠跋旄枵宓乃得鳌?

2．教师要适当补充材料，联系必修Ⅰ“雅典民主政治的主要内容”，使学生明确古代雅典民主政治是经过一系列改革的发 1 河南教考资源信息网

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民主政治的可靠保障；展历程而最终形成的。体会精英意识和平民

3．回顾梭伦改革前夕平民与贵族的矛盾，情怀。

结合梭伦个人事迹的背景材料，组织学生谈谈如何坚持正义原则，培养平民情怀。

二、史论共享

梭伦改革的政治影响：

梭伦改革是雅典城邦乃至整个古希腊历史上最重要的社会政治改革之一，它为雅典城邦的振兴与富强开辟了道路，奠定了城邦民主政治的基础。梭伦改革一方面为雅典民主政治奠定了社会基础，另一方面完善了国家制度，为普通公民参与国家政治活动提供了制度保证。梭伦的价值观以及改革中创造的有利于公民行使职权的各种制度，对雅典民主政治具有重要的意义。梭伦改革奠定了雅典民主政治、乃至西方民主政治的基础。

三、知识梳理

第1课 雅典城邦的兴起

（一）雅典城邦的社会状况

1、自然条件：

（1）环境优越： 位于希腊 半岛，分布着小块的。（2）资源丰富：生产葡萄、橄榄，富藏优质 和。（3）交通便利：有天然良港。

2、社会组织的演变：

（1）“荷马时代”：由多个部落或氏族构成，长期纷争。（2）国家的雏形：约公元前9-公元前8世纪。

3、主要社会成员：贵族和平民（包括、）

（二）复杂的社会矛盾

1、贵族专权：（1）表现

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政治上：贵族把持首席执政官、等要害部 门；体现平民地位的 没有实际权力。

经济上：贵族掌握大部分 ；平民处境不断恶化，甚至沦为。（2）结果： 的专横和压榨，激起了 的反抗；雅典统治者调整统治政策，仍没有化解。

2、工商业奴隶主的呼声：

（1）工商业奴隶主的兴起：农业生产力大为提高，推动了 的发展；有些平民和贵族经营工商业，逐步形成 阶层。（2）各派的政治要求

平原派：主张维护贵族 政治，以巩固自身既得利益。山地派：实行激进的，进行彻底的社会变革。海岸派：实行 的改革，反对。

（三）临危受命的梭伦

1、走上政治舞台

（1）的侵略：邻邦梅加腊占领，雅典统治者无力收回。（2）收回萨拉米斯岛：梭伦率领 军队，一举收回领土。

2、当选执政官：公元前 年，平民与贵族矛盾再度激化，内战一触即发，梭伦当选为，全权修订，进行改革。第2课 除旧布新的梭伦改革



（一）颁布“解负令”

1、内容：废除债务奴隶制，因 而沦为奴隶的人获得自由；废除“ ”制度，禁止以人身为担保的借贷；规定占有土地的最高限额，防止贵族任意 ；制定“ ”，杜绝贵族侵占平民的财产。

2、应对贵族反对：依靠 支持，坚持推行改革；这稳定社会秩序，调整了部分 措施。

3、影响：

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对内：贵族的 受到制约，逐步失去扩展势力的物质基础；解除债务奴隶制，雅典城邦的 成为享有人身自? 珊凸袢ǖ墓瘛? 对外：为了获得更多的，积极向外掠夺奴隶，走上奴役 的道路。

（二）确立 制度

1、目的：打破贵族的

2、标准：按 将雅典公民划分为四个等级

3、权利义务：财产越多，等级，享受的权利，应尽的义务也，不同等级权利和义务。

4、结果：虽然没有带来真正的平等，但是打破了贵族依据 的世袭特权垄断政权的局面。为 开辟了参政议政的途径。重新分配了国家 &n bsp;，动摇了贵族政治的社会基础，为雅典 的发展开辟了道路。

（三）建立“ ”

1、目的：进一步打破贵族的专权

2、主要措施：恢复 作为国家最高权力机关，削弱 的权力；组成“四百人会议”作为 的常设机构，实际上执掌最高统治权；设立

作为最高司法机关，对司法审判权的长期垄断被打破；废除许多严刑峻法，制? ┝艘恍┬路伞?

