高中数学不等式教学与数学思维的引入探索

第一篇：高中数学不等式教学与数学思维的引入探索

高中数学不等式教学与数学思维的引入探索

摘要：对高中数学不等式教学与数学思维的引入方法进行探究。具体是在概述数学思维定义以及在高中数学不等式教学中所发挥作用的基础上，对高中数学不等式教学的数学思维方法进行研究，并阐述了现阶段学生在学习数学知识方面存在的问题，引出几点培养学生思维能力的教学策略。希望与同行一起分享教学经验，共同提升高中不等式教学质量。关键词：高中数学；不等式教学；数学思维；培养策略

高中数学不等式知识在高中数学体系中占据一定比例，故此不等式教学质量关系着学生数学知识的储备量以及在学科考试中的能力。但是在应试教育理念的长期作用下，多数高中生被置身于不等式题海战术中，没有对知识学习的内涵进行深度思考与解析，这也是高中不等式教学质量长期得不到有效提升的内在原因之一。怎样培养学生的数学思维，将数学思维与不等式教学有机的整合在一起，是众多数学教师探究的问题，本文进行详细解析。1.数学思维 1.1定义

在高中数学教学阶段所谓的数学思维，可以被理解为一类总结性的思考方式，该种对问题的思考方式实质上就是指个体在对以往经验归纳的基础上，继而提出具备逻辑推理能力的方法和规则。数学思维通常是对不同事物间的数量关系与外界空间进行抽象化的归纳。业内专家按照思维的类别将其分为以下三种形式：一是直觉思维；二是形象思维；三是逻辑思维。其中直觉思维就是个体在对知识学习期间所产生的一类敏锐的判断能力；形象思维通常是个体在对现实事物观察与解析的基础上而获得的思维；逻辑思维是个体参照某一类事物逻辑层面上的规律而进行的一种思维活动，在数学知识学习期间的应用，等同于对知识总结、解析与推理的过程。

1.2 数学思维在高中数学不等式教学期间应用的意义

和语文、英语等学科知识相比较，数学知识抽象性显著，这也是其逻辑性突出的内在原因之一。在不等式课程知识教学期间，教师重视应用数学思维，特别是逻辑思维，在提升不等式数学教学质量方面体现巨大的应用价值。在现实数学课程教学期间，将数学思维与课程知识有效的整合在一起，能够提高学生的整体能力，同时也加深了对不等式知识的理解程度，为创新能力培养目标的实现奠定扎实的基础。除此之外，数学知识来源于生活又服务与生活，故此在现实教学期间，教师合理的将不等式知识与实践关联在一起，教学质量将会大幅度提升。

2.高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法具体是借助数学思维协助学生认识到数学知识结构的重心，协助学生对数学知识内涵有更为深刻的理解。在高中数学教学进程中，经常使用的数学思维方法有以下几种类型，即数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等。上述数学思维方法为高中数学教学体系中的重要组成部分。从性质上分析，数学思维方法与换元、代入法等数学基本方

[2]

[1]法存在显著差异性，故此数学思维方法的教学应从数学知识中进行总结，并应用于现实生活实践中。故此，教师在传授数学知识过程中，教师应积极将数学思维融合其中，进而有效的提升学生数学思维能力。

不等式知识为构成高中数学体系主要内容之一，可以被视为处理数学问题的基础性工具。在对不等式知识考查期间，可以被细化为间接考查与直接考查两种类型。间接考查具体是指联系函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用情况进行考查；直接考查具体是借助选择题、填空题等方式对不等式知识进行考查。故此，教师在对不等式知识教学期间，教师应巧妙的将不等式课程知识与他类知识有效交融在一起，并重视培养学生的数学思维能力，培养与提升学生对数学思维处理不等式问题的能力，这在培养学生数学学科核心素养方面发挥的作用是极为显著的。

3.现阶段学生在学习高中数学时所面对的困难 3.1 没有认识到培养数学思维的意义

当下，学生在对数学知识学习期间，经常忽略对数学知识思考与解析，没有认识到数学思维培养对数学知识学习的意义。这主要是在传统应试教育理念的长期作用下，学生总会将更多的时间与精力投入到基础知识以及数学问题解决程序等方面上，过度的看重数学学科考试分数，为考试而学习与巩固知识。若学生加大对数学思维培养与应用这项内容，将会耗用更多时间，但是在高中学习内容繁重化、传统理念等因素的影响下，多数高中生被没有重视培养自己的数学思维能力。3.2不能扎实的掌握高中数学知识

