下载高一数学55线段的定比分点教案

第一篇：下载高一数学55线段的定比分点教案

5.4平面向量的坐标运算

【基础知识精讲】

1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得a=xi+yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标(简称坐标)，记作a=(x,y)，其中x和y分别称为向量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而a=(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.显然i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)

2.平面向量的坐标运算：

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2)(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

3.向量平行的坐标表示

已知向量a、b(b≠0)，则a∥b的充要条件为存在实数λ，使a=λb.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)(b≠0)则a∥b的充要条件为：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】

1.向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.2.向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐

标.3.实数λ与向量a的积的运算时，λ应与a的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设λ∈R，a=(x,y)λa=λ(x,y)=(λx,y)或λa=λ(x,y)=(x,λy)

例1 若向量a=(x+3,x-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=

2解：∵A(1,2),B(3,2)则有AB=(2,0).又∵a=AB，∴它们的坐标一定相同.∴应填：-1

例2 已知a=(3x+4y,-2x-y), b=(2x-3y+1,-3x+值.分析：这里可以根据条件2a=3b建立关于x,y的方程组，通过解方程组即可求得x与y的值.解：∵a=(3x+4y,-2x-y)，16y+3)，若2a=3b,试求x与y的9b=(2x-3y+1,-3x+16y+3)9∴由2a=3b可得：

(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+

16y+9)3

b同向，说明：这里的题设条件2a=3b，其实它反应了向量a，并且2｜a｜=3｜b｜，3｜b｜,所以a，b的坐标应成比例，即a的横、纵坐标分别与b的横纵坐标之23比相等且都等于.2即｜a｜=

例3 已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设OA=(3,-2), OB=(5,-2), OC=(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB=DC或AC=DB或AB=CD 由AB=DC，可得：OB-OA=OC-OD

即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)(2,4)=(-1-x,4-y)

∴D(-3，0)同理，若AC=DB可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若AB=CD可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8.∴D(1,8)∴点D的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)

例4 已知｜a｜=10, b=(3,-4),且a∥b,求a.解：设a=(x,y)，则有

或x6

y8

∴a=(6,-8)或(-6，8)

例5 已知a=(3,2), b=(-2,1), c=(7,-4),用a，b表示c.解：设c=ma+nb,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1)∴ m13m2m7 解得：

n22mn4∴c =a-2b

例6 如图，已知凸四边形ABCD中，E、F分别是AB与CD的中点，试证：2EF=AD+BC 分析：本例是实数与向量积，但用向量的坐标运算进行论证，其思路明确，过程简单.证明：设A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)于是AD=(x4，y4)-(x1，y1)=(x4-x1,y4-y1)BC=(x3,y3)-(x2,y2)=(x3-x2,y3-y2)又2²OE=OA+OB

∴2²OE=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)2²OF=(x3+x4,y3+y4)2EF=2(OF-OE)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)AD+BC=(x4-x1,y4-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)∴2EF=AD+BC

【难题巧解点拔】

例1 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若AP=AB+λ²AC(λ∈R),试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上?点P在第三象限内? 分析：由题设条件可用λ分别表示点P的横、纵坐标，再根据点P在一、三象限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等，点P在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负，就能求出相应的λ值.解：设点P的坐标为(x,y)则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)AB+λ²AC=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］

=(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)∵AP=AB+λAC ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)x235x55∴ ∴

y317y47∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ ∴λ=1 2550(2)若点P在第三象限内，则

4701∴4 ∴λ＜-1 7即只要λ＜-1时，点P就在第三象限内.例2 如图已知OA=a,OB=b, OC=c,求证A、B、C三点在一条直线上的充要条件是：有不全为0的实数m,n,l，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0

解：过A、B的直线方程是p =a+t(b-a)1°必要性：若A、B、C在同一直线上，则c=a+t(b-a)=(1-t)a+tb-c=0 令1-t=l,t=m,-1=n, 则有ta+mb+lc且m+n+l=0 2°充分性：由l+m+n=0 la+mb+mc=0

 m(c-b)=-l(c-a)即mBC=-lACBC∥AC且有公共点A、B、C三点共线.评析：证明充要条件一定要证两个方面，即充分性和必要性两个部分.例3 已知：a=(cosα,sinα), b=(cosβ,sinβ), a+b=(求(1)(cos(α-β),sin(α-β))(2)tan解：(1)依题意，可得：

