两个平面平行的判定和性质(一)（五篇范文）

第一篇：两个平面平行的判定和性质(一)

两个平面平行的判定和性质

（一）一、教学目标

1．理解并掌握两个平面平行的定义．

2．掌握两个平面的位置关系应用了类比的方法。

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定．

2．教学难点：掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用．

三、课时安排

1．12两个平面的位置关系及1．13两个平面平行的判定和性质这两个课题调整安排为2课时．本节课为第一课时，主要讲解两个平面的位置关系及两个平面平行的判定．

四、教与学过程设计

（一）两个平面的位置关系

思考问题：

1、不重合的两个平面的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；

两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）．

4、如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢？

画两个平行平面的要点是：表示平面的平行四边形的对应边相互平行．如图1—102．

画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段．成图时注意不相交的直线相互平行且等长，不可见的部分画虚线或不画．如图1—103．

学生练习（P．35中练习2）：画两个平行平面和分别在这两个平面内的两条平行直线，再画一个经过这两条平行直线的平面．

如图1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．

（二）两个平面平行的判定

师：根据前一小节平面平行的定义，我们来判断两个互逆命题的正误，并说明理由（幻灯显示）． 命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行． 命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行． 通过上面的讨论我们知道：两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行． 求证：β∥α．

师分析：要证明这个定理，先思考几个问题（提出问题并启发学生得出结论）（幻灯显

示）．

问题1：如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？（相交）． 问题2：若平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b各有什么关系？（平行）．

问题3：相交直线a和b都与交线平行合理吗？（不合理，与平行公理矛盾）． 师：总结得出证明定理应该根据定义，利用反证法，让学生写出它的证明过程．

证明：假设α∩β＝c．a∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a∥b，这与题设a与b相交矛盾，α∥β．

（三）练习

例1垂直于同一直线的两个平面平行．

已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求证：α∥β．

提示：要证明两个平面平行，有两种方法：一是利用定义；二是利用判定定理，也是较常用的一种方法．因此利用判定定理证明例1的关键是：如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面？

证明：设经过直线AA＇的两个平面γ，δ分别与平面α、β交于直线a，a＇和b，b＇． ∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，则a＇∥α． 同理，b＇∥α．

又∵a＇∩b＇＝ A＇∴α∥β．

师：这个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆，也可作为判定两个平面平行的一种方法．

练习：判断下列命题的正误（幻灯显示）．

1．垂直于同一直线的两直线平行．

2．分别在两个平行平面内的两条直线都平行（P．37中练习1）．

3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（P．38中练习2<1>）．

4．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（P．38中练习2<2>）．

答：1．错，这两条直线还可能相交或异面．

2．错，这两条直线还可能异面，但不会相交．

3．错，反例如图1—107．

4．对．

（四）总结

本节课我们学习了两个平面平行的定义；两个平面的位置关系：平行或相交；两个平面平行的判定．掌握两个平面平行的判定的研究可以转化为线线平行、线面平行的研究．

五、作业

P．38中习题五1、2、3．

第二篇：两个平面平行的判定和性质(二)

Xupeisen110高中数学

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．两个平面平行的性质．

2．两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．

（二）能力训练点

1．利用转化的思维方法掌握和应用两个平面平行的性质． 2．应用类比的方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1概念，会求两个平行平面间的距离．

2．教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用．

3面平行、线面垂直的研究．

三、课时安排

1．12两个平面的位置关系及1．13安排为

2四、教与学过程设计

生：平行或相交．

b＝0，a∥αβ．

Xupeisen110高中数学

（二）两个平面平行的性质

师：今天我们研究两个平面平行的性质．根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．1：若α∥

1．两个平面平行的性质定理

已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．

求证：a∥b．

∵α∥β，∴α与β

∴a∥b．

（反证法．）

假设直线a不平行于直线b，因为直线a、b在同一个平面γ内，公共点P，即α，β相交，这与“α∥β”矛盾，所以假设不成立，即a∥b．

Xupeisen110高中数学

师：这个结论可作为性质2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．下面我们再看一个例题．

2．例题

例2一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．

求证：l⊥β．

师提问：证明直线与平面垂直的方法有几种？

证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ与直线b的平面，设γ∩α ＝a．

因为直线bl⊥β．

3：若α∥β，l⊥α，则l⊥β．

师：象性质3这样的，和两个平行平面α，β同时垂直的直线l，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．

如图1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它们的公垂线段，那么AA＇∥BB＇，根据两个平面平行的性质定理有A＇B＇∥AB，所以四边形ABB＇A＇是平行四边形，AA＇＝BB＇．

Xupeisen110高中数学

由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度具有唯一性．与两平行线间的距离定义相类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得

4．练习（幻灯显示）

（1）如图1—114，平面α∥β，△ABC在β内，P是

间的一点，线段PA、PB、PC分别交α于A＇、B＇、C，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，则△

师提示：△ABC∽△A＇3∶2．

BB＇⊥β于AC与β成60°角，AC＝8cm，B＇

师提示：可求A＇C＝4cm，又可证AB⊥平面AA＇C，且四边形 AA＇B＇B为矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，从而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，Xupeisen110高中数学

（3）（P．38中练习3）夹在两个平行平面间的平行线段相等．

已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．

求证：AB＝CD．

证明：∵AB∥CD，∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于ACBD∵α∥β，∴BD∥AC．

∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．

师：这个练习的结论可作为性质

4（三）总结

平行平面的四个性质．此外，经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．4）．这节课学习的关键是利用两个问题．

五、作业

P．38—3957、8．

第三篇：两个平面垂直的判定和性质(一)

两个平面垂直的判定和性质(一)

一、教学目标

1、理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．

二、教学重点、难点

1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．

2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．

三、课时安排

本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．

四、教与学的过程设计

(一)复习近平面角的有关知识

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、练习(幻灯显示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD与平面β所成的角．

证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

(二)两个平面垂直的定义、画法

1、两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2、知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

3、练习：(P.45中练习1)

画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129．

(三)两个平面垂直的判定

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．

求证：α⊥β．

证明：设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习． 练习：(P.45中练习2)

如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？

如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β．

(四)练习

例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点． 求证：平面PAC⊥平面PBC．图1-13

3证明：在θO内．

∵AB为θO的直径，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．

第四篇：两个平面平行的性质

两个平面平行的性质

一、教学目的：（1）掌握两个平面平行的性质；（2）能利用性质解决有关线线平行的问题；

（3）明确两平行平面间的距离并求两平行平面间的距离.二、教学重点、难点：两个平面平行的性质；利用性质解决有关线线平行的问题.三、教学过程：

1、复习：两个平面平行的判定方法：

2、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.3、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.4、练习：判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例.1、m,n,m//,n////;

2、//,m,nm//n；

3、//,ll//；

4、内的任一直线都平行于//.四、典型例子分析：

[例1]：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.l 已知：

求证：

[说明]：（1）//l，可以用来判断直线与平面垂直依据.l

（2）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线；

（3）夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段；

（4）两个平行平面的公垂线的长度叫做这两个平行平面的距离.[例2]：如图，a,b是异面直线，a,b//,b,a//,（1）求证：//；

（2）求证：a,b间的距离等于平行平面与平面平面的距离.[说明]：

练习：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.[思考题]：AB、CD为夹在两个平行平面,间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN//(MN//).作业：

1、一条直线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成的角相等.、两个平行平面之间的距离等于12cm，一条直线和它们相交成60角，求这条直线上夹在这两个平面间的线段的长.

第五篇：1.2.4两个平面垂直的判定和性质

江苏省海头高级中学高中数学必修2导学案立体几何

1.2.2 两个平面平面的位置关系第二课时（面面垂直）

编写人：英继祝审核人：王绪霞编号：1

2学习目标：

1．理解二面角的有关概念，能画出二面角；会求二面角的平面角．

2．理解两个平面垂直的定义；掌握面面垂直的判定定理与性质定理．

3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．

学习过程：

在日常生活中，公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．

掌握课本上是怎么定义两个平面所成的角？

1．二面角

（1）半平面：，其中的每一部分都叫做半平面．

（2）二面角：叫做二面角．叫做二面角的棱，叫做二面角的面．

（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角-AB-．

①直立式②平卧式

（4）二面角的表示方法：-l-

2．二面角的平面角

请阅读课本page40-41，思考：①平面几何中角理解为一条射线绕端点旋转所得，一个二面角也可以看作是一个半平面而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有．而且其大小是．

②二面角的大小应该怎么度量？

二面角的平面角的定义：以为端点，在两个面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

如图2，二面角-l-，Ol，AO，BO，AOl，图2

二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平

图BOl．AOB是二面角-l-的平面角．面合成一个平面时，平面角为180．

求解二面角大小的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

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例1 如图正方体ABCDA'B'C'D'中，求①二面角D'ABD的大小②二面角A'ABD的大小 思考：本题中构成二面角D'ABD的两个半平面分别是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

构成二面角A'ABD的两个半平面分别是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

通过本题你得到的收获是什么？ C’

A

图变式练习1.如图3，平面角为锐角的二面角-EF-，AEF，AG，若AGGAE45，与所成角为30，求二面角-EF-的平面角．

通过例题及变式练习注意，求二面角的步骤是“作—证—算——答”四环节 请阅读课本page42 思考：3.两平面互相垂直的概念：

4.

例2.正方体ABCDABCD中，求证：平面A'C'CABDDB。思考：本题中要证明面面垂直先证直线而这条直线垂直于平面又是如何证明的？

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变式练习2: ABC是等腰直角三角形，ACBCa，P是ABC所在平面外的一点，PA PBPC2a，求证平面PAB平面ABC。

巩固练习：

1．课本P44练习1，2，3，4． 2．二面角指的是（）

A．两个平面相交所成的角B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交平面所夹的不大于90的角 3．已知二面角-AB-的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan的值等于



4．已知二面角-l-的平面角为60，P，若P到平面的距离为，则P点在



上的射影P1到平面的距离为________________．

5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是

6．如图5，AOB90，过点O引AOB所在平面的斜线OC，OC与OA、OB分别成45、60角，求二面角A-OC-B的平面角的余弦值．







图

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7．如图6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的平面角的正切值．

图6

8．如图7，在60的二面角-l-内有一点P，它到、面的距离分别为3和5，求P点到棱l的距离．

图7

图

19.如图8，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．



图4

10.如图9，在空间边形ABCD中，DA平面ABC，ABC90，AECD，（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF．

AFDB．求证：

图5

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