高中数学教学论文 函数定义域与思维品质（小编整理）

第一篇：高中数学教学论文 函数定义域与思维品质

函 数 定 义 域 与 思 维 品 质

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

Sx(50x)

故函数关系式为：Sx(50x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0x50

即：函数关系式为：Sx(50x)（0x50）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数yx2x3在[－2，5]上的最值．

解：∵ yx2x3(x2x1)4(x1)

4∴ 当x1时，ymin4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数yaxbxc(a0)在R上适用，而在指定的定义域区间

用心

爱心

专心

22222

[p,q]上，它的最值应分如下情况：

b2ab2a ⑴ 当p时，yf(x)在[p,q]上单调递增函数f(x)minf(p),f(x)maxf(q)；

⑵ 当q时，yf(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)maxf(p),f(x)minf(q)； b2a ⑶ 当pq时，yf(x)在[p,q]上最值情况是： f(x)minf(b2a)4acb4a，f(x)maxmax{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。故本题还要继续做下去：

∵ 215

∴ f(2)(2)22(2)33

f(5)5253122 ∴ f(x)maxmax{f(2),f(5)}f(5)12

∴ 函数yx22x3在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数y4x5 错解：令t2x3的值域．

22x3,则2xt3 ∴ y2(t3)5t2tt12(t7814)27878

故所求的函数值域是[,)．

用心

爱心

专心

剖析：经换元后，应有t0，而函数y2t2t1在[0,+∞)上是增函数，所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f(x)log2(x22x)的单调区间．

解：先求定义域：

∵ x22x0 ∴x0或x

2∴ 函数定义域为(,2)(0,)．

令ux22x，知在x(,2)上时，u为减函数，在x(0,)上时，u为增函数。

又∵f(x)log2u在[0,)是增函数．

∴函数f(x)log2(x22x)在(,2)上是减函数，在(0,)上是增函数。即函数f(x)log2(x2x)的单调递增区间(0,)，单调递减区间是(,2)。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数yx,x[1,3]的奇偶性．

用心

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专心 32

解：∵ 2[1,3]而2[1,3]

∴ 定义域区间[－1,3]关于坐标原点不对称

∴ 函数yx3,x[1,3]是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵ f(x)(x)3x3f(x)

∴ 函数yx3,x[1,3]是奇函数．

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

用心

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第二篇：高中数学教学论文 都是“定义域”惹的祸

都是“定义域”惹的祸

函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．

一、求函数解析式时

例1．已知f(x1)x2x，求函数f(x)的解析式.错解：令t2x1，则2xt1，x(t1)2，2f(t)(t1)2(t1)t1，f(x)x1

剖析：因为f(x1)x2x隐含着定义域是x0，所以由t这样才能保证转化的等价性.正解：由f(x1)x2x，令t

二、求函数最值（或值域）时

例2．若3x22y26x,求x2y2的最大值． 错解：由已知有 yxy222x1得t1，22f(t)t1的定义域为t1，即函数f(x)的解析式应为f(x)x1（x1）

x1得t1，xt1代入原解析式得

22，即f(x)x21（x1）． f(t)t1（t1）32x3x ①，代入xy得

9222212x3x212x32，∴当x3时，x2y2的最大值为

92．

剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件223x2y6x中x的限制条件．

正解：由y2221232x3x0得0x2，22xyx3x12x3292，x0,2，因函数图象的对称轴为x3，∴当

22x0,2是函数是增函数，故当当x2时，xy的最大值为4．

2例3．已知函数fx2log3x1x9，则函数y fxfx的最大值为（）A．33 B．22 C．13 D．6

2错解：yfxfx222=2logx32222log3x=log3x33在1x9上是

22增函数，故函数yfxfx在x9时取得最大值为33．

2正解：由已知所求函数yfxfxyfyf1x9的定义域是得1x3，21x92xx2ffx2=2log3x2log3x2=log3x33在1x3是增函数，故函数x222x在x3时取得最大值为13． 2例4．已知fx3错解：由fx32x4，求yf1x21f1x的最大值和最小值．

2x22x4得1y9．∴fx2log3x1x9．

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专心

∴yflog31x22f1x2log23x2log233x2log23x6log3x6

x33． ∵1x9，∴0log1x2．∴ymax22，ymin6．

2剖析：∵f∴0log3x中1x9，则f1x中1x2即1x3，∴本题的定义域应为1,3． 9，x1． x1．

3正解：（前面同上）ylog∴ymax13，ymin6．

例5．求函数y4x5错解：令t2x33，由1x3得0log232x3的值域．

2x3，则2xt23，∴y2t235t2t2t1

17772t．故所求函数的值域是,． 4888 剖析：经换元后，应有t0，而函数y2t2t1在0,上是增函数，随着t增大而无穷增大．所以当t0时，ymin1．故所求函数的值域是1,．