高中数学知识抽象性极为显著，知识点繁杂且深奥，很多学生在学习期间遇到不同的困难。例如，在不等式课堂教学中，教师：哪位同学能正确解答丨x丨＜5这一习题？

学生：对不等式两边同时平方的方法，有x＜5，经因式分解得出(x+5)(x-5)＜0，最后得出的结果就是-5＜x＜5。

教师：该名同学的解答结果是完全正确的，下面我对关于丨x丨＜y这类不等式知识解题过程进行总结，同学只要记住“先平方、再分解、后列式、相反数”几个关键词即可。

对不等式两侧内容进行平方是解答不等式的可用办法。但是，但是部分学生在解决不等式习题的过程中，没有深刻领悟数学思维的内涵以及应用的意义，在遇到类似题型过程中就无法举一反三。还有一些学生在遇到所有不等式问题时，不假思索的应用上述方法，但是任何一个方法均不是万能的，在遇到极为繁琐的数学题目时，学生在上述方法的协助下可能利用大量的时间也无法获得正确答案，做题效率难以得到切实保障，久而久之学习积极性也被磨灭。

3.3学生统合各类知识点的能力相对薄弱化

在办学规模较小以及师资力量相对薄弱化的现实情况下，刚刚步入高中数学课堂的学

2[3]生现实能力还不能有效应对高中数学教学期间的巨大压力。一些学生在学习数学知识过程中没有养成良好的学习习惯，没有及时的纠正错误学习方法，对数学知识点扎实有效掌握目标的实现就是天方夜谭了，此时他们对数学知识深度学习的兴趣就会不断下降，形成满足自体发展的数学思维也就无从谈起了。例如，在《一元二次二次不等式》课程教学期间，教师：同学们，这里有一道高考题“(2015浙江理)已知集合，2(CRP)Q()A.[0，1)B.(0，2]；C.(1，P{x丨x22x0｝，Q{x丨1＜2｝2)；D.[1，2] ”你能谈谈解题的思路吗？

学生：应结合不等式性质、集合等知识点，并参照题意画出相关的函数图像就能正确解答了。

但是，在本次课堂教学中，教师发现部分学生借助函数图像不能了解一元二次不等式与二次函数以及一元二次方程方程之间的关联性。在本次课程教学中，尽管学生能够牢固的记忆一元二次不等式的定义，但是却不能将其与数学问题有效整合为一，这使数学知识学习的初始意义逐渐丧失。

4..数学思维在高中数学不等式教学中的有效应用

参照本文以上论述的内容，在高中数学不等式教学期间，将数形结合、函数方程与分类讨论等数学思维应用于课程教学期间，这在提升教学效果方面发挥的作用也是极为显著的。本文进行详细解析，希望数学教师在实践中重视培养学生的数学思维，并能够有效应用数学思维开展教学工作。4.1数形结合数学思维

数学知识中将数字与图形有效的关联在一起的方法，被叫做数形结合，它作为一种数学思维以及数学指导思想在数学课程教学期间的应用，在强化某些数学概念精确性以及明确不同数学变量之间关系等方面上发挥导向作用。在高中数学不等式教学进程中，标根法在处理数学问题过程通常需要数形结合思维的有效引导的形式进行有效指导。标根法在不等式问题处理过程中的应用，通常会将不等式问题处理细化为三个步骤，实质上就是把不等式分解成数个一次因式乘积的形式，并设定每一个因式中最高次项的系数为正数；把每一个一次因式的根标记在数轴上，从最大根的右上方按照一定次序将不同的点用曲线衔接在一起，并注意曲线的奇偶性与单调性；最后结合根据曲线呈现出来的符号变化规律，正确的写出不等式的解集。在数形结合思维的引导下，学生在解答不等式区间解答问题过程中能够精确的掌握解决思路与程序，并获得正确的答案。

例如，在《二元一次不等式组与简单的线性规划问题》课程教学期间，教师为了使学生了解线性规划的图解法，并能够正确的应用图解法求线性目标函数的最大值与最小值。

教师：这里有“（2017山东文）若直线[5]

[4]则2ab的最小值为（）.”这一习题学生能够谈谈最快速的解题方法吗？

学生：采用作图的方式

xy1 过点（1，2），ab教师：那么请你口述作图程度，老师在黑板上进行操作，从而使全班同学都能够清晰的看到作图过程。

作图方式在本次课堂教学中的应用，化繁为简。数形结合思维的构建，协助学生借助观察、探究、辨析与动手实践等过程，利用多感官去感受数学建模的思想，在“数形结合”方法的引导下明确代数问题与几何问题之间的关联性，使学生在巩固数学基础知识的过程中培养了是对数学知识的应用意识，不断的提升对数学知识的应用能力，为数学学科素养培养目标的达成奠定优良基础，提升课堂教学效果也是毋庸置疑的事实。2.2函数方程思维

