第一篇：数学广角教案01
二年级上册数学广角—— 排列与组合
一、以故事形式引入新课
小朋友们，今天老师给大家带来了3只可爱的小动物，你们看它们是谁呀？
（边说边贴出动物头像：小刺猬、小鸭、小鸡）小刺猬、小鸭和小鸡三个是好朋友，今天准备到企鹅博士家去做客呢，可是刚走了一半路，突然下起雨来，可是它们只带了两把伞，你能帮他们想想办法怎么搭配撑雨伞吗？
学生可能出现的答案有：①小鸡和小刺猬拼一把伞，小鸭自己打一把伞。②小鸭和小刺猬拼一把伞，小鸡自己打一把伞。③小鸭和小鸡拼一把伞，小刺猬自己打一把伞。
当学生在回答以上方法时，教师根据学生的回答把相应的动物头像帖在伞的下面。
师：大家想的办法都不错。的确，三只小动物都和你们一样试了上面这三种方法，可最后它 们却选择了哪种方法，你们知道为什么吗？原来呀，当它们开始用前面两种方法时，可没 走几步，小刺猬身上的刺就把小鸭和小鸡给刺疼了，所以只能选择第③种方法。
二、用开密码锁的方法进行数的排列活动
师：三只小动物到了企鹅博士家，却发现大门紧闭，门上还挂着一把锁
（边说边在课件出示文字）咦，锁上还有一张纸条呢，让我看看纸条上写着什么呢？
（教师读纸条上写的内容：欢迎你们的到来，为了考考你们的智慧，请你们先想办法把这把密码锁打开，锁的密码提示1：请用数字1、2、3摆出所有的两位数。
师：三只小动物都犯傻了，怎么办呢？小朋友们能不能帮帮他们？老师给你们准备了数字卡片，在信封里。但是老师有要求： 同桌合作用数字卡片摆，并且让一个人把摆出来的数字记在白纸上，在动手之前先商量一下你们打算怎么摆再开始。
教师巡视，搜集各种不同的摆法。（板书，标上序号）汇报找密码的过程。（先全部板书，再请学生来说说哪种方法好，好在哪？说说是怎么摆的，最后学生用卡片演示一遍。）
老师这里有5种不同的答案，我给它们标上号。仔细观察，它是怎么摆的？你觉得哪种方法比较好？好在哪里？先和同桌说一说。预设：
他是怎么摆的？先摆出12，再把十位和个位交换位置。
师：哦，你的意思是用十位和个位交换位置的方法。觉得这种方法的同学请举手。（位置交换法）谁愿意再来说说这种方法好在哪里？师：你还觉得哪种摆法比较好？ 他是先把1放在十位上，然后把数字2和3放在个位上组成12、13，再把2放在十位上……。（十位固定法）师：你的意思是先确定十位。十位是1的有哪些数？
12、13，21、23，31、32。这样摆有什么好处？（不会重复，不会遗漏，有序。）（请一生上来摆，其余生读数字，感受规律。）
师：观察5号，他有没有顺序？（有，他是先确定个位。）
师：为什么不觉得1、2方法好？为什么会漏掉？（没有按次序，还重复，漏掉了。）
师小结：看来以后碰到这样的问题，想摆得快又不漏掉，我们应该选择一定的顺序和一定的规律去摆就不会重复也不会遗漏。答错的小朋友现在你学会这些好办法了吗？ 小结：像这种跟顺序有关系的叫排列，板书题目 ：排列 师：我们来看一下接下来的提示。
密码提示2：密码就是这些数从小到大排列中的第4个。师：你们找到密码了吗？是多少？ 三．用选食物的方法进行组合活动
师：通过大家的帮忙，企鹅博士家的密码锁被打开了，小动物们可高兴了。为了表示庆贺，他们每两只动物互相击掌一次，那我们三个一共击掌了几次呢？
来到了企鹅博士家。瞧，企鹅博士为他们提供了丰盛的美食！饮料和点心只能各选一种，这样有几种不同的选法呢？
请你用连一连的方法在练习纸上写。学生汇报。（生边说，师边画上序号1,2,3种）
追问：那牛奶和饼干还能连吗？（不能了，因为连了还是这两种食物。没变。）四．排列组合的对比。
师：咦？为什么3个数字能组成6个不同的数字，同样也是3种食物，选2样食物却只有3种结果呢？
小结：两个数字可以交换组成2个两位数，而两种食物交换后还是这两种只能算一种。跟顺序排列没关系的叫组合。（板书：组合）五．练习：
小动物们选了自己喜欢的美食好好享受完之后，他们决定去冒险。但是企鹅博士给他们一张古老的地图。3只小动物商量之后决定排着整齐的队伍再走，她们可以有几种排法？
师：他们排着整齐队伍，从企鹅博士家出发到城堡去探险，你知道他们从企鹅博士家到城堡一共有多少种走法吗？
师：从企鹅博士家到独木桥有2条路，为了小朋友等会表达的清楚我们把它标上A、B。从独木桥到城堡有3条路，我们标上1、2、3。从企鹅博士家到城堡有哪几种走法呢？想不想自己研究研究。
（1）看地图，请你自己想想。（2）反馈。预设1：
师：有几种？ 师：哪六种？你能说的清楚一点吗？
师：恩，用符号来表示非常清晰有序！他先确定的是？是A。师：非常会思考！不仅可以先确定A，还可以倒着想，先确定1。
六、总结：
愉快的探险结束了，于是他们留在了城堡里，在这节课中你有什么收获呢？同学们总结的很好，通过与小伙伴的合作，能很有序的进行排列，不重复不遗漏。其实在生活中还有许多事情，能采用今天有序思考进行排一排的事例，回去找找好吗？
第二篇：人教版六年级数学下册数学广角教案01
抽屉原理
教学内容 ：数学六年级下册第 70 页例 1。
教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽 屉原理”解决
简单的实际问题。
2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点 ：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
教学难点：通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
教学准备：多媒体课件、铅笔、文具盒等。
教学过程：
一、创设情境，导入新知
