不等式的性质

第一篇：不等式的性质

《不等式的性质》的教学设计与反思

庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学

马

杰

［教材分析］

《不等式的性质》的内容属于初中数学“数与代数”部分。数量之间除有相等关系外，还有大小不等的关系。正如方程和方程组是讨论等量关系的有利数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具。不等式是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习，有着重要的实际意义。研究不等式在整个初中数学学习中有着承上启下的作用。解决不等式问题对不等关系的研究起着画龙点睛的作用。掌握不等式的性质是顺利解决不等式的重要依据。不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容作理论基础，起到重要的奠基作用。

［学情分析］

1.授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学；充分调动学生的积极性，注重课堂教学的有效性，在练习设计上要针对学生差异采取分层设计的方法。

2.本节课主要研究不等式的性质和简单应用。他与前面学过的等式的性质有联系也有区别，为渗透类比、分类讨论的数学思想提供了很好的素材。由于学生的认知结构是建立在等式的知识基础上对不等式进行学习，所以，在学习的过程中学生容易延续的等式性质的理解，产生惯性的思维定势，尤其体现在对不等式性质3的理解与应用。

［教学目标］

1.经历不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。

2.经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

3.通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与解决数学问题，提高学生学习数学的兴趣，增强学习数学的信心，发展学生的符号表达能力、代数变形能力，在自主探索、合作交流中让学生感受学习的乐趣。［教学重难点］

重点：理解并掌握不等式的性质。

难点：不等式性质的理解应用（特别是性质3的理解应用）。［教学过程］

一、回顾旧知，类比新知

［问题1］我们学习过等式的相关性质，你能说出等式的性质吗？（性质1„„，性质2„„。）

学生回答问题，教师演示天平实验。（等式）

［问题2］我们学习了不等式，它是否也有类似的性质呢？ 教师继续演示天平实验。学生观察老师的操作后思考：①.天平被调整到什么状况；②.给不平衡的天平两边同时加入（拿掉）相 同质量的砝码，天平会有什么变化？③.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？

本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生能否准确表达等式的性质；（2）.学生是否积极参与类比的思考之中。

（通过回顾等式的性质，演示等式性质的产生过程，为不等式性质的研究以及不等式的性质的归纳作好铺垫。培养学生善于运用类比、迁移学习方法的良好习惯。）

二、探索新知，归纳结论

［问题3］ 用“>”或“<”填空，并总结其中的规律： ①

5>3, 5+2——3+2，5-2——3-2； ②

-1<3,-1+2____3+2，-1-3——3-3；

③

6<2，6*5——2*5，6*（-5）——2*（-5）;④

-2<3，(-2)*6___3*6，(-2)*(-6)____3*(-6).学生填空，师生展示正确结果。

（通过对一组练习的延伸探究，培养学生发现、归纳问题的能力）

［问题4］从以上一组练习种你发现了什么？请你把你的发现与合作小组的同学交流。

通过学生小组合作交流，学生把自己的“发现”进行充分讨论，探究不等式的性质。

［问题5］请用你发现的规律填空： 当不等式两边加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向——。当不等式两边乘同一个数正数时，不等号的方向——；而乘同一个数负数时，不等号的方向——。

［问题6］请大家换一些其他数，验证这个发现。

教师掌握各小组情况，适当引导，尤其（3）（4）是不等式两边同乘以正数、负数，所得结果截然不同，因此要有针对的区别开。

（通过类比等式性质，引导学生探究不等式的性质，培养学生用类比的方法学习知识。）

［问题7］你能用自己的语言概括不等式有哪些性质吗？请小组讨论。

性质1：:不等式两边加上或减去同一个数（式子）时，不等号的方向不变;性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变;性质3：: 不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变;（学生观察对比、探索发现，清晰地掌握性质2和性质3的区别，有利于正确理解和应用；培养学生的概括能力和数学语言表达能力。）