这一数学思维多数是在不等式恒成立证明的相关关系中被应用。函数方程思维多数是应用函数性质或函数定义对相关的数学问题进行解析与处理，故此在高中数学不等式求解或者证明期间，数学教师同样可以采用数学的函数思维进行教学，并组织与引导学生对相关问题进行深度解析。在这样的教学情景中，数学教师引导学生明确该类数学思维与不等式结合的主要类型是基础，继而不断对学生的思维进行启发，使他们探寻出处理不等式问题的有效突破点，协助学生在对问题内涵解析的过程中探寻出处理不等式问题的正确方法，在处理问题以及知识点解读过程中确保自体思维发展方向的精确性。解决的过程中经常会采用函数方程思想，进而借助求得最值或极值的方法去明确有关参数的区间，借此方式去证明不等式的恒成立或者题目中所涵盖各类条件的完整性。尽管在对恒成立问题解析过程中，数形结合思想的应用也发挥一定的导向作用，但是函数方程思维的应用在准确计算以及规避作图不精确问题方面体现的优越性是不可取代的。

例如，在《基本不等式的应用》课程教学中，教师：有这样一道习题“（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）”

学生：解：设公司一年的总运费与总存储费用之和为y万元．买货物600吨，每次都购

[7][6]

600次，x600因为每次的运费为3万元，则总运费为3万元，x18002x2（0＜x≤600）． 所以yx18002x120 则yx1800当且仅当＝2x，即x30时取得最小值．

x买x吨，则需要购买的次数为教师：该名同学解题思路清晰，结果完全正确。4.3分类讨论 所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．故答案为30．

这一数学思想在含绝对值不等式题目解决方面的应用，在锻炼与强化学生对高中数学知识整体应用能力方面发挥的作用是极为显著的。在对不等式知识教学期间，教师可以鼓励

[8]学生采用分类讨论的方式对含有绝对值的问题进行解答。例如“分段讨论法”，借助对不同集合上的讨论求出不同情况中不等式的答案，最后取解的并集。在该种数学思维的协助下，不等式问题处理的过程被有效简化。分段讨论法多数被应用在不等式解集问题处理方面上，在分段讨论思维的引导下，学生能够顺利的将一个复杂的数学问题细化为数个简单的基础性问题，借助对基础性问题解答的方式，达到正确处理原问题的目标。其实分段讨论法可以被理解为“化整为零、各个击破、再积零为整”的数学解题方法。结束语：

综合全文论述的内容，对数学思维在高中数学不等式知识学习与教学期间的应用意义与方式有更为全面的认识。教师教学期间应重视培养学生的数学思维能力，学生在解答习题期间也应重视应用各类数学思维，从而强化对不等式知识掌握与理解的深度，以饱满的信心迎接各类考试。参考文献：

[1]吕春叶.数学思维能力在高中数学教学中的培养方法探究[J].中华少年,2017,(32):100.[2]李叶庭.基于高中数学教学中培养数学思维能力的实践探索[J].青少年日记(教育教学研究),2017,(02):132.[3]陈月.论如何在高中数学教学中培养学生的数学思维能力[J].新课程(下),2016,(09):162.[4]吴传广.浅析高中数学思维障碍的成因和克服办法[J].数学学习与研究,2016,(11):55.[5]刘青.放飞思维,突破局限——高中数学教学中培养数学思维能力的实践探析[J].数学大世界(上旬),2016,(06):62.[6]刘银霞.培养学生数学思维在高中数学教学中的必要性[J].考试周刊,2015,(70):54.[7]张家利.数学思维能力在高中数学教学中的培养[J].吉林教育,2014,(34):65.[8]吴水龙.高中数学教学中培养学生数学思维能力的尝试[J].学周刊,2014,(20):180.

第二篇：数学思维与数学教学

数学思维与数学教学

学号：

091090142

09春数本班

汪炜

目

录

一、几种数学思维能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）选择判断能力

（四）数学探索能力

二、中学生数学思维能力的特点

（一）思维的敏锐性

（二）思维的不成熟性

（三）思维的可训练性

三、如何培养中学生的数学思维能力

（一）找准数学思维能力培养的突破口

（二）教会学生思维的方法

（三）善于调动学生内在的思维力

<<数学思维与数学教学>>

-----------提纲

一、几种数学思维能力

（一）抽象概括能力

（二）推理能力

（三）选择判断能力

（四）数学探索能力

二、中学生数学思维能力的特点

（一）思维的敏锐性

（二）思维的不成熟性

（三）思维的可训练性

三、如何培养中学生的数学思维能力

（一）找准数学思维能力培养的突破口

（二）教会学生思维的方法

（三）善于调动学生内在的思维力

第三篇：高中数学教学中数学思维的培养论文

一、高中数学教学现状分析

1．高中数学难度大

中国的教育难度大，其中以数学为甚．经过小学和初中的积累，高中数学在难度上达到了一个转折点，无论代数还是几何，都提高了难度．例如，很多省、市在高二的时候实行文理分科，进一步提高了理科班的数学难度，立体几何、三角函数、数列等内容不仅提升了难度，而且要求高中生充分理解并要拿到高分．数学题难度太大，致使很多学生对数学产生了抗拒、畏惧心理，从此失去了学习数学的信心．