（四）鼓励发展农工商业

1、目的：扩大 的就业机会，壮大雅典城邦的实力

2、措施：

（1）农业：禁止，抑制粮食涨价；改进水渠灌溉系统，提倡种植，鼓励橄榄油等经济作物的出口。

（2）工商业：鼓励 ；规定雅典公民必须让儿子学会一门手艺；吸引有技术的外国人迁居。

（3）其他方面：改革 和 ；确立私有制，承认 的原则；倡导，抑制奢侈浪费；禁止挥霍无度，惩罚游手好闲之徒。

3、意义：大大推动了雅典社会的发展 河南教考资源信息网

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第3课 雅典民主政治的奠基石



（一）梭伦出走与僭主政治的建立

1、梭伦出走：客观原因：梭伦改革没有从根本上消除 与 的矛盾。主观原因：梭伦不愿建立，践踏民主政治。

2、僭主政治的建立；

（1）原因：雅典社会矛盾进一步激化，、、三派斗争激烈，政局动荡。

（2）建立：公元前 年，凭借武力夺取政权，建立了个人独裁。（3）措施：没有废除 的成果；打击贵族势力，提高 的经济地位，发展工商业。



（二）雅典民主政治的奠基石

1、梭伦改革? 睦芬庖澹?（1）经济上：梭伦改革为 的振兴和富强开辟了道路，使雅典成为古希腊最繁荣的。

（2）政治上：梭伦改革动摇了 统治，奠定了城邦 的基础；恢复公民大会、设立四百人会议和 等国家权利机构，在一定程度上确保了 的政治权利。

2、民主政治的确定：公元前6世纪末，通过反对僭主政治执政，进一步促进了 的形成；公元前5世纪，改革，促进了雅典民主政治的发展和完善并使其最终确立。

（三）梭伦改革的历史局限性

（1）原因：主要目的是，稳定社会秩序，因此梭伦主要扮演了“ ”的角色，很多改革措施具有“ ”色彩。

（2）表现：确立财产等级制度，使得下层公民没有享有充分的 的权利；贵族势力削弱，但仍比平民享有更多的政治权利，残余仍得以存续；贵族与平民的矛盾没有得到根本解决。

四、巩固练习

第1课 雅典城邦的兴起

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

1、古希腊文明发生的典型地域特点是

A、大河流域 B、交通枢纽 C、政治中心 D、海洋辽阔



2、公元前8-公元前6世纪，雅典贵族把持的权力机关有

①首席执政官 ②长? 匣嵋? ③公民大会

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③



3、公元前8-公元前6世纪，雅典城邦出现了许多“六一汉”和债务奴隶，这种现象能说明的本质问题是

A、雅典下层平民的生活状况 B、贵族用放高利贷的方式盘剥平民 C、平民和贵族之间的矛盾尖锐 D、雅典土地资源稀缺



4、公元前625年，雅典平民巴巴拉窃取葡萄被依法论处，依照当时的法律，他将受到怎样的制裁

A、出卖为奴 B、处以死刑 C、处以罚款 D、关进监狱



5、下列对雅典工商业奴隶主阶层叙述不正确的是

A、他们在地中海、黑海沿岸经商 B、他们在工商业活动中使用奴隶劳动

C、他们促进了雅典奴隶制经济的发展 D、他们都是由平民发财致富而形成的



6、当时雅典公? 裢蒲∷舐孜紫凑俚墓餐康氖? A、维护工商业奴隶主的利益 B、巩固贵族的既得利益 C、缓和社会矛盾，维护城邦统一 D、征服其他城邦的需要 第2课 除旧布新的梭伦改革

1、下列措施中对限制雅典贵族进行土地兼并起到直接作用的是

①废除了“六一汉”制度②“遗嘱法”的制定③规定占有土地的最高限额④拨款赎回被卖到外邦作奴隶的公民

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

2、下列对雅典的财产等级制度的说法不正确的是 河南教考资源信息网

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A、划分等级的标准是公民的财产，后来计算财产资格时将非土地财富也包括在内

B、不同等级的公民享受的权利和应尽的义务成正比

C、打破了贵族依据血缘门第的权利垄断政治的局面，一定程度上削弱了其地位 D、收益最大的是平民阶层

3、雅 典城邦的最高权力机关是

A、四百人会议 B、首席执政官 C、公民大会 D、陪审法庭

4、对“四百人会议”的叙述，不正确的是

A、是公民大会的常设机构 B、从雅典最初的四个部落中各选100人组成 C、全体公民都可以当选 D、实际上执掌最高统治权

5、公元前6世纪雅典的一个年收入100麦斗的平民，他可以

①参加公民大会②当选“四百人会议”的成员③当选为陪审员④在战争中提供骑兵

A、①② B、①③ C、①④ D、②③



6、梭伦改革后，陪审法庭的陪审员产生的方式是

A、由各等级公民选举产生 B、从各等级公民中抽签产生 C、由各等级公民轮流担任 D、由首席执政官随意指任 第3课 雅典民主政治的奠基石



1、梭伦之所以出走他乡，离开雅典，主要原因是

A、梭伦建立僭主政治未获得成功 B、梭伦想去外邦漫游 C、梭伦未能消除雅典社会的主要矛盾 D、梭伦改革遭到旧贵族的反对



2、梭伦因其改革遭到责难和讥讽而出走后，企图推翻其改革成果的是

A、山地派 B、海岸派 C、僭主派 D、平原派



3、从公元前7世纪到前5世纪，雅典的历次改革中使民主政治最终确立的是 河南教考资源信息网

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A、梭伦改革 B、庇西特拉图改革 C、克里斯提尼改革 D、伯利克里改革



4、在梭伦改革中，使广大平民成为享有自由权利公民的措施是

A、颁布“解负令” B、确立财产等级制度 C、设立陪审法庭 D、建立“四百人会议” 

5、从根本 上瓦解了贵族世袭政治特权的基础措施是

A、确立财产等级制度 B、鼓励发展工商业 C、恢复公民大会的权力 D、设立“四百人会议” 

6、关于梭伦改革表述不正确的是

A、富有的第一、第二等级在国家政权中占据着绝对的优势 B、下层公民没有享有充分的参政议政的权利

C、贵族仍然比平民享有更多的政治权利，氏族制度残余仍得以存续 D、贵族凭借财富，照样拥有世袭占有土地的特权 第一单元综合测试

一、选择题

1、大约在公元前9-前8世纪，雅典公民主要包括  ① 贵族 ②平民 ③奴隶 ④外邦人 

A、①② B、③④ C、①③ D、②④



2、下列不属于梭伦改革的历史局限性的有

A、下层公民没有充分的参政议政的权利 B、确立了雅典的奴隶制民主制 C、氏族制度的残余得以存续 D、没有从根本上解决贵族和平民的矛盾



3、雅典民主制的实质是

A、奴隶主阶级对奴隶的专政 B、奴隶主阶级对自由民的专政 C、共和制的管理形式 D、雅典公民阶级的自我管理形式



4、削弱贵族长老会议权力的举措是 河南教考资源信息网

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A、“解负令”的实行 B、“四百人会议”建立 C、恢复公民大会 D、财产等级制改革



5、梭伦改革并没有实现雅典公民的完全平等，主要是因为

A、用财产的不平等代替出身的不平等 B、不同等级的公民享有不同的政治权力

C、不同等级的公民承担的义务也不相同 D、梭伦改革仅适应了奴隶主阶级的需要



6、为雅典民主政治奠定基础的改革是

A、梭伦改革 B、克里斯提尼改革 C、伯? 死锔母? D、庇西特拉图改革



7、梭伦改革实行财产等级制，其最大的受益者是

A、平原派 B、山地派 C、海岸派 D、激进派

8、雅典社会的平民

A、都是农民，遭到贵族的盘剥 B、都是公民，有权利参加公民大会 C、都深受债务之苦，主张实行激进的民主政治 D、经过梭伦改革，取得了与贵族完全平等的权利

9、贵族把持要职，其中长老会议的职责有 ①最高决策 ②监察 ③审判 ④自由选举

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

10、下列关于平民与贵族的斗争的叙述，正确的是

①原因上，既有经济的，又有政治的 ②方式上，曾经出现过暴力冲突 ③二者的斗争直接促成了梭伦的改革 ④梭伦改革一举消除了二者之间的矛盾 A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

11、梭伦确定的财产等级制度是

①公民财产越多，等级就越高 ②公民等级越高，享受的权利越多 ③公民等级越低，承担的义务越少 ④不同等级的公民虽然享受的权利不同，但所尽义务相同 河南教考资源信息网

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A、①②③④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