［问题8］你能用字母表示不等式的性质吗？请小组讨论交流。（1）.若a>b, 则 ： a±c>b±c；

（2）.若a>b,c>0 则 ： ac>bc或a/c>b/c；（3）.若a>b,c<0 则 ： ac

等式的性质有2条，进行加减乘除运算时相等关系不变；不等式的性质有3条，加减不等关系不变，乘除要分正、负分别讨论，两个结果不同。

学生合作交流，教师深入指导。本环节中，教师应重点关注：

（1）.交流合作中，学生是否积极参与类比的思考；（2）.学生能否全面地考虑不等式性质2和性质3的区别；（3）.学生能否准确表达不等式的性质；

（4）.学生能否用数学符号语言表达不等式的性质。（培养学生使用符号语言表达数学现象，培养数学文字与符号语言的相互转化能力，提升数学表达能力。）

三、基础训练，巩固应用

1.如果a>b,判断下列不等式是否正确：

-4+a>-4+b；（）a-3b.b ；（）-5a>-5b（）2.如果a>b,用用“>”或“<”填空：

a+2__b+2； 3a__3b；-2a__-2b； a-3__b-3； a/2__b/2； a-8__b-8； 2a-5__2b-5；-3.5a__-3.5b；-8.5a+2__-8.5b+2； 若a>0,b<0,c<0 则（a-b）c___0； 若a 0 则ac+c___bc+c.3.① a>0 x>y则：ax____ay； ② a<0 x

ax___ay.（加深学生对新知识的理解，建立对不等式性质的正确的认识）

四、应用拓展，解决问题

例1：利用不等式的性质解下列不等式：

① x-7>26;② 3x<2x+1;

③ 2/3x>50;

④-4x>3.（学生分组讨论，研究上述不等式的解法，并总结其中的规律，要求学生类比解方程，用准确的数学语言表达。特别是移项表述，类比解方程，用准确的数学语言表达。）

教师深入小组，适当点拨指导，帮助学生总结不等式结构特点，有针对性的总结规律。

师生共同展示讨论结果。

教师板书其中一题，统一要求对不等式解题过程的规范书写，解集在数轴上的正确表示，展示数形结合的整体美感。

本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生能否抓住不等式的结构特点，合理使用不等式性质解不等式；

（2）.学生能否准确地在数轴上表示不等式的解集；（强调“＜”与“≤”在意义上和数轴表示上的区别。）

（3）.学生能否认真参与小组讨论；是否通过讨论掌握不等式解法；

（4）.学生能否通过对比解方程的方法，发现解方程与解不等式的方法的区别与联系。练习：教材第119页练习第1题。

（培养学生积极思考，参与交流合作的习惯，建立良好的合作意识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。类比解方程的方法解不等式注意性质3，并类比解法的异同，帮助严谨规范的书写习惯。）

五、归纳小结，收获感悟 谈一谈本节课你有什么收获？

学生归纳总结（1）不等式性质1、2、3；（2）简单不等式的解法 本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生是否积极参与总结归纳，是否养成对知识进行及时归纳整理的习惯；

（2）.学生对本节课所研究的问题的理解程度。（积累数学经验，加强记忆和应用能力。）

六、作业

习题9.1第4、5题。［教学反思］

为创设宽松民主的学习氛围，激发学生思维的主动性，顺利完成教学目标，本节课坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，给学生充分的自主探索时间，引导学生联系已有知识学习新知识，减少学生获取新知识的难度，通过教师的引导，调动学生的积极性，组织学生参与“探究—讨论—交流—总结”的学习过程，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到了整个教学活动中来，从本节课的设计上看，我自认为知识全面，讲解透彻，条例清晰，系统性强，讲练结合，训练到位，但一节课下来后没有为学生“减负”，忽略了实效性。在今后的教学中我要多问多听、多思多想，真正为学生减轻课业负担，增强教学的实效性。

另外，在今后的教学中要注重学生学习习惯的培养。

作

者：马

杰

甘肃省庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学教师 通讯地址：甘肃省庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学 邮