老师组织学生做“抢凳子的游戏”。请 4 位同学上来，摆开 3 张凳子。老师宣布游戏规则：4 位同学围着凳子转圈，老师喊“停”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。教师背对着游戏的学生，宣布游戏开始，然后叫“停”！师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张凳子上至少坐着 2 位同学。老师说得对吗？ 师：老师为什么说得这么肯定呢？
二、自主操作，探究新知
1、观察猜测。多媒体出示例 ：4 枝铅笔，3 个文具盒。师：4 个人坐 3 张凳子，不管怎么坐，总有一张凳子至少坐两个同学。4 枝铅笔放进 3 个文具盒中呢？（不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进 2 枝铅笔）。师：真的是这样吗？为什么会这样呢？你能给大家解释这一现象吗？
2、自主思考。（1）独立思考：怎样解释这一现象？（2）小组合作，拿铅笔和文具盒实际摆一摆、放一放，看一共有几 种情况?
3、交流讨论。学生汇报是用什么办法来解释这一现象的。（学情预设： 第一种：用实物摆一摆，把所有的摆放结果都罗列出来。学生展示把 4 枝铅笔放进 3 个盒子里的几种不同摆放情况，教师根据 学生摆的情况，有序板书：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）请学生观察不同的放法，能发现什么？ 引导学生发现：每一种摆放情况，都一定有一个文具盒中至少有 2 枝 铅笔。也就是说不管怎么放，总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。第二种：假设法。教师请只摆了一种或没有摆放就能解释的同学说说自己的想法。师：其他学生是否明白他的想法呢？ 引导学生在交流中明确：可以假设先在每个文具盒中放 1 枝铅笔，3 个文具盒里就放了 3 枝铅笔。还剩下 1 枝，放入任意一个文具盒，那么这 个文具盒中就有 2 枝铅笔了。也就是先平均分，每个文具盒中放 1 枝，余 下 1 枝，不管放在哪个盒子里，一定会出现总有一个文具盒里至少有 2 枝 铅笔。教师指出：碰到这样的问题，一般用平均分。
4、比较优化。请学生继续思考： 如果把 5 枝铅笔放进 4 个文具盒，结果是否一样呢？怎样解释这一现象？ 请学生继续思考： 把 7 枝铅笔放进6 个文具盒里呢？ 把 10 枝铅笔放进 9 个文具盒里呢？ 把 100 枝铅笔放进 99 个文具盒里呢？ 你发现了什么？ 引导学生发现：只要放的铅笔数比文具盒的数量多 1，不论怎么放，总有一个文具盒里至少放进 2 枝铅笔。请学生继续思考：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多 2 呢？多 3 呢？多 4 呢？ 你发现了什么？ 引导学生发现： 只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。5.学习抽屉原理概念。
三、灵活应用，解决问题
1、第 70 页“做一做”。（1）课件出示：7 只鸽子飞回 5 个鸽舍，至少有 2 只鸽
子要飞进同一 个鸽舍里。为什么？（2）学生独立思考，自主探究。（3）交流，说理。
（4）如果8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只鸽子飞回同一个鸽舍？
2、智慧城堡：（1）把13只小兔子关在5个笼子里，至少有（）只兔子要关在同一个笼子里？（2）、六（1）班第一组共有 26名学生，一定至少有3名学生的生日在同一个月，为什么？指导学生理解题意，明白一年有 12 个月，共有 26 名学生，是把26个学生平均分给12个月。（学生独立思考，交流。）
（3）、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的 52 张中任意抽出 5 张，至少 有 2 张扑克是同花色的。试一试，并说明理由。（1）帮助学生理解题意：剩下的 52 张扑克有 4 种花色。（2）学生思考，可以动手试一试。（3）交流。
四、全课总结（略）
第三篇：数学广角教案
师：一共有几种不同的搭配方法？
请有6种的学生在黑板上演示，边摆边说。要求：其他同学认真听，仔细看。（板演的学生摆，其他的学生数有几种）师：你有什么看法？ 生汇报。
学生在黑板上摆。（其他学生数）师：你们有什么看法？ 生汇报。
师 ：没有条理地摆，会出现什么问题？（重复，遗漏，板书）谁有比他更好的摆法，让我们能看得清清楚楚，明明白白的，即不重复，也不遗漏。学生边摆边说摆法。
师：他的摆法好吗？好在哪？
4． 小结：看来，要象这个同学一样，先选一件衣服，和下装分别搭配，再选另一件衣服，和下装搭配，这样有条理地进行，才不会出现重复，或遗漏了。板书：有条理
5． 刚才，我们选定了上衣，那还可以选定什么来搭配呢？谁愿意上来，选定下装，搭配搭配？ 6．学生在黑板上摆
小结：再搭配衣服时与选择衣服的顺序无关 7．早餐的搭配练习
师： 贝贝选好了喜欢的衣服，妈妈也为她准备好了早餐（课件出示115页1题课件打出要求）让我们看看，有哪些哪些饮料？哪些点心？）（学生独立做在书上，用连线）8．拓展练习
如果有4种点心，2种饮料，有几种不同的搭配呢？ 师：还有没有想法不一样的？ 9． 搭配两位数练习
师：吃完了早餐，爸爸妈妈带贝贝来到儿童乐园，（课件出示）师：请大家看黑板上的数字卡片，注意听要求：先观察可以拉出哪些两位数，写在练习本上。学生汇报。