43,)552

①+②得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-221，2从而sin(α-β)=±213,±)22∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-

(2)由①得：2cos由②得：2sin2²cos

22=

=③ 5 ④ 2 ²cos

35④3得：tan= ③24

【课本难题解答】

课本第112页习题5.4第8题：

设b=λa即：(x,-6)=λ(2,3)(x,-6)=(2λ,3λ)∴ x2 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4 63第9题：

AB=(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD=(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8)显然CD=-2AB ∴AB与CD共线.【命题趋势分析】

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，就可以使向量的运算完全代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密联系起来了.本节考查学生是否会求向量的坐标，能否正确利用向量的坐标表示进行向量的线性运算.利用向量共线的充要条件解证相关的问题，本节是高考的热点.【典型热点考题】

例1 若向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b,v=2a-b,且u∥v，则x=.解：u=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由u∥v,一定存在λ∈R，使u=λv 则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)

42x1(2x)3

解得：43x12∴应填

例2 若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD=2AB-3BC，则点D的坐标为.解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)∴AB=(3,1), BC=(1,-4)∴AD=2³(3,1)-3³（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14)设点D(x,y)则AD=(x+1,y-2)1.2x2x13故 ∴ 

y16y214∴D的坐标为(2，16)∴应填：(2，16)

例3 若A、B、C三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则AB+2BC，BC-的坐标分别为、.分析：本题主要考查向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：AB=(-2,10), BC=(-8,4), AC=(-10,14)∴AB+2BC=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18)

1AC2BC-11AC=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3)22∴应填：(-18，18)，(-3，3)

例4 已知a≠0，b≠0, a不平行于b,求证：a+b不平行于a-b.证明：令a=(x1,y1), b=(x2,y2),有a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)假设a+b∥a-a

则(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0 整理得x2y1-x1y2=0.因为a≠0, b≠0所以a∥b)这与已知矛盾，∴a+b不平行于a-b

本周强化练习：

【同步达纲练习】

一、选择题

1.若a，b是不共线的两个向量，且AB=λ1a+b, AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件是()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2+1=0

D.λ1λ2-1=0 2.已知a=(3,-1), b=(-1,2)，则-3a-2b的坐标是()A.(7，1)

3.已知a=(-1,3), b=(x,-1)，且a∥b，则x等于()A.3

4.已知平行四边形ABCD中，AD=(3,7), AB=(-2,3),对角线AC、BD交于O，则CO的坐标是()A.(-

5.若向量a=(x-2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则：()A.x=1,y=3

B.x=3,y=1 D.x=5,y=-1 C.x=1,y=-5 B.B.(-7，-1)

C.(-7，1)

D.(7，-1)C.-3

D.-31，5)2B.(-

1，-5)2C.（1)，-5)2 D.（1，5)26.三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)共线的充要条件是()A.x1y2-x2y1=0

C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)7.设a=（B.x1y3-x3y1=0

D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)31,sinα), b=(cosα,)且a∥b，则锐角α为()23 B.60°

C.45°

D.75° A.30°

8.已知向量AB=(6,1), BC=(x,y), CD=(-2,3),则DA=()A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)

C.(x-4,y-2)

D.(-4-x,-y+2)9.已知a=(1,2), b=(x,1)，当a+2b与2a-b共线时，x值为()A.1

10.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()A.若实数λ

1、λ2，使λ1e1+λ2e2)=0,λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ

1、λ2是实数 C.对实数λ

1、λ2，λ1e1+λ2e2)不一定在平面α内

D.对平面α内的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ

1、λ2有无数对.二、填空题：

1.已知e1、e2是一对不共线的非零向量，若a=e1+λe2, a=-2λe1-e2,且a、b共线，则λ=.2.已知a=(1,2), b=(2,1), c=(3,-2),且c=λa+μb，则实数λ= ,μ=.3.若向量a=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是.4.在△ABC中，已知AB=a,CA=c，O是△ABC的重心，则OB+OC=.5.已知a、b是两非零向量，且｜a｜=m,｜b｜=n，c=a+b，当m＜n时，｜c｜的最小值是.三、解答题：

1.已知a=AB,B(1,0), b=(-3,4), c=(-1,1)，且a=3b-2c，求点A的坐标.2.已知△ABC，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC中点，MN B.2

