北师大版九年级数学下册教案§2.8 二次函数与一元二次方程（五篇材料）

第一篇：北师大版九年级数学下册教案§2.8 二次函数与一元二次方程

§2.8 二次函数与一元二次方程

学习目标:

体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标． 学习重点: 本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌

22握此点，关键是理解二次函数y=ax＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位． 学习难点: 应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆． 学习方法: 讨论探索法。学习过程:

一、实例讲解：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：

在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

三、例题：

2【例1】已知二次函数y=kx－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为

．

2【例2】抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

四、随堂练习：

1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．

（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．

2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

．

五、课后练习：

1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

－6，则它的表达式为

． ．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过

4．抛物线y=x－2x＋3的顶点坐标是

2象限．

．

． 5．若抛物线y=2x－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= 6．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

．

．

． ． 7．已知抛物线y=ax＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 8．二次函数y=kx＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围

229．抛物线y=x－2ax＋a的顶点在直线y=2上，则a的值是 2

10．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个

B．2个

C．1个

D．无 2

abc211．如图1所示，函数y=ax－bx＋c的图象过（－1，0），则bccaab的值是（）

A．－3

B．3

1C．2

1D．－2

12．已知二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）

2bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1 13．已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

14．已知二次函数y=x－2kx＋k＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

215．已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

16．已知二次函数y=x－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

217．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关12系满足y=－x＋10x． 5（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

18．已知抛物线y=x－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

第二篇：二次函数与一元二次方程教案

22.5二次函数与一元二次方程（教案）

一、教学目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点

重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.三、教学方法 自主探究、合作交流

四、教学设计

1.旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）

一元一次方程x＋2＝0的根为________

（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？

结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根 2.新课引入：

2.1问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？ 动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x－2x－3的图象 观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？ 解一元二次方程： x－2x－3＝0

你发现了什么？ 发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决 反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标

（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5

通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）

2.2设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系 我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？ 回顾判别式：对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 22

2方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根

那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函数与x轴有两个交点 函数与x轴有一个交点 函数与x轴没有交点

反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）

2.3联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？

例如，二次函数y＝x－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？

分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点，求出b的值.3.交流总结

4.作业 2

第三篇：九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程教案1 (新版)北师大版

二次函数与一元二次方程

【教学内容】二次函数与一元二次方程

（一）【教学目标】

知识与技能 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用△值判断二次函数与x轴交点个数

过程与方法 经历用二次函数图象探索一元二次方程根的过程，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。

情感、态度与价值观 通过对二次函数与一元二次方程关系的探讨，培养学生勇于探索的好习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。【教学重难点】

重点：理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标 难点：利用二次函数的与x轴交点与一元二次方程根的关系 【导学过程】

【知识回顾】 一元二次方程的一般形式是什么？二次函数的一般形式是什么？ 【情景导入】

二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同。其实，二次函数中的y值为零时，那么就会变成一元二次方程。那么它们之间到底有怎样的关系，本节课将给以解答。

【新知探究】 探究

一、我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.探究

二、在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：

(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？

2探究

三、【例1】已知二次函数y=kx－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为

．

2【例2】抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

． 【知识梳理】本节课我们学习二次函数与一元二次方程的关系，能够领会二次函数与x轴交点个数与一元二次方程根的个数关系。会用△值判断二次函数与x 轴交点个数，【随堂练习】

1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．

22（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．

22已知二次函数y=ax+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有().2222 A.b-4ac>0 B.b-4ac=0 C.b-4ac<0 D.b-4ac≤0 3．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

．

4．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为

．

25．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过

象限．

26．抛物线y=x－2x＋3的顶点坐标是

．

27．若抛物线y=2x－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=

．

28．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．

29．已知抛物线y=ax＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．

210．二次函数y=kx＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围

．

2211．抛物线y=x－2ax＋a的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．

12．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个

B．2个

C．1个

D．无

abc213．如图1所示，函数y=ax－bx＋c的图象过（－1，0），则bccaab的值是（）

A．－3

B．3

1C．2

1D．－2

14．已知二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）2bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1 15．已知二次函数y=x＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

2216．已知二次函数y=x－2kx＋k＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

217．已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

218．已知二次函数y=x－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

2（2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积． 2

19．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满12足y=－x＋10x． 5（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

220．已知抛物线y=x－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

第四篇：九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案(湘教版)

九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案（湘教版）

【知识与技能】

掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系

2理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系

3会用二次函数图象求一元二次方程的近似根

4能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题

【过程与方法】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想

【情感态度】

通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感

【教学重点】

①理解二次函数与一元二次方程的联系

②求一元二次方程的近似根

【教学难点】

一元二次方程与二次函数的综合应用

一、情境导入，初步认识

一元二次方程ax2+bx+=0的实数根，就是二次函数=ax2+bx+,当=0时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标

2抛物线=ax2+bx+与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+=0根的判别式的关系：当b2-4a＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4a=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4a＞0时，抛物线与x轴有两个交点

学生回答,教师点评

二、思考探究，获取新知

探究1

求抛物线=ax2+bx+与x轴的交点

例1求抛物线=x2-2x-3与x轴交点的横坐标

【分析】抛物线=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根

解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1

【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根

探究2

抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：

（1）你能说出函数=ax2+bx+的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+=0的根的个数有何关系？

一元二次方程ax2+bx+=0的根的个数由什么来判断？

第五篇：22.2二次函数与一元二次方程配套教案

22.2二次函数与一元二次方程

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

【知识与能力目标】

掌握二次函数与一元二次方程的联系。【过程与方法目标】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。【情感态度价值观目标】

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。

2、培养学生团结合作学习的良好意识和积极进取的精神。

3、培养学生用联系的观点看问题。

【教学重点】

二次函数的图象和一元二次方程的联系。【教学难点】

培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。

课前准备

多媒体课件等。

教学过程

一、导入新课

我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系。今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系。

二、新课教学

问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

h＝20t－5t2。

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题。

（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m。

（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m。

（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m。这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面。

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。

问题2 观察下列函数图像回答下列问题：

（1）y＝x2＋x－1；（2）y＝x2－4x＋4；（3）y＝x2－x＋2．

① 二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ______0。

②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ______0。

3二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________公共点，则一元二次方程 x2－x○＋2＝0 的根的判别式Δ______0。

三、归纳总结

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

（3）利用函数图象求一元二次方程的根步骤：（1）作函数图象；（2）确定根所在的范围；

（3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。

四、巩固练习

1.不与x轴相交的抛物线是（）

A.y = 2x2 – 3

B.y=－2 x2 + 3

C.y= －x2 – 3x

D.y=－2(x+1)2－3 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（）A.无交点

B.只有一个交点 C.有两个交点

D.不能确定

3.利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）。

解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7。

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为

x1≈－0.7，x2≈2.7．

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。

五、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？