师：你写了哪些数？你是怎样想的？ 师：我们有哪些方法？（课件出示）10 例2的教学
师：你们想继续玩游戏吗？ 生：回答 师：那你们必须先过这一关才可以玩后面的游戏（课件，声音：同学们，数字游戏可以开发我们的智力，让我们一起来玩一个数字游戏，这里有三张数字卡片7，3，9，可以摆出多少个不同的三位数呢?）
师：请拿出练习本先组一组，然后把组出的所有三位数记录下来，看谁租得又对又快。写完后，找小伙伴交流交流。学生汇报，提问：你是怎样想的？
小结：我们在排数的时候，可以先确定百位上的数，再确定十位和个位，这样有条理地排列，就不会出现重复或遗漏。组数与数字的顺序有关。11照相问题
师：同学们，你们今天的表现太棒了。恭喜你们可以继续下一个游戏，看到里面是唐僧师徒四人到了雷音寺，准备合影留念，同学们看课本113页做一做，说说他们遇到了什么问题？
最后指名汇报：你是怎样做到不重复、不遗漏的全部记录下来？
三 学习效果测评
师：从儿童乐园出来，贝贝要去猴山玩，让我们看看图。
师：先看看从儿童乐园到百鸟园有几条路？（课件演示）从百鸟园到候山有几条路？（课件演示），（课件演示），学生用手划一划、说一说。四 总结
总结：孩子们，这节课，你们和贝贝一起玩的开心吗？在玩的同时我们共同学完了数学广角中的学问。板书完课题。
师：聪明的贝贝，把这有趣的一天写在了自己的数学日记里，那同学们回家要干什么呢？
回家想一想生活中还有哪些问题可以用到我们今天学习的知识。
板书设计：
973 937 有条理
数学广角
793 739 397 379 不重复
不遗漏
第四篇：数学广角教案
《沏茶问题》
——合理安排时间
教案
沏茶问题
——合理安排时间
吴泊舰
课前三分钟
由学科组长导入：
我有一个问题想考考大家，大家愿意接受吗？我今天早上起床晚了，10分钟内再不出发就要迟到了，但我需要10分钟等饭凉，洗脸刷牙又需要8分钟。你认为怎样安排这两项活动我才不会迟到？
学生回答，评价。
接下来的时间交给我们的老师。引题
同学们，效率在于时间管理，合理的安排时间可以让我们在较短的时间内完成较多的事情，节省下来更多的时间去做我们想做的事。今天我们就来学习如何合理地安排我们的时间。板书课题：
沏茶问题 设疑自探：
看到这个题目你有什么想知道的，想问的？ 联系？ 作用？ 方法？
出示学习目标：（齐读）
1、能够用合理、快捷的方式解决沏茶这一简单的生活问题，懂得在同一时间内，所做事情越多，效率就越高。
2、能从解决问题的多种方案中寻找出最优方案。
3、提高解决问题的能力。
明确了学习目标，相信同学们可以更快更好的完成今天的学习任务，下面请看老师为大家准备的学习提示
出示学习提示：（看一看，想一想，先独立思考再小组内讨论，时间5分钟）（师读）
1、想一想沏茶要做哪些事情通过动画熟悉沏茶需要做什么事情。
2、想一想沏茶这件事情需先做什么，再做什么？
3、一步一步做最节省时间吗？哪些事情可以同时做？
4、根据你的想法，设计出一种最节省时间的方案。
带着问题观看课件动画。独立完成后，小组内讨论。
提示1由各小组1号同学抢答； 回答的同时由课件展示。提示2由各小组2号同学抢答； 回答的同时由课件展示，并板书。
提示3由各位同学举手回答（有意识的多挑3号同学回答，多找几个人）
……
预设：烧水可以和找茶叶、洗茶杯同时进行，有些同学不能一次找出来，及时发现并提示。
提示4由各位同学举手回答，展示。（有意识的由3号或4号同学回答）
完成例1教学。小结：
合理安排时间需要按照这样的步骤进行：
1、完成一项工作要做哪些事情。
2、每项事情各需要多少时间。
3、合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
4、最后计算出时间。课外知识引申：
运筹学——华罗庚
学习了如何合理安排时间，还要会运用，老师准备了一些练习题，来考验大家。知识运用
做晚饭
引导学生说出做晚饭需要完成哪些事情？ 先后顺序，以及如何合理的安排？
最快的时间是多久？用流程图表示，同时课件显示。课堂检测
1、李袁帅同学要为爸爸冲一杯咖啡，可是开水用光了，她需要烧开水（6分钟）、找咖啡（1分钟）、洗茶杯（2分钟）。若想使爸爸更快喝上咖啡需要完成______、_______、_______三件事情，其中______可以和______、______同时完成，所以完成这件事的最快时间为____分钟。
学生举手回答。
2、判断
汪晓彤同学一家三口每天早上都要喝煮沸的鲜奶。同时还要做两件事情，一是煮鲜奶（10分钟），二是洗三个奶瓶（3分钟/个），她一家喝到牛奶最快要用10+3×3=19（分钟）。对吗？请说明理由。
学生讨论后，举手回答。
3、选择
付力元早晨起来，烧开水要8分钟，整理床铺要5分钟，刷牙要3分钟，洗脸要2分钟．她最少要()分钟就能完成这些事．
A.18 B.13 C.10
学生举手回答，并讲解思路。
4、闻靖瑶同学放学回家后，妈妈对她说：“今天我给你做你最喜欢吃的红烧鱼！不过你要帮妈妈设计一下，怎样安排才能使所用的时间最少？”同学们，你能帮她一块儿来设计一个顺序吗？
展台展示，并由学生展示讲解。拓展运用
请你根据所学的沏茶问题知识，仿照练习题，自己出一道考验考验你的同学。课堂小结
今天你都知道了什么知识？
学生回答之后，把课题质疑的问号擦掉。复习合理安排时间的步骤：
1、完成一项工作要做哪些事情。
2、每项事情各需要多少时间。
3、合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
4、最后计算出时间。学科长总结
优胜小组，优胜个人（鼓励），需要努力的小组，继续努力。下课
第五篇：数学广角教案