C.D.2

与AD交于F，求DF.3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB、AC为一组基底来表示AD+BD+CD.【素质优化训练】

一、判断题

1.已知：a=(1,3), b=(-3,-6),则｜a-b｜=｜a｜+｜b｜()

2.已知：i =(1,0), j=(0,1).a=(3,4)，则a=3i-4j()

3.已知：a=(5，-4),则2.5a=(12.5,-10)()

4.已知：a=(3.14,π), b=(314,100π),则a∥b()

5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，则｜AB｜+｜BC｜＞｜AC｜()

6.已知：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若x1y2+x2y1=0则a∥b()

7.若a与b不平行，m、n∈R*,c1=ma+nb,c2=ma-nb，则c1与c2不平行()

8.若a=(x,y)，则-a=(y,x)()

9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)则AB=CD()

二、1.已知点A(-1，2)，B(2，8)，及AC=

11AB,DA=-BA,求C、D的坐标.33

2.已知ABCD的正方形，BE∥AC，AC=CE,EC的延长线交BA的延长于F，求证：AF=AE.3.正方形ABCO，按顺时针方向依次为A→B→C→O，O为坐标原点OB=(1,3)，求向量OA，OC的坐标.【生活实际运用】

如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜V1｜=10km/h，水流速度｜V2｜=4km/h，那么V1与V2的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间(精确到0.1min)? 解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使V1与V2的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如图所示).根据向量的平行四边形法则和解直角三角形的知识，可以算出 ｜V｜=9.2km/h, θ=114°, t=3.3min.【知识探究学习】

在很大的一湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为v=2.5km/h，同时岸上有一人，从同一地点追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v1=4km/h，在水中游的速度为v2=2km/h，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少? 解析：用向量合成法来求解这个问题.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上.所以本题讨论的问题不是同一直线上 的追及问题，只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设人在岸上跑的时间t1内到达A点，然后人在水中沿AE方向游水追船，如图所示，以船在B点时为参照物，则人在水中船的速度v3应为v3=v2-v，要追上船，不管v2方向如何，相对速度v3方向不变，只要在α＞θ，人就能追上船，由v2，-v, v3组成的向量三角形，其中v3，v的方向不变(图中∠ADE恒定)，而v2大小是恒定的，要DE边最长(即v的大小最大)，AE必与AD相互垂直.AF∥DE∥OB，CE∥AB，∵△AFC∽△OAB ∴AFOBv==, ACOAv1又∵AF=v,∴AC=v1.在Rt△AEC中有sin∠ACE=sinβ=

v21=,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，v12即△AED为等腰直角三角形，因此有vmax=2v2=22km/h.∴当船速为2.5km/h时，人可以追上小船.参考答案

【同步达纲练习】

一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A

二、1.±

7812 2.λ=-,μ= 3.(-1，2)4.(a-c)5.n-m

333217 AD=(,2)3.32AB-22AC 2

4三、1.(8，-10)2.DF=-【素质优化训练】

一、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.³ 9.√

二、1.C(0，4)，D(-2，0)2.先求E的坐标(1313，)F的坐标(-2-3，1)再证：｜AF｜=｜AE｜ 22

3.OA=（26261313,), OC=2(,)

4422

第二篇：2012届高考数学一轮复习教案：5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

●知识梳理 1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2x1）（y2y1）.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1x2x，1的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）.yy2y113.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，xxh，yyk.特别提示

1.定比分点的定义：点P为P1P2所成的比为λ，用数学符号表达即为P1P=λPP2.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：

P点分P1P2成的比为λ，则OP=

11OP1+

1OP2（O为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.●点击双基

1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y=4x沿向量a平移得到抛物线y－4y=4x，则向量a为

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2xxhxxh，解析：设a=（h，k），由平移公式得 yykyyk，代入y2=4x得

（y－k）2=4（x－h），y2－2ky=4x－4h－k2，第1页（共10页）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）

3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分BC所得的比为 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

3510解析：设A点分BC所得的比为λ，则由2=答案：C，得λ=－.834.若点P分AB所成的比是λ（λ≠0），则点A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1AP.∴BA=－

1AP.答案：－1

5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），x1x22，2y1y21，2x1x33，xx2x32242则