编：745000

第二篇：不等式性质练习题

﹤不等式性质

一、选择题

1、已知ab0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

b2

B.ab1C.1111

abD.ab2、已知a0,b1，下列不等式恒成立的是（）

A.a

ababB.aaaaaab2baC.bb2aD.bab3、若a,b,c,d四个数满足条件：1dc;2abcd;3adbc，则（）

Ab.cdaB.adc bC.dba cD.bdc a4、如果a,b,c满足cba,且ac0,则以下选项中不一定成立的是（）

A.abacB.cba0C.cb2ab2D.acac05、下列命题中正确的是（）

Aa.b,kN*akbkB.ab,c1

c1c1

ba

C.ab,cdab

cd2

D.ab0,cd0abdc6、如果a,b是满足ab0的实数，则（）

A.ababB.aa bC.aa b

D.abab

7、若a0,b0,则不等式b1

x

a的解为（）

A.1bx0或0x1aB.111111axbC.xa或xbD.xb或xa

二、填空题

8、若m0,n0,mn0,则m,n,m,n的大小关系为

9、若1ab1,2c3,则abc的取值范围是

10、若0a1,给出下列四个不等式，其中正确的是

1○

1log111a111a1aloga1a○2loga1alogaa

a1a

○3aa○4aaa11、已知三个不等式：1ab02

cad

b

3bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。、设x,y为实数，且满足3xy2

8,4x2y9,则x3

12y

4的取值范围是

三、解答题、（1）设2a3,4b3,求ab,ab,ab2

13b,ab,a的取值范围。

（2）设二次函数fx的图像关于y轴对称，且3f11,2f23,求f3的最大值和最小值。

14、（1）已知

1a0,A1a2,B1a211

2,C1a,D1a，试将A,B,C,D按从小到大的顺序排列，并说明理由。

bc0,比较aabbcc

与abc

abc

（2）已知a3的大小。

15、火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t。现用A,B两种型号车厢共50节

运送这批货物。已知35t甲种货物和

15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A,B两种货箱的节数，共有几种方案？若每节A型货箱运费是0.5万元，每节B型货箱运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？

第三篇：不等式的性质教案

【教学重点与难点】

教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

【教学目标】

1、探索并掌握不等式的基本性质

2、会用不等式的基本性质进行化简

【教学方法】

通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

【教学过程】

一、创设情境 复习引入

（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）

问题：

1、什么是等式?等式的基本性质是什么?

2、什么是不等式?

3、用“＞”或“＜”填空．

（1）3<7（2）2<3（3）2<3

3＋1 7＋1 2×5 3×5 2×(-1)3×(-1)

3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3＋a 7＋a 2÷(-2)3÷(-2)（教学说明： 复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.）

二、师生互动，探索新知

1、不等式的基本性质

问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质

先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质.观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1：

不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关?由学生概括总结，教师补充完善得出：

不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

问题2：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．

教师 强调指出：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．

问题3：尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．

学生思考出答案，教师订正，最后得出：(1)如果a>b，那么a±c>b±c

(2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或 >)

(3)如果a>b，c<0那么ac<)

问题4：不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?

学生独立思考、小组交流讨论，师生归纳得出：

区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.联系：不等式性质和等式性质都讨论的是两边都加上或减去同一个数的情况和两边都乘以或除以同一个数（除数不为0）的情况，即研究“形式”一致.（教学说明：通过观察具体数字运算的大小比较，联系已学过的等式的性质，让学生归纳出不等式的三条基本性质，并分别用式子的形式表示它们.用式子表示是个抽象概括的过程，只有理解了相关内容才会概括表示它们.研究不等式的基本性质与等式的基本性质的区别与联系可以帮助学生用类比的方法来记忆与学习.）

2、不等式性质的应用

例1：利用不等式的性质，把下列不等式化成“x>a” 或“x

(1)x-7>26;(2)3x<2x＋1;

(3)x>50;(4)-4x>3.解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上7，不等号的方向不变． 得

x-7＋7>26 ＋7.x>33

（2）根据不等式基本性质1，两边都减去2x，不等号的方向不变，得

3x-2x<2x＋1-2x

x<1

（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以，不等号的方向不变，得

x>75

（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4，不等号的方向改变，得

x<-

(教学说明：这些不等式比较简单，可以利用不等式的性质直接求解，从而加深对这些性质的认识.教师板书（1）题解题过程．（2）（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定三个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，有助于加强知识之间的前后联系，突出新知识的特点，并将原题与“x>a” 或“x