《在一条线段上植树（两端都栽）》教学设计
教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第106页例1及相关内容。
教学目标：
1．建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。
2．利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。
教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。
教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。
教学准备：课件。
教学过程：
一、情境出示，设疑激趣
教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3月12日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题。（课件出示问题）
例1：同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
教师：你能利用所学的知识解决问题吗？
预设1：20棵。（教师追问：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）。
预设2：我认为是21棵，因为题目中写着“两端要栽”，所以要再加1棵。
教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）
【设计意图】直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，既是对教学起点的了解，又利用两种不同的结果设置疑问，激发了学生探求新知的热情。
二、经历过程，感受方法
教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。遇到了什么困难？
预设：100 m太长了，不太好画。（追问：那我们可以怎么办？）
学生：可以先用简单的数试一试。（课件出示）
【设计意图】使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测──验证”的学习方法。在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。
三、探索实践，建立模型
教师：先看看20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。
实物投影或课件出示：
教师：说说你是怎么想的？
预设：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因为两端要栽，所以要栽5棵树。教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？ 预设：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因为两端都要栽，所以要栽6棵树。
还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）
教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？
（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？
预设：棵数要比间隔数多1。（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数+1。
教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）
教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。
归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。
【设计意图】“画示意图──抽象出线段图──不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型。
四、利用新知，解决问题
教师：根据刚才学到的知识，还可以解决许多生活中的问题。（课件出示问题）
1．在一条全长2 km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50 m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
教师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？
预设1：单位不统一，要先进行转化再计算。
预设2：两旁。（追问：表示什么？）就是两边。你能通过画图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？（先算出一边的路灯的数量，再乘以2。）
学生练习，指名回答。km=2000 m
（2000÷50+1）×2=82（盏）答：一共要安装82盏路灯。
教师：2000÷50算的是什么？（间隔数）“+1”说明了什么？（两端都要安装）
2．马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？
教师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。