∴1∴重心坐标为（－，）.33y1y2y34y1y34，2xx321，2yy321.2答案：（－23，43）

（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为____________.第2页（共10页）

63232解析：设M（x，y），则x=

1=

1552732=3，y=

132=

4215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，则AP=3113AB或AP=

13BA.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若AP=41x1，x，3解得3此时y62.y4.13AB，则由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P点坐标为（，4）.3131若AP=－13AB，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

477x1，x，3解得3∴P（－3y62.y8.，8）.综上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，则P为AB的定比分点，代入公式即可；若AP=－1413AB，则AP=－

14PB，则P为AB的定比分点，λ=－.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分点坐标公式，得

ADDCABBC22.第3页（共10页）

24（1）2xD952，21∴D212y2.D212点坐标为（9－52，2）.22（24）=104682.∴|BD|=（9523）评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展

本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BABD|BA||BD|BCBD|BC||BD|，即BABD|BA|=BCBD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x33y1210=4x122y820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三点共线，∴AD，AC共线.又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.x952，由①②可解得

y2.②

∴D点坐标为（9－52，2），|BD|=104682.思考讨论

若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将 □ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD可得AB=DC，设C（x3，y3），D（x4，y4），第4页（共10页）

则，x3x41y3y42.x42y4292①②

x3又CD的中点为E（4，1），则y397x4，x3，由①－④得22即y2，y0，434，1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闯关训练

夯实基础，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（－式为

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函数解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

πxxh，xx，π解析：由得4∴y－3=sin（x+）.4yyk，yy3.∴y=sin（x+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x++1的图象，则a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分PA所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P（x0，y0），M（x，y）.第5页（共10页）

x0xx03x，3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，y03y2，yy023x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦点坐标为（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函数y=2x－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得则b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.试求满足OD+OA=OC的OD的坐标.解：设OD=（x，y），则OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x3）（2y1）0，x3y0，x3，xy4，y1，则（（3y1）0.x4），x11y6，所以 OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且满足AC=D、E的坐标.AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培养能力

7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，第6页（共10页）

求实数m、n的值.解：（1）依题设f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有点难度哟！

（2004年广州综合测试）已知曲线x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设DM=λMN，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则

x2x，221x12y12，122由于点M、N在椭圆x+2y=2上，则 222y2yx22y22，.112y22x22（）（2）2，11即消去22x2y2.22234x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范围为［

1223412≤1..，+∞）.思考讨论

本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新

9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan

12）

第7页（共10页）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）

（1）求出发后3 h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），则12x1152tcos4515t，y1x115t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.22（45－20）=850=534，|PQ|=（4530）即两船出发后3 h时，两船相距534 n mile.2（y2y1）（2）由（1）的解法过程易知|PQ|=（x2x12）222210t15t）（20t4015t）=50t400t1600=50（t4）800≥202.=（∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h时，相距202 n mile为两船最近距离.●思悟小结

1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；

（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P1P=λPP2获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清

第8页（共10页）

新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.●教师下载中心

教学点睛

1.线段的定比分点公式P1P=λPP2，该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例

【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；（2）当A+B=π2且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，ππ3，A或A，sin2A2π632得由题意∴C=3cos2B1，Bπ.62或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+从而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.3【例2】 设曲线C的方程是y=x－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.（1）写出曲线C1的方程；（2）证明：曲线C与C1关于点A（t2s2，）对称.t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（s2

①，）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（t2s2，）的对称点为

P（t－x1，s－y1），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲线C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即点P（t－x1，s－y1）在曲线C上.同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.第9页（共10页）

从而证得曲线C与C1关于点A（t2，s2）对称.第10页（共10页）

第三篇：示范教案一4.1.1 线段的比

第四章 相似图形

●课时安排 14课时

第一课时

●课 题

§4.1.1 线段的比

（一）●教学目标

（一）教学知识点 1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比.（二）能力训练要求 会求两条线段的比.（三）情感与价值观要求

通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.●教学重点

会求两条线段的比.●教学难点

会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.●教学方法 自主探索法 ●教具准备

投影片一张：例题（记作§4.1.1 A）●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.［生］课本P38中两张图片；

同一底片洗印出来的大小不同的照片； 两个大小不同的正方形，等等.［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.Ⅱ.新课讲解