例2：三角形中任意两边之差与第三边有什么大小关系? a b

师生共析:三角形的两边之和与第三边有什么关系? c

三角形的任意两边之和大于第三边，如图，我们设三角形三边长分别为a,b,c,那么用式子如何表示前面的结果? a ＋b>c, a＋c>b, b＋c>a

我们现在求的是两边之差与第三边的关系，所以由不等式的性质1将上式变形为：

由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.(教学说明：此问题应用不等式的性质由“三角形的任意两边之和大于第三边”得出“三角形中任意两边之差小于第三边”这个与已有结论等价的新结论.“三角形的任意两边之和大于第三边”对应的是三个形式一样的不等式，而不是一个不等式.由这三个不等式再推出“三角形中任意两边之差小于第三边”.为了加深学生的感性认识，可以通过测量的方法验证这个结论.)

三、巩固训练，熟练技能：

1、如果a>b，那么(1)a-3 b-3，(2)2a 2b

(3)-3a-3b，(4)a-b 0

(5)（6）(6)-b_____-a.2、在下列各题横线上填入不等号，并说明是根据不等式的哪一条基本性质．

（1）若a–3＜9，则a_____12；（2）若-a＜10，则a_____–10；

（3）若 a＞–1，则a_____–4；（4）若-a＞0，则a_____0．

3、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集

（解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为“x＞a”或“x＜a”的形式）

(1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6；

(3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教学说明：这些练习进一步加深了学生对不等式性质的理解，做此练习题时，应让学生注意观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．做第3题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，让学生认识到应用不等式的性质1变形，相当于移项.)

四、总结反思，情意发展

1、不等式的基本性质是什么?如何用数学式子表示?

2、在本节课的学习中，你还有什么疑惑?

（教学说明：在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题.）

五、课堂小结

1．本节主要学习了不等式的三条基本性质及应用性质解简单的不等式.2．主要用到的思想方法是类比思想.3．注意的问题:

当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，若是负数，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

六、布置课后作业：

1、课本127页练习

2、课本128习题9.1的5、6、7题

（教学说明：进一步巩固本节课所学知识.）

七、拓展练习

1、指出下列各题中不等式变形的依据:

(1)由3a＞2,得(2)由-5a＞2,得(3)由4a＞3a＋ 1,得a＞1

(4)由a＞b，得(5)由a＞b，得2-a＜2-b

2、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x＋2＞-1(2)5x≤7x-8(3)(4)6x≥-12

3、某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水。用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围。

【评价与反思】及交流体会

通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，引导学生用数学式子表示三条基本性质，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质进行比较，以加深学生的理解.在教学过程中，注重培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．同时培养了学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

第四篇：不等式性质教学设计

2010-2011学第二学期关集中心校七年级数学组导学案专用纸 主备人：胡伟 审核人： 使用人：

第11周 讨论时间：

不等式的基本性质（1）

教学设计

学习目标

1、理解、掌握不等式的基本性质；

2、能够运用不等式的基本性质解决有关问题.重点难点

重点：不等式的三个性质.难点：不等式性质3的探索及运用.解决办法：不等式的基本性质3的导出，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的.并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学方法

先学后教、讨论、探究、讲练结合 教具准备

多媒体，或小黑板 教学设计流程

问题：等式有哪些性质?（学生交流3-5分钟）学生回答等式的性质：

性质1 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.此次活动中教师应重点关注：

（1）学生对已学过的等式性质内容的记忆，及叙述语言的准确性；（2）学生对等式性质得出过程的回顾.探讨不等式的基本性质.（学生读文8-10分钟后，研讨并解决下面问题）如果a>b，那么，在数轴上表示a的点A位于表示b的点B的右侧，画图表示.（一）做做

1.请你在上面的数轴上画出表示a＋3和b＋3的点来，哪个点在右侧?并用不等号连接下面的式子： a＋3______b＋3.类似地，应有 a＋c______b＋c.2.如果在a>b的两边都减去同一个数或同一个整式，你认为应该有怎样的结论? 让学生多举出几组数据，结合数轴来比较出两组数的大小关系.（以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论）.不等式的基本性质1：如果a>b，那么 a＋c>b＋c，a－c>b－c.就是说，不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.（二）探究