引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。由“棵数=间隔数+1”可得“间隔数=棵数-1”。
25-1=24（棵）
答：一共要栽24棵银杏树。
教师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？（可以先用比较简单的例子，通过画线段图的方法进行验证）和这题有关的简单的例子，我们只要张开一只手。五个手指相当于题目中的？（梧桐树）每两个手指之间栽一棵（银杏树），可以栽几棵？你还有其他的方法吗？
【设计意图】练习中的实际问题，相比例题有一些变化，对于学生的理解能力提出了更高的要求。第1题用画图的方法直观地表示出“两旁”，解决了算式中为什么要“×2”的问题；第2题先让学生思考，说说自己的理解，验证的环节既是对方法的回顾，又体现了数学的趣味性。
五、逆向思考，拓展新知
园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6 m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？
教师：读题并思考，要求“从第1棵到最后一棵的距离”就是求什么？（路长）跟例题相比，有什么不同？
预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。
教师追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。
（36-1）×6=210（m）
答：从第1棵到最后一棵的距离是210 m。
教师：“36-1”算的是什么？（间隔数）再根据“间隔数×间隔距离=路长”计算。
【设计意图】通过变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解。该题是植树问题数学模型的逆向应用，有了前一题“间隔数=棵数-1”的知识为基础，学生应该能比较容易地解决这一问题。对于学习有困难的同学，也可引导他们用画线段图的方法解答。
六、回顾思考，全课总结
教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。根据学生回答，强调：
1．解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数=间隔数+1。
2．当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
《在一条线段上植树（两端都不栽）》教学设计
教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第107页例2及相关内容。
教学目标：
1．建立并理解在线段上植树（两端都不栽）的情况中“棵数=间隔数-1”的数学模型。
2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养应用意识。
教学重点：建立并理解“棵数=间隔数-1”的数学模型。
教学难点：培养学生探索解决问题的有效方法的能力。
教学准备：课件。
教学过程：
一、创设情境，复习引入
教师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？（棵数=间隔数+1）能快速地完成下一题吗？（课件出示题目）
准备题：绿化队要在相距60 m的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。一共要栽多少棵树？
指名回答：60÷3+1=21（棵）
答：一共要栽21棵树。
再来看看这一题（课件出示例2）认真思考，这两个题目有什么不同？
大象馆和猴山相距60 m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3 m。一共要栽多少棵树？
【设计意图】例2是在例1的基础上教学的，对已学知识的复习是为了找准知识迁移的“原点”，为下一个环节的教学做好铺垫。
二、比较分析，迁移新知
教师：你能用画图的方法表示出你的发现吗？同桌之间可以互相交流。（指名汇报）
预设1：准备题是一边，例2是小路两旁。（追问：在图上该如何表示？）就是有两条线段。（怎么计算？）只要先算出一边的树木数量，再“×2”就可以了。
预设2：准备题是两端都栽，例2是两端不栽。（追问：你能通过示意图说说为什么吗？）因为小路的两端都是场馆。
教师：这个题目该如何解决呢？你想到了什么方法？（可以先从简单的事例中发现规律）请你在草稿本上试一试。
【设计意图】通过比较分析，使学生更为深刻地理解题意，引导“用画图的方法表示出来”对于培养学生良好的审题习惯具有非常重要的作用。该环节的设计还重点突出了对“先从简单的事例中发现规律，再将规律应用于问题的解决”这一数学方法的迁移。
三、理解归纳，得出模型
指名回答，过程预设：
1．先画一个简单的线段图看看，以20 m长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。
2．同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少1。（教师追问：可以用怎样的数学模型表示？）棵数=间隔数-1。
教师：你能用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？（学生操作，交流发现。）运用这一模型，例2可以怎样解答？