三、求反函数时

例6．求函数yx24x2(0x2)的反函数．

错解：函数yx4x26x2x6． 2(0x2)的值域为y2,6, 又y(x2)26，即(x2)26yx26y，所求的反函数为y2剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域，没有对x进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．

正解：由yx4x2(0x2)的值域为y2,6, 因(x2)26y，又2x20x26y，所求的反函数为y26x2x6．

四、求函数单调区间时

例7．求函数f(x)lg(4x2)的单调递增区间.错解：令t4x，则ylgt，它是增函数.t4x在(,0]上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数f(x)lg(4x)在(,0]上为增函数，即原函数的单调增区间是(,0].剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．

正解：由4x0，得f(x)的定义域为(2,2).t4x在(2,0]上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数f(x)lg(4x)的单调增区间是(2,0].例8．求ylog0.7222222x23x2的单调区间．

0.72错解：令tx3x2，ylog32t，x,tx3x2为减函数，时，20.73x,22时，tx3x2为增函数，又ylog33t为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为,，减区间为,．

22剖析：在定义域内取x1，y值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单

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专心

调区间必须在函数定义域内．由x23x20，得x1或x2，故增区间为,1，减区间为2,．

例9．指出函数yx22lnx的单调增区间． 错解：∵2yx2lnx，∴y2x2x，∴当y0时，x1或x1，∴函数yx2lnx的单调增区间为,1,1,．

剖析：此题错在没有考虑函数的定义域0,，故本题的答案为1,．

五、判断函数的奇偶性时 例10．判断fx1x错解：∵fx1x1x1x的奇偶性． 1x1x1x21x1x1x1x1xfx，∴fx为偶函数．

剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为1,1，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．

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第三篇：高中数学教学论文 函数概念教案

【中学数学教案】

函数概念教案

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函

用心

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数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

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第四篇：函数的解析式与定义域 教案

课题：函数的解析式及定义域

知识要点

1函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。

2函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。3 求解析式的常用方法

（1）定义法（拼凑法）（2）换元法（3）待定系数法（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题 4求函数定义域（1）主要依据

①分式分母不为零

②偶次方根的被开放数不小于零 零的零次方没有意义 ③对数函数的真数必须大于零

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 ⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算得到，那么它的定义域是由各基本函数的定义域的交集组成。（2）几类问题

①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;③已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域 典例解析

例1.已知函数f(x)=

1x的定义域为A，函数y=f[f(x)]的定义域为1-xB，则

（D）（A）A∪B=B（B）AB（C）A=B（D）A∩B=B 解法要点：A={x︱x≠1}，y=f[f(x)]=f(令-1+

1x2)=f(-1+)1-x1-x2≠且x≠1，故B={x︱x≠1}∩｛x︱x≠0｝.1-x11例2.（1）已知f(x)=x3 +3，求f(x);

xx2

（2）已知f(1)=lgx求f(x);

x（3）已知f(x)是一次函数，满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1，求f(x)；

1x1111解：（1）∵f(x)=x3 +3=(x)3-3(x)，xxxx（4）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x).∴f(x)= x3-3x（2）令f(x)=lg2221=t（t>1）,则x=, ∴f(t)=lg,∴xt1t12(x>1)x1（3）设f(x)=ax+b(a≠0)，则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f()=3x ①，把①中的x换成，得2f()+f(x)= 331 ②，①×2-②得3f(x)=6x-∴f(x)=2x-.xxx

1x1x1x例3.设函数f(x)=㏒2x1+㏒2(x-1)+ ㏒2(p-x),求其定义域。x1x10x1x1解：由x10，解得 ①

xppx0当p≤1时，①不等式解集为；

当p＞1时，①不等式解集为｛x︱1＜x＜p｝，∴f(x)的定义域为(1,p)(p＞1).例4.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5,f(1)+f(4)=0.① 求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；②求y=f(x)在[4,9]上的解析式.解：①当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a＞0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).②∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=0, 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)= 2(x-2)2-5=-3∴k=-3,∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x, 从而当-1≤x≤0时，f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时，f(x)=-3x.当4≤x≤6时，有-1≤x-5≤1，f(x)=f(x-5)=-3x+15.当6＜x≤9时，-1≤x-5≤4，∴f(x)=f(x-5)=2(x-7)2-5.∴f(x)=3x15, 4x6 6＜x92(x-7)-5，2