2．高中数学成绩差距大

数学反映在成绩方面的问题是分差特别大．以文科学生为例，很多学生就是因为数学成绩太差所以选择了文科，但是数学依旧是高考的必修科目，而且分值为160分，是所有参加高考的学生都不能避免的，分差大这个问题在文科学生中表现得非常明显，有些学生能达到150分以上，但是有的高中生数学成绩却仅能拿到70分．这样的成绩差足以说明目前高中数学教学的现状之一就是学生数学能力差别过大、成绩分差过大．

二、在高中教学教学中培养数学思维的意义

1．有助于提高学生的逻辑推理能力

数学是一种比较严谨的科学，需要认真仔细地推理每一步运算，才能得出最后的正确结果．因此，培养学生的数学思维也是提高其逻辑推理能力的过程．同时，逻辑推理能力也是学好数学的基础．只有学会推理，才能掌握整门科学的精髓，一知半解是无法学好数学的，要从整体入手，一步一步地认真推理、严密运算．由此可知，培养数学思维可以提高学生的逻辑推理能力．在日常生活中，人们也是离不开逻辑推理的，每个人的一生都会发生一些始料未及的事情，然而推理能力强的人就会瞬间冷静下来，将事情的来龙去脉分析清楚，并推理出接下来的事情发展态势．

2．有助于提高学生的数学成绩

高中数学教学最根本的目的还是要提高高考成绩，而没有数学思维的学生是无法真正取得高分的．以立体几何的解析为例，如果高中生只是会记题型，就只能保证在已经掌握的题型上面得到高分，但是数学题是千变万化的，需要学生真正掌握解题思路，培养数学思维是提高分数的基础．此外，心理学研究表明，高中阶段是人的大脑高速运转的活跃阶段．在高中数学教学中培养数学思维，能够促进学生的大脑活动．真正具有数学思维能力的学生不会生搬硬套数学公式，而是会寻找解题思路，主动解题，将抽象的习题转化成具体的解题模式，从而用推理的方法解决数学问题，各种难题都能够迎刃而解．

3．有助于培养学生的创新能力

数学思维要求学生在解题过程中充分利用已有知识解决数学难题，并形成自己的解题思路，其实这就是创新能力的培养过程，能够让学生在学习中发挥主动性．例如，在遇到数学难题时，一个重要步骤是大胆假设，然后反推已知信息，如果假设成立，这道难题就顺利解开．这种在解题技巧上的大胆假设，其实就是创新的过程．

4．为学生提供锻炼意志品质的机会

在高中数学难度如此大的环境中，解数学题绝非易事，需要长时间的知识积累，才能换来高考时的卷面高分．因此，高中数学教学也是一种对学生意志品质的磨练．例如，高三的数学题往往不是通过一次运算就能够得出结果的，多数习题是多个问题组成的，而每一道小问题也需要复杂的运算．这并不是简单的数字运算，而是在考验高中生的意志力．

三、培养高中生数学思维的方法

1．改善教学环境

如果数学教学单纯以高分为目的，那么教师和学生的关注点就都集中在分数上，而不会注重培养思维能力．为了让高中生都能够具有独立思考、推理分析、创新等能力，就应该彻底改变教学环境．学校为高中生营造一个有利的环境，让学生乐于主动挑战数学难度，能够在解题过程中找到乐趣，而不是以提高成绩为目的强迫学生学习数学．素质教育环境下的数学教学，能够培养学生的数学思维，让学生意识到数学是对自己的一生都有积极意义的基础科学．

2．开展研究性教学

研究性教学主要应该采取启发式的教学方法，教师设置合理的教学情境，让学生全身心投入到数学教学中，充分认识到数学思维的重要性．例如，在一堂难度比较高的数学课上，按照学生已有知识不能很快地得到最终结果，教师就应该首先提出假设，让学生分成小组讨论，以研究形式为主，教师指点学生的讨论结果，引导学生得出最终结论．

作者:赵蕾 单位:江苏省白蒲高级中学

第四篇：高中数学教学中渗透数学文化的实践与探索

高中数学教学中渗透数学文化的实践与探索

叶秋平浙江省龙游中学324400E-mail：zjlyyqp@163.com

摘 要： 以提高学生的素质，特别是提高民族素质为最终目的的数学教育，从根本上说应该是数学文化教育。数学文化是人类文化宝库中的奇葩，它的内容、思想、方法与语言是现代文明的重要组成部分。对普通高中数学教育中如何渗透数学文化正逐步受到重视。本文从数学史的教学意义、形成正确数学观、加强数学应用、与其他学科交融等四个方面进行数学文化渗透作了有益的探索。

