浅谈高中数学分类讨论教学

第一篇：浅谈高中数学分类讨论教学

浅谈高中数学分类讨论教学

摘要：作为高中教育一项重要的组成部分，数学在高考中占很大的分值重要，同时，在学生思维能力培养方面具有决定作用。高中数学内容有明线、暗线两条线：明线是指数学知识教学，暗线则是指数学思想方法的教学。作为数学精髓，数学思想方法不仅是促进学生将知识转化为能力、形成良好认知结构的桥梁与纽带，同时也是培养学生创新思维的重要载体本文就分类讨论的组成进行分析，对其重要性进行研究，并探讨高中数学教学分类讨论的应用，以便提高高中数学教学效率

关键词：高中数学；分类思想

高中数学学习是中学学习中一个关键环节。重视并认真完成这个阶段的教学任务，有利于学生为中学的数学学习打下好的基础，培养良好的数学兴趣。对数学教学有着至关重要的作用，在高中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a2时分a>0、a=0和aAC，则LC>LB，最后讨论C为锐角还是钝角的分类式的讨论。

4.创设情景提高学生的自觉应用能力

准确的运用分类讨论思想需要学生有过硬的学习能力，这就需要教师在课堂上不断加强学生的学习意识，还要学生在课外有意的做些相关的题目，不断的在解题中应用这一数学思想方法，不断的强化，并要克服学生在解题时的盲目性和随意性，要做到分类讨论思想的适应应用，从而提高学生的综合运用能力。

5.不断强化.形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。学生在学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。

例如：教师给出例1：解不等式a×20且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1，a0且a≠1）的单调区间，“一回生两回熟，三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x-1）0且a≠1）与例2：求函数loga（2x-1）（a>0且a≠1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。

6.结语

?而言之，教师在日常的教学过程中一定要基于课本，注意将分类讨论思想渗透到教师中去，旨在强化学生的理解能力和解题能力，这就有助于学生准确的分析数学问题和有效的解决数学问题，有助于学生提高自身的数学学习能力，有助学生培养出良好的思维能力和思考能力，有助于学生加强逻辑思维能力，从而帮助学生成绩的有效提高。

第二篇：高中数学教学论文 何处分类讨论

何处分类讨论？

分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助.1 集合与简易逻辑

1.1 集合中的元素应满足互异性 例1 解析: 需分或

或,若,求实数a的值.三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0.1.2 求集合或元素的个数 例2 已知非空集合_____.解析: M可能含

个元素，讨论后得不同的M

共7个.1.3 因的特殊性而引起的讨论 例3 值范围.解析：

需分

讨论.当

时，若,求实数m的取

为，且若

则,那么集合M的个数为,即.2 函数

2.1 含参数方程 例4 设______.解析： 此题应分

当时，即综上知，m的范围是使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为和两种情况讨论.答案.2.2 二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论 例5 设解析:（1）的最小值为的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论：

即

在时，,求的表达式.（2）当t>1时，上单调递增，在上单调递减，（3）当t+1<1即t<0时，综上所述，.2.3 对于求含参函数的定义域，或已知其定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论 例6 已知函数解析:

①对的定义域为R，求a的范围.恒成立.当当时，应有时，若,则①为非绝对不等式;若

或.，则不等式①为

是绝对不等式，所以a的范围是2.4 涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论 例7 求函数解析: 令则的单调区间，并指出其增减性.的递减区间是,递增区间是

.又当a>1时，在R上是增函数;当0

.时常需对

在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单

;当0

进行讨论

例8 已知解析: 时，,则不等式不等式变为x+x的解集为_________.,即不等式解集

x<0时，不等式变为即不等式解集2.6 求单调函数中参数的取值范围 例9 已知函数a的取值范围是___________.是在区间上的减函数，则解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数3 数列 3.1 已知求,需分

和

显然符合题意.故a的范围是

讨论

例10 为数列的前n项和，且求数列的通公式.解析: n=1时，当时，则立，故

讨论

时，又n=1时也成3.2 等比数列求和时，常分q=1和例11 求和解析: x=1时，①，;时，②,①

②

得-3

=时仍成立).4 三角函数

4.1 三角函数中，涉及到形如的角，常分n 为奇数或偶数讨论

(x=0例12 化简：解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1.4.2 已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论 例13 已知

求

.解析: 在第二或第四象限.讨论后得=或平面向量 5.1 考虑的特殊性 例14 若解析: 当是否一定有时，不一定有

;否则一定有

.5.2 已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数 例15 解析: 中，解三角形.,三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，.5.3 使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论 例16 设,点P在直线

上，且,求P分

所成的比.解析: 当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为 不等式

6.1 使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论

例17 求函数的值域.解析: x>3时，（x=4时取“=”）;x<3时，（x=2时取“=”）.综上函数值域为6.2 解含参数的不等式常需讨论 例18 解关于x的不等式

