《2.4 导数的四则运算》导学案

第一篇：《2.4 导数的四则运算》导学案

《2.4 导数的四则运算》导学案

课程学习目标

1.掌握导数的四则运算法则.2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.课程导学建议

重点:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.难点:函数的积、商的求导法则的推导，导数的四则运算法则的应用.第一层级 知识记忆与理解

知识体系梳理 创设情境

你能利用导数的定义推导f(x)·

g(x)的导数吗？若能，请写出推导过程.知识导学

问题1:基本初等函数的导数公式表: ①若f(x)=c，则f'(x)= 0 ；

②若f(x)=xα(α∈Q)，则f'(x)= αxα-1 ； ③若f(x)=sin x，则f'(x)= cos x ； ④若f(x)=cos x，则f'(x)=-sin x ； ⑤若f(x)=ax，则f'(x)= axln a(a>0)； ⑥若f(x)=ex，则f'(x)= ex ；

⑦若f(x)=logax，则f'(x)=(a>0，且a≠1)； ⑧若f(x)=ln x，则f'(x)=.问题2:导数运算法则

①[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x)； ②[f(x)·g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； ③[]'=(g(x)≠0).④从导数运算法则②可以得出

[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= cf'(x)，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数的导数，即[cf(x)]'= cf'(x)问题3:运用导数的求导法则，可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+arxr+…+anxn的导数.f'(x)= a1+2a2x1+…+rarxr-1+…+nanxn-1.问题4:导数法则[f(x)±

g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些？(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:

.f2(x)±…±fn(x)，若y=f1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).则y'=f'1(x)±(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a，b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).知识链接

利用积(或商)的导数运算法则时，注意避免以下错误: ①[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)； ②[]'=； ③[]'=.基础学习交流

1.函数f(x)=sin x+x的导数是().A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1 C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x 【解析】f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1 【答案】A 2.设f(x)=xln x，若f'(x0)=2，则x0=().A.e2 B.e C.D.ln 2 【解析】∵f'(x)=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1，∴f'(x0)=ln x0+1=2，解得x0=e.【答案】B 3.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为.2【解析】∵f'(x)=3x+4，∴切线的斜率k=f'(1)=7，∵切点为(1，10)，∴切线方程为y-10=7(x-1)，即y=7x+3.令y=0，得x=-，∴切线在x轴上的截距为-.【答案】-

4.求下列函数的导数.(1)y=2x3-3x2+5x-4；(2)y=cos x(sin x+1)+ln 5；(3)y=.2【解析】(1)y'=6x-6x+5.(2)y'=(cos x)'(sin x+1)+cos x(sin x+1)'+(ln 5)' =-sin x(sin x+1)+cos xcos x=cos 2x-sin x.(3)y'==.第二层级 思维探究与创新

重点难点探究

探究一

求函数的导数 求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2；(2)f(x)=.【方法指导】对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，熟练掌握导数的运算法则.22【解析】(1)f'(x)=(a+2ax-x)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===xsin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导？导数的运算法则正确吗？

[结论](1)求导是对自变量的求导，a是常量.要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x，(2)不正确，商的求导法则是:分母的平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是，正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'= =.1.利用导数公式求函数的导数时，【小结】一定要将函数化为八个基本函数中的某一个，再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式，再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.(3)求导时，既要重视求导法则，更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二

求曲线的切线方程

2已知直线l1为曲线y=x+x-2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.【方法指导】根据导数的几何意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.【解析】(1)∵y'=2x+1，∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.2设直线l2过曲线y=x+x-2上的点P(x0，+x0-2)，则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2，∴3(2x0+1)=-1，x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得

又直线l1，l2与x轴的交点分别为(1，0)，(-，0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三

导数公式的综合应用

2已知直线x-2y-4=0与抛物线y=x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在直线AB左侧的抛物线上求一点P，使△ABP的面积最大.【方法指导】根据三角形的面积公式，由于|AB|是定长，只要点P到AB的距离最远即可，从而联想到点P是抛物线的一条切线的切点.【解析】∵|AB|为定值，∴三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0，y0)，由题意知点P在x轴上方的图像上，即P在y=上，∴y'=.又∵kAB=，∴=，得x0=1.由y0=，得y0=1，∴P(1，1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标，运用配方法求出最值.思维拓展应用

应用一

求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3)；(2)y=1+sin cos ；(3)y=-2x.【解析】(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]' =[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'

=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x，y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)' =-2xln 2 =-2xln 2=-2xln 2.应用二

(1)求曲线y=xcos x在x=处的切线方程；(2)求曲线y=在点(1，1)处的切线方程.(cos x)'=cos x-xsin x，【解析】(1)y'=x'cos x+x·当x=时，y'=-，切点为(，0)，∴切线方程为y-0=-(x-)，2即2πx+4y-π=0.(2)y'==，当x=1时，y'==0，即曲线在点(1，1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1，1)处的切线方程为y=1.应用三

点P是曲线y=e上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.x【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e相切于点P0(x0，y0)，该切点即为x与y=x距离最近的点，如图.则在点P0(x0，y0)处的切线斜率为1，即当x=x0时，y'=1.∵y'=(ex)'=ex，∴=1，得x0=0，代入y=ex，得y0=1，即P0(0，1).∴d==.第三层级 技能应用与拓展

基础智能检测

1.函数y=的导数是().A.B.C.D.【解析】y'= =.【答案】B 2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2，则f'(-1)等于().A.-1 B.-2 C.2 D.0

3【解析】∵f'(x)=4ax+2bx，∴f'(-x)=-f'(x)，∴f'(-1)=-f'(1)=-2.【答案】B 3.设曲线f(x)=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=.【解析】∵f'(x)==-，∴f'(3)=-，由题意知-×(-a)=-1，解得a=-2.【答案】-2 4.已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-(x-2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程.2【解析】设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于点Q(x2，-(x2-2)).对于C1:y'=2x，则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x-.①

2对于C2:y'=-2(x-2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)=-2(x2-2)(x-x2)，即y=-2(x2-2)x+-4.② 因为两切线重合，所以由①②，得 解得或

所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.全新视角拓展

xx(2013年·江西卷)设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(e)=x+e，则f'(1)=.x【解析】设t=e，x=ln t，∴f(t)=ln t+t，∴f(x)=ln x+x，f'(x)=+1，f'(1)=2.【答案】2

第四层级 总结评价与反思

思维导图构建

学习体验分享

固学案

基础达标检测

1.若f(x)=cos α+cos x，则f'(α)等于().A.-sin α B.-cos α C.cos α-sin α D.0 【解析】f'(x)=(cos α)'+(cos x)'=0+(-sin x)=-sin x，∴f'(α)=-sin α.【答案】A 2.函数f(x)=sin x+x的导数是().A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1 C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x 【解析】f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1.【答案】A 3.已知f'(1)=13，则函数g(x)=f(x)+x在x=1处的导数为.【解析】g'(x)=f'(x)+1，∴g'(1)=f'(1)+1=14.【答案】14 4.求下列函数的导数.(1)y=x3+x2+x；(2)y=2x+.3232【解析】(1)y'=(x+x+x)'=(x)'+(x)'+(x)'

=3x2+2x+1.(2)y'=(2x+)'=(2x)'+()'=2xln 2+.基本技能检测

5.设y=-2exsin x，则y'等于().A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x)xxx【解析】y'=-2(esin x+ecos x)=-2e(sin x+cos x).【答案】D 6.设f(x)=ax2-bsin x，且f'(0)=1，f'()=，则a+b等于().A.1 B.0 C.-1 D.2 【解析】∵f'(x)=2ax-bcos x，∴f'(0)=-b，f'()=a-bcos=a-，∴解得∴a+b=-1.【答案】C 7.过原点作曲线y=ex的切线，则切点坐标为.xx【解析】(e)'=e，设切点坐标为(x0，)，则过该切点的切线斜率为，令=，即x0=，∴x0=1.∴切点坐标为(1，e).【答案】(1，e)8.已知函数f(x)=在x=x0处的导数值与函数值互为相反数，求x0的值.【解析】∵f(x0)=，且f'(x0)=.∴依题意得f(x0)+f'(x0)=0，即+=0，∴2x0-1=0，得x0=.技能拓展训练

9.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为，则切点的坐标为.【解析】y'=-，令y'=，即-=，解得x=3或x=-2(舍去)，即切点为(3，-3ln 3).【答案】(3，-3ln 3)10.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.32【解析】(1)设P(x，y)，由y=x+x-2，得y'=3x+1，2

1.由已知得3x+1=4，解得x=±当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(-1，-4).(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4).∴直线l的方程为y+4=-(x+1)，即x+4y+17=0.

第二篇：《分数混合运算》导学案

《分数混合运算》导学案

【学习目标】

1、掌握分数四则混合运算的运算顺序，能较熟练地进行计算。

2、理解整数四则混合运算定律在分数四则运算中同样适用，并能进行简便运算。

3、通过练习，培养计算能力及初步的逻辑思维能力。

【学习重难点】

1、重点是确定运算顺序再进行计算。

2、难点是明确混合运算的顺序。

【学习过程】

一、复习

1、复习整数混合运算的运算顺序

（1）在一个没有小括号的算式里，只有乘除法或加减法，应该从左往右依次计算；

如果既有加减法又有乘除法，应该先算乘除法，后算加减法。

（2）在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。

（3）在一个既有小括号又有中括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算中括号里面的，最后算中括号外面的。

2、整数四则混合运算定律在分数四则运算中同样适用。

3、说出下面各题的运算顺序。

（1）428+63÷9―17×5（2）1.8+1.5÷4―3×0.4（3）3.2÷[（1.6+0.7）×2.5]（4）[7+（5.78—3.12）]×（41.2―39）

二、探索新知

1、阅读例4题目，明确已知条件及问题，尝试说说自己的解题思路。

提示：A、可以从条件出发思考，根据彩带长8m ,每朵花用m 彩带，可以先算出一共做了多少朵花。

B、从问题入手想：要求小红还剩几多花，根据题意，应先求小红一共做了几朵花。

2、列出综合算式，想一想它的运算顺序，再独立计算。

_______________________________________________________________________

3、独立完成P34 “做一做”第1、2题

4、明确整数四则混合运算定律在分数四则运算中同样适用，正确复述四则混合运算定律。

三、知识应用：独立完成练习九第1题，组长检查核对，提出质疑。

四、层级训练：

1、巩固训练：完成练习九第2---6题

2、拓展提高：练习九第7---10题

提示：（1）第2题：要注意6楼楼板到地面的高度实际上只有5层楼的高度。

（2）第7题：“60瓦”与计算无关。

（3）第10题：最后得数与原数相同，原因是、的倒数与的积正好是1.五、总结梳理：回顾本节课的学习，说一说你有哪些收获？

学习心得__________（a.我很棒，成功了； b.我的收获很大，但仍需努力。）

自我展示台：（把你个性化的解答或创新思路写出来吧！）

第三篇：2.4有理数的加法导学案

2.4有理数的加法(2)

导学思路：由于小学阶段学习过加法运算律，由此类比学习有理数的运算律，通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想。培养学生的观察能力和思维能力，通过交流活动，体会在解决问题的过程中于他人合作的重要性。

【学习目标】

掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算

【学习重点】

使学生掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法运算律简化运算

【学习难点】

灵活运用运算律师运算简便

一、课前预习导学

1.加法的交换律：

两个数相加,交换加数的位置, 和不变.用式子表示：a+b=b+a.2.加法的结合律：

三个数相加, 先把 前两数相加, 或者先把后两数相加, 和不变.用式子表示：(a+b)+c.二、课堂学习研讨

探究学习

3、小学学过的加法运算律有哪些？举例说明运用运算律有说明好处？（加法交换律、加法结合律，教师应及时进行补充、完善）

4．计算：

（1）（-8）+（-9)=-17;（-9）+（-8）=-17

（2）4+(-8)=-4;(-8)+4=-4

根据计算结果你可发现:（-8）+（-9)=（-9）+（-8）

4+(-8)=(-8)+4(填“＞”、“＜”或“＝”)

由此可得a+b=__b+a_______，这种运算律称为加法__交换_______律．

5．计算：

（1）[2+(-3)]+(-8)=__(-1)____+__(-8)____=__-9____;

2+[(-3)+(-8)]=__2____+___(-11)___=__-9____

(2)[10+(-10)]+(-5)= __0____+__(-5)____=__-5____;

10+[(-10)+(-5)]= __10____+__(-15)____=___-5___

由此可得：(a+b)+c=__a+（b+c)___，这种运算律称为加法_ 结合___律．

6．计算：31+（-28）+28+69

【解析】31+（-28）+28+69

=31+69+[（-28）+28]

=100+0

=1007、有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？

【解析】(＋3)+（－6）+（－4）＋(+2)+(－1)=－6

50×5+(－6)=244（千克）

答：总计不足6千克；5筐蔬菜的总重量是244千克

课内训练

8、（1）(-7)+6+(-3)+10+(-6)(2)16+(-25)+24+(-35)

（3）31332（2）5（8）4545

【解析】（1）解：原式=[(-7)+(-3)+10]+[6+(-6)]

=0+0

=0

(2)解：原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]

=40+(-60)

=-20

1332[2）（8）]（3)解：原式= 35（4455

=9+(-11)

=-29、在括号内填写所依据的运算律：

(－15)+(+7)+(－9)+(+23)

=(－15)+(－9)+(+7)+(+23)(加法交换律)

=[(－15)+(－9)]+[(+7)+(+23)](加法结合律)

=(－24)+(+30)=+1610、某天股票A开盘价18元，上午11：30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天收盘价为（C）

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

总结升华

注意：利用加法交换律、结合律可以简化计算，根据加数的特点，可以采用以下方法：

(1)同号的加数放在一起相加；(2)同分母的加数放在一起相加；(3)和为0的加数放在一

起相加；(4)和为整数的加数放在一起相加．

三、课后学习提高

拓展提高

11、简便方法计算： 117314(1)0.125(3)(3)()(0.25)；(2)()(3.36)[(7.36)()].4881717

7711解：(1)原式=0.125330.25； 8488

314(2)原式=3.367.365.1717

12、从一批货物中抽取20袋，称得它们的重量如下：(单位：千克)

122，121，119，118，122，123，120，118，124，122，119，121，124，117，119，123，124，122，118，116.计算这批货物的总重量和每袋的平均重量.【解析一】122+121+119+118+122+123+120+118+124+122+119+121+

124+117+119+123+124+122+118+116.=2412（千克）

2412÷20=120.6（千克）

答 ：这批货物的总重量为2412千克，每袋的平均重量为120.6千克

【解析二】 如果每袋都取120千克，超出为正，不足为负，则各袋分别为+2，+1—1，—2，+2，+3,0，—2，+4，+2，—1，+1，+4，—3，—1，+3+4，+2，—2，—4故有

(+2）+(+1)+（—1）+(—2)+(+2)+(+3）+0+(—2)+(+4)+(+2)+（—1）+（+1)+(+4)+(—3)+(—1)+（+3）+（+4）+（+2）+(—2)+(—4)=12（千克）

120×20+12=2412（千克）

2412÷20=120.6（千克）

答 ：这批货物的总重量为2412千克，每袋的平均重量为120.6千克

四、课后反思．

在解决问题的过程中，由已知的熟悉的数学结论类比提出猜想然后验证猜想，符合发现新问题的一般方法。引导学生从特殊的情况验证归纳出一般的结论，然后应用这一结论解决问题，在这个过程中很好的培养了学生的观察、归纳、猜想、验证的能力。

第四篇：§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

sx-14-(2-2)-01

5§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25

班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

【学习目标】

1.通过实例，了解变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想方法；

3.在了解瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率，建立导数的概念,掌握用导数的定义求导数的一般方法.【学习重难点】

重点：导数的概念。难点：平均变化率、瞬时变化率的理解。

【知识链接】：

请阅读本章导言

【学习过程】：

一、知识点一.变化率

阅读教材 P2-3页内容，回答下列问题：

问题1：在气球膨胀率问题中，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系

是

__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.(1)当V从0增加到1时,气球半径r增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.由以上可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系为h(t)=-4.9t+6.5t+10, 计算运动员在下列各时间段的平均速度v 2（1）在0t0.5这段时间里，=_______________________________

（2）在1t2这段时间里，v=__________________

二、知识点二.平均变化率概念

问题1：函数f(x)从x1到x2的平均变化率用式子表示为。问题2：设xx2x1,yf(x2)f(x1)，这里x看作是对于x1的一个“增量”

可用

x1+x代替x2,同样yf(x2)f(x1))，则平均变化率为

问题3：观察课本P4图1.1-1函数f(x)的图象，平均变化率y___________.xyf(x2)f(x1)表示什么?____________________________.xx2x1

问题4：求函数平均变化率的一般步骤：

① 求自变量的增量Δx=；

② 求函数的增量Δy=；

③求平均变化率yx

2问题5：已知质点运动规律为st3，求时间在（3，3+t）中相应的平均速度

温馨提醒：①x是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx，Δy=y2-y1；③Δx

可正可负

但不能为零。

思考：在高台跳水运动中,计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以49

下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

三．知识点三.导数的概念

问题1：阅读教材P4-5内容.我们把物体在某一时刻的速度称为____________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当t_________时的平均速度，即vlims=___________________ t0t

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单

位：s）存在函数关系为ht4.9t6.5t10，运动员在t0=2的瞬时速度怎2

样表示？

问题3：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率表示为我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f'(x0)或________，即

温馨提示：

函数y=f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,其定义的代数形式：f'(x0)=limf(x)f(x0)ylim；xx0xxx0xx0

2问题4：求函数y=2x在x=-1,x=-2时的导数,并说说你对所求结果的认识。

温馨提示：求函数yfx在xx0处的导数步骤：

(1)求增量yf(x0x)f(x0);

yf(x0x)f(x0);xyx

.x0时）x(2)算比值(3)求yxx0

问题5：阅读教材P6页例1，计算 21mv2。求物体开始运动后第5s时的动能。2

第五篇：必修四向量数乘运算及其几何意义(导学案)

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

自我评价 你完成本节导学案的情况为A.很好B.较好C.一般D.较差

一、学习目标：

1.理解向量数乘的定义及几何意义;（C级）

2.运用实数与向量积的运算律解决简单问题;（C级）3.理解向量共线定理，证明两向量共线.（B级）

二、课前自主探究： 1.问题：已知非零向量a，作出aaa和（-a）（-a）（-

a），你能说明它们的几何意义

吗？a

一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作

a，它的长度与方向规定如下：（1）|

a|=_________________;（2）当_________时，a的方向与a的方向相同；当_______时，a的方向与a方向相反，当_________时，a=O.2.向量数乘运算律，设,（1）(为实数.a)（2）(_______；

（3）(

)a_________；ab)_________；（4）()a___________=___________；（5）(ab)______________； 3.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算恒有(.对于任意向量a、b及任意实数、

1、2,1a2b)1a24.向量共线判定定理b.b共线，当且仅当有唯一一个实数

例：ae，b2：非零向量e，则有a与向量b2a，此时2，所以向量a与向量b

，使b=.共线.三、课上合作探究：

探究问题一：点C在线段AB上，且ACCB

1,则AC=______AB,BC=_______AB.(用作图法)

（C）

探究问题二: 计算：（参照88页例5，结合向量数乘运算律）(C)

（1）（-2）3b;（2）2(ab)(ab)a;（3）(3abc)(ab2c);

探究问题三:判断下列各题中的两个向量是否共线.（参照课前自主探究4，即：定理中的是否存在）(B)

（1）a2e,b2

e;（2）ae1e2,be1e2;

四、课后归纳：

本节课你学会了哪些内容？

五、当堂检测

1.教材90页练习3.（C）2.教材90页练习5.（C）

3.已知任意两个非零向量a、b，有OAab,OBa2b,OCa3b,证明A、B、C 三点共

线.（A）