生活中的趣味数学教案（定稿）

第一篇：生活中的趣味数学教案（定稿）

生活中的趣味数学

今天我主要来讲一讲生活中的有关数学的几个趣味问题：

缪勒--莱耶错觉

看看上面的带箭头的两条直线，猜猜看哪条更长? 是上面那条吗? 错了!其实它们一样长.这就是有名的缪勒--莱耶错觉,也叫箭形错觉。它是指两条长度相等的直线,如果一条直线的两端加上向外的两条斜线,另一条直线的两端加上向内的两条斜线,则前者会显得比后者长得多。现在明白了吗? 大金字塔之谜

墨西哥、希腊、苏丹等国都有金字塔，但名声最为显赫的是埃及的金字塔。埃及是世界上历史最悠久的文明古国之一。金字塔是古埃及文明的代表作，是埃及国家的象征，是埃及人民的骄傲。金字塔，阿拉伯文意为“方锥体”，它是一种方底，尖顶的石砌建筑物，是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓。它既不是金子做的，也不是我们通常所见的宝塔形。是由于它规模宏大，从四面看都呈等腰三角形，很像汉语中的“金”字，故中文形象地把它译为“金字塔”。埃及迄今发现的金字塔共约八十座，其中最大的是以高耸巍峨而被誉为古代世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔。在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物。据一位名叫彼得的英国考古学者估计，胡夫大金字塔大约由230万块石块砌成，外层石块约115000块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大，而大的甚至超过15吨。假如把这些石块凿成平均一立方英尺的小块，把它们沿赤道排成一行，其长度相当于赤道周长的三分之二。1789年拿破仑入侵埃及时，于当年7月21日在金字塔地区与土耳其和埃及军队发生了一次激战，战后他观察了胡夫金字塔。据说他对塔的规模之大佩服得五体投地。他估算，如果把胡夫金字塔和与它相距不远胡夫的儿子哈夫拉和孙子孟卡乌拉的金字塔的石块加在一起，可以砌一条三米高、一米厚的石墙沿着国界把整个法国围成一圈。在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，仍是十分难解的谜。

胡夫大金字塔底边原长230米，由于塔的外层石灰石脱落，现在底边减短为227米。塔原高146.5米，经风化腐蚀，现降至137米。塔的底角为51°51´。整个金字塔建筑在一块巨大的凸形岩石上，占地约52900平方米，体积约260万立方米。它的四边正对着东南西北四个方向。英国《伦敦观察家报》有一位编辑名叫约翰·泰勒，是天文学和数学的业余爱好者。他曾根据文献资料中提供的数据对大金字塔进行了研究。经过计算，他发现胡夫大金字塔令人难以置信地包含着许多数学上的原理。他首先注意到胡夫大金字塔底角不是60°而是51°51´，从而发现每壁三角形的面积等于其高度的平方。另外，塔高与塔基周长的比就是地球半径与周长之比，因而，用塔高来除底边的2倍，即可求得圆周率。泰勒认为这个比例绝不是偶然的，它证明了古埃及人已经知道地球是圆形的，还知道地球半径与周长之比。泰勒还借助文献资料中的数据研究古埃及人建金字塔时使用何种长度单位。当他把塔基的周长以英寸为单位时，由此他想到：英制长度单位与古埃及人使用的长度单位是否有一定关系？泰勒的观念受到了英国数学家查尔斯·皮奇·史密斯教授的支持。1864年史密斯实地考查胡夫大金字塔后声称他发现了大金字塔更多的数学上的奥秘。例如，塔高乘以109就等于地球与太阳之间的距离，大金字塔不仅包含着长度的单位，还包含着计算时间的单位：塔 1 基的周长按照某种单位计算的数据恰为一年的天数等等。史密斯的这次实地考察受到了英国皇家学会的赞扬，被授予了学会的金质奖章。

后来，另一位英国人费伦德齐·彼特里带着他父亲用20年心血精心改进的测量仪器又对着大金字塔进行了测绘。在测绘中，他惊奇地发现，大金字塔在线条、角度等方面的误差几乎等于零，在350英尺的长度中，偏差不到0.25英寸。但是彼特里在调查后写的书中否定了史密斯关于塔基周长等于一年的天数这种说法。彼特里的书在科学家中引起了一场轩然大波。有人支持他，有人反对他。大金字塔到底凝结着古埃及人多少知识和智慧，至今仍然是没有完全解开的谜。大金字塔之谜不断吸引着成千上万的热心人在探索。希望有兴趣的同学以后做一下这方面的研究！