1.两条线段的比的概念

［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？

［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作

ab；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？

［生］对.［师］大家同意他的观点吗？

［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？

［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说

第四篇：初中数学《线段的比》课例分析

初中数学《线段的比》课例分析

一、课堂实录 S：解分式方程1＝21（学生爬黑板），相互校正。x1x1T：这节课我们学习第4章第一节《线段的比》，请同学们回忆一下学习几何的 思想方法，学过哪些几何定义、定理？首先看学习目标，一齐读一下。

[评析]一节课流程应该具有流畅性，知识点与知识点之间衔接自然、舒畅，老师的导至关重要，本节课老师在学生复习旧知识与讲新课之间的衔接显得不太流畅。或许有简单导语，效果会好些。

S：齐读学习目标1和目标2。

T：目标和重点都是：

1、理解两条线段的比的概念；

2、成比例线段的概念。阅 读教材101—105页，请一位同学回答学案上的问题。S：量得AB=4.8cm，CD=1cm，则AB＝4.8cm

CD1T：有没有问题？

S1：有！4.8不能带单位，因为书上说比值不带单位。S2：4.8是错的，应该是整数比24。

15T：好！再请一位同学回答第二个问题。

S：用同一个长度单位去量两条线段，AB、CD的长度分别是m、n，那么就说 这两条线段的比AB∶CD=m∶n或写成nABmCDn，其中AB、CD分别叫这两条

ABKCD线段比的前项和后项，如果把m表示成比值k，那么T：有没有问题？

或AB=k∶CD。

S：有问题，最后一空应为K·CD，而不是k∶CD。T：为什么？ S：因为ABKCD，去分母得AB=K·CD。

T：对！就是才学的去分母，非常好！下面齐读两条线段的比。S：齐读。

T：（板书）AB∶CD=m∶n，ABKCD

请思考AB、CD表示什么？m、n表示什么？ S：AB、CD表示线段，m、n表示长度。

T：AB比CD的结果是比值，说明线段的比是一个比值，是一个数，现在看学案上的挖掘教材：

1、求线段的比一定要统一单位，如学过的比例尺，要将图上距离和实际距离的单位统一；

2、两条线段的比是指长度比，是一个没有单位的正数。为什么？

S：因为线段的长是正数。T：看即时练习1~5，谁来讲？ S1~S4讲练习1~4，S5板书练习5。

T：（点评）练习1中，AB=5，BC=2，所以AC=3；练习2中，比值不是长度，只能说占的份数；练习3中，AB=5m化为AB=500cm，还有没有其它方法？ S：可以将CD=200cm化为CD=2m，更简单。

T和S：练习4中，两直角边为3和4，根据勾股定理算出斜边为5，设斜边上 的高为x，用等积法13415x，得x12，则斜边比斜边上的高为

2255∶12=25∶12。

5S：读题并板书练习5。同一时刻，小明的身高1.6m，影长2m，古塔的影长18m，求古塔的高为多少米？2∶1.6=10∶8 T：是不是最简单的？

S5：改2∶1.6=5∶4（而后出现思维障碍）

[评析]当教师发现学生有困难时，应给一定时间，引导学生思考，不要急于讲解。

T：古塔的高怎样算？小明影长＝5＝K，K又等于古塔影长。

小明身高x44古塔的高S5：设古塔的高为xm，18＝5，所以x＝14.4米

T：老师再简单叙述一下解题格式，根据Ｋ值相等列分式方程，再代值计算，分 式方程要检验，写答语。

[评析]老师从线段的比过渡到成比例线段显得较生硬。不妨打个小总结：刚才我们一起探究 2

了两条线段的比，那么四条线段的比又是怎么回事呢？让我们一起来分析这个问题。这样导入下个知识点可能会好一点。

Ｔ：看解读教材，请同学来回答。Ｓ：量得a、b、c、d的长为…… Ｓ：则a1，cb2d12，即ac，则a、b、c、d叫成比例线段。

bdＴ：有没有问题，有没有其他说法？

Ｓ：有，如果a∶b＝1∶2，即a∶ b等于c∶ d，则a、b、c、d叫成比例线段。Ｔ：分数就是比，1就是1比2，凡是满足关系ac，那么a、b、c、d就是成2bd比例线段，注意对这四条线段有一些规定，请同学们看一下。Ｔ和Ｓ：a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，d叫第四比例项。