.解析: 原不等式等价于或

当时，解集为当时，解集为当时，解集为

.7 直线与圆的方程

7.1 求直线的斜率和倾斜角

例19 已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角.解析: 设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，.7.2 求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在

例20 求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程.解析: 当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为

7.3 判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在 例21 两条直线时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合.当m为何值 5 解析:(1)(2)m=-1或m=0;(3)m=3.（过程略）.8 圆锥曲线方程

8.1 含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论

例22 讨论方程所表示的曲线类型.解析:(1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆;(2)当时，方程所表示的曲线是椭圆;(3)当,即

时，方程所表示的曲线是双曲线.8.2 求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论 例23 已知双曲线C的两个焦点是、实半轴与虚半轴长的积为

直线过

且与线段夹角为,且与线段,求双曲线方程.垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且解析: 当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）.8.3 在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由数对交点个数的影响 例24 已知双曲线,直线

讨论直线与双曲线公共点个数.来判断，同时还要注意二次项系解析: 联立方程组(1)当即

消去y得时，方程

化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.(2)当 即时，由得时，方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.(4)当与双曲线无交点.，由得方程组无解，故直线综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点.9 直线、平面、简单几何体

9.1 由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论 例25 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.解析： 证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形.例26 不共线的三点A、B、C到平面______________.的距离相等，则平面

与平面ABC的位置关系是解析: 需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交.9.2 关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论

例27 在半径为15的球内有一个底面边长为锥，求此正三棱锥的体积.的内接正三棱解析: 正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时，10 极限 10.1 求时常引起讨论

例28 已知常数均大于1，且都不等于2，求

解析： 当p>q时，所以

当p

第三篇：分类讨论思想与初中数学教学

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分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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第四篇：关于高中数学课堂教学方法的讨论

关于高中数学课堂教学方法的讨论

摘要：高中阶段是学生学习数学的重要阶段，学生正是在这个阶段中最大限度的扩充着数学知识，提高着数学学习的能力。而在这个过程中，教师担任着至关重要的角色，对学生的学习情况起着极大的影响作用。所以，身为教师，应该在教学过程中尽自己全力去帮助学生学习数学，开创出更多、更好的适合学生的教学方法，取得教与学的双赢。

关键词：高中数学；课堂教学；学习方法；得到进步；提升能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0345-01

学好数学不仅需要学生的勤奋努力，更需要学生找到适合自己的学习方法。就是用力“不在多，而在巧”的道理。而对于数学学习来说，课堂效率是不容小觑的一部分，学生课堂学习效率的高低很大程度上决定着学生的数学成绩。而作为教师，不但应该在日常学习生活中对学生个人的学习方法提出指导改进的意见，更应该针对这方面进行适当的教学模式的创新，不断的开发新的数学课堂教学方法，促使学生能够在教师的带领下，在课堂上集中注意力听讲，从而做到更为高效的去学习数学、热爱数学。下面，我就高中数学课堂教学方法提出如下几点讨论。

1.在课堂上做到理论知识与经典例题相结合，保证学生对于数学知识的吸收

数学的解题大部分依赖于解题方法的使用，只要学生能够选对正确的解题方法，那么就相当于成功了一半。而选择合适的方法进行解题这部分内容却恰恰是大部分学生都头痛的知识点。此时更需要教师在日常的课堂教学中进行贯彻，引导学生发现解题中的常见的突破口，从而在考试中能够更大程度地节约答题的时间。做到这点最好的方法就是理论知识与经典例题相结合进行授课。数学的理论知识是解题的基础，学生如果连基础知识都掌握不好，想要解对题目是不可能的事情。只有对每个基本定义做到了然于心，才能够在解题中更为熟练的进行运用。而经典例题的讲解则是为了让学生能将所学的理论知识熟练的套用到所见的题目之中，数学题目是千变万化的。一个小细节的不同，就会演变出不同的结果，这就要求学生要掌握解题的方法，从而做到灵活的变通。教师在课堂上带领学生一起学做经典的例题，让学生更为清晰的看到教师是如何进行解题的，包括寻找题眼、确定解题方法等等，这样才能更有效的教会学生解题的步骤、方法，切实的提高学生的解题能力。

2.创建良好的课堂氛围，使得学生真正融入进数学课堂中来

创建良好的课堂氛围是优秀的课堂所必不可少的要素。很多学生潜意识里认为数学是困难的、枯燥的。从而内心中一直隐隐约约对数学有一定的抵触情绪，没有充足的自信心相信自己能够真正学好数学。教师应该针对这点进行教学上的改进，最基本的措施就是创建积极活跃的数学课堂教学氛围。只有课堂氛围活跃起来，学生才能更为积极地投入到数学课堂中去，才能最大限度的吸收教师所讲授的知识点。教师创建优秀的课堂氛围不能仅仅依靠教师的个人魅力，而且更应当钻研出相应的教学技巧。例如：教师可以在课堂上讲述一些与数学学科有关系的小故事、小笑话，调节课堂紧张的进度，让学生的思维得以放松，从而更好的进行接下来的内容，对课堂的效率也有明显的提升作用。