数学不光在建筑上应用很多，在文学上也有很多表现：

回环诗图

图1是宋代诗人秦观写的一首回环诗。全诗共14个字，写在图中的外层圆圈上。读出来共有4句，每句7个字，写在图中内层的方块里。

这首回环诗，要把圆圈上的字按顺时针方向连读，每句由7个相邻的字组成。第一句从圆圈下部偏左的“赏”字开始读；然后沿着圆圈顺时针方向跳过两个字，从“去”开始读第二句；再往下跳过三个字，从“酒”开始读第三句；再往下跳过两个字，从“醒”开始读第四句。四句连读，就是一首好诗：

赏花归去马如飞，去马如飞酒力微。

酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归。

这四句读下来，头脑里就像放电视一样，闪现出姹紫嫣红的花，蹄声笃笃的马，颠颠巍巍的人，暮色苍茫的天。如果继续顺时针方向往下跳过三个字，就回到“赏”字，又可将诗重新欣赏一遍了。生活中的圆圈，在数学上叫做圆周。一个圆周的长度是有限的，但是沿着圆周却能一圈又一圈地继续走下去，周而复始，永无止境。回环诗把诗句排列在圆周上，前句的后半，兼作后句的前半，用数学的趣味增强文学的趣味，用数学美衬托文学美。

Fraser螺旋 请注意！

你在左图可以看到 Fraser 螺旋.黑色的一圈圈的弧看起来是一个螺旋,其实它们是由一组同心圆构成.看右图,这种幻觉逐渐不明显了..如果你用手遮住上图的上半部分,这种幻觉不复存在.这意味着知觉上的特性必然产生此种效应.这是怎么回事?！

这种Fraser螺旋错觉是最复杂的盘旋绳索错觉,许多因素导致了这种视觉上的错觉.因此,即使这些同心圆本身的轨迹暴露了,背景上每一个带有方向性的小单元格使之产生螺旋上升的知觉.这种错觉的形成是因为多变的背景.你会发现右图的错觉不是很明显了,只是因为背景改变了,但它确实还存在.这些带有方向性的小单元格分组聚合,使螺旋路径明显.这三幅图表明了发生在视网膜上和大脑皮层细胞在简单图形的加工过程中的影响.这种螺旋效应可能由这些区域的方位敏感性细胞造成.例如,连续的视觉效果是视皮层上“相似”细胞之间的水平连接.成对细胞间交叉相联的模式并非完全固定不变的,随着环境的变化而稍微改变.细胞间相互影响,使视网膜上形成的简单的连续的线由于方向性单元格而倾斜,造成错觉.填充错觉

看看这幅图，中间有一个黑点，周围是一团灰雾。盯着黑点目光不要移动，你觉得灰雾消失了！

同样的你试试下边的那幅，这次灰雾不会消失了。这是怎么回事？为什么灰雾有时消失有时又不消失？

这是怎么回事？！

我们的眼睛不习惯于固定的刺激，视觉中有一个系统调节眼球的运动使物体的视像保持在视网膜上的某个固定的区域，我们将这个系统称之为视觉稳定系统。

你可以通过后像来体验这种视觉稳定的效果。如果你盯着一个物体看上一分钟，移走目光后它的后像仍会在眼前停留几秒种，然后才会消失。你可以通过眨眼使其多停留一会儿。现在再来看看左边的那幅图，大多数人当他们凝视黑点的时候都感到灰雾消失了，而对右边的那幅灰点不会消失。在左边的图里，从中心的黑点向外灰雾逐渐由黑变浅，这种渐变与视觉的停留过程是一致的，当然如果你的目光随意移动的话，灰雾的视像一直保留在视网膜上。当你注目盯着黑点时，灰雾逐渐减弱直到消失，而背景的颜色取而代之。