第五篇：高中数学教学中数学思维的培养论文

一、高中数学教学现状分析

1．高中数学难度大

中国的教育难度大，其中以数学为甚．经过小学和初中的积累，高中数学在难度上达到了一个转折点，无论代数还是几何，都提高了难度．例如，很多省、市在高二的时候实行文理分科，进一步提高了理科班的数学难度，立体几何、三角函数、数列等内容不仅提升了难度，而且要求高中生充分理解并要拿到高分．数学题难度太大，致使很多学生对数学产生了抗拒、畏惧心理，从此失去了学习数学的信心．

2．高中数学成绩差距大

数学反映在成绩方面的问题是分差特别大．以文科学生为例，很多学生就是因为数学成绩太差所以选择了文科，但是数学依旧是高考的必修科目，而且分值为160分，是所有参加高考的学生都不能避免的，分差大这个问题在文科学生中表现得非常明显，有些学生能达到150分以上，但是有的高中生数学成绩却仅能拿到70分．这样的成绩差足以说明目前高中数学教学的现状之一就是学生数学能力差别过大、成绩分差过大．

二、在高中教学教学中培养数学思维的意义

1．有助于提高学生的逻辑推理能力

数学是一种比较严谨的科学，需要认真仔细地推理每一步运算，才能得出最后的正确结果．因此，培养学生的数学思维也是提高其逻辑推理能力的过程．同时，逻辑推理能力也是学好数学的基础．只有学会推理，才能掌握整门科学的精髓，一知半解是无法学好数学的，要从整体入手，一步一步地认真推理、严密运算．由此可知，培养数学思维可以提高学生的逻辑推理能力．在日常生活中，人们也是离不开逻辑推理的，每个人的一生都会发生一些始料未及的事情，然而推理能力强的人就会瞬间冷静下来，将事情的来龙去脉分析清楚，并推理出接下来的事情发展态势．

2．有助于提高学生的数学成绩

高中数学教学最根本的目的还是要提高高考成绩，而没有数学思维的学生是无法真正取得高分的．以立体几何的解析为例，如果高中生只是会记题型，就只能保证在已经掌握的题型上面得到高分，但是数学题是千变万化的，需要学生真正掌握解题思路，培养数学思维是提高分数的基础．此外，心理学研究表明，高中阶段是人的大脑高速运转的活跃阶段．在高中数学教学中培养数学思维，能够促进学生的大脑活动．真正具有数学思维能力的学生不会生搬硬套数学公式，而是会寻找解题思路，主动解题，将抽象的习题转化成具体的解题模式，从而用推理的方法解决数学问题，各种难题都能够迎刃而解．

3．有助于培养学生的创新能力

数学思维要求学生在解题过程中充分利用已有知识解决数学难题，并形成自己的解题思路，其实这就是创新能力的培养过程，能够让学生在学习中发挥主动性．例如，在遇到数学难题时，一个重要步骤是大胆假设，然后反推已知信息，如果假设成立，这道难题就顺利解开．这种在解题技巧上的大胆假设，其实就是创新的过程．

4．为学生提供锻炼意志品质的机会

在高中数学难度如此大的环境中，解数学题绝非易事，需要长时间的知识积累，才能换来高考时的卷面高分．因此，高中数学教学也是一种对学生意志品质的磨练．例如，高三的数学题往往不是通过一次运算就能够得出结果的，多数习题是多个问题组成的，而每一道小问题也需要复杂的运算．这并不是简单的数字运算，而是在考验高中生的意志力．

三、培养高中生数学思维的方法

1．改善教学环境

如果数学教学单纯以高分为目的，那么教师和学生的关注点就都集中在分数上，而不会注重培养思维能力．为了让高中生都能够具有独立思考、推理分析、创新等能力，就应该彻底改变教学环境．学校为高中生营造一个有利的环境，让学生乐于主动挑战数学难度，能够在解题过程中找到乐趣，而不是以提高成绩为目的强迫学生学习数学．素质教育环境下的数学教学，能够培养学生的数学思维，让学生意识到数学是对自己的一生都有积极意义的基础科学．

2．开展研究性教学

研究性教学主要应该采取启发式的教学方法，教师设置合理的教学情境，让学生全身心投入到数学教学中，充分认识到数学思维的重要性．例如，在一堂难度比较高的数学课上，按照学生已有知识不能很快地得到最终结果，教师就应该首先提出假设，让学生分成小组讨论，以研究形式为主，教师指点学生的讨论结果，引导学生得出最终结论．

作者:赵蕾 单位:江苏省白蒲高级中学