之一：两点间距离公式——数学阅读教学反思

第一篇：之一：两点间距离公式——数学阅读教学反思

两点间距离公式的教学设计

教学目标

1、掌握两点间的距离公式，熟练地运用距离公式来解决实际问题；

2、培养学生的数学阅读能力、阅读方法；

3、渗透用代数的方法解决几何问题的思想。

教学内容

重点：两点间距离公式及其应用。

难点：对课本例题的深层次的思考和知识的迁移。教学过程

一、复习提问

师：上节课我们学习了有向线段的概念，我们先来复习一下。

AB、AB有什么不同？ 提问1：请回答AB、生: AB表示以A为起点,B为终点的有向线段，是一个几何图形;AB是有向线段AB的长度；AB表示有向线段AB的数量，AB与AB都是一个实数。

师：提问2：设AB在x轴上或与x轴平行时，有向线段AB的数量、长度公式如何用A,B点在x轴上的坐标x1,x2表示呢？

生：ABx1x2,ABx1x2。师：提问3：沙尔公式的内容是什么？

生：设轴上点A1,A2,A3,,An的坐标分别x1,x2,x3,,xn为那么有A1A2A2A3An1AnA1An，或A1A2A2A3An1AnAnA10。

二、新课导入

师：如果AB与y轴平行或在y轴上，有向线段AB的数量与长度如何求？ 生：设A,B两点的纵坐标为y1,y2，则ABy1y2,ABy1y2 师：那么，当有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长，即两端点间的距离呢？ 我们可以通过作有向线段在x轴，y轴上的投影（射影），利用勾股定理即可求出线段的长，即两端点间的距离。如图1，设P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点。从P1,P2分别向x轴和y

轴作垂线P1M1,P1N1,P2M2,P2N2，相交于点Q。

在RtP1P2Q中P1P22P1QP2Q

22因为P1QM1M2x2x1 所以P1Qx2x1 同样P2QN2N1y1y2 所以P2Qy1y2 所以P1P22x2x1y1y222(x2x1)2(y1y2)2

于是，我们得到平面上两点间的距离公式：

P1P2(x2x1)2(y1y2)2

下面我们来看看这个公式的应用。例1 求下列A,B两点间的距离：（1）A(2,1),B(5,1)；（2）A(ab2,2abc),B(ac2,0)。解（1）（2）AB(52)2(11)29413

22AB(ac2ab2)2(02abc)2a2(c2b2)24a2b2c2a(cb)a(cb)122222例2 ABC中，AO是BC边上的中线，求证: ABAC2(AOOC)。解 建立平面直角坐标系，如图2，设点O,A,B,C的坐标分别为O(0，0),A(b,c),B(a,0),C(a,0)，利用平面上两点间距离公式有ABAC(ba)2c2c2(ba)22a22b22c2 2222又有AOOCa2b2c2，从而ABAC2(AOOC)。师：看过上述例题后，你知道了一些什么？ 启发1：若不按例2的方法建立平面直角坐标系，能否证明上述结论？

例如，方法

1：见图

3，设222222O(a，0),A(b,c),B(0,0),C(2a,0)，证明从略。

方法2：见图4，设A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，因为D是BC的中点，所以D(x2x3y2y3,)。22由此可见，解答例2，建立坐标系的方法是最简单的。

启发2：通过本题，我们体会到解析几何的一种基本思想方法就是建立坐标系，将几何问题通过代数计算的方法加以解决。试想，此题若不通过建立坐标系，而是用纯平面几何的办法来解决，将怎样添辅助线？

启发3：如果本题不是书上的例题，而是一道考试题，谁能用学过的办法比较简单地将其解决呢？

师：我们可以通过学过的余弦定理来解。设AOC,AOm,OCn 则ABm2n22mncos()m2n22mncosACm2n22mncos2222(1)(2)

22(1)(2)得 ABAC2(m2n2)2(AOOC)

这就是说，我们要善于利用已知将为之转化为已知，不断地培养自己分析问题，解决问题的能力。

启发4：读了本例题后，你们知道本例题的几何意义是什么吗？

我们可以这样想：将ABC沿边作一个对称变换（中心对称），得到A’BC，则由本题解决AB2AC22(AO2OC2)，可知平行四边形四边长的平方和等于对角线的平方和。