60÷3-1=19（棵）
19×2=38（棵）答：一共要栽38棵树。
教师追问：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树）
教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。通过与例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。
【设计意图】通过教师的引导，促使学生自主探索，经历了问题解决的整个过程，对数学思想的渗透也在知识的迁移和转化过程中得到了体现。在教学实际中，可结合“你能用不同的方法对这一数学模型进行验证吗？”这一问题，进行开放式的教学实践，鼓励学生用自己的方法探索出规律。
四、课堂练习，应用新知
教师：利用这一数学模型，还能解决许多生活中的问题。
1．一条走廊长32 m，每隔4 m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？
学生练习，指名回答：
32÷4-1=7（盆）
答：一共要放7盆植物。
教师：如果改为两端都放，该怎么算？ 32÷4+1=9（盆）
教师：这两种不同的摆法相差几盆？（2盆）为什么？（两端都放时，盆数=间隔数+1；两端都不放时，盆数=间隔数-1。）
2．一根木头长10 m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？
教师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。
学生练习，分析讲评：
10÷5-1=4（次）
8×4=32（分钟）
答：锯完一共要花32分钟。
【设计意图】第1题在完成后进行了比较练习，加深了学生对两种不同数学模型之间关系的认识；第2题虽然不是植树的情境，但规律是相同的，引导学生通过画线段图的方法即可抓住题目的本质，同时扩展了学生对所学知识的应用视野。
五、利用变式，强化认知
小明家门前有一条35 m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5 m栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？
教师：这题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。
预设1：两端都栽的情况下，棵数=间隔数+1；两端不栽的情况下，棵数=间隔数-1。这种一端栽一端不栽的情况，应该是棵数=间隔数。
预设2：是用画线段图的方法得出的，一共要栽7棵。
预设3：直接用35÷5=7（棵）。（教师追问：35÷5算的是什么？）间隔数。（用这样的方法计算其实是以什么作为依据的？）在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。
教师：比较植树问题的三种情况，说说你自己的理解。
【设计意图】以已学知识为基础，放手让学生独立思考，鼓励用自己喜欢的方法探索这种情况的规律，在最后的比较环节也强调说出自己的理解。学生通过这样的方式获取的知识、思维活动的经验才能更加鲜活和深刻，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一基本理念。
六、课堂小结，布置作业
小结：植树问题在生活中的应用非常广泛，在解决这类问题时，应该先判断出属于哪一种情况，再根据题意列式解答。
课外作业：先判断以下各题属于哪种情况，再列式解答。
（1）在一条长2千米的公路的一边栽白杨树，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？
（2）搬运工从一楼到二楼，走了16级台阶，王丽家住6楼，每相邻两层台阶相同，从一楼到六楼一共走多少级台阶？
（3）一个古老的摆钟，于六时整敲响六下，需时五秒钟；那么，在正午敲响十二下时，需时多少秒？
《在一条首尾相接的封闭曲线上植树》教学设计
教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第108页例3相关内容。
教学目标：
1．运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。
2．进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。
教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
教学准备：课件。
教学过程：
一、谈话引入，复习旧知
教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？
预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。
教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？
预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。
教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。
【设计意图】复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测──验证”的方法和“从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决”的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。