12、下列对梭伦改革后的雅典公民大会的表述，不正确的是

A、有决定战争、媾和等国家大事 B、有权选举国家公职人员 C、成为事实上的国家最高权利机关 D、享有最高的司法裁判权

13、梭轮在改革中禁止粮食出口的直接目的是

A、壮大了雅典城邦的实力 B、发展农业生产 C、抑制粮食价格，保障平民的生活稳定 D、推动对外贸易的发展

14、在财产等级制度下，新兴工商业奴隶主逐渐跻身统治阶层的行列的原因是 A、出自贵族 B、出身平民 C、经济实力雄厚 D、贵族权力被削弱

15、梭伦除旧布新的措施之所以能够适应“海岸派”的要求，是因为“海岸派”的主张①反对贵族特权 ②要求分享政治权利 ③主张实行激进的社会改革 ④主张大力发展工商业

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②④

16、梭伦以财产为依据划分公民等级，克里斯提尼以区域部落代替血缘部落，其共同点是

A、剥夺贵族的政治权利 B、以财产的不平等代替了出身造成的不平等 C、维护工商业奴隶主的利益 D、打击氏族贵族，维护平民利益

17、下列连线不正确的是

A、梭伦--制定“遗嘱法” B、克里斯提尼--“陶片放逐法” C、伯利克里--最终确立民主制 D、庇西特拉图--设立“五百人会议”

18、下列关于梭伦改革的表述，正确的是

①动摇了贵族专制? 持危於顺前蠲裰髡蔚幕? ②为雅典城邦的振兴与富强开辟了道路③动摇了贵族政治的的社会基础 A、②③ B、①③ C、①② D、①②③

19、下列现代民主生活的原则在雅典古代民主改革中已经出现萌芽的有

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①以法律保障人身自由 ②反对出身和财产的不平等 ③比例代表选举法 ④议员选举机会均等，任期制 ⑤人民权威

A、①②③ B、②③④ C、①④⑤ D、①②③④⑤ 20、平民对梭伦的改革有很多抱怨，主要是由于其改革

A、使平民的利益遭受重大损失 B、给平民的经济政治权利太少 C、不在雅典推行僭主政治制度 D、没有实现广大平民任何要求

二、材料分析题

21、阅读下列材料：

材料一：在时间的裁判面前，那奥林匹斯诸神的伟大母亲--黑色的土地，将是最好的证人，因为正是我，为她拔掉了众多的债权标，以前她被受奴役，而今已重获自由。许多被出卖的人们，我已使他们回到这神所建立的雅典，其中有的无辜被售，有的因故卖身，有的为可怕的贫穷所迫，逃亡异地......我都使他们获得解放！----梭伦

材料二：梭伦改革对雅典公民的财产等级划分和政治权利分配 等级 第一等级 第二等级 第三等级 第四等级 等级名称 500斗级 骑士级 双牛级 日佣级

财产资格

分享的政治权利

年收入500麦斗以可担任一切官职 上

年收入达300麦斗 可担任除司库以外的高级官职 年收入达200麦斗 可出任低级官职 年收入200麦斗以有选举权无被选举下 权

材料三：当代有人评论说：梭伦改革对国家政权机构和司法制度进行了民主化改革。......这些措施打破了贵族对政权的垄断，赋予平民直接管理国家事物的权力，为政治民主化开辟了道路。请回答：

（1）材料一反映了梭伦改革的哪些措施？该措施主要解决了哪一问题？结果怎样？

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（2）梭伦曾经写诗描述他的改革措施：“我制定法律，无分贵贱，一视同仁。”结合所学知识和材料二信息，谈谈梭伦改革确立财产等级制度的意义，他是否真正做到了“一视同仁”？

（3）根据材料三回答，梭伦对国家权力机构和司法制度进行了哪些改革？

22、阅读下列材料：

材料一：不再以出身而是以财产的数量来划分公民的等级。......不同等级的人则待遇有所不同。......公民大会选举或罢免一切公职人员，决定宣战、媾和、制定法律等一切国家大事。奖励外国技工迁居雅典，对携眷移民给予公民权；雅典公民必须让儿子学会一门手艺，否则儿子可拒绝赡养其父；鼓励橄榄油出口。材料二：梭伦的诗歌

其一：你们这些财物山积、丰衣足食而有余的人，应当抑制你们贪婪的心情，压制它，使它平衡。

其二：我手执一个有力的盾牌，站在两个阶级的面前，不许他们任何一方不公正地占着优势。

其三：我制定法律，无分贵贱，一视同仁。按照正义，人人各得其所。请回答：

（1）材料一中是梭伦改革的内容，概括归纳改革涉及哪几个方面。是如何规定的？

（2）材料二中可以看出梭伦改革有何特征？体现了梭伦改革的侧重点是什么？（3）梭伦改革对本国政治制度的形成有何影响？ 参考答案： 第1课： DBCBDC 第2课: CDCCBB 第3课: CDDAAD 第一单元综合测试

ABACA AVBAB BDCCD DDDDB 河南教考资源信息网

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21（1）措施：“解负令”。问题：贵族以高利贷、土地兼并等方式盘剥农民，平民无力偿还债务，成为“六一汉”或沦为债务奴隶，有的甚至被卖到外邦作为奴隶。结果：解除了债务奴隶制对平民的威胁，使雅典城邦的原居民不管贵族和平民都成为享有人身自由和公民权的公民。

（2）打破了贵族依靠血缘门第特权世袭垄断政权的局面，为非贵族出身的工商业奴隶主开辟了参政议政的途径，为雅典民主政治开辟了道路。但是，改革没有带来真正的平等，特别是下层平民参加国家高级管理职位的机会，因财产资格而受到限制，所以梭伦并未真正做到“一视同仁”。

（3）恢复公民大会作为国家最高权力机关，所有公民都有资格参加公民大会；创立“四百人会议”作为公民大会的常设机构；设立公民陪审法庭作为最高司法 机关；制订新的法律。

22（1）涉及等级划分、公民大会职权及官吏任免、对待工商业的态度。规定：以财产的多少划分等级；由公民大会产生或罢免官吏，鼓励工商业发展。（2）节制、折中、公平和法律面前人人平等。侧重点：缓和社会矛盾，振兴雅典城邦。（3）为雅典民主政治发展奠定了社会基础。

第三篇：高中语文：1.2《湘夫人》教案(新人教选修)

屈原《湘夫人》

教案

一、导入

湘君和湘夫人是湘江的一对恋人神，传说湘君就是古帝舜，他南巡时死于苍梧，葬于九嶷山。舜的妻子是尧帝的二女娥皇、女英，她们追随丈夫到沅湘，夫死而苦，泪水落在竹子上，使竹竿结满了斑点，“斑竹”之名即由此而来。屈原根据这个美丽的传说写作了一首诗歌《湘夫人》，让我们一起来学习。