三、课堂练习

设点P为矩形ABC所D在平面上任意一点，求证：PAPCPBPD。2222方法1：

建立如图7所示坐标系，设C(a，0),A(0,b),D(a,b),P(x,y)。

因为PAPCx2(yb)2(xa)2y22x2yab2ax2byPBPDx2y2(xa)2(yb)22x2yab2ax2by所以PAPCPBPD。

方法2： 2222222222

222222

以矩形ABCD的对称中心O为原点，建立如图8所示的坐标系，设D(a,b)，则A(a,b),B(a,b),C(a,b),P(x,y)。

因为PAPC(xa)2(yb)2(xa)2(yb)22x22y22a22b2 22PBPD9xa)2(yb)2(xa)2(yb)22x2y2a2b222222

请同学们比较，用哪一种方法建立坐标系其计算量要小些。

四、课堂小结

1、两点间距离及应用；

2、解析法的主要思想方法；

3、建立执教坐标系的一般原则。

五、补充作业

在x轴上求一点P，使P点到A(0,3),B(4,5)距离的平方和最小。解 设P(x,0)为所求的地啊，则由平面上两点间距离公式得

PAPBx232(x4)2(05)22x28x502(x24x4)508 2(x2)242422222当且仅当x2时PAPB的值为最小 所以点P坐标为(2,0)反思

本节课作为平面解析几何的入门课，我的一个主导思想是，要通过本节课让学生了解平面解析几何的基本思想—坐标的思想。通过平面直角坐标系的建立，把“数”和“形”联系起来，把“几何问题”和“代数方程”联系起来，从而实现代数的方法研究几何问题的目的。为了达到这个目的，我力求让学生通过看书和课堂联系去初步体会这种“坐标法”的思想。

在这里，我抓住目前中学生普遍存在的忽视数学阅读的问题，利用布置学生看书这一教学环节，促使学生逐渐养成读数学课本的良好的学习习惯，同时教会他们逐渐学会使用图形语言。

我们知道，在平面解析几何里建立坐标系是有技巧的。同样的问题，如果坐标系建立得恰当，解决起来就比较容易，相反则会比较麻烦。因此，在本课的课堂练习中，我通过课本例题的分析，告诉学生课本上的建立坐标系的方法是最简单的方法，我们今后在解决实际问题时要打开思路，根据具体问题选择最佳方法建立平面直角坐标系，以便于问题的解决。当然，建立平面直角坐标系的技巧还要在后面的教学中不断引导，逐渐渗透，这不是通过一节课所能够解决的问题，这里不过是给学生“下点儿毛毛雨”罢了。

另外，本节课的教学内容—“平面上两点间距离公式”，又是学生学习习近平面解析几何的一个基本工具，学生必须熟练掌握。因此，本节课的课堂练习和补充作业的主要目的是让学生学会运用公式，如果时间再充裕一些的话，还可以把平面上两点间距离公式的运用和学生刚刚学过的三角函数知识结合起来，例如，求平面直角坐标系内某定点与单位圆上一个动点之间距离的最值等，其效果会更佳。

第二篇：两点间的距离教案二

两点间距离

教学目标

1．使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式． 2．使学生初步了解解析法证明．

3．①教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想． ②“数”和“形”结合转化思想． ③鉴赏公式蕴含的数学美． 教学重点与难点

重点

猜测两点间的距离公式． 难点

理解公式证明分成两种情况． 教学过程

师：上节我们学习了有向线段，现在有问题是：如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|又怎样求？

生：|AB|=|xB-XA|，|CD|=|yC-yD|． 师：现在再请同学们解如下两题．

①求B(3，4)到原点的距离． ②设A(x1，y1)；B(x2，y2)，求|AB|． 生：B到原点距离是5． 师：你是怎么得出来的？

生：我是通过观察图形，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到的．(注：为②猜想打基础．)师：请同学们猜猜②题的结果？

丁：

师：哪个公式对呢？或问甲、乙、丙…怎么猜出来的． 生甲：利用①题求出A点到原点距离加上B点到原点距离．(其他学生讨论反向原点O在P1、P2直线上吗？引导讨论达到认同

师：我们来欣赏和考验它的正确性． ①

按距离要求它大于等于零，是这样吗？ 生：是．

② |AB|=|BA|．公式满足吗？ 生：满足．

师：用猜出公式检验①题．

师：当AB平行于x轴或平行于y轴，公式还适用吗？

师：这就增强了我们猜想公式的信心．那么我们应该对公式从理论上加以证明．应该怎么办？

生：证明时要构造Rt△． 师：总能构造Rt△吗？

生：当AB平行于x轴或AB平行于y轴时不行．

师：那么AB不平行于x轴或y轴任意两点总能构造Rt△吗？ 生：可以．

师：好！要求我们证明时分两种情况：①两点连线平行x轴或y轴时；②两点连线不平行于x轴或y轴．下面，我们来求平面上任意两点间的距离．(教师在黑板上画图，学生完成证明过程．)生：在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y2)、P2(x2，y2)如图：从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N2(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q．

在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2．因为 |P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|，|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．

