12.3.3等边三角形(一) 性质和判定 教案

第一篇：12.3.3等边三角形(一) 性质和判定 教案

等边三角形性质和判定

【学习目标】

知识与技能：1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

过程与方法：通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力； 情感态度与价值观：极度热情，高度责任，享受学习的快乐 【学习重难点】教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明

教学难点：等边三角形性质和判定的应用

（一）检查预习

小组互助

1、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的 相等

（2）等腰三角形、、互相重合

2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。

3、思考：

（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？

（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

（二）小组学习

教师视导

（1）等边三角形的性质：等边三角形的（三）【范例剖析，合作探究】

如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数。

（2）等边三角形的判定：

ADBEC

（四）【双基自测】

课堂反馈

达标测评

1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证：△ADE是等边三角形。

2等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

3如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC

（五）【课堂小结】

本节课的学习内容有哪些？你有什么交流收获？你有什么困惑？ 等边三角形的性质：

1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 ° 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的ping 分线都三线合一.等边三角形的判定：

1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形

(六)【布置课后作业和预习案】

1.已知

△ABC是等边三角形，D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.试说明△ DEF是等边三角形.2.D,E是△ABC中BC上的两点, 且BD=DE=EC=AD=AE.求∠ B与∠ BAC的度数.（七）【课后反思】

第二篇：切线的判定和性质 教案

切线的判定和性质 教案

任课教师

何光银

一、教学目标：

1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；

2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．

二、教学重点： 切线判定的方法；

三、教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；

四、教学进程

（一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系

在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?

２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）

图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．

发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；

(2)直线l垂直于半径0C．

这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．

（二）切线的判定定理：

1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2、对定理的理解：

引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．

图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．

从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．

（三）切线的判定方法

教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：

①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．

（四）应用定理，强化训练' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线．

分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，”

∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC．

∴直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．

已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

证明：过O作OE⊥AC于E。

∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB

∴ OE＝OD

∵ OD是⊙O的半径

∴ AC是⊙O的切线 归纳总结

1、如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

2、如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径

五、课堂检测

1、判断下列命题是否正确．

(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(2)垂直于半径的直线是圆的切线．

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．

(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，2、已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米.ACBO求证：AB与⊙O相切

六、课堂小结

七、小结与反思

1、知识：切线的判定定理和性质定理．着重分析了判定定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．

2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：

(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)根据切线的判定定理来判定．

其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一． 3.常用辅助线

口诀： 连半径，得垂直；作垂直,证半径

第三篇：两个平面垂直的判定和性质(一)

两个平面垂直的判定和性质(一)

一、教学目标

1、理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．

二、教学重点、难点

1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．

2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．

三、课时安排

本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．

四、教与学的过程设计

(一)复习近平面角的有关知识

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、练习(幻灯显示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD与平面β所成的角．

证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

(二)两个平面垂直的定义、画法

1、两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2、知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

3、练习：(P.45中练习1)

画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129．

(三)两个平面垂直的判定

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．

求证：α⊥β．

证明：设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习． 练习：(P.45中练习2)

如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？

如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β．

(四)练习

例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点． 求证：平面PAC⊥平面PBC．图1-13

3证明：在θO内．

∵AB为θO的直径，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．

第四篇：圆的切线性质和判定教案

切线教案

【学习目标】：

使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

【学习过程】：

一、引入新课

同学产注意观察教师的表演，当老师高速转动这个圆盘时，圆盘边缘的线条的运动状态是怎样的？显然每根线都是成直线状态，这些直线就是⊙O的切线，线固定在圆盘边缘上的点就是直线与圆相切的切点，这些切线与经过切点的半径垂直，如右图所示。

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。

] GFEDOACBH

二、切线的判定和性质

A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？

从图23.2.8可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l是圆的切线．

切线的判定方法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。思考：

如图1，直线AB垂直于半径OC，直线AB是⊙O的切线吗？ 如图2，直线AB垂直于半径OC，直线AB是⊙O的切线吗？

如上图，如果直线CD是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与CD垂直吗？ 做一做：画一个圆O及半径OA，画一条CD经过⊙O的半径的外端点 图23.2.8 AO图1ACB由于CD是⊙O的切线，圆心O到直线CD的距离等于半径，所以OA是圆心O到AB的距离，因此CDAB。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

O图2C

三、例题与练习

如图23.2.9，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

分析：要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，其一是这条直 线是否经过半径外端，其二是这条直线是否与这条半径垂直，若满足这两个 条件，就能说明这条直线是圆的切线。

解

直线AB是⊙O的切线．

因为AB＝OA，且∠OBA＝45°，所以∠AOB＝45°，∠OAB＝90°

B图23.2.9

根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

所以直线AB是⊙O的切线

练习：

1、已知：PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B点，点C为圆周上的一 点，求ACB的度数。

2、如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？ 为什么？

例

2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD

交圆于点D.，BD是⊙O的切线吗？为什么？

解：切线OD BD是⊙O的切线

（第2题）DAB 因为

AC是⊙O的直径

所以

ADC90

又因为

BAD30，OAOD 所以

DOB60 因为

B30

OC

所以

ODB90，即BDOD

所以

BD是⊙O的切线

练习：已知，如图，AB是⊙O的直径，ADCD，BCCD，垂足分别为D、C点，且ABBCAD，A那么，CD与⊙O相切吗？为什么？ 由于上面的命题未涉及到这种类型的题目，在练习时，给学生提示此题辅

助线的添法以及解决问题的思路。

D

四、小结

本节课让学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题。

OBC断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能

五、作业

Ｐ54习题7、12

第五篇：三角形性质和判定定理

等腰三角形：

定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质：

1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。判定：

1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

等边三角形：

定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三 角形。性质：

1.的垂直平分线都是它的对称轴；

2.60°。判定：

1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。

直角三角形：

定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。性质：

1.直角三角形的两个余角互余；

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定：

1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形；

3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形；

4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个

端点的距离相等

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上定理三角形两边的和大于第三边2 推论三角形两边的差小于第三边

5外角2三角形的一个外角大于任何一个和它不相

邻的内角三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 4外角1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和

全等的判定：

6边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

7角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

8推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

9边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形

全等

10斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应

相等的两个直角三角形全等