二、常识介绍

介绍屈原、楚辞和背景知识

三、把握诗歌情感，理解诗歌主题

（一）播放录音，学生结合课后注释朗读诗歌。

（二）（1）师问：这首诗歌讲述的是一个什么样的故事？

生答：讲了湘君和湘夫人的苦恋故事，全诗以湘君的口吻，抒写了他自己在约会地点没有等到湘夫人的忧愁、烦恼感情和一系列的心里活动。（2）师问：诗人是以怎样的情感来讲述这个故事的？为什么会用这样的情感讲述这个苦恋故事？（启发学生用“知人论世、以意逆志”来把握诗人情感、理解诗歌主旨）生答：幽怨 哀婉

生答：诗言志，诗人借讲述这个哀婉、动人的苦恋故事，来表达他政治理想不能实现的幽怨，借湘君对爱情的坚贞不渝来表达他对理想执着追求的情愫。附屈原其人其事：

屈原一生经历了楚威王、楚怀王、顷襄王三个时期，而主要活动于楚怀王时期。这个时期正是中国即将实现大一统的前夕，“横则秦帝，纵则楚王。”屈原因出身贵族，又明于治乱，娴于辞令，故而早年深受楚怀王的宠信，位为左徒、三闾大夫。屈原为实现楚国的统一大业，对内积极辅佐怀王变法图强，对外坚决主张联齐抗秦，使楚国一度出现了一个国富兵强、威震诸侯的局面。但是由于在内政外交上屈原与楚国腐朽贵族集团发生了尖锐的矛盾，由于上官大夫等人的嫉妒，屈原后来遭到群小的诬陷和楚怀王的疏远。怀王十五年（前304），张仪由秦至楚，以重金收买靳尚、子兰、郑袖等人充当内奸，同时以“献商於之地六百里”诱骗怀王，致使齐楚断交。怀王受骗后恼羞成怒，两度向秦出兵，均遭惨败。于是屈原奉命出使齐国重修齐楚旧好。此间张仪又一次由秦至楚，进行瓦解齐楚联盟的活动，使齐楚联盟未能成功。怀王二十四年，秦楚黄棘之盟，楚国彻底投入了秦的怀抱。屈原亦被逐出郢都，到了汉北。

怀王三十年，屈原回到郢都。同年，秦约怀王武关相会，怀王遂被秦扣留，最终客死秦国，顷襄王即位后继续实施投降政策，屈原再次被逐出郢都，流放江南，辗转流离于沅、湘二水之间。顷襄王二十一年（公元前278），秦将白起攻破郢都，屈原悲愤难捱，遂自沉汨罗江，以身殉了自己的政治理想。（3）师生研讨诗歌主题。

本诗以男女水神等候对方为线索，表现了他们因思而不见而在不断的彷徨迷惘中产生的深长的幽思之情，但仍对爱情坚贞不渝的主题！诗歌反应了当时人民的真实感情和美好愿望，也渗透了诗人屈原执着追求理想的情愫。

四、学习情景交融的写法，意象在表达情感、营造意境上的作用 1．朗读第一段，通过“袅袅兮秋风，洞庭波兮木叶下”、“鸟萃兮苹中，罾何为兮木上”，分析情景关系。2．“秋风”、“木叶”这都是令人感伤的意象，作者为了表现他的幽怨、哀婉，自然要选择这些哀景，可是后面为什么还要写很多的香草？ 生答：寄予理想

五、布置作业 1．背诵课文。

2．整理屈原诗歌中的名句。《九歌•湘夫人》教案周建忠

一、《九歌》的来源及其演变

《九歌》的发展和形成经历了漫长的四个阶段。第一阶段称为“原始《九歌》”或“巫术《九歌》”；第二阶段是“中原《九歌》”，我们称之为“夏代经典《九歌》”；第三阶段是“楚地《九歌》”，也称“民间《九歌》”；第四阶段是“屈原《九歌》”。

我们解读《九歌》最大的难点就是要把这四个层次理清楚，如果不能把这四个层次理清楚，把屈原的《九歌》和夏代《九歌》等同或跟原始《九歌》等同，那样就不能很好的解读《九歌》。《九歌》的名称起源很早，《离骚》中讲到的“启《九辩》与《九歌》兮”，是说夏代开国君王夏启，把天庭乐歌《九歌》偷回人间。其实在夏代《九歌》之前还有“原始《九歌》”或“巫术《九歌》”。到目前为止，我们还没有发现楚国人把《九歌》作为国家所用的祭歌的记载，但《九歌》和国家的祭祀还是有一些关系的。北京大学教授金开诚曾说，《九歌》可能是大型祭礼的余续，是大型祭礼结束以后再来唱的，既有大型祭祀典礼的肃穆与端庄，又有娱人的作用。这种说法我人为是比较有力的。《九歌》既和国家祀典有关，又和国家祀典有所区别，但到目前为止还没有发现《九歌》与楚国的国家祭典有直接的关系。屈原在楚地民间祭歌的基础之上创作了《九歌》。屈原在长期流放的过程中能够感受到，也能够接触到楚国的传统祭歌。

屈原创作《九歌》的摹本，可以毫无疑问地说就是楚地民间《九歌》，这在东汉王逸的《楚辞章句》和宋代朱熹的《楚辞集注》中都有明确论述。屈原在楚地民间《九歌》的基础上创作了组诗《九歌》，而楚地的民间《九歌》显然保留了夏代中原《九歌》和巫术《九歌》以及原始《九歌》的某些内容和风格，因此我们从屈原《九歌》中能发现原始《九歌》和夏代《九歌》的一些痕迹。因此，对于屈原的《九歌》，可以这样表述：屈原《九歌》是在原始《九歌》、中原《九歌》、楚地《九歌》基础之上的独立的文学创作。

二、《九歌》的内容

《九歌》是组诗，尽管我们一直认为它是可以唱的。王国维、闻一多都认为《九歌》是中国戏剧的萌芽，但我们应该看到，《九歌》的戏剧因素并不明显，而是实实在在的组诗。闻一多研究《九歌》一共做了两件事。

第一、他认为《九歌》中的末篇《礼魂》只有五句，是前十首每篇唱完后的共享唱词，相当于我们今天音乐的“过门”曲。在前十篇中，除《东皇太一》是祭祀至上神，《国殇》是祭祀卫国牺牲的将士外，其余八篇中的神灵可以配成四对：湘君与湘夫人，大司命与少司命，河伯与山鬼，东君和云中君。后来姜亮夫认为东君和云中君配成一对很勉强，于是就认为《九歌》中的神灵可以配成三对。其实，《九歌》中真正能够配成对的神灵只有湘君和湘夫人，其它都是牵强的，但闻一多和姜亮夫对《九歌》研究的最大贡献是，他们都发现了《九歌》中的八篇都涉及到男女之情。《九歌》是借男女情爱来表达人生体悟，人生追求和人生苦恼的观点显然是没有问题的。

闻一多《九歌》研究的另一件比较重要的成果就是写了《九歌歌舞剧悬解》，可能他自己也不太有把握，所以说“悬解”。他把《九歌》中的神灵都转换成戏剧角色，然后用戏剧分幕的方式把《九歌》改写了。这种方式启发了我们现在很多人对于从戏剧的角度研究《九歌》的兴趣。实际上还是王国维说得比较准确，《九歌》仅仅是戏剧的萌芽，是戏剧的化石，但它本身不是戏剧，所以我研究的结论是：“《九歌》是一组诗。”

《九歌》中留下了原始婚姻男女自由约会的痕迹。人类早期的爱情多以水边为背景。在甲骨文中就有“妻人于河”的记载，在河边祭祀就是把漂亮的女孩子扔到河里去。大家所熟知的《西门豹治邺》讲的就是这样的事情。《湘君》、《湘夫人》从内容上看就是讲他们两个人约会不成的事情。用我们今天的话来说，就是有一个时间差而造成了他们的爱情悲剧。对于他们的爱情悲剧，我把它理解为：第一，这是人间正常生活的反映。像湘君、湘夫人这样约会而不能见面的情况，在生活中是非常常见的。第二，也是更主要的，屈原是受到了古代大舜和他的两个妻子娥皇、女英悲剧故事的制约。屈原正是在这个古代神话故事的基础之上创作了《九歌》中的《湘君》、《湘夫人》。我们现在学习《九歌》的任何一篇，要想把它解释的比较通达，能够自圆其说，就肯定要把它和原始《九歌》，夏代《九歌》和楚地民间祭歌联系起来。

三、《湘君》《湘夫人》的故事背景

在中国文学史上，总有一些特殊的地点，由于一些特殊的故事和一些名人之作跟它联系在一起，使它成为千百年的名胜古迹。《湘夫人》故事发生的自然景观背景就是八百里烟波浩淼的洞庭湖。自古以来，洞庭湖的“洞庭”就是“神仙洞府”之意，洞庭湖的最大特点就是湖外有湖湖中有山，景色极其优美。它的北面是长江，因此洞庭湖的水是流入长江里面的。洞庭湖有四条有活水流入的支流，古代称为湘水、沚水、沅水、澧水，也就是现在的湘江、沚水、沅江、澧江。我们在中学里学过的范仲淹的《岳阳楼记》中写的“予观夫巴陵胜状，在洞庭一湖，衔远山，吞长江，浩浩汤汤，横无际涯；朝晖夕阴，气象万千。”可见洞庭湖景色之美丽。洞庭湖中有君山，又叫洞庭山。君山得名的由来就是和尧的两个女儿，舜的两位妻子娥皇女英的神话传说有关。山上有二妃墓和湘妃寺，这都和《九歌》中的湘君、湘夫人神话传说有关。在二妃墓和湘妃寺周围生长着高低起伏，郁郁葱葱，苍翠茂盛的斑竹，在这些竹子上长满泪痕似的斑点，有人说这是全国乃至全国世界独一无二的景观。神话传说中，娥皇女英追到君山，听说虞舜已经死在苍梧之野，她们投江而死之前哭泣的泪痕就化成了现在的斑竹。

由于对屈原及楚辞的研究和实地考察，我对这一带的美景是深有体会的。值得指出的是，汨罗江就是湘江的一条支流，屈原最后流放的地点就是汨罗江一带。他渡过了长江，经过了洞庭湖，来到了沅江，又来到湘江，最后来到汨罗江北边的玉石山，这就是屈原最后的流放地点。对于屈原自沉的汨罗江，我下水过三次，由于水流湍急，虽然江面只有五十多米宽，我被水流向下游冲走了两百多米最终也没有游到对岸，虽然我是从小在长江边长大的，很会游泳，但我也没能够潜到汨罗江的江底，可见，江水是极深的。因此我相信，当年屈原自沉以后，人们打捞他的尸体是绝对捞不到的。后来我沿着汨罗江一直走到头，发现它的尽头不是湘江而是洞庭湖，我拿着地图左看右看不明白是怎么回事，因为地图明明白白标着汨罗江是流入湘江的。经过询问当地人，证明我看到的是对的，原来1958年兴修水利，已把汨罗江直接引入洞庭湖。

湘江是一条非常大的河流，它是横贯整个河南省甚至还流经河北的一些地方的一条大河。

洞庭湖特殊的自然景观，由于其独特的美景以及瑰丽的神话传说以及一些古代的文人（如范仲淹等）在文章中的赞美和歌颂，因而就显得特别有名。我们要讲的《湘夫人》就是跟洞庭湖有关。在我们所知道的历代文人中和洞庭湖关系最密切的，影响最早的就是屈原的 神话悲剧故事《湘君》和《湘夫人》。根据《山海经》、《尚书》的记载，在传说的三皇五帝时代，尧考察他的接班人舜，用了二十年的时间，还把自己的两个女儿娥皇和女英嫁给舜，后来舜外出巡行生了重病，娥皇、女英就赶去看望他，当她俩赶到洞庭湖中君山的时候，那边传来消息说大舜已经崩于苍梧，娥皇女英悲痛哭泣，然后就投江而死。正因为这个故事太感人了，再加上我们的社会是一个以男性作家为创作主体的社会，所以后代以这个神话传说创作的作品可以说是数不胜数。在以男性作家为主的文坛上，这样的题材多少寄予了作者对社会、对人生、对婚姻爱情的一种期待、理解和渴望，所以这个题材历久不衰。如果我们撇开这个题材的共同性再来看屈原的创作，就可以发现它处在了一个很高的层次。他没有流于这个题材的这样的一个悲剧故事传说，而是虚拟了两位湘水配偶神的约会。《湘君》是写湘夫人到达约会地点没有见到湘君而对湘君的思念；《湘夫人》是写湘君前来和湘夫人约会儿没有见到湘夫人而对湘夫人的思念。相比较而言，我觉得两篇当中《湘夫人》更好一些，所以我们选讲《湘夫人》。