由此得到两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的距离公式：

师：同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的．(回忆过程)①我们先计算在x轴和y轴两点间的距离．②又问了B(3．4)到原点的距离，发现了Rt△．③猜想了任意两点距离公式．④最后求平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题可以采用！下面对两点间的距离公式应该进一步理解和鉴赏它．

对任何长度单位都适用吗？答案也是肯定的，说明公式应用的广泛性． ④当P1、P2点同时平移时，不论 P1P2落在什么位置，|P1P2|有变化吗？答案也是肯定的，又说明了公式的任意性．

⑤对于这个公式的重要性：公式是解析几何的基础知识，基本公式．它对以后继续学习研究解析几何问题有着广泛的用途，在以后学习任何曲线问题时都会用到它，在解决实际问题时也会经常用到，在今后的学习中会体会到这一点．

现在我们再看一个例子：在一个圆上，有A、B、C、D4个点，你怎样证明：

|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=R呢？ 引导学生利用三角解决．

设A(x0，y0)，∠AOM=θ．

今天我们学习了平面上两点间的距离．(教师在黑板上写上课题：两点间的距离．)练习：求下列坐标下的两点间的距离？

(3)有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点是B的纵坐标3，求这个端点的横坐标？并画出这个点．

练习方式：(1)(2)学生下面做，教师叫一个或二个学生板书后，再纠正错误．或叫学生口述，教师板演，规范书写格式．而对于(3)应让学生先画图，再解．

解：设B(x，3)，根据|AB|=13，即：(x+4)2+(3-8)2=132，x2+8x-128=0，解之：x1=8或x2=-16．

学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至到 A(-4，8)点距离等于 13的点的轨迹(或集合)是以 A点为圆心13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点．

师：两点间的距离公式能起到证明两条线段相等作用吗？我们看下面一题． 例1 △ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)． 师：我们先作一个三角形ABC，AD是BC边上的中线。再想如何证明：|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．

生：必须把△ADC放在直角坐标系内，利用距离公式． 师：如何放呢？下面可以画画坐标系．

生：在下面画，教师下面巡视，最后归纳成以下几种．

师：△ABC在坐标系中大致有以上4种，都能达到证明结论．请同学观察哪种放法比较简捷呢？

生：(1)(4)的放法比较好，其中(4)种最好． 师：好，哪种放法最不好？ 生：(3)种放法最不好． 师：为什么？说说理由？(讨论)生：(3)A、B、C坐标均不一样，字母太多，且D点坐标不知如何求？(未学中点坐标公式．)

(2)种B、C两点纵坐标一样．(1)种B点与原点重合B(0，0)，D、C坐标纵坐标为零，比较好，计算较简便．(4)种方法是B、D、C在x轴上，纵坐标均为零，且B、C对称，横坐标互为相反数．

师：好，我们就选(4)种方法证明．再问一下A点放在y轴上不更好吗？ 生：把A点放在y轴上，三角形是特殊的等腰三角形，失去一般性． 证明：取线段所在的直线为x轴，点D为原点(O)，建立直角坐标系，设点A的坐标为(b，c)，点C的坐标为(a，0)，则点 B的坐标为(-a，0)，可得：|AB|2=(a+b)2+c2，|AC|2=(a-b)2+c2，|AD|2=b2+c2，|OC|2=a2．

所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2)，|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2．

所以 |AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．

例2 对任意实数x1，x2，y1，y2下面的不等式成立：

师：这样的代数不等式通常怎样证？

生：从现在学习代数不等式的知识来看有比较法．

师：是这样，随着学习的深入，代数不等式还有综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、判别式法、图象法等．

师：按距离公式，3个根式各像什么？

生：距离公式． 师：涉及到哪几个点？

生：涉及(x1，y1)、(x2，y2)、(0，0)． 师：画图看看，怎样证？

生：设O(0，0)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，且O、A、B构成一个三角形．

边之和大于第三边)，师：等式如何取得？

生：当O、A、B共线且O在AB之间时：则|AB|=|OA|+|OB|． 师：当O、A、B 3点共线，O在AB之外时，又怎么样？ 生：这时|AB|＜|OA|+|OB|．

题实际上是距离公式的逆用．我们在解数学问题时经常强调“形”到“数”转化，而这道题以形解数．从例1来看是用代数方法解决几何问题，起名叫做解析法，而例2是形解数．这些都是“数”和“形”相互转化．今后我们由它在方程中的应用、在函数最值中应用、在证明恒等式中应用、在三角方面的应用，可以看出两点间的距离公式在解决数学问题中的广 的数或形进行几何解释，利用数形结合的数学思想，借助于图形的有关性质得出问题的解或结论．