Ｔ：先写a、d一前一后两项，再写中间两项，或先写分子再写分母，与分数写 法相反。如果两内项相同，即a∶b＝b∶d，则b叫a、d的比例中项，在后 面学黄金分割时要用到。提醒同学们比例的项的次序不能随意改变，请同学 们找关键词，并勾画出来。

[评析]老师对概念的阐述很到位，利于学生掌握。如果能在学完a、b、c、d成比例线段，写作ac后，马上提问一下学生：m、n、e、f成比例线段，该怎样写呢？这样对中差生有bd帮助。

Ｔ：下面即时练习谁来讲？

Ｓ：练习１，因为a、b、c、d成比例，所以ac，因为a＝5，b＝3，c＝2，所

bd以52，解出d6。

3d5Ｓ：练习２，用比例中项来算，4c，所以c2=36，c＝±6，因为线段不能为负，c9所以c=6。

T：（板书），还可用b2=ad来算。

S：第3题下列四条线段中，不能成比例的是c。T：这道题中a、b、c、d的顺序可不可以调换？ S：不可以！

T：可以调换，如果已知a、b、c、d成比例，顺序不能调，但判断四条能否成比

例顺序可以调换，可以用a比b，也可以用a比c。T：第4题，请同学上黑板来讲，谁来讲？ S：（板书）mpnp，mx=np，xnxm。

T：x为什么不放在上面！S：因为x为第四比例项。

T：谁来讲第5题。（有点儿生气）今天第3组的同学表现不太好，一会儿我要 给每组打分，可能得分也不会高！

[评析]在这种情境下，老师不应急于求成，而应想法激起学生的积极性。

S：（板书）口述，因为BD3，设BD=3x，DC=5x，3x+5x=5.6，x=0.7，BD=3x=2.1，DC5DC=5x=3.5 T：这样写不行，但思路清楚。请同学们将第6题写在作业本上，思考比例线段 与成比例线段有什么区别和联系，并作达标测试。下课！

[评析]课堂结束应该对整节课的知识内容有个精练总结。

二、课例分析

今天听了李富林老师的《线段的比》一课，深受启发，感悟颇多。在新课程改革的今天，要求教师的教要主动去适应学生的学，提高课堂教学中学生学习活动的有效性。在新的教育教学观念推行的今天，要求我们教师彻底转变观念，把课堂还给学生，在课堂上充分发挥学生的主动性，教师做好“主导”角色……李老师这节课充分体现了学生的自主学习，合作学习，探究学习，让听课者受益匪浅。

1、将数学与生活实际相联系，感到数学就在我们身边。在线段的比的应用中，已知小明的影长与身高，古塔的影长，求古塔的高这一题中，让学生从生活情境中发现数学问题，分析问题，并用同一时刻物高与影长的比值不变，解决了求古塔高的问题，让学生经历了数学知识形成的过程，使抽象的数学问题和具体的生活实际相联系，让学生切实感到数学就在我们身边。

2、采用小组合作学习，实现小组同学互助。每个学生都有自己的生活经验和知识基础，不同学生解决问题的策略有所不同。李老师采用6人小组合作学习，组内相互讨论交流，并请小组代表发言或板书，交流解题方法，板书解题过程，促进了学生间的相互学习和相互帮助，从而达到共同进步。

3、教学中注意细节，让学生对知识的理解到位。在教学两条线段的比时，强调比值K是一个没有单位的正数。在计算时，两条线段的长度单位要统一；在教学成比例线段时，特别注意与比例线段相区别。在即时练习中，强调比值是指份数，而不能当成具体长度。对这些细节的处理，充分说明老师对教学十分专注，十分投入，对学生特别是中差生的学习有较大帮助。

当然，这节课也还有一些值得思考的地方，比如如何更加有效地发挥教师的导向功能，让学生学得更轻松，让课堂效果更高呢？我认为可以从以下方面加以努力。

1、从知识基础和基本技能着手对学生加强指导。在教学时，注重比例线段与成比例线段的区别与联系，将这两个概念进行对比教学，选用一组恰当习题对比练习；在求古塔的高时，由生活经验得出物高与影长的关系，将两条线段的比和成比例线段的两种书写形式并用，既解决了学什么，又解决了怎样学的问题。

2、从过程与方法着手加强指导，新课程观下的教学注重过程与方法的学习与过手，以此增强学生的思维能力和探究能力，从而提高解决问题的能力，在教学中，可以提供一些开放题和变式题，让学生自主探究，体会一题多解，一题多变，从而培养良好的思维品质，实现能力的真正提高。

3、从兴趣、动机等非智力因素着手加强指导。爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”。兴趣是直接推动学生主动学习的心理动机，有了兴趣，学生就能较好地集中注意力。在本课教学中，教师可创设一些有关度量的问题情境，让学生从生活经验入手，从身边的数学入手，过度到抽象的数学知识的学习，实现从直观到抽象的自然过度。这种良好的情境创设，会激起学生的学习兴趣，激起探究的欲望，对学生的学习有着较好的促进作用。

4、老师应当引导学生进行适时归纳总结。总结反思可以使学生对所学知识有更深入的认识与理解，对知识过手更有效。例如：师生一起探讨完即时练习：如果a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm,b=3cm,c=2cm，则线段d=

cm后，可引导学生归纳总结，以后遇上这类题，我们应先把数学文字a、b、c、d成比例线段，翻译成数学等式ac，再代值计算，此类题就迎刃而解，有了归

bd纳总结，有了反思，定会促进学生数学成绩的提高。

第五篇：线段的比教学设计

4.1《线段的比》第二课时教学设计

教学目标：

知识与技能：1.知道比例线段的概念.2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.过程与方法：1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力.2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.情感与能力：认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.教学重点：成比例线段的定义，比例的基本性质及运用.教学难点：比例的基本性质及运用.教学过程

一、创设问题情境，引入新课

多媒体课件显示：

你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的。

（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？

（2）线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？

（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？

［学生解决］（1）CD=2，HL=4，OA=425241,OF=10282241 BE=12225,GM=224225（2）CD21OA411BE51,2,.HL42OF412GM252

所以，CDOABE1.HLOFGM2（3）其他比相等的线段还有

OEABBCBD1.OMFGGHGL

2二、概念讲解：

1．由上面的探究过程给出“比例线段”的定义：

四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

ac,那么这四bd条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）.2．比例的基本性质

回顾小学学的比例的基本性质：如果a,b,c,d四个数满足

ac吗？ bdac【学生自主探究】若,则有ad=bc.bdac,那么ad=bc吗？bd反过来，如果ad=bc,那么因为根据等式的基本性质，两边同时乘以bd,得ad=bc,同理可知 若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

ac.bd3．线段的比和比例线段的区别和联系

线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如比例，而不是线段a、c、b、d成比例.4．例题

ac是线段a、b、c、d成bd

图4－5

acabcd和;=3,求

bdbdacabcd（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？ bdbdac解：（1）由=3,得a=3b,c=3d.bdab3bbcd3dd∴=4

=4 bbddabcd（2）成立.bd（1）如图，已知

ac=k,得a=bk,c=dk.bdabbkbcddkd∴=k+1，=k+1.bbddabcd∴.（合比性质）bd∵有5.想一想

acabcd成立吗？为什么？ ,那么bdbdaceacea成立吗？为什么？（2）如果,那么bdfbdfb（1）如果acabcd成立吗？为什么.,那么bdbdacmacma（4）如果=„=（b+d+„+n≠0）,那么成立吗？为

bdnbbdn（3）如果什么.acabcd.,那么bdbdacac∵

∴1－1 bdbdabcd∴.bdaceacea（2）如果,那么bdfbdfbace设=k bdf解：（1）如果∴a=bk,c=dk,e=fk ∴acebkdkfkk(bdf)ak

bdfbdfbdfbacabcd ,那么bdbdacac∵

∴1+1 bdbdabcd∴ bdabcd由（1）得

bdabcd∴.bdacm（4）如果=„=（b+d+„+n≠0）

bdnacma那么

（等比性质）

bdnb（3）如果

设acm=„==k bdnacmbkdknkk(bdm)ak.bdnbdnbdnb∴a=bk,c=dk,„,m=nk ∴

三、课堂练习

acabcdabcd和, =成立吗？ =3,求bdbdbdaceace2.已知==2,求（b+d+f≠0）

bdffbd1.已知

四、课时小结

1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.五、活动与探究

ace==2（b+d+f≠0）bdfaceacea2c3ea5e求：（1）;（2）;（3）;（4）.bdfbdfb2d3fb5f1.已知：2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c

（2）求4a－3b+c的值.六、课后作业