在这一篇中，屈原以湘君这个男性的视角来写，所以写的很有层次，也很有变化。1922年，梁启超在东南大学（也就是南京大学的前生）演讲时说：“最感到奇怪的是屈原在他的作品种有丰富细腻的爱情婚姻体验而从不涉及他的家人。”在这里，梁启超点出了一个问题，就是屈原没有为我们留下任何有关他自己爱情婚姻和家庭的线索，他把自己丰富细腻的爱情婚姻体验转到对古典神话传说及民间文学的继承上，并把它塑造出生动典型的艺术形象。这就是我们解读《湘君》、《湘夫人》的背景。

九嶷、斑竹、娥皇、女英、二妃墓、大舜等仅仅时屈原创作这两首诗的原型和背景。在此原型和背景上，屈原进行了再创造，从而创作出优美的诗篇。北京大学的林庚教授（他自己就是一位诗人）曾经讲过，湘君、湘夫人的神话传说完全可以把它故事化，但在屈原的笔下完全被诗化了。在《湘君》《湘夫人》中，只有一个瞬间的情节——一个约会的片段，别的都是丰富的内心活动。屈原正式截取这个悲剧故事的一个片段，凭着精神的流动而创作了这两首优美的诗篇。

四、《湘夫人》解读

《湘夫人》一共有四十句，我将它分成三段。第一段为前十八句，即从开头到“将腾驾兮偕逝”第二段十四句，即从“筑室兮水中”至“建芳馨兮庑门”。第三段是余下的八句。每段可以用一个字来概括：第一段写“望”；第二段写“迎”，即作迎接的种种准备；第三段写“等”。我的段落划分跟现在所有注本或研究性文章的划分都不相同。

第一段是采用一种跳跃性的节奏，来写对湘夫人的盼望。叙述在这里呈跳跃性、倒装性的不规则状态。在这种跳跃性、不规则的叙述状态下，强烈地抒发了渴望和期待之情。有人说，“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下”抵得上了唐人绝句千万首，它的特点就在于跳跃的、不规则的节奏。从叙事的角度，第一段的最后两句“闻佳人兮召予，将腾驾兮偕逝”才是叙事的起点。湘君约会湘夫人不得，却先说降临北渚看到的是落叶飘零，洞庭湖水漂渺无边，失望的思绪和眼前的景色融为一体，然后说登高远望，布置陈设，最后说听到湘夫人约见的音讯自己毫不犹豫，马上前往。可见倒装的痕迹非常明显。如果讲“诗眼”的话，“偕逝”就是这首诗的诗眼，正因为对方没有到来，整个的痛苦就只能有一个人承担，第一段中的第二个情节点是“朝驰余马兮江皋，夕济兮西澨”。在古诗中，诗人比较喜欢用“早”“晚”来表示时间的快速流逝。例如《木兰诗》只中用了四句话，两个“旦”和两个“暮”就写出了木兰不远万里，离别家乡奔赴前线的漫长的时间和空间跨度。“驰”是使动用法，使自己的马快速奔驰，是对上句“腾驾”的形象化描写。“江皋”，江边的高地，“济”，抵达。让我的马在江边的高地上飞驰，傍晚就到达了西边的渡口

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予。袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下。”这应该是第一段诗歌的第三个情节点。写出了湘君等待湘夫人时那种久等不至，怅然若失的失落和焦急的心境。强烈的失望带来了对自然景观的一种感情化的描写。自然界的景色在这里和诗中主人公的主观感受完全吻合，所以湘君就只能是“荒忽兮远望，观流水兮潺湲”，“登白薠兮骋望，与佳期兮夕张。”

我们可以看到，在第一段的十八句当中有十句是用来勾连情节的。第一组是“闻佳人兮召予，将腾驾兮偕逝”，它点出了约会的对象和对约见成功后行为的想象。

第二组是“朝驰余马兮江皋，夕济兮西澨”。第三组是“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予”。对方相约而不见，所以我惆怅而失落。接着是“荒忽兮远望，观流水兮婵媛”，带着迷茫惆怅的失落心情向远处眺望，只能看到江水在流淌。

最后是“登白薠兮骋望，与佳期兮夕张”，再一次登上长满白薠的更高的堤岸向远处眺望，情人还是没有来，虽然如此，我还要来为了她的到来而做好准备。

如果说这首诗有第二个诗眼的话那就是“张”。在黄昏即将降临的时候，我在这儿做好各种准备，等待心上人的到来。这个“张”就是做各种准备。这样就领起了第二段，去造一个完整的房子：“筑室兮水中，葺之兮荷盖。”这样，我们把五组情节链勾连起来就可以看到湘君对湘夫人的那种一往情深，缠绵悱恻的情绪在流动，同时也可以看出他因没能见到湘夫人而显得非常失落和悲伤。这五组十句的情节勾连又是用不规则的、跳跃的、倒装的甚而至于无序的方式来形成这样一个抒情的结构。可以这样说，这首诗中写得最好的地方就是开头的第一段，第一段中最好的是开头四句。

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予。” 帝子，指湘夫人，古代女子也可以称子。《诗经》中写道齐国国君的女儿出嫁时“之子于归，百辆御之”可证。因为湘夫人是神灵所以说“降”，它一方面跟湘夫人的神灵身份相吻合，同时也符合湘君等待约会湘夫人的感情期待，表现了对湘夫人急切的期待的心情。“愁予”，使我极度的悲伤；眇眇，望眼欲穿而又模糊迷茫看不清楚的状态。上下句之间存在着极大的感情落差，上句写出了自己前所未有的渴望和幸运之感，下句写因没有看到对方的到来而一下子跌到了感情的深渊。没有见到心上人，看到的却是“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下”的萧瑟悲凉的深秋景色。瑟瑟秋风、浩渺的秋水、萧萧落叶使湘君的心情更加惆怅万分。这种写法启发了无数的后来人，如杜甫的“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”；晏殊的“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”等等。所以说“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下”是中国古典诗词中经久不衰的名句，秋风、落叶也就成了表达失落、惆怅之情的最敏感且最富表现力的词汇，同时也成为最能唤起人们悲愁情感的自然景观。历代都有无数的文人艺术家对这两句诗做出高度的评价和赞美，并以之为题材创作出无数的诗文画等艺术珍品。需要说明的是，古人对自然的理解是比较单一的，在他们的心中乃至作品中，所有的花都在一个季节开放，那就是春天；所有的树都在一个季节落叶，那就是秋天。其实，这两种理解是完全违背自然界现象和自然界的客观规律的，因为每一天都有树叶在落，一年四季每一季节甚至每一天都有花开。“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下。”