练习：试证直角三角形斜边中线等于斜边一半．(学生自己完成)小结：1．学习了两点间的距离公式．

2．解析法证明几何问题，建立坐标系的原则又是什么呢？在不失一般性的前提下：(1)设点尽可能出现对称点．(2)尽可能的把点放在坐标轴上，这样，点的坐标会出现有的坐标为零，优化计算．

3．学习中运用特殊到一般，再由一般到特殊的思想．还有“数”“形”结合的数学思想．

补充作业：

1．若B、C、D在数轴上的坐标是a，2a，3a(a＞0)，那么求

2．在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离

3．判断三点A(3，1)、B(-2，9)、C(8，11)是否共线？(答案不共线)4．已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是什么？(答案B)A．直角三角形．

B．等边三角形．

C．等腰三角形．

D．等腰直角三角形．

5．试证矩形的对角线相等． 设计说明

距离概念，在日常生活中时刻遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离概念．到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等．其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离．在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式．到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线，动点到定点的距离，动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础．例如：圆的概念是动点到定点的距离等于定长的点的集合．椭圆的概念是动点到两个定点距离和等于常数的点的集合．双曲线的概念以及抛物线的概念都涉及到距离的概念．另外，可以看出两点间距离公式为解决代数、三角和几何问题起到了重要作用，所以学习掌握运用两点间的距离公式的重要性是显而易见的．

解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法．

1．关于本节课的宏观想法

从本节课的内容，即平面内两点间的距离公式及应用公式解题，来了解解析法证明．初步会用解析法证明简单的几何题．因而确定的教学目标是从教材的性质确定本节课是概念及公式的推导课．而重点是掌握两点间的距离公式，所以采用了“归纳—演译”，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的方法．同时充分利用了数形转化，以形促数、以数找形的数学思想和方法．

确定导入课是在上节有向线段的长度基础上提出一个问题，即A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，求|AB|及|CD|？再引出一个特殊点B(3，4)到原点距离，让学生观察图形发现Rt△，利用勾股定理解决，为猜想两点间的距离公式和推导打下基础．再提出任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，如何求|AB|．让学生猜想，引导到正确公式中来．应该在猜想的教学环节上下功夫．在猜出公式后及时引导学生欣赏和考验它的正确性．由此说明公式普遍性及特殊性都适用，才称其为公式．在经过严格的理论推导出公式才能成为真理．更深一层引导同学理解和鉴赏公式．让学生在学数学时更重要的是学会数学思维方法，在得到公式时不要到此而止，还要进一步理解它，鉴赏它，使学生体会到数学的美．解析法证明为几何证明又开辟了新的途径是本节的难点，特别是如何建立坐标系，比较它优劣，在小结中总结出建立坐标系的一般原则，使学生初步了解解析法证明．对于例2代数不等式的证明，其目的是以形解数，如果利用代数中的比较法、综合法、逆证法等都是不能很快解决的，但这个题要根据所授学生的实际决定取舍．

2．教学微观想法

两点间的距离公式的导出以及它的应用解题，从问题的提出开始，尽可能地让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，要全方位、分层次参与任何问题结论的得出都由学生自己完成，教师只起到点拨作用．在有可能的情况下可以用电脑提高动画效果．例：A、B平行移动，解析几何证明坐标系的选择、代数不等式中三角形的变化等．这样，学生真正参与概念的建立、公式推导探索过程，从而体会获取知识的乐趣，成为“生产”知识的主人．

3．教学情境设计的想法

以提出问题导入新课，每个问题又尽可能地让学生动脑、动手、动口，去发现、去猜想、去在理论上推导，所有的机会都给学生，同时又及时小结数学思想和方法，思维策略，以及相互转化，都会极大地调动学生学习的积极性．另外，又因为每个学生实际情况有差异，学生参与要分层次进行．

对课内练习及课外作业要求来讲，教学任务要保底但不封顶，所以要结合自己学生的实际情况，有选择去练习，以达到掌握本节课内容的主要目标．本节课主要掌握两点间距离公式及应用．在应用涉及到其他知识，例如三角知识，或数字带根号的等，首先要保底，不要理它，但基础好的学生也可以增加涉及其他知识范围．例如在例2代数不等式中，教案教师问了这样的代数不等式怎样证？是从代数角度考虑如何证它．但学生没有学习到代数不等式这章，则可以改变问法．

第三篇：2017两点间的距离教案.doc

§3.3.2 两点间的距离

一、教材分析

距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学

过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标

1．知识与技能：

掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：

通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：

体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

三、教学重点与难点

教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们 的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③

图1

在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2

相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.由此得到两点

P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1)2(y2y1)2.④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!

（三）应用示例

例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2 解:设B(x，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x，0)，于是有(x1)2(02)2(x2)2(07)2.由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=(11)2(02)2=22.（四）知能训练

课本本节练习.（五）拓展提升 已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式x2y2x2(1y)2(1x)2y2

(1x)2(1y)2≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=.（六）课堂小结

通过本节学习，要求大家: ①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

②能灵活运用此公式解决一些简单问题；

③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.（七）作业

课本习题3.3 A组6、7、8；B组6.