前边的图与后边的几乎一模一样，除了有一个黑环以外。黑环的作用是无论你怎样努力的盯着灰雾都能使其不至于在视觉中消失。当你凝视黑点的时候，你的眼球仍然在不时的运动，当然这种眼球的颤动与扫视时的那种运动是不同的，这时的颤动是非常微弱的。但正是这种运动使视像停住。当一个物体象左边图中的灰雾一样，颜色逐渐由灰变白时，这种变化正好与视像逐渐消失的变化是一样的，这样你就会觉得物体消失了。当你移动目光后再来看灰雾时，它又会再出现，这是因为你的眼球做了一个足够大的运动。右边图中灰雾不消失的原因在于很小的眼动都能使视像停留。

大小恒常性错觉

在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个小个子，对不对？ 其实，这两个人完全是一模一样的！（不信？用尺子量量看！）你所看见的并不一定总是你所感知的。眼见为实在这里就不适用了！

这是怎么回事?!对于这种错觉，斯坦福大学的心理学家 Roger Shepard 认为它与三维图像的适当的深度知觉有关。与这有关的是，后面的那个人看起来比前面的那个人离你远些，但是，不管怎样，后面的那个人在实际尺寸上与前面那个人是一样大的。通常一个东西离你越远，它就显得越小，换句话说，它的视角变小了。在这幅图里，后面的图形与前面的图形有着相同的尺寸（和相同的视角〕。由于两个图形的视觉相同而距离不同，因此，你的视觉系统就会认为后面的那个人一定比前面的大。这个例子说明了你所看见的并不一定是你所感知的。你的视觉系统常常依据从视觉环境中得出规则来作出推论。你可以通过改变这个例子来发现一些通常隐藏着的视知觉规律，比方说，如果你把后面的图形移到与前面的图形相同的位置，这种视觉的大小错觉便会消失。这是因为，在水平面上，随着物体往后退，不仅视角变小了，而且它们在视野中相对于水平线的位置也升高了。

从这幅图画中可以看出，在同一平面的距离不同的两个人，后面的那人虽然实际尺寸的个头很小，在前面的人之后，却显得很正常。在稍右一点的地方，你可以看到后景中的那个人被放到与前面的人相同的位置。现在你就会出现另外一错觉，这种错觉正好与前面提到的Shepard错觉相反。在Shepard错觉中，前面的那个图形（通常有较大的视觉〕被放到后景中，这样就使得后面的图形比前面的图形显得大一些。而在这种错觉中，后面的较小视角的图形被移到前景中。另一个需要考虑的变量是，物体是被认为在地面上还是浮起来的。这个变量确实在大小错觉中起作用。把图形从地面上移去会彻底改变你对图景的感知。一个浮在地面上的物体与停在地面上的物体有很大的不同。图画的背景也是非常重要的，因为它提供了深度的尺度。如果你删除背景，图像就成了平的，没有了立体感，你就不会有错觉产生，或者，即使有也是非常微弱的。在非透视图中改变图形的深度是没有意义的，错觉也不会出现，但是，你的视觉系统，依据与水平线的对比，会得到另一个结果。这些错觉表明你的视觉系统从视觉环境中得出了很多规则，用以判断物体的大小和位置的关系。“一笔画”的规律

[题目]你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）要正确解答这道题，必须弄清一笔画图形有哪些特点。早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的三个图都是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。

数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢? 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如，图2都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①

2．凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点为终点.例如,图1的线路是：①→②→③→①→④ 3．其他情况的图都不能一笔画出。

不可能的楼梯

在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？ 当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？如果是逆时针，情况会怎么样呢？ 这是怎么回事？！

这是一个由遗传学家 Lionel Penrose设计的不可能的自然模型。同时它给 M.C.Escher 创作著名的画 上升还是下降? 以最初的灵感。这个模型在右边被分割，但是你感觉不到这种分裂，因为你的视觉系统 M.C.Escher 假定它是一个从整体上观察的模型，因此你假定楼梯是结合在一起的。虽然这个楼梯在概念上是不可能，但是这并干扰你对它的感知。实际上，这种情况对大多数人来说是不清楚的。虽然 M.C.Escher、Lionel 和 Roger Penrose使这个不可能楼梯图形很有名，但是它是多年前瑞典的艺术家 Oscar Reutersvard 独立发现的。不过 Penroses 和 Escher并不知道他的发现。自从那以来，出现了无数的 Roger Penrose和 Oscar Reutersvard发现的不可能楼梯模型的变式。在20世纪60年代，斯坦福大学心理系学家 Roger Shepard 制作了一个关于这个不可能楼梯的听觉版本。