3.积极创新多种教学方法，让学生得到更充分的能力提高

虽然教师讲授、学生听讲的模式是传统的教学模式，但这种教学模式也有一定的弊端。长期加以运用，学生会对课堂产生一定程度的厌倦心理，导致数学课堂教学毫无新意，学生课堂效率降低等等不良影响。依我看来，教师在教学过程中应该积极的运用多种教学方式，提高数学课堂的新鲜程度，有效的激发学生的主观能动性。例如：让学生在课堂上自主的对一些开放性课题进行讨论，对于开放性课题，不同的学生往往有不同的理解。如果仅仅运用教师讲解的方法，学生很难对多种解题方法都留下深刻的印象。而通过讨论的方式，学生可以自由的交流彼此的思想，从别人的思维中得到灵感与创新思维，同时，也能够有效的加深学生的记忆程度，激发学生思维的能力，让学生在讨论过程中彼此取长补短，得到应有的能力提高。教师在课堂上积极的采取多种教学方式，不但可以使数学课堂得到创新，也能够有效的提升学生对于数学课堂的兴趣，是一种一举数得的方式。

4.鼓励学生在学习过程中互帮互助，以求达到共同进步的成果

除了教师对学生学习上的辅助，学生之间的互助也是提高学生数学能力的一种方法。教师在教学过程中可以适当的让学生与学生之间互相对学习进行辅助，以求达到共同提高的双赢局面。例如：可以让学生互相批改作业，一来可以让学生从对方的错误中得到认识，一种题目的错误方式是千变万化的，学生犯的错误又是有共性的，学生在批改作业的同时可以发现许多错误之处，让学生从这些错误中得到教训，避免自身在下次解题过程中犯同样的错误。二来数学中存在着“一体多解”的解题方式，即同一个题目具有多种方式的解答方法，通过批改作业，学生可以学习到多种多样的解题方式，从多种方式中得出总结，最终寻找到最简便又有效的解题方法，对学生本身是一件大有益处的事情。教师还可以在教学过程中开设“一帮一”的辅助模式，由一个学习成绩较好的学生帮助一个成绩并不理想的学生，成绩较好的学生可以在帮助过程中不断的巩固自身的能力与技巧，而成绩较差的学生则可以学习对方学习中的优秀之处和优良的学习方法，从而不断提升自己的成绩。通过这些方法，可以有效的提升学生的总体能力，让学生在互帮互助的同时提升团结心理，促进学生的整体进步。

5.重视学生对于数学课堂的反馈，依据学生意见不断进行改进

在教师的教学过程中，还要充分的重视学生对于数学课堂的反馈。由于年龄的差距和一定的代沟，教师对于课堂的感受往往与学生有一定程度的差异。这就需要教师不断获取学生对于课堂的意见，并且根据学生的意见及时对课堂模式、课堂进度等内容作出适合的改进，以求数学课堂能够最大限度的契合学生的需求，以便达到最好的课堂效果和最高的课堂效率。所以，教师应该不断的与学生进行交流，不仅要做学生的优秀师长，同时也要做学生最好的朋友，让学生对教师教学方面的意见能说、敢说，并敢于对教师提出合理的改进意见。

教师还应该在教学改进中不断巩固学生在课堂中的主体地位，让课堂不再是教师一人的独角戏，而是让学生能够真正融入到课堂中来，与教师一起配合，真正成为课堂学习中的主人公。

第五篇：全面剖析初中数学分类讨论思想教学

全面剖析初中数学分类讨论思想教学

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

几何图形具有多变的特点，其使得分类讨论思想在几何问题中的运用非常频繁，需要学生根据图形的形状、位置以及关系等方面的条件来对问题进行合理地分类讨论.例如，笔者在讲授有关三角形各边长度的问题时，曾给出这样一道例题：在△ABC中，AB=6，AC=2，BC边上的高AD=3，求BC的长.这道题并未给出具体的三角形图形，因此学生可运用空间想象能力将三角形分为点D在BC边上和在BC边的延长线上两种情况，然后分别求出这两种情况下BC边的长，再进行判断.总之，每一种数学思想对学生的思维能力都有不同角度的提升作用，分类讨论思想则注重对学生思维逻辑严密性进行锻炼.教师首先应当对数学思想教学引起足够的重视，在引导学生解决各类数学问题时，教师应当有意识地渗透分类讨论思想在数学问题中的应用，结合学生对知识的掌握程度和认知水平，设计更多符合学生思维能力提升要求的开放题型，通过阶梯型难度的设置，引导学生循序渐进地提升分类讨论思想的运用能力，养成良好的发散思维习惯，有效提升学生的数学素养.