第四篇：2014高考名师推荐语文文科两点间距离公式、点到直线距离公式J

1.填空。（10分，每空两分。）（1），休将白发唱黄鸡。（苏轼《浣溪沙》）（2）受任于败军之际。（诸葛亮《出师表》）（3）竹喧归浣女。（王维《山居秋暝》）（4）曹操的《龟虽寿》中，“烈士”指。“烈士暮年，壮心不已”表达了诗人 的豪情壮志。

2.根据课文默写古诗文。（10分）1）__________，直挂云帆济沧海。（李白《行路难》）（1分）2）行到水穷处。（王维《终南别业》）（1分）3）安得广厦千万间，!。（杜甫《茅屋为秋风所破歌》）（2分）4）表现千里马悲惨遭遇的句子是__________。（韩愈《马说》）（2分）5）将陶渊明《饮酒》（其五）默写完整。（4分）

结庐在人境，而无车马喧。问君何能尔？心远地自偏。__________。__________。此中有真意，欲辨已忘言。

3.古诗文默写。（10分）（1）五岭逶迤腾细浪。（毛泽东《七律·长征》）（2）《春望》中写诗人忧国思家，心情沉重，以致华发稀疏的句子是:__________。（3）__________，隔江犹唱《后庭花》。（4）僵卧孤村不自哀。（5）《过零丁洋》中诗人感慨国家的命运和自己身世的诗句是:__________。（6）工欲善其事。

（7）__________，乾坤日夜浮。（8）儿童相见不相识。（贺知章《回乡偶书》）

4.古诗词名句填写（共8分）

1、荡胸生曾云。（杜甫 《望岳》）

2、晴川历历汉阳树。（崔颢 《黄鹤楼》）

3、__________，孤帆天际看。（孟浩然《早寒江上有怀》）

4、孟浩然在《望洞庭湖赠张丞相》一诗中用典含蓄的表达了希望出为世用的急切心情的诗句是 __________。

5、《望岳》中表明诗人不怕困难，勇于攀登，有俯视一切的雄心和气概的诗句是__________。

6、《长歌行》中提醒人们及时努力，珍惜少壮时代的句子是__________，.7、杜甫的《春望》一诗中写出了战火弥漫中人们共有的感受而传颂千古的名句是。

8、写出古诗中含有“花”的连续的两句诗。

1.（6分）读书可戒躁 沐 沂

①刚刚过去的世界读书日，一如往年，又引发一番愧疚、反思乃至片刻的警醒，也难免有人援引数据，说明国人阅读率与西人之差距悬殊云云。然此日一过，依然故我。②常听人说的借口是“忙”。古人也很忙，但人家琢磨出个“三上”——马上、枕上、厕上。尽管有好事者论证，此“三上”都不健康，但至少说明，读书在古人那里，已是一种习惯。如果说“老黄历”不堪一翻，再看看国外。有常出国者慨叹，在某国上班早高峰的地铁里，为生计奔波的青年人手一本书，把整个世界读得一片安静。其实，“忙”很多时候会变成“盲”与“茫”，刚刚关上电脑，顺手拿起手机，刷了一会微博，忽然想起一直追的电视剧更新了，还有一档综艺节目没看，反正这个时代不缺少娱乐元素，足可以把时间填得满满当当。③也有理由是“读书无用”。时代飞速向前，要想不被抛下，必须全力奔跑，无形压力让“成功”焦虑蔓延开来，成名要趁早、赚钱要趁早，“30岁还不成功，你就没希望了”，“40岁不赚够4000万，就不要来见我了”等各类说法可为佐证。“颜如玉”和“黄金屋”只是一种传说，“书籍是人类进步的阶梯”，但却未必是我成功的阶梯。此类拿功利主义套读书的做法，让人们变得短视，要么干脆不读书，读也要读“有用”的书，于是图书市场“虚火”，各类成功学、营销学、厚黑学、养生学书籍层出不穷，人们捧读各类“圣经” “宝典” “红宝书”，在知识中寻找改变命运的路径。

④用娱乐把时间填满，结果可能还是空虚;靠读几本书便要成功起来，也许只是缘木求鱼。两种理由，一言以蔽之，浮躁。我们常说时代浮躁，但于个人，浮躁却是万万要不得的。“心浮则气必躁，气躁则神难凝”，或可再加上一句，神不凝则万事难成。