首先，它点明季节；其次它写出了无穷的境界，那种秋水初涨，浩渺无边，一望无际景象如在眼前；再次，它寄寓了自己身后的情感，这种情感跟那种忧愁的情绪和寥落的自然景 观是完全吻合的。范仲淹在《岳阳楼记》中表现出了两种不同的情感。其一是心旷神怡、宠辱皆忘、把酒临风、喜气洋洋的快乐情绪；另一种是去国怀乡、忧谗畏讥、满目萧然、感极而悲的失落和愁苦情感。可以看出，范仲淹在《岳阳楼记》中表达的美好的景观和畅快的心情是极其抽象的，而表现得悲伤失落情绪则非常具体，非常生动，表达的非常到位，所以也就非常感人。“去国怀乡、忧谗畏讥、满目萧然、感极而悲”都是极其具体而鲜明的意象。《湘夫人》所要表达的情感正是这样。进而推广到几乎所有作家，他们对于高兴喜悦的感情，描写和表达的都极其抽象，描写痛苦和失落之情都极其细腻和有层次，极其具体和生动。“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下”正是这种感情表达的早期范式和绝佳典型。

“鸟何萃兮苹中,罾何为兮木上”

写的是反常现象，暗示了失望的必然结果。我们从《诗经》的《关雎》和《氓》等篇中就已经知道，当时涉及到男女爱情一般都在水边。而《湘君》、《湘夫人》更是以水为大背景，这里面的鸟和罾（捕鱼的网）都是爱情隐语，这在民歌里面很多的。

“沅有茝兮醴有兰，思公子兮未敢言”

是写自己思念的情绪。这句诗是这首诗中除“袅袅兮秋风，洞庭波兮落叶下”外的第二个名句，表现了两情未通的单相思的苦闷，它与越地民歌《越人歌》中的“山有木兮木有枝，心悦君兮君不知”有异曲同工之妙处。这里的“不敢言”不是不敢说，而是因为你没有来，因此我没有机会对你讲。“茝”和“兰”是两种花草。这两句诗运用了谐音和双关的修辞手法。表达了自己对爱情的忠贞和执着。

“荒忽兮远望，观流水兮潺湲”之后继续写反常现象：“麋何食兮庭中，蛟何为兮水裔？”鹿在庭院中吃草为什么是反常现象呢？因为鹿通常应该在野外吃草。《诗经•小雅》中有《鹿鸣》一篇中“呦呦鹿鸣，食野之苹”可证。蛟龙由于是雌性龙，所以一般都深潜水底而不会来到水边上。

第一段中，在五组情节链的基础之上，抒发了作者对湘夫人的思念和渴望。湘君的情绪由非常高兴，盼湘夫人的降临——“帝子降兮北渚”，一下子跌落到感情低落的低谷——“目眇眇兮愁予”，然后情绪又发生了很多的变化，所有的变化都是悲伤的，并多次用反问句式表达自己因对方爽约而带来的痛苦之情，用眼前萧瑟冷落的景象和一些反常的生活场景来衬托自己的失落心情。所以，第一段主要是用盼望对方来而对方却没有来，表达了一种情绪的极度低落。

第一段译文：

湘夫人将要降临北洲上，放眼远眺呵使我分外惆怅。秋风阵阵，柔弱细长，洞庭波涌，落叶飘扬。

登上长满白薠的高地放眼望。我与佳人约会，一直忙得月昏黄。鸟儿啊为何聚集在苹草边?鱼网啊为何挂到树枝上?沅水有白芷，澧水有幽兰，怀念湘夫人啊无法讲。心思恍惚，望穿秋水，只见那洞庭水慢慢流淌。野麋寻食，为何来到庭院?蛟龙游戏，为何来到浅滩?清晨我骑马在江边奔驰，傍晚我渡大江西岸旁。听说佳人召唤我，我将快速飞驰与你同往。通过翻译，我们不难发现第十七、十八句才是一个完整的真正的情节的开头。这也是我读《湘夫人》无数遍以后我自己揣摩出来的。它的情节是倒装的，不规则的，跳跃性的，然后在此基础之上有何情绪的流动联系在一起。他的情节完全受制于情感。

第二段比较简单，就是造一所房子，只不过是把地面上的房子造到了水中，然后再装饰了更多的花草。这一段中的每一句都和建筑有关，它的难点是其中有许多比较冷僻的字。在这一段中，我们可以见到很多有关建筑学的专门术语，如“室”、“盖”、“坛”、“堂”、“栋”、“橑”、“屋”、“庭”、“庑门”等等，它们完全符合地面一般建筑的名称和特点。我们通过《湘夫人》第二段中描写所涉及到的建筑学上的术语，可以说明他所建的房子也就是一般的房子，但又是建给最心爱的、盼望已久的人住的，用我们今天的话来说就是迎新用的房子，所以用料考究，装饰精美，用花草装饰了一层又一层。如果说第一段是通过情节来描写，第二段则是通过行动来描写。这里面的情绪是暗隐其间，仅仅是个背景。这一段中没有直接写自己是如何地失望和难过，而是用建筑速度之，料之精美，装饰之考究来表达自己对对方的思念和爱慕，用筑室这种行动来表达对湘夫人的迎接。

第二段译文：

把我们的房屋建造在水中，又将荷花叶子苫在房顶上； 用荪草饰墙，紫贝饰坛，撒布香椒，充满整个中堂； 桂树作栋，兰树作椽，辛夷楣门，白芷铺房； 编结薜荔作帷帐，分开蕙草做隔扇已安放； 洁白的美玉做镇席，散放石兰传播芬芳；

荷叶做的屋顶呵，加盖芷草，再把杜衡缠绕在房屋四方。

汇合各种香草充满庭院，放置各种香草播满门廊。九嶷山的众神都来欢迎，为迎接湘夫人众神如流云一样。我把那外衣抛到江中去，我把那内衣丢在澧水旁。我在小岛上采摘杜若，将送给远方的人儿表衷肠。美好的时机不容易多次得到，我姑且逍遥自在度时光。] 第三段八句四组，表达了湘君情绪的变化。第一组是筑室情绪的自然延伸和幻觉的表现； 第二组是幻觉情形而产生的一种失望的情绪；