二、自主探索，学习新知
1．出示情境，展开探索
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？
预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？）
逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。
预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。
教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？
学生独立思考，讨论汇报。
2．概括归纳，得出模型
教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）
（1）以周长为40 m的圆为例，通过下图得知，能栽4棵树。
（2）如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
预设：相当于在线段上植树的问题中“一端栽一端不栽”的情况。
（3）我们还可以用这样的方式来理解。
引导得出：植树的棵数与间隔数“一一对应”。
教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）
120÷10=12（棵）
答：一共要栽12棵树。
教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？
预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。
【设计意图】学生已经有了“在线段上植树”的学习经验，在出示情境图引导学生比较相同点和不同点之后，教师放手让学生自主探究。在概括归纳的环节，注重模型的对比和沟通，通过两种不同的方式，自然地得出在一条首尾相接的曲线上植树所需棵树与间隔数“一一对应”的结论，相当于在线段上植树中一端栽一端不栽的情况。
三、课堂练习，巩固强化
教师：运用刚才的发现，解决以下实际问题。
1．圆形滑冰场的一周全长是150 m。如果沿着这一圈每隔15 m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
150÷15=10（盏）
答：一共需要装10盏灯。
教师：你能利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的问题吗？
学生练习，交流汇报。
2．一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？
教师：这题与我们学习的植树问题的知识有关联吗？属于哪一种情况？（在一条首尾相接的封闭曲线上植树）你能说说在这题中谁与谁“一一对应”吗？（水晶的颗数与间隔数）
练习校对：60÷5=12（颗）
答：这条项链上共有12颗水晶。
【设计意图】第1题中利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的解决问题，进一步沟通了这两种植树问题之间的联系；第2题通过提问，使学生切实感受到植树问题的知识在实际生活中的广泛应用，同时强化了“一一对应”的模型思想。
四、拓展延伸，灵活应用
小区花园是一个长60 m，宽40 m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5 m。一共要栽多少棵树？
教师：仔细读题并思考，这题与我们今天学习的内容有什么不同？（是在长方形的四周植树）你能运用画图的方法找到这类问题中隐藏的规律吗？
独立思考，合作交流。
预设1：可以先求出花园的周长，再按照棵数和间隔数一一对应的方法来求。（追问：这种方法跟我们今天这节课学习的内容是？）相同的。
（60+40）×2=200（m）200÷5=40（棵）
答：一共要栽40棵树。
教师：这样的方法栽树能够保证四个角上都有树吗？为什么？（能够保证，因为长和宽都是5的倍数）
预设2：也可以分别求四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。（追问：用这种方法求的时候，要特别注意什么？）四个角上的树不能重复计算。
教师：那我们可以把4条边都当作一端栽一端不栽的情况来求。（你能自己画一画吗？）
60÷5×2=24（棵）40÷5×2=16（棵）24+16=40（棵）
答：一共要栽40棵树。
【设计意图】通过从一条首尾相接的封闭曲线到长方形的转变，继续培养学生利用画图方法解决问题的能力。按第一种方法计算，最后的提问“这样的方法能够保证四个角上都有树吗？”意在引起学生的反思；第二种思路可以演化出多种算法，通过画示意图的方法能使学生更为深刻地理解此类问题中隐藏的规律。
五、全课总结，畅谈收获
教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。
根据学生回答，强调：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数和间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的问题中一端栽一端不栽的情况。
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