⑤浮对之以沉，躁对之以静，真正的阅读，正可用来获得一种沉静的心态。古人把读书比作磨剑，“十年磨一剑”，磨的应该就包括心性。苏东坡的读书方法叫“八面受敌”法，概其要，就是把书本当“敌人”，每次只集中精力，“消灭”一面之敌，反复研读，自可威风八面——智慧如苏子，读书亦只能用慢功夫和“笨方法”。

⑥总之，读书可戒躁。是的，一本书就是一扇开启心灵的大门„„（原载《人民日报》，有删改）

【小题1】下列对选文观点的概括最恰当的一项是（）A．选文作者针对国人的“忙”和“读书无用”的现象，提出了“读书可戒躁”的观点。B．选文作者针对国人的“忙”和“读书无用”的现象，提出了“书籍是人类进步 的阶梯”的观点。C．选文作者针对国人的“忙”和“读书无用”的现象，提出了“国人阅读率低”的观点。D．选文作者针对“外国人地铁里安静读书”的现象，提出了“读书可戒躁”的观点。【小题2】下列对第④段在文中的作用分析正确的一项是（）A．总结上文B．引出下文C．设置悬念D．承上启下【小题3】下列对选文内容的理解正确的一项是（）A．选文是一篇驳论文，针对国人借口“忙”和“读书无用”的谬论一一进行批驳。B．选文第②段举了二个事例论证了国人的因为忙而无时间读书是借口。C．选文作者充分肯定了国人读成功学、营销学、厚生学、营养学是在用知识改变命运。D．选文第⑤段举“苏子读书”的事例意在论证读书可获得一种沉静的心态。

2.（共16分）母亲的手机 朵渔

①母亲的手机是那种老款的诺基亚按键手机，铃声刺耳，超长待机。那是小妹有一年暑假回家淘汰给她的。虽然功能并不复杂，但母亲觉得那手机像个怪物__________，难以把握。她让小妹给她设定：音量调至最大，通讯录里只保存两个号码。

②起初母亲并不想接受这部手机，她觉得一个农妇整天怀揣着手机，不像样子。手机不都是带在老板们身上的么？另外，当时家里还有固定电话，再添部手机，实在浪费。但小妹还是坚决地把那部手机淘汰给了母亲，于是，我们又重新体会到了小时候想找母亲就能马上找到的幸福了。

③就这样，母亲成了村里较早的“手机一族”。做饭时，她会把手机放在灶台上；睡觉时，手机放在枕头下；下地干农活，她嫌手机放在衣兜里碍事，就随手放在田间地头。有时候在田里干活，渐渐离手机远了，路过的邻里听到手机铃声，会远远地招呼母亲：“嫂子，你家儿子（或闺女）打电话来了！”母亲便会一把扔下手里的农具，急匆匆地赶过来摁下接听键。隔着几千里路，我时常能在听筒里听见呼呼的风声和她的喘息声。我经常告诉母亲，不用着急，如果没人接听，我会多打几遍。但没有用。母亲始终对那小玩意儿缺乏信任，似乎慢走几步，那手机里的人就会消失不见了。

④她偶尔也会拨打电话给我们，通讯录里一共两个人，除了我就是小妹，但她还是经常会按错。“你是谁？”电话拨到我这里，还要确认一下我是谁。母亲主动拨打手机，通常出于两种情况：一是我们很久没有打电话给她，她担心；二是她做了个什么不好的梦，会匆匆拨个电话过来问问，最近怎么样，没什么事吧。母亲的手机似乎就是为她的两个漂泊在外的孩子准备的，如果我们长时间不打电话，欠费停机了她也不知道。

⑤早前，我跟家里的联系方式主要还是靠写信的时候，一封信单程要走六七天，然后再用十来天的时间等回音。有时候遇到急事，我会先打电话到村长家，麻烦村长把母亲叫来，过几分钟再打过去。能够在电话里交谈，而且可以真实地听到孩子的声音，因此每次到村长家接听电话，母亲的声音都有些微微发抖的感觉。总麻烦人家村长毕竟不是办法，有一年装电话的费用终于稍稍降了一些，父亲卖掉几袋麦子，终于在秋后装上了家里的第一部固定电话。⑥从那以后，我有十来年没有往家里写过一封信了。想想以前给母亲写信时，总是能写满几大页，但我收到的回信却总是很简短，仿佛母亲关心的总是那几个问题。但我知道，这事不能怪母亲，因为母亲不识字，我知道她肯定有很多话想对我说，但千言万语总是被弟弟汇成一句话落在纸上。弟弟那时还在上小学，表达能力有限，认字不多，字也写得歪歪扭扭。他可能也和我以前小时候帮母亲写信给远方的舅舅一样，总是自作主张地精减母亲的话，我那时甚至还会因为遇到了不会写的字而觉得母亲太啰嗦。