第三组在恨之深爱之切的情绪的调动之下，刚刚扔了信物又后悔，赶快去采摘香草，以等待对方的到来；

第四组写最后湘夫人仍然没有来。

可以这么说，所有阅读《九歌》中《湘君》、《湘夫人》的读者都想探究的是，他们最终为什么没有能够见面。我们可以从这样几个方面理解。

第一，这两首诗的创作受到了虞舜和他的两个妻子娥皇女英悲剧故事的制约，这是最主要的因素。

这里我要解释的是又两点。首先，我不同意大部分人认为的这两首诗就是写的是大舜和二妃的悲剧神话传说。从本质上讲，屈原写的不是这个神话传说。舜和二妃的故事仅仅是《湘君》《湘夫人》这两首诗创作的一个远景，一个背景或原型。其次，屈原用这个题材来写的时候，他仍然被这个远古的悲剧传说所震撼和感染，所以就情不自禁地采用这样的双方不能见面的悲剧情节。有人从本诗第一句就判断这首诗写的是舜和二妃的故事。为什么称“帝子”呢？这首诗中写湘夫人共有三种称呼——帝子、公子和佳人。如果是写一般的爱情诗，用“公子”、“佳人”等称呼就很好，但本诗中在第一句就说“帝子降兮北渚”，所以说屈原在创作的时候情不自禁的运用了舜和二妃的悲剧故事，并以之作为诗歌的感情基调，所以最终湘君和湘夫人是不能够见面的。

第二，这两首诗的创作受到了民间流行歌曲基调的影响。

因为“九歌”的名称是从楚国民间祭歌而来，而流行歌曲的基调是欢快热烈的，含蓄的描写实在是极少极少。两情相思，两情未通，表达一种思念的痛苦是民间流行歌曲表达的主 要内容。这种略带忧愁，略带惆怅的歌唱之后是一种情绪的发泄和消解。有人研究过，唱那些雄赳赳，气昂昂的情绪高亢之歌，唱完后很累，得不到情绪的缓解，而唱完流行歌曲以后，忧愁的情绪得到了一种自然的消解，所以说湘君、湘夫人最终的不能见面是受到了民歌的那种悲愁、惆怅、迷茫基调的影响，尤其是在悲秋的季节里表达那种单相思的情绪。以上两点从学理上解决了文章的悲愁伤感的基调的缘由。此外，在当时的交通条件之下，男女约会的痛苦，不能相见的愁思实在是极其常见的。且不说是在先秦文学中，就是在伦理约束比较宽松的元代社会，在元代散曲中，两情相悦而未通的苦闷还是极其显着的，邻居的两个男女青年相互约会都是很难成功的。

第三段译文：

九嶷山的众神都来欢迎，为迎接湘夫人众神如流云一样。我把那外衣抛到江中去，我把那内衣丢在澧水旁。我在小岛上采摘杜若，将送给远方的人儿表衷肠。美好的时机不容易多次得到，我姑且逍遥自在度时光。

第四篇：数学：3.1.1《数系的扩充和复数的概念》教案(新人教A版选修1—2)

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。教学难点：复数及其相关概念的理解 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）

2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）x23x40

（2）x24x50

（3）x22x10

（4）x210 3.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程x210一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？

实数a与i相乘、相加的结果应如何？

二、讲授新课：

1.教学复数的概念：

①定义复数：形如abi的数叫做复数，通常记为zabi（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集Cabi|a,bR叫做复数集。

出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i,84i,83i,6,i,29i,7i,0

规定：abicdiac且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定a,bR，a,b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：abi,(b0)叫做虚数，bi,(b0)叫做纯虚数。

实数(b=0)④ 数集的关系：复数Z一般虚数(b0,a0)

虚数(b0)纯虚数(b0,a0)上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？ 2.出示例题2：P62

（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）

练习：已知复数abi与3(4k)i相等，且abi的实部、虚部分别是方程x24x30的两根，试求：a,b,k的值。（讨论3(4k)i中，k取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

三、巩固练习：

1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。23i,84i,80i,6,i,29i21,7i,0

32．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。

② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。3若(3x2y)(5xy)i172i，则x,y的值是？

4．．已知i是虚数单位，复数Zm2(1i)m(23i)4(2i)，当m取何实数时，z是：（1）实数

（2）虚数

（3）纯虚数

（4）零 作业：P622、3题。

第五篇：4.1《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)

数学归纳法

教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．

2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 教学重点与难点

重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解． 教学过程设计

（一）引入

师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始．

（板书课题：数学归纳法）

（二）什么是归纳法（板书）

师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点． 问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？

（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）生：把它倒出来看一看就可以了．

师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？ 生：一个一个拿，拿一个看一个． 师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）

第一个白球，第二个白球，第三个白球，„„，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．

a2，a3，a4。的值，再推测通项an的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）

师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？

生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法． 特点是由特殊→一般（板书）．

师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．

还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．

（三）归纳法的认识（板书）

归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．

师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．

问题3：对于任意自然数n，比较7n-3与6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）

（给学生一定的计算、思考时间）

生：经过计算，我的结论是：对任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．

师：你计算了几个数得到的结论？ 生：4个．

师：你算了n=1，n=2，n=3，n=4这4个数，而得到的结论，是吧？ 生：对．

师：有没有不同意见？

生：我验了n=8，这时有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧！

师：那你的结论是什么呢？（动员大家思考，纠正）生：我的结论是：

当n=1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）； 当n=6，7，8，„时，7n-3＞6（7n+9）．

师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢？

首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测．请把你们计算结果填入下表内：

师：依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n依1，2，3，4，„变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n取较大值时，7n-3＞6（7n+9）会成立的．

师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误．

资料1（事先准备好，由学生阅读）

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．

但是，费马曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．

师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！

再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）： 资料2

f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？

f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，„ f（39）=1 601． 但是f（40）=1 681=412是合数

师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．

师：归纳法为什么会出错呢？ 生：完全归纳法不会出错．

师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？ 生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份． 师：完全同意．那么怎么办呢？

生：应该予以证明．

师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．

（四）归纳与证明（板书）

师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考．

生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．

师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．

师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？

（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）

师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．

结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球．

然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．

这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．

大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、„„拿出的都是白球．

师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明．

生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？ 生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排． 生：再例如多米诺骨牌游戏．

（有条件可放一段此种游戏的录相）

师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：

（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．

用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．

（五）数学归纳法（板书）

师：用数学归纳法证明以上问题2推测而得的命题，应该证明什么呢？ 生：先证n=1时，公式成立（第一步）；

再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公式也成立（第二步）．

师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．

（应追问各步计算推理的依据）

师：再证明第二步．先明确要证明什么？

师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求．

师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤． 生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1时，命题成立；

（2）设n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立．

师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命题：当n=6，7，8，„时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n=6时，不等式成立．

（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）

（六）小结

师：把本节课内容归纳一下：

（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．

（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种．

（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．

（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．

数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．

（七）课外作业

（1）阅读课本P112～P115的内容．（2）书面作业P115练习：1，3． 课堂教学设计说明

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑

重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．

把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．

2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究． 3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．

即n=k+1时等式也成立．

这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为

以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．