关键词：文化；数学文化价值；数学观

数学是一种文化，已逐步成为数学教育工作者的共识。研究表明，数学的文化价值主要体现在：⑴数学是打开科学大门的钥匙；⑵数学是科学的语言；⑶数学是思维的工具；⑷数学是一种思想方法；⑸数学充满理性的精神。为提高人们对数学文化价值的认识，《全日制义务教育数学课程标准》与《普通高中数学课程标准》在教学理念与教学要求上都对渗透数学文化作了明确的要求，作为一线教师，应如何贯彻理念，在教学实践中体现数学的文化价值呢？笔者从以下几个方面进行了尝试。结合高中数学知识，介绍数学史上重要人物、事件、优秀数学成果，展示数学文化 自20世纪70年代以来，数学史对数学教育的意义已引起数学教育家的重视：利用它可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，启发学生的人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁，等等。

例1 蝴蝶定理研究史

如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（br0).（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线yk1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y20);直线yk2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y40).求证：k1x1x2k2x3x4；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设x1x2x3x

4CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证

明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

评析：本题将平面几何中著名的“蝴蝶定理”推广到椭

圆中。教学中应有意识介绍问题的背景知识：早在1815年，英国伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》中就刊登了数学

家霍纳和泰洛给出的蝴蝶定理的两个证明。而后的100多年里，不同时代的数学家不断公布新证法。1944年2月号《美国数学月刊》就以“蝴蝶定理”征解。1946年，该题成为美国普南特大学生数学竞赛的试题。20世纪70年代末80年代初，我国中学数学界也兴起研究蝴蝶定理的热潮。近两百年来，世界各地的数学爱好者对蝴蝶定理的证明方法已达数百种，而且对蝴蝶定理的研究也逐步深入，如：将蝴蝶定理推广到一般的曲线中、推广到三维甚至高维空间、用机器证明蝴蝶定理等等。这充分反映了他们在科学探究中勇于探索、锲而不舍的钻研精神和态度！

数学史能使学生深深体会到数学是人类精神文明的硕果，它不仅闪耀着人类智慧的光

芒，而且它的发展也充分体现了人类为真理而生生不息、孜孜以求的精神。需要指出的是：

在进行数学史教育时，不能仅停留在杨辉三角比帕斯卡三角早多少年之类上，而应客观公正

地介绍中外科学家的长处与短处，以及中外科学家发展的历史，不搞民族狭隘主义。

2充分利用数学素材，引导学生形成正确的数学观

学生的数学观（即学生对“数学是什么？”、“数学是如何习得的？”以及“数学应怎样

教授？”、“面对数学问题如何思考？”、“喜欢上什么样的数学课”这些问题的认识）将直接

影响他们学习数学的动机与兴趣，进而直接或间接影响着学生在数学方面的学习表现。数学

观念是数学文化的核心，包括数学精神、数学意识、数学思想方法和数学思维方式。教师应

有意识引导学生形成如下的数学观：数学与客观世界有着密切的联系，数学有着广泛的应用，数学是一门通过对数与形的研究揭示客观世界秩序、和谐与统一美的规律的学科，数学是在探索、发现的过程中不断发展变化的，是一门在学习过程中包含着尝试、错误、改正与改进的一门学科。

例2 秦九韶算法

nn1已知n次多项式Pn(x)a0xa1x计算x0k（kan1xan,如果在一种算法中，＝2，3，4，„，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要（k＝0，1，2，„，n－1）。利用该算法，计算PP3(x0)的0(x)a0,Pk1(x)xPk(x)ak

1值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要次运算。

评析：在认知冲突（原有算法与题目提供的算法）后实现同化与顺应，学习到一种简化

运算的方法。作为教师还应挖掘隐含在其后的文化价值：⑴该算法早在南宋时期，我国数学

家秦九韶（约1202—1261）就在他的代表作《数书九章》中提出，体现了我国古代数学研

究的杰出成就；⑵采用“迭代法”代替了机械的运算，极大的减少了乘法的运算次数，故成为计算机处理运算问题的基本原理，有力地推动了信息技术的应用与发展。这充分体现了数

学的应用价值及数学在推动人类文明进步中所起的伟大作用。因此，数学不仅仅是培养学生

思维能力的有效载体，更是科学的语言，是一种文化。用数学的眼光去观察与解释生活中的现象，使学生感受到数学“火热的激情”而非

“冰冷的美丽”

如今，随便翻开报纸，“拓朴结构”、“数字化地球”、“伊拉克战争是一场数字化战争”

等词句赫然在目，“数码相机”、“线性规划”、“体彩6+1近20期号码技术分析”等随处可见,数学就在我们身边。

例3 小概率事件

概率论中，把事件发生的概略很小的事件称为“小概率事件”，为加深对概念的理解，举下例说明：

⑴××市发行“体育彩票”，十万张中产生一个特等奖，奖金10万元，则中特等奖的概

率为十万分之一，中奖能看作小概率事件吗？⑵伊拉克战争中，美英联军共向伊拉克发射了

近千枚战斧式巡航导弹，据美国军事专家称其精确度在0.999以上，但实际上确有许多导弹

因偏离目标而造成大量无辜平民伤亡，请计算一千枚战斧式巡航导弹中至少有一枚不能命中

目标的概率。

评析：按独立重复试验的概率计算，一千枚战斧式巡航导弹全部命中的概率为0.9991000

≈0.368，则至少有一枚不能命中目标的概率竟达0.632。因此，在一场大规模的现代战争

中，一枚战斧式巡航导弹失误的概率0.001不能作为小概率。美国军事专家认为战斧式巡航

导弹产生偏差的概率很小，而伊拉克及周边国家的人民却担心导弹产生偏差而恐惧，这说明

小概率事件是相对而言的。我们平时应辩证看待与正确处理小概率事件，不能认为“万无一

失”产生麻痹大意而“因小失大。”