1.根据8>3，用“>”或“<”填空：

8×2_______3 × 2； 8×（－2）_______3×（－2）.8× _______3× ； 8×（－）_______3×（－）.8×0.01______3×0.01； 8×（－0.01）_______3×（－0.01）.2.对于8>3，在不等式两边乘同一个正数，不等号方向改变吗? 3.对于8>3，在不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变吗? 4.你有什么发现?再举几例，验证你的结论.通过多组数据，观察、思考、一起探究两组数的大小关系.学生在填空的基础上分组探索不等式的性质.教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论.此次活动是本节课的核心活动，对学生有一定的难度，有些学生可能会直接把等式的性质加以修改，推广得到不等式的性质，而忽略了不等式的两边乘或除以同一个正数或同一个负数时的不同结论，此时教师应引导学生注意观察题目，并继续举几个例子让学生观察对比，体会不等式性质与等式性质的异同，用自己的语言描述发现的规律.不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac

例 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x>a或x2；（2）2x20.学生独立完成，举手回答问题.教师填写答案，并对学生出现的问题给予指导，进一步巩固不等式的性质.此次活动中教师应重点关注：

（1）学生能否说出填空根据的是不等式的哪一条性质；（2）学生对不等式性质3的掌握情况.解：（1）x－l>2，x－l＋l>2＋1（不等式的基本性质1），x>3.（2）2x20（不等式的基本性质3），x<－4.根据不等式的基本性质，可以把不等式化成x>a或x

1.如果a”或“<”填空：（1）a－2_____b－2；（2）3a______3b；（3）a＋c_____b＋c；（4）－ a_____－ b.2.把下列不等式化成x>a或x8x＋1；（3）x>－4；（4）－10x<－5.（五）当堂训练

1.在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．（1）若a－3＜9，则 a ______12；

（2）若－a＜10，则a______ －10； 答：（1）a＜12，根据不等式基本性质1．（2）a＞－10，根据不等式基本性质3． 2.已知a＜0，则

（1）a+2 ______2；

（2）a－1 ______ －1；

（3）3a______ 0；（4）a－1______0；

（5）|a|______0． 答：（1）a+2＜2，根据不等式基本性质1．（2）a－1＜－1，根据不等式基本性质1．（3）3a＜0，根据不等式基本性质2．

（4）因为a＜0，两边同加上－1，由不等式基本性质1，得a－1＜－1． 又已知，－1＜0，所以 a－1＜0．

（5）因为a＜0，所以a≠0，所以|a|＞0．

（本题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识．如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；|a| 是非负数等．）3.判断下列各题的推导是否正确？为什么？（投影）（请学生口答）（1）因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7；（2）因为a+8＞4，所以a＞－4；（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

（4）因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2；（5）因为3＞2，所以3a＞2a．

答：（1）正确，根据不等式基本性质3．（2）正确，根据不等式基本性质1．（3）正确，根据不等式基本性质2．（4）正确，根据不等式基本性质1．（5）不对，应分情况逐一讨论．

当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2）当 a=0时，3a=2a．

当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3）

（学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助）

4.按照下列条件，写出仍能成立的不等式：（1）由－2＜－1，两边都加－a；（2）由7＞5，两边都乘以不为零的－a． 5.用不等号填空：

（1）当a－b＜0时，a______ b；（2）当a＜0，b＜0时，ab ______0；（3）当a＜0，b＞0时，ab ______0；（4）当a＞0，b＜0时，ab ______ 0；（5）若a ______ 0，b＜0，则ab＞0；

（六）教后反思

第五篇：不等式的性质 教案

不等式的性质

教材分析

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．

教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．

教学目标

1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．

2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．

3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．

任务分析

这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．

教学设计

一、问题情境

教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．

1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h． 2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？

x·［80000－2000（x－25）］≥200000．

3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．

设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则

通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．

二、建立模型 1.教师精讲，分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．

一般地，设ａ，ｂ∈R，则 ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂａ－ｂ＞0，ａ－ｂ＝0，ａ－ｂ＜0．

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．

2.通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质

（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来． 用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质： 定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ． 定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ． 定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ． 定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ； 如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ． 3.定理1～4的证明

关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？

（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．

（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．

4.考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5 定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．

由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0． ∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

［练习］

1.判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．

（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．

四、拓展延伸

1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．

2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？

3.如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）

点 评

这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力．

总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺．