不定积分教案

第一篇：不定积分教案

高等数学教案

第四章

不定积分

教学目的：

第四章

不定积分

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。§4 1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义

1如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有

F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数

例如 因为(sin x)cos x  所以sin x 是cos x 的原函数

又如当x (1 )时

因为(x)1 所以x是1的原函数

2x2x

提问:

cos x和1还有其它原函数吗？

2x

原函数存在定理

如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有

F (x)f(x)

简单地说就是 连续函数一定有原函数

两点说明

第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数

第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 (x)F(x)C

(C为某个常数)

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第四章

不定积分

定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分 记作

f(x)dx

其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx称为被积表达式 x 称为积分变量

根据定义 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数 那么F(x)C就是f(x)的不定积分 即

f(x)dxF(x)C

因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数

例1因为sin x 是cos x 的原函数所以

cosxdxsinxC

因为x是1的原函数所以

2x

例2.求函数f(x)1的不定积分

x 解：当x>0时(ln x)1

x

1 dxlnxC(x>0)

x

当x<0时[ln(x)]1(1)1

xx

1 dxln(x)C(x<0)

x 合并上面两式得到

1 dxln|x|C(x0)

x

例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程

解 设所求的曲线方程为yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf (x)2x, ，即f(x)是2x 的一个原函数

因为

2xdxx2C

高等数学课程建设组2 21dxxC x高等数学教案

第四章

不定积分

故必有某个常数C使f(x)x 2C 即曲线方程为yx 2C

因所求曲线通过点(1 2) 故

21C

C1

于是所求曲线方程为yx21

积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

从不定积分的定义 即可知下述关系

d[f(x)dx]f(x)

dx或

d[f(x)dx]f(x)dx

又由于F(x)是F (x)的原函数 所以

F(x)dxF(x)C

或记作

dF(x)F(x)C

由此可见 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号表示）是互逆的 当记号与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数

二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)

(2)xdx1x1C

1(3)1dxln|x|C

x(4)exdxexC

x(5)axdxaC

lna(6)cosxdxsinxC

(7)sinxdxcosxC

(8)(9)1dxsec2xdxtanxC cos2x1dxcsc2xdxcotxC

sin2x高等数学课程建设组3 高等数学教案

第四章

不定积分

(10)12dxarctanxC

1x(11)1dxarcsinxC

1x2(12)secxtanxdxsecxC

(13)cscxcotdxcscxC

(14)sh x dxch xC

(15)ch x dxsh xC

例4

例5 x3dxx3dx31x31C2x2C

x2111xdx5x2dx71122xCx2C2x3xC 517725

例6 dxx3x4x3dx41x3413C13x3C33C

x

三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即

kf(x)dxkf(x)dx(k是常数 k 0)

例7.x(x5)dx5x2dx725(x215x2)dx 5x2dx51x2dx 15x2dx322 x25x2C

7332(x1)3x3x3x1dx(x331)dx 例8 dx22xx2xx xdx3dx31dx12dx1x23x3ln|x|1C

x2xx高等数学课程建设组4 高等数学教案

第四章

不定积分

例9 (ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC

xx(2e)xC2eC

例10 2edx(2e)dxln(2e)1ln2xxx1xx2dxx(1x2)dx(11)dx 例11 x(1x2)1x2x

x(1x2)12dx1dxarctanxln|x|C

x1x44(x21)(x21)1xx11 例12 dxdxdx

1x21x21x2 (x2112)dxx2dxdx12dx

1x1x 1x3xarctanxC 例13 tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdx

 tan x  x  C 

例14 sin2x dx1cosxdx1(1cosx)dx

222  例15 1(xsinx)C

21dx412dx4cotxC

sinxsin2xcos2x22

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第四章

不定积分

§4 2 换元积分法

一、第一类换元法

设f(u)有原函数F(u)

u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x)]d F(u)F (u)d u F [(x)] d(x) F [(x)](x)d x  所以

F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x)]

因此

F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)

F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C 即

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

[F(u)C] u  (x) F[(x)]C

定理

1设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C 

被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待 从而微分等式(x)dx du可以应用到被积表达式中

在求积分g(x)dx时 如果函数g(x)可以化为g(x) f[(x)](x)的形式 那么

g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)

例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)

cosudusinuCsin 2xC 

例2.32xdx232x(32x)dx232xd(32x)11111

11dx1ln|u|C1ln|32x|C

2u22 例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu

euCexC

例4.x1x2dx11x2(x2)dx11x2dx2 211x2d(1x2)1u2du1u2C

221(1x2)2C

3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案

第四章

不定积分

例5.tanxdxsinxdx1dcosx

cosxcosx

1duln|u|C u

ln|cos x|C 

即

tanxdxln|coxs|C

类似地可得cotxdxln|sinx|C

熟练之后 变量代换就不必再写出了

例6.a2x2dxa2111dx

1(x)2a

11dx1arctanxC

a1(x)2aaaa 即 nC a2x2dxaarctaa11x 例7.chxdxachxdxa shxC

aaaa 例8.当a0时，1dx111xndxdxarcsiC

aaaxxa2x2221()1()aa

即 xn1dxarcsiC

22aax 例9.x2a2dx2a(xaxa)dx2a[xadxxadx] 1111111

1[1d(xa)1d(xa)]

2axaxa

1[ln|xa|ln|xa|]C1ln|xa|C

2a2axa 即 x2a2dx2aln|xa|C 11xa 例10.x(12lnx)12lnx2dxdlnx1d(12lnx)

12lnx

1ln|12lnx|C

2高等数学课程建设组7 高等数学教案

第四章

不定积分

3x 例11.edx2e3xdx2e3xd3x

3x

2e3xC

3含三角函数的积分

例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx

dcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC 例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinx

sin2x(1sin2x)2dsinx

(sin2x2sin4xsin6x)dsinx

1sin3x2sin5x1sin7xC357 例14.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)

1dx1cos2xd2x1x1sin2xC

2424 例15.cos4xdx(cos2x)2dx[1(1cos2x)]2dx 1(12cos2xcos22x)dx 1(32cos2x1cos4x)dx

422

1(3xsin2x1sin4x)C 428

3x1sin2x1sin4xC

8432 例16.cos3xcos2xdx1(cosxcos5x)dx

1sinx1sin5xC

2101 例17.cscxdx1dxdx

xxsinx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案

第四章

不定积分

dxdtanx22ln|tanx|Cln |csc x cot x |C 



2tanxcos2xtanx222 即

cscln |csc x cot x |C  xdx 例18.secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C

222

ln |sec x  tan x |  C

即

secln |sec x  tan x |  C xdx

二、第二类换元法

定理2 设x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设f [(t)](t)具有原函数F(t) 则有换元公式

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C

其中t(x)是x(t)的反函数

这是因为

{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)

dxdxdt 例19.求a2x2dx(a>0)

解: 设xa sin t   t  那么a2x2a2a2sin2tacost

22dx a cos t d t  于是

a2x2dxacostacostdt

a2cos2tdta2(1t1sin2t)C

2422x因为tarcsin, sin2t2sintcost2xax 所以

aaa2a11axdxa(tsin2t)Carcsinx1xa2x2C

242a2222

解: 设xa sin t   t  那么

22高等数学课程建设组9 高等数学教案

第四章

不定积分

a2x2dxacostacostdt a2cos2tdta2(1t1sin2t)Caarcsinx1xa2x2C

242a2提示:a2x2a2a2sin2tacost dxacos tdt 

22提示: tarcsinx, sin2t2sintcost2xax

aaa

例20.求dx(a>0)

x2a

2解法一 设xa tan t  t  那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2ta sec t  dxa sec 2t d t  于是

2asectdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

dxasectx2a222因为sectxa tantx 所以

aadx ln |sec t  tan t |Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

解法一 设xa tan t  t  那么

dxasec2tdtsectdtln|secttant|C

asectx2a222xxa

ln()Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示:x2a2a2a2tan2tasect  dxa sec 2t dt 

22提示:sectxa tantx

aa

解法二: 设xa sh t  那么

高等数学课程建设组10 高等数学教案

第四章

不定积分

dxach tdtdttCarshxC

ach tax2a2

lnx(x)21Cln(xx2a2)C1

aa其中C 1Cln a 

提示: x2a2a2sh2ta2a ch t  dx a ch t d t 

例23.求dx(a>0)

x2a2

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2x2a2a2sec2ta2asec2t1a tan t 

于是

dxasecttantdtsectdt ln |sec t  tan t |C 

atantx2a222因为tantxa sectx 所以

aadx ln |sec t  tan t |C ln|xx2a2|Cln(xx2a2)C

1aax2a2其中C 1Cln a 

当xa 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a2

ln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1

22xxalnCln(xx2a2)C1

2a其中C 1C2ln a 

综合起来有



dxln|xx2a2|C 22xa

解: 当x>a 时 设xa sec t(0t ) 那么

2高等数学课程建设组11 高等数学教案

第四章

不定积分

dxasecttantdtsectd t 22atantxa22

ln|setctant|Clnx(xa)C

aa

lnx(x2a2)C

其中C 1Cln a 

当x<a 时 令xu  则u>a 于是

dxduln(uu2a2)C x2a2u2a22222xxa

ln(xxa)ClnC

a2

ln(xx2a2)C1

其中C 1C2ln a 

提示:x2a2a2sec2ta2asec2t1atant 

22xxa提示:tant sect

aa

综合起来有

dxln|xx2a2|C x2a2

补充公式

(16)tanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)(22)(23)1dx1arctanxC

aaax221dx1ln|xa|C2axaxa221dxarcsinxC

aa2x2

dxln(xx2a2)C

x2a2高等数学课程建设组12 高等数学教案

第四章

不定积分

(24) dxln|xx2a2|C

x2a2

§4 3 分部积分法

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为

(uv)uvuv

移项得

uv(uv)uv

对这个等式两边求不定积分 得

uvdxuvuvdx或udvuvvdu 这个公式称为分部积分公式

分部积分过程: uvdxudvuvvduuvuvdx   

例1 xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC 

例2 xexdxxdexxexexdxxexexC

例3 x2exdxx2dexx2exexdx2

x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdx

x2ex2xex2exC ex(x22x2)C

例4 xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx

222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C

2224 例5 arccosxdxxarccosxxdarccosx

xarccosxx1dx

1x21

xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C 例6 xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x212dx

2221x

1x2arctanx1(112)dx

221x高等数学课程建设组13 高等数学教案

第四章

不定积分

1x2arctanx1x1arctanxC

222 例7 求exsinxdx

解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx

exsinxexcosxdxexsinxcosxdex

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexdcosx

exsinxexcosxexsinxdx

所以

exsinxdx1ex(sinxcosx)C

例8 求sec3xdx

解 因为

sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanx

secxtanxsecxtan2xdx

secxtanxsecx(sec2x1)dx

secxtanxsec3xdxsecxdx

secxtanxln|secxtanx|sec3xdx

所以

se3cxdx1(secxtanxln|secxtanx|)C 例9 求Indx 其中n为正整数(x2a2)n 解 I12dx21arctanxC

axaa

当n1时，用分部积分法 有

dxxx2dx 2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n1(x2a2)n高等数学课程建设组14 高等数学教案

第四章

不定积分

x1a2]dx 2(n1)[(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x即 In122(n1)(In1a2In) 2n1(xa)

于是 In1[2x2n1(2n3)In1] 2a(n1)(xa)2以此作为递推公式 并由I1 例10 求exdx 1xarctanC即可得In aa 解 令x t 2  则  dx2tdt 于

exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C

exdxexd(x)22xexdx

2xdex2xex2exdx

2xex2exC2ex(x1)C

第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)du

u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 哪些积分可以用分部积分法？

xcosxdxxexdxx2exdx xlnxdx arccosxdx xarctanxdx exsinxdx sec3xdx

2xexdxexdx2eudu    x2exdxx2dexx2exexdx2    

高等数学课程建设组15 22高等数学教案

第四章

不定积分

§4 几种特殊类型函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数的形式

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数 即具有如下形式的函数:

P(x)a0xna1xn1an1xan

 Q(x)b0xmb1xm1bm1xbm其中m和n都是非负整数a0 a1 a2     an及b0 b1 b2     bm都是实数

并且a00 b00 当nm时 称这有理函数是真分式 而当nm时 称这有理函数是假分式

假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如

x3x1x(x21)1x1

x21x21x2

1真分式的不定积分

求真分式的不定积分时 如果分母可因式分解 则先因式分解 然后化成部分分式再积分

例1 求 解 x3dx

x25x6x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dx x3x36 6dx5dx6ln|x3|5ln|x2|C

x3x2提示(AB)x(2A3B)x3

AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3 A6 B5

分母是二次质因式的真分式的不定积分

例2 求 解 x2dx

x2x32x22x3dx(2x22x33x22x3)dx x212x21dx

122x2dx3212x2x3x2x3d(x22x3)d(x1)13

2 2x2x3(x1)2(2)1ln(x22x3)3arctanx1C

2221(2x2)3提示 2x222

12x2321x2x3x2x32x2x3x2x3 例3 求1dx

x(x1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案

第四章

不定积分

解 x(x1)2dx[xx1(x1)2]dx 1111

1dx1dx12dxln|x|ln|x1|1C

x1xx1(x1)

提示 11xx11

x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112

x(x1)(x1)xx1(x1)

二、三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示

故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x、cos x表成tanx的函数 然后作变换utanx

222tanx2tanxxx222u

sinx2sincos22sec2x1tan2x1u2221tan2xxx21u2

cosxcos2sin222sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分

例4 求1sinxdx

sinx(1cosx)2x2u2du

1u 解 令utan 则sinx cosx x2arctan u  dx2221u1u21u(12u2)2du1(u21)du 1u于是 1sinxdx22usinx(1cosx)2u(11u)1u21u21u221u

(2uln|u|)C1tan2xtanx1ln|tanx|C

4222222 解 令utanx 则

2高等数学课程建设组17 高等数学教案

第四章

不定积分

(12u2)1u

1sinxdx22du 2sinx(1cosx)2u(11u)1u1u21u2 1(u2uln|u|)C1(u21)du

222u

1tan2xtanx1ln|tanx|C

42222

说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如

三、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去

例5 求x1dx

x 解 设x1u 即xu21 则

cosx11sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)C

x1dxu2udu2u2du u21u21x

2(112)du2(uarctanu)C 1u

2(x1arctanx1)C

例6 求dx

1x23 解 设3x2u 即xu32 则

dx13u2du3u211du 13x21u1u 3(u11)du3(uuln|1u|)C

1u2

33(x2)233x2ln|13x2|C例7 求dx

(13x)x 解 设xt 6 于是dx 6t 5d t 

从而

高等数学课程建设组18 高等数学教案

第四章

不定积分

dx6t5dt6t2dt1(13x)x(1t2)t31t26(11t2)dt6(tarctant)C

6(6xarctan6x)C

例8 求11xdx

xx 解 设1xt 即x21 于是

t1x

x11xdx(t21)t2tdt x(t21)22

22tdt2(121)dt

t1t 2tln|t1|C

t11xln1xxC

2

x1xx

练习

1

求dx

2cosx1t2x2

解

作变换ttan

则有dx

dt cosx21t21t22dt221tdx11t22

 ddt2t1t2cosx3t31()2321t2323arctant3C23arctan(1xtan)C

23sin5xdx

4cosx4(1co2sx)2sin5xsinx

解 dxdcosxdcosx

cos4xco4sxco4sx21

(1)dcosx

cos2xcos4x

2

求

cosx

3

求21C

3cosx3cosx3x1dx

x23x2高等数学课程建设组19 高等数学教案

第四章

不定积分

解 3x13x174dx(dx)dx(x2)(x1)x23x2x2x111dx4dx x2x1

7ln|x2|4ln|x1|C

§4.5积分表的使用

积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表

一、含有axb的积分

71．dx1ln|axb|C

axba2．(axb)dx3．1(axb)1C(1)a(1)xdx1(axbbln|axb|)C axba224．xdx131(axb)22b(axb)b2ln|axb|C

axba25．6．7．8．9．dx1lnaxbC x(axb)bxdx1alnaxbC x2(axb)bxb2xx1ln|axb|bC dx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C(axb)2a3axbdx11lnaxbC x(axb)2b(axb)b2xxdx(3x4)2例1求解这是含有3x4的积分在积分表中查得公式

x1b(axb)2dxa2ln|axb|axbC

高等数学课程建设组20 高等数学教案

第四章

不定积分

现在a

3、b4于是

x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C

二、含有axb的积分 1．axbdx2(axb)3C

3a2．xaxbdx22(3ax2b)(axb)3C

15a3．x2axbdx4．5．2(15a2x212abx8b2)(axb)3C 105a3xdx2(ax2b)axbC

3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axbC 15a3axb6．dxxaxb7．1lnaxbbC(b0)baxbb 2arctanaxbC(b0)bbdxaxbadx

bx2bxaxbx2axb8．axbdx2axbbdx

xxaxb9．ax2bdxaxbadx xx2xaxb

三、含x2a2的积分 1．2．3．x2a2dx1arctanxC

aadxx2n3dx (x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1dx1lnxaC

x2a22axa

四、含有ax2b(a0)的积分

1abarctandx1．2axb1ln2ab2．axC(b0)b axbC(b0)axbxdx1ln|ax2b|C ax2b2a高等数学课程建设组21 高等数学教案

第四章

不定积分

3．4．5．6．7．x2dxxbdx 2axbaaax2bdx1lnx2C x(ax2b)2b|ax2b|dxx2(ax2b)1dx 1a2bxbaxbdxaln|ax2b|1C x3(ax2b)2b2x22bx2dxx11dx (ax2b)22b(ax2b)2bax2b

五、含有ax2bxc(a0)的积分

六、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxarshxCln(xx2a2)C

a1x2a2dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C x2a2x1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C

22x2a2x2xdxln(xx2a2)C

22322(xa)xa22dx1lnxaaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln(xx2a2)C 22例3求dx

x4x29dxdx1x4x292xx2(3)22解因为所以这是含有x2a2的积分这里a3在积分表中查得公式

2高等数学课程建设组22 高等数学教案

第四章

不定积分

dx1lnx2a2aC xx2a2a|x|x2(3)23dx22C1ln4x293C 12ln于是 |x|32|x|x4x292

3七、含有x2a2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．7．8．dxxarch|x|Cln|xx2a2|C 1ax2a2|x|dxxC

(x2a2)3a2x2a2xdxx2a2C 22xax1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln|xx2a2|C

22x2a2x2xdxln|xx2a2|C

(x2a2)3x2a2dx1arccosaC

|x|xx2a2ax22a2dxx2C axx2a229．x2a2dxxx2a2aln|xx2a2|C 2

2八、含有a2x2(a0)的积分 1．2．3．4．5．6．dxarcsinxC

aa2x2dxxC

(a2x2)3a2a2x2xdxa2x2C 22axx1dxC(a2x2)3a2x2x2dxxa2x2a2arcsinxC

22aa2x2x2xdxarcsinxC

a(a2x2)3a2x2高等数学课程建设组23 高等数学教案

第四章

不定积分

7．8．22dx1lnaaxC |x|xa2x2ax222dxa2xC axa2x229．a2x2dxxa2x2aarcsinxC

22a

九、含有ax2bxc(a0)的积分

十、含有xa或(xa)(xb)的积分 xb

十一、含有三角函数的积分 1．secxdxln|secxtanx|C 2．cscxdxln|cscxcotx|C 3．secxtanxdxsecxC 4．cscxcotxdxcscxC 5．sin2xdxx1sin2xC

246．cos2xdxx1sin2xC

247．sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdx

nn8．cosnxdx1cosn1xsinxn1cosn2xdx nn9．sinaxcosbxdx1cos(ab)x1cos(ab)xC

2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)10．sinaxsinbxdx11．cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC 2(ab)2(ab)atanxbdx22C(a2b2)12．arctanabsinxa2b2a2b2高等数学课程建设组24 高等数学教案

第四章

不定积分

atanxbb2a2dx22lnC(a2b2)13．22absinxbaatanxbb2a2214．dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2abbaC(a2b2)abbatanxdxabln214．2abcosxabbatanx2例2求dx 54cosx解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

abarctxC(a2b2) anabtanabab2这里a

5、b4a 2b2于是

abcoxsabdx2dx2

54coxs5(4)5(4)5(4)xC arctantan

5(4)5(4)2

2arctan3tanxC

32例求sin4xdx

解这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式

sinnxdx1sinn1xcosxn1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xC

nn24这里n4于是

sin4xdx1sin3xcosx3sin2xdx1sin3xcosx3(x1sin2x)C 444424

高等数学课程建设组25

第二篇：不定积分 教案示例

不定积分·教案示例

目的要求

1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数．

2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分．

内容分析

1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的．故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照．

2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法．突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺．由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学．另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分．

3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”．强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等．指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问．

4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程．本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学．

教学过程

1．创设情境，引入新课(1)引例(见解本章头)．

用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题．(2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神． 2．尝试探索，建立新知

(1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？(2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3

(3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算．因此，解决问题的方法仍为求导数．

(4)形成定义：详见课本“原函数”的定义． 对于原函数的定义，教师应强调下列三点：

第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间．

第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数．

第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算．(5)简单应用：

例1 求下列函数的一个原函数． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3

小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．

(6)讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明．(略)(7)归纳性质：

一般地，原函数有下面的性质：

设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)＋C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)＋C的形式．

教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到．这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法．

3．类比分析，拓广知识

根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念．

(1)讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等(详见课本)．

对于不定积分的定义，教师说明如下：

第一，函数f(x)的不定积分f(x)dx等于函数f(x)的所有原函数F(x)

＋C．常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和

不定积分的区别；不定积分记号f(x)dx由积分记号“”和被积式

“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx．

第二，在不定积分f(x)dx中，积分变量是x；在不定积分uxdx中，积分变量是x，被积分函数u是关于x的指数函数；在udu中，xx

积分变量是u，被积函数ux是关于u的幂函数．

(2)推导不定积分的性质．

性质1：(f(x)dx)＝f(x)

证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F′(x)＝f(x)．

由不定积分的定义得f(x)dx＝F(x)＋C．∴(f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)∴(f(x)dx)′＝f(x)性质2：F′(x)dx＝F(x)＋C

证明(略)上述两个性质表明：求导数与求不定积分(在不计所加的任意常数时)互为逆运算．因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确．

4．例题评价，反馈训练

例2 如果在区间(a，b)内，恒有f′(x)＝g′(x)，则一定有

[B]

A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＋C C．[f(x)dx]＝[g(x)dx]

D．f(x)＝Cg(x)例3 求下列不定积分．

(1)xdx(2)cosxdx

小结解法：

(1)求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C．本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数．

(2)求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同．这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的．

课堂练习：教科书练习第1、3、4题．

例4 已知f(x)是二次函数，且f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)的解析式．

解：由不定积分的性质得

f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．归纳总结，巩固提高

(1)一条主线：求导数与求不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算．(2)二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质．

(3)三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等．

布置作业

1．课本习题4．1第3、4题．

2．设函数y＝f(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M(x，y)处的切线的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲线过点P(1，2)，求函数y＝f(x)的解析式．

13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)

443．已知函数f(x)＝(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x

有两个相等实根．

(1)求f(x)的解析式．

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]．

1(答案：(1)f(x)＝－x2＋x；(2)存在m＝－2，n＝0．)

第三篇：不定积分证明题

证明题（共 4 小题）

1、证明:sin

sinmxcosnxdx n1m1

xcosmnxn1

mnsinmxcosn2xdx

(m,nN,n2).2、证明:sinmxcos

m1nxdx n1



3、证明sinxcosmnxm1mnsinm2xcosnxdx(m2).nnn1n2xsinxdxxcosxnxcos(x)n(n1)x.2

2n)n!cos(x22)c,其中n为自然数。 cos(x

4、证明Inxcosxdxxsinxnx

n2nnn1sin(x)2n(n1)xsinx(2nx)n!sin(x)c,其中n为自然数。22

第四篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章 不定积分

《数学分析》教案

第八章 不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

《数学分析》教案

可见，若 { │ 有原函数 Ｒ}.，则 的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若 则 在区间 上有介值性.在区间 上有原函数, 例2.已知 为 的一个原函数，=5.求

.2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3

;

.（二）不定积分的基本性质: 以下设 和

有原函数.⑴

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵

..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶

时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

《数学分析》教案

教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法 ——凑微分法：

由

引出凑微公式.Th1 若

连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

《数学分析》教案

.凑法2.特别地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

凑法3

.例13 ⑴

⑵

例14

《数学分析》教案

.例23.例24.例25

例26

三、小结

.（二）第二类换元法 —— 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原

函数.则有换元公式

(证)

《数学分析》教案

解 令 形, 有

有

.利用例22的结果, 并用辅助三角 =

=

例31

⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如 根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式

有的 令

变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割换）

解法二

（凑微）

.《数学分析》教案

本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40

.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41

解

.例42

.解

《数学分析》教案

解法三(用初等化简, 并凑微)

例45

解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结

（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂

X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”求导以使其成为代数函数.例46

(幂对搭配，取对为u)

例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)

《数学分析》教案

例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小结

.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)

教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

《数学分析》教案

例5

求

例6 设

且具有连续导函数.计算积分

例7 , 求积分

二.含有二次三项式的积分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-

第五篇：高等数学(上册)教案17 不定积分的概念和性质

第4章 不定积分

不定积分的概念和性质

【教学目的】：

1.理解原函数的概念；

2.理解不定积分的定义，及几何意义； 3.掌握不定积分的基本公式和性质； 4.会用直接积分法计算不定积分。

【教学重点】： 1.原函数的概念；

2.不定积分的概念及几何意义； 3.不定积分的基本公式和性质。

【教学难点】： 1.基本积分公式；

2.用直接积分法计算不定积分。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

4.1.1原函数与不定积分

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx（xI），那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．

如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无穷多个原函数．

设(x)是f(x)的另一个原函数，则任意的xI，有(x)f(x)．于是

(x)F(x)(x)F(x)f(x)f(x)0所以(x)F(x)C0(C0为某个常数)这表明(x)与F(x)只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式F(x)C 就可以表示f(x)的全体原函数，也就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合，即函数族F(x)C|CR．

定义2 如果F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，那么F(x)C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分．即f(x)dx=F(x)C．其中符号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量． 由上面的讨论可知，若F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)dx=F(x)C（C为任意常数）．因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．

从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：

由于f(x)dx是f(x)的原函数，所以[f(x)dx]'f(x)或df(x)dxf(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函数，所以F'(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C．

由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．

1例3 求dx．

x解 当x0时，由于(lnx)'11，所以lnx是在(0,)内的一个原函数，xx1因此在(0,)内，有 dxlnxC．

x111(1)，所以ln(x)是在(,0)内的一当x0时，由于[ln(x)]'xxx1个原函数，因此在(,0)内 dxln(x)C．

x1把以上结果综合起来，得 dxln|x|C．

x4.1.2不定积分的几何意义

因为不定积分f(x)dx=F(x)C是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．

积分曲线族F(x)C有如下特点：

（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线yF(x)沿y轴方向上、下平移得到；

（2）由于[F(x)C]F(x)f(x)，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．

4.1.3基本积分公式表

（1）kdxkxC（k为常数）；（2）xdx1x1C； 111xaC，exdxexC；（3）dxln|x|C；（4）axdxxlna（5）cosxdxsinxC；（6）sinxdxcosxC；（7）112dxcsc2xdxcotxC；dxsecxdxtanxC；（8）22sinxcosx（9）11x2dxarcsinxC；（10）1dxarctanxC； 21x（11）cscxcotxdxcscxC；（12）secxtanxdxsecxC．

4.1.4不定积分的性质

性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx．

性质

2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则kf(x)dxkf(x)dx．

例6 求(x33xexe3)dx．

解 (x33xexe3)dxx3dx3xdxexdxe3dx 141xx3exe3xC． 4ln3注意到被积函数中x3是幂函数，3x和ex是指数函数，而e3是常数，它们的积分公式是不同的．

【教学小节】：

通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。

【课后作业】：

无