例4 植物也懂数学

在一次劳动中，某学生偶然发现树从底部到顶部的分枝分布较有规律，依次为1，2，3，5，8，13、„，似乎与斐波那契数列有关，怎么会这样呢？还是算一算吧！

假设树苗在第一年长出一条新枝，新枝一年后变为老枝，老枝每一年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律成长。问⑴第5、6、7年的枝条分别是多少？⑵假设各年的枝条

数构成数列{an}，你能给出数列{an}的递推关系式吗？⑶你能求数列{an}的通项公式吗？

⑷计算当n取1、2、3、4、5、6时

选择的结果吗？ 通过计算学生发现：an的值，并解释树枝为何按此规律生长，是长期自然an1limanann10.618。看来，树木也懂黄金分割，也懂得用数学知识来

保护自我（按此规律生长采光最好）。数学真是无处不在，魅力无穷！．．．．．．．．．．寻找数学与其它学科的联结点，促进学科间的交融与渗透，体现数学的现实性、文

化艺术性和哲理性

例5 最经济路线问题

某工厂生产的产品用到a1、a2、a3、„、an等n种原料，A1、A2、A3、„An为工

厂的n个原料产地。现要建立一个工厂，它所需n个产地的原料数量相同，为了节约，希望

各原料产地到工厂的直线距离之和最小，那么工厂的厂址应选在何处？

评析：该题就数学角度求解则相当复杂，但若注意到其背景是物理学中的能量最低原理，则有如下解法：在一块水平光滑的木板上按实际距离的比例确定A1、A2、A3、„Ann个

点的位置，并在A1、A2、A3、„An点的位置各打一个洞，洞口光滑。将n根不可伸长的轻质绳的一端结于一点，另一端分别穿过n个洞，并在绳端系上质量相同的物体，那么，当

系统平衡时，n根绳子的结点所在即为所求。

人们常说：“语言是思维的外壳，数学是思维的体操”。此可见数学与语言在思维层面上

能够统一起来。“物以类聚，人以群分”便是集合的划分。“前不见古人，后不见来者，念天

地之悠悠，独怆然而涕下”抒发了生活在空旷时空里人类的万千感慨，不经意间成了时间和

三维欧几里得空间的描述。人们常常用“水滴石穿”、“只要功夫深，铁棒磨成针”来形容有

志者事竟成，实际上从概率的角度看是非常有道理的。设在一次试验中，事件发生的概率为

ξ>0，独立重复n次，设事件B为n次试验中A至少有一次发生，则P（B）=1(1)，n

lim[1(1)n]1，一件微不足道的事情，只要坚持下去就会产生不可思议的结果，正是n

“锲而不舍，金石可镂”。

爱因斯坦说过，用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，可以使他成为一台有用的机器，但不能成为一个和谐发展的人，他必须获得对美和道德的辨别力，对价值有所理解且产生热烈的感情，这才是最基本的。知识型的数学教育和文化型的数学教育在提高学生的素质方面都是可以发挥作用的，只是侧重点不同而已。因此为了充分发挥数学在提高学生乃至提高全民族素质方面的作用，我们的数学教育应是综合性的，应兼有知识教育、能力教育、文化教育的成分。从这个意义上说，作为数学教育工作者的我们任重而道远！

参考文献：

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[3] 童其林。人文素质在数学教学中的重要性及其渗透[J]。上海中学数学，2003（2）。

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[5] 张维忠，汪晓勤等。文化传统与数学教育现代化[M]。北京：北京大学出版社，2006。

第五篇：数学思维与小学数学教学

数学思维与小学数学教学

郑毓信

（南京大学哲学系，江苏南京210093）

摘要：“帮助学生学会基本的数学思想方法”是新一轮数学课程改革所设定的一个基本目标。以国际上的相关研究为背景，对小学数学教学中如何突出数学思维进行具体分析表明，即使是十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特

征性质。

关键词：数学思维；小学数学教学 中图分类号：G623.5 文献标识码：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者简介：郑毓信，南京大学哲学系教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME10）国际程序委员会委员。

对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。以下将依据国际上的相关研究对这一观点作出具体分析，希望能促进这一方向上的深入研究，从而能够对于实际教学活动发挥积极的导向作用。