⑦现在，母亲她再也不用央求别人替她写信了，再也不用担心别人会精减她的话了。当母亲拥有了她的第一部手机后，她想说什么就说什么，想说多久就说多久。

⑧母亲渐渐离不开手机了__________，虽然一部手机用了五六年，通讯录里依然只有两个人的电话号码。但对于我们而言，手机就像装在母亲身上的按铃，你什么时候摁一下，都能找得到母亲。

（摘自《中学生阅读》2014年12期，有删改）

【小题1】阅读文章划横线的句子，联系上下文，回答问题：（1）一开始，“母亲觉得那手机像个怪物”，这是为什么？（3分）

（2）“隔着几千里路，我时常能在听筒里听见呼呼的风声和她的喘息声。”写出了母亲当时什么心情？这种心情从第⑤段中的哪句话也可以看出来？（2分）

【小题2】母亲的手机明明是小妹淘汰给她的，可文章第④段却写道“母亲的手机似乎就是为她的两个漂泊在外的孩子准备的”，这样写矛盾吗？请说说你的理由。（3分）

【小题3】“手机就像装在母亲身上的按铃，你什么时候摁一下，都能找得到母亲。”从写法、内容、情感等角度说说你是如何理解这句话的？（4分）

【小题4】文中母亲是一个怎样的人？请结合生活体验，谈谈你对母爱的理解。（4分）

1.鱼我所欲也

①鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也；二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦我所欲也，义，亦我所欲也；二者不可得兼，舍身而取义者也。生亦我所欲，所欲有甚于生者，故为不苟得也；死亦我所恶，所恶有甚于死者，故患有所不辟也。如使人之所欲莫甚于生，则凡可以得生者何不用也？使人之所恶莫甚于死者，则凡可以辟患者何不为也？由是则生而有不用也，由是则可以辟患而有不为也，是故所欲有甚于生者，所恶有甚于死者。非独贤者有是心也，人皆有之，贤者能勿丧耳。

②一箪食，一豆羹，得之则生，弗得则死。呼尔而与之，行道之人弗受；蹴尔而与之，乞人不屑也。

③万钟则不辨礼义而受之，万钟于我何加焉？为宫室之美、妻妾之奉，所识穷乏者得我欤？向为身死而不受，今为宫室之美为之；向为身死而不受，今为妻妾之奉为之；向为身死而不受，今为所识穷乏者得我而为之，是亦不可以已乎？此之谓失其本心。【小题1】本文出自《》，是孟子及其门人所作，儒家经典著作之一。他的政治主张是“仁政”，他认为“人之初。”

【小题2】解释加点的字。蹴尔而与之故患有所不辟也 【小题3】翻译下列句子。

万钟则不辨礼义而受之，万钟于我何加焉？

【小题4】下面的名言不是孟子说的一项是（）A．富贵不能淫，贫贱不能移；威武不能屈，此之谓大丈夫。B．尽信书则不如无书。C．我善养我浩然之气。D．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。【小题5】下列句子中没有通假字的一句是（）A．乡为生死而不受B．非独贤者有是心也C．所识穷乏者得我与D．故患有所不辟也【小题6】本文的中心论点是什么？文章是怎样提出中心论点的？

1.阅读下面这首古诗，完成（1）（2）两小题。(5分)秋词

（唐）刘禹锡

自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝。晴空一鹤排云上，便引诗情到碧霄。注：此诗是作者被贬朗州时的作品。（1）作者对“秋日”是怎样的态度？从中可以看出作者怎样的生活态度和思想感情？（3分）（2）试分析这首诗在写法上的两个突出特点。（2分）

2.阅读下面这首古诗，完成（1）（2）两小题。（5分）过山农家 唐·顾况

板桥人渡泉声，茅檐日午鸡鸣。莫嗔焙茶烟暗，却喜晒谷天晴。

（1）诗的前两句描绘了一幅怎样的画面？请加以描述。（2分）（2）后两句诗中的“莫嗔”“却喜”分别反映出山农怎样的心情？（3分）

3.诗歌鉴赏：（6分）春望

国破山河在，城春草木深。感时花溅泪，恨别鸟惊心。烽火连三月，家书抵万金。白头搔更短，浑欲不胜簪。【小题1】．请赏析“烽火连三月，家书抵万金”。（2分）【小题2】本诗让我们看到一个的诗人，请你用自己的语言把尾联中诗人的形象描绘出来。（4分）

1.根据要求写作文（30分）

在你的人生道路上，相信有许多让你铭记在心的人、事、景、物：或温暖你的心扉，让你如沐春风；或鼓舞你的斗志，让你扬帆启航；或启迪你的心灵，让你豁然开朗；或陶冶你的性情，让你受益终生„„

请以“好想说声谢谢你”为题，写一篇文章。

要求：①说真话，抒真情；②不得出现真实的人名、地名；③卷面整洁，书写工整，不少于600字。

第五篇：2012届高考数学一轮复习教案：5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

●知识梳理 1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2x1）（y2y1）.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1x2x，1的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）.yy2y113.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，xxh，yyk.特别提示

1.定比分点的定义：点P为P1P2所成的比为λ，用数学符号表达即为P1P=λPP2.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：

P点分P1P2成的比为λ，则OP=

11OP1+

1OP2（O为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.●点击双基

1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y=4x沿向量a平移得到抛物线y－4y=4x，则向量a为

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2xxhxxh，解析：设a=（h，k），由平移公式得 yykyyk，代入y2=4x得

（y－k）2=4（x－h），y2－2ky=4x－4h－k2，第1页（共10页）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）

3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分BC所得的比为 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

3510解析：设A点分BC所得的比为λ，则由2=答案：C，得λ=－.834.若点P分AB所成的比是λ（λ≠0），则点A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1AP.∴BA=－

1AP.答案：－1

5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），x1x22，2y1y21，2x1x33，xx2x32242则

∴1∴重心坐标为（－，）.33y1y2y34y1y34，2xx321，2yy321.2答案：（－23，43）

（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为____________.第2页（共10页）

63232解析：设M（x，y），则x=

1=

1552732=3，y=

132=

4215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，则AP=3113AB或AP=

13BA.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若AP=41x1，x，3解得3此时y62.y4.13AB，则由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P点坐标为（，4）.3131若AP=－13AB，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

477x1，x，3解得3∴P（－3y62.y8.，8）.综上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，则P为AB的定比分点，代入公式即可；若AP=－1413AB，则AP=－

14PB，则P为AB的定比分点，λ=－.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分点坐标公式，得

ADDCABBC22.第3页（共10页）

24（1）2xD952，21∴D212y2.D212点坐标为（9－52，2）.22（24）=104682.∴|BD|=（9523）评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展

本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BABD|BA||BD|BCBD|BC||BD|，即BABD|BA|=BCBD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x33y1210=4x122y820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三点共线，∴AD，AC共线.又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.x952，由①②可解得

y2.②

∴D点坐标为（9－52，2），|BD|=104682.思考讨论

若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将 □ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD可得AB=DC，设C（x3，y3），D（x4，y4），第4页（共10页）

则，x3x41y3y42.x42y4292①②

x3又CD的中点为E（4，1），则y397x4，x3，由①－④得22即y2，y0，434，1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闯关训练

夯实基础，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－式为

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函数解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

πxxh，xx，π解析：由得4∴y－3=sin（x+）.4yyk，yy3.∴y=sin（x+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x++1的图象，则a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分PA所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P（x0，y0），M（x，y）.第5页（共10页）

x0xx03x，3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，y03y2，yy023x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦点坐标为（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函数y=2x－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得则b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.试求满足OD+OA=OC的OD的坐标.解：设OD=（x，y），则OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x3）（2y1）0，x3y0，x3，xy4，y1，则（（3y1）0.x4），x11y6，所以 OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且满足AC=D、E的坐标.AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培养能力

7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，第6页（共10页）

求实数m、n的值.解：（1）依题设f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有点难度哟！

（2004年广州综合测试）已知曲线x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DM=λMN，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则

x2x，221x12y12，122由于点M、N在椭圆x+2y=2上，则 222y2yx22y22，.112y22x22（）（2）2，11即消去22x2y2.22234x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范围为［

1223412≤1..，+∞）.思考讨论

本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新

9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan

12）

第7页（共10页）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）

（1）求出发后3 h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），则12x1152tcos4515t，y1x115t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.22（45－20）=850=534，|PQ|=（4530）即两船出发后3 h时，两船相距534 n mile.2（y2y1）（2）由（1）的解法过程易知|PQ|=（x2x12）222210t15t）（20t4015t）=50t400t1600=50（t4）800≥202.=（∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h时，相距202 n mile为两船最近距离.●思悟小结

1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；

（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P1P=λPP2获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清

第8页（共10页）

新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.●教师下载中心

教学点睛

1.线段的定比分点公式P1P=λPP2，该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例

【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；（2）当A+B=π2且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，ππ3，A或A，sin2A2π632得由题意∴C=3cos2B1，Bπ.62或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+从而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.3【例2】 设曲线C的方程是y=x－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.（1）写出曲线C1的方程；（2）证明：曲线C与C1关于点A（t2s2，）对称.t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（s2

①，）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（t2s2，）的对称点为

P（t－x1，s－y1），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲线C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即点P（t－x1，s－y1）在曲线C上.同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.第9页（共10页）

从而证得曲线C与C1关于点A（t2，s2）对称.第10页（共10页）