一、数学化：数学思维的基本形式

众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。

事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数

学”的重要过渡。

例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念，这事实上就已包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡。再例如，正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量的聚合，也可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较，也可能是同一个量的减少性变化；然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同现实原型之间的区别（例如，这究竟表现了“二元的静态关系”还是“一元的动态变化”）则完全被忽视了：它们所对应的都是同一类型的表达式，如4+5=9、7-3=4等，而这事实上就包括了由特殊到一般的重要过渡。

应当强调的是，以上所说的可说是一种“数学化”的过程，后者集中地体现了数学的本质特点：数学可被定义为“模式的科学”，也就是说，在数学中我们并非是就各个特殊的现实情景从事研究的，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模

式”。

也正由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上所提及的加减法运算而言，由于其中涉及三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：“两个数的差是3，其中较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中较大的数是4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模式”过渡到了“可能的量化模式”。

综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由“日常数学”过渡到“学校数学”的必要性，或是应当唯一地坚持立足

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于现实生活。

由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围，在此仅指明这样一点：与现实意义在一定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的相关研究、特别是近年来所兴起的“民俗数学”研究的一个重要结论：尽管“日常数学”具有密切联系实际的优点，但也有着明显的局限性。例如，如果仅仅依靠“自发的数学能力”，人们往往就不善于从反面去思考问题，与此相对照，通过学校中的学习，上述的情况就会有很大改变，这就是说，纯数学的研究“在帮助学生学会使用逆运算来解决问题方面有着明显的效果”；另外，同样重要的是，如果局限于特定的现实情景，所学到的数学知识在“可迁移性”方面也会表现出

很大的局限性。

一般地说，学校中的数学学习就是对学生经由日常生活所形成的数学知识进行巩固、适当重组、扩展和组织化的过程，这就意味着由孤立的数学事实过渡到了系统的知识结构，以及对于人类文化的必要继承。这正如著名数学教育家斯根普所指出的：“儿童来到学校虽然还未接受正式教导，但所具备的数学知识却比预料的多„„他们所需要的帮助是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”

当然，我们还应明确肯定数学知识向现实生活“复归”的重要性。这正如著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔所指出的：“数学的力量源于它的普遍性。人们可以用同样的数去对各种不同的集合进行计数，也可以用同样的数去对各种不同的量进行度量。„„尽管运算（等）所涉及的方面十分丰富，但又始终是同一个运算──这即是借助于算法所表明的事实。作为计算者人们容易忘记其所涉及的数以及他所面对的文字题中的算术问题的来源。但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算法的简单性回到多样化的现实。”

总的来说，这就应当被看成“数学化”这一思维方式的完整表述，即其不仅直接涉及如何由现实原型抽象出相应的数学概念或问题，而且也包括了对于数量关系的纯数学研究，以及由数学知识向现实生活的“复归”。另外，相对于具体知识内容的学习而言，我们应当更加注意如何帮助学生很好地去掌握“数学化”的思想，我们应当从这样的角度去理解“情境设置”与“纯数学研究”的意义。这正如弗赖登塔尔所指出的：“数学化„„是一条保证实现数学整体结构的广阔途径„„情境和模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。”

二、凝聚：算术思维的基本形式

由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重

要的指导意义。

具体地说，这正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的“凝聚”，也即由“过程”向“对象”的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的“输入—输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个“凝聚”的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。再如，有很多教师认为，分数应当定义为“两个整数相除的值”而不是“两个整数的比”，这事实上也可被看成包括了由过程向对象的转变，这就是说，就分数的掌握而言我们不应停留于整数的除法这样一种运算，而应将其直接看成一种数，我们可以此为对象去实施加减乘除等运算。

对于所说的“凝聚”可进一步分析如下：

第一，“凝聚”事实上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者则又可以说集中地体现了数学的高度抽象性，即“是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”。这正如著名哲学家、心理学家皮亚杰所指出的：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的„„当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类‘实体’进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成‘更强’的结构，或者在由‘更强的’结构来予以结构化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的发展显然也可被看成更高水平上的不断“建构”。

第二，以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三个阶段：（1）内化；（2）压缩；（3）客体化。其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备。前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思──我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象

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水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。容易看出，上述的分析对于我们改进教学也具有重要的指导意义。例如，所说的“内化”就清楚地表明了这样一点：我们既应积极提倡学生的动手实践，但又不应停留于“实际操作”，而应十分重视“活动的内化”，因为，不然的话，就不可能形成任何真正的数学思维。另外，在不少学者看来，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”这一传

统做法的合理性。

第三，由“过程”向“对象”的过渡不应被看成一种单向的运动；恰恰相反，这两者应被看成同一概念心理表征的不同侧面，我们应善于依据不同的情景与需要在这两者之间作出必要的转换，包括由“过程”转向“对象”，以及由“对象”重新回到“过程”。

例如，在求解代数方程时，我们显然应将相应的表达式，如（x+3）2=1,看成单一的对象，而非具体的计算过程，不然的话，就会出现（x+3）2=1=x2+6x+9=1=„这样的错误；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作为一种检验，我们又必须将其代入原来的表达式进行检验，而这时所采取的则就是一种“过程”的观点。

正因为在“过程”和“对象”之间存在所说的相互依赖、互相转化的辩证关系，因此，一些学者提出，我们应把相应的数学概念看成一种“过程—对象对偶体”procept,这是由“过程”（process）和（作为对象的）“概念”（concept）这两个词组合而成的。，即应当认为其同时具有“过程”与“对象”这样两个方面的性质。再者，我们又应很好地去把握相应的思维过程（可称为“过程—对象性思维”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“对偶性”，是指在“过程”与相应的“对象”之间所存在的相互依存、互相转化的辩证关系；（2）“含糊性”，这集中地体现于相应的符号表达式：它既可以代表所说的运作过程，也可以代表经由凝聚所生成的特定数学对象；（3）灵活性，是指我们应根据情境的需要自由地将符号看成过程或概念。特殊地，数学中常常会用几种不同的符号去表征同一个对象，从而，在这样的意义上，上述的“灵活性”就获得了更为广泛的意义：这不仅是指“过程”与“对象”之间的转化，而且也是指不同的“过程—对象对偶体”之间的转化。例如，5不仅是3与2的和，也是1与4的和、7与2的差、1与5的积，等等。

综上可见，在算术的教学中我们应自觉地应用和体现“凝聚”这样一种思维方式。

三、互补与整合：数学思维的一个重要特征

以上关于“过程—对象性思维”的论述显然已从一个侧面表明了互补与整合这一思维形式对于数学的特殊重要性。以下再以有

理数的学习为例对此作出进一步的说明。

首先，我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。

具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。

例如，在教学中人们往往唯一地强调应从“部分与整体的关系”这一角度去理解有理数，特别是，分数常常被想象成“圆的一个部分”。然而，实践表明，局限于这一心理图像必然会造成一定的学习困难、甚至是严重的概念错误。例如，如果局限于上述的解

释，就很难对以下算法的合理性作出解释：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=„

其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。

这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式„„教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”[7]（2）由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的；然而，需要强调的是，除去对于各种学习方式与表述形式的直接肯定以外，我们应更加重视在不同学习方式或表述形式之间所存在的重要联系与必要互补。这正如美国学者莱许（R.Lesh）等所指出的：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式──如图像，书面语言、符号语言、现实情

景等──同样也发挥了十分重要的作用。”

再次，我们应清楚地看到解题方法的多样性及其互补关系。

众所周知，大力提倡解题策略的多样化也是新一轮数学课程改革的一个重要特征：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”

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当然，在大力提倡解题策略多样化的同时，我们还应明确肯定思维优化的必要性，这就是说，我们不应停留于对于不同方法在数量上的片面追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法。显然，后者事实上也就从另一个角度更为清楚地表明了“互补与整合”确应被看成数学思维的一个重要特点。

最后，我们应清楚地看到在形式和直觉之间所存在的重要的互补关系。特别是，就由“日常数学”向“学校数学”的过渡而言，不应被看成对于学生原先所已发展起来的素朴直觉的彻底否定；毋宁说，在此所需要的就是如何通过学校的数学学习使之“精致化”，以及随着认识的深化不断发展起新的数学直觉。在笔者看来，我们应当从这样的角度去理解《课程标准》中有关“数感”的论述，这就是，课程内容的学习应当努力“发展学生的数感”，而后者又并非仅仅是指各种相关的能力，如计算能力等，还包含“直觉”的含义，即对于客观事物和现象数量方面的某种敏感性，包括能对数的相对大小作出迅速、直接的判断，以及能够根据需要作出迅速的估算。当然，作为问题的另一方面，我们又应明确地肯定帮助学生牢固地掌握相应的数学基本知识与基本技能的重要性，特别是，在需要的时候能对客观事物和现象的数量方面作出准确的刻画和计算，并能对运算的合理性作出适当的说明──显然，后者事实上已超出了“直觉”的范围，即主要代表了一种自觉的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直觉”以外，著名数学教育家费施拜因曾突出地强调了“算法”的掌握对于数学的特殊重要性。事实上，即使就初等数学而言我们也可清楚地看出“算法化”的意义。这正如吴文俊先生所指出的：“四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远，更不能腾飞„„可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞，非但可以跑得很远而且可以腾飞。”

[8]这正是数学历史发展的一个基本事实，即一种重要算法的形成往往就标志着数学的重要进步。也正因为此，费施拜因将形式、直觉与算法统称为“数学的三个基本成分”，并专门撰文对这三者之间的交互作用进行了分析。显然，就我们目前的论题而言，这也就更为清楚地表明了“互补与整合”确应被看成数学思维的一个重要特点。

综上可见，即使是小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实“帮助学生学会基本的数学思想方法”这一重要目标。