“黑夜还是白天？”、“圆形的拱顶之四”都是 M.C.Escher 的名作，不一致的网格给人造成了一种图形－背景错觉，图形中的分界线是模糊的，你对图画可以有两种理解。在“黑夜还是白天”这幅图里，你可以认为是白天一群白天鹅在天上飞，也可以认为是一群黑天鹅在夜空中飞。在“第四个圆圈”也是如此，有时看到的是天使，有时看到的是恶魔。你很难同时对图画作出两种理解

这两幅画是 M.C.Escher 最有名的关于不可能图形的作品。如果你跟着瀑布水流的方向你会发现它是一个永无终止的循环，但这在物理上是不可能的。如果你顺着“上升还是下降”中的楼梯行走，你会发现这也是一个永无休止的循环，但你不知道是在上楼还是在下楼。这两幅画都是源于英国数学家 Roger Penrose和 他的父亲 Lionel Penrose 的思想基础上创作的。

不可能的三叉戟

“不可能的三叉戟”的历史 这幅图形还有其它一些名称：“魔鬼的餐叉”、“三个U形棍”、“Widgit”、“Blivit”、“不可能的圆柱”等等。没有人知道谁最先设计了这种图形，尽管它最开始是在1964年五月和七月同时出现在几个很流行的工程学，航空学和科幻小说类出版物上的。同年，D.H.Schuster在『美国心理杂志』发表了一篇文章，第一次提出了不可能图形在心理学界的重要性。早在五十年代中期，一位MIT工程师就率先提出了这一观点，只是当时没有能够得到证实。

多年以后，这一观点又被以无尽的形式和版本重新提出来。举例来说，斯坦福的心理学家Roger Shepard 聪明地运用了这个观点作为一种不可能像的基础。

瑞典艺术家 Oscar Reutersv?rd 掌握了这些图形后，创作出了上千幅不尽相同的这类作品。

这是怎么回事？！

在所有不可能图形中，最著名也是最有意思的当数“不可能的三叉戟”。中间尖头的轮廓最终融合进了其他两个尖头的外轮廓中。而且中间尖头的顶部低于其他两个外部的尖头。这种似是而非的观点却是颇为有力的，因为在这里面含有多种不可能事件的来源。

请用手盖住图形的某些部分。如果你盖上顶上那部分，你会发现剩下的部分是可能存在的。从这个例子来看，你会解释说是前景图形是建在一个平整的由两个矩形尖头组成的平面上的。

现在只看图形的下半部分。你解释说这个图形是建在由三个并排但分隔开的圆柱组成的曲面上的。

当你把图形的这两部分分开看时，对于它们的形状就出现了不同的解释。而且，当你把这两部分结合在一起时，你拥有一种解释（看前景部分〕，同时你又得到另一种解释（看背景部分〕。因而图形也就违反了物体成分与背景间关系的基本特性。

当你看这个图形时，你首先考虑的是它的轮廓或是等高线，由此你会试着去注意它的边界。你的视觉系统发生了混乱，因为图形的轮廓线间的关系是不明确的（被红线标出的）：虽然是同一条线，但看上去却是两种解释都符合。换句话说，这个图形利用了一个事实，那就是一个圆柱由两条线组成，而一个矩形框却需要三条。这种幻觉正是建立在每两条线在一端形成一个圆柱，而每三条却在另一端形成矩形框的基础上的。这种不明确还违背了另一种基本特性，即在平面与曲面之间平面被扭动成曲面。两个突出的边缘也可以解释成是三个直角面的边缘或者说是圆柱表面的无滑动边缘。这个图形，更深的来讲，是为更深入地评价中间一个尖头给出了两种截然相反的提示。

尽管这个图形揭示了一些不可能事件的来源,但你所注意的第一件事却是去计算自相矛盾论点的个数。这表明你的视觉系统通过数数来比较不同的区域。这个图形或许正是少数几个能揭示上面论点的图形之一。而其他不可能事件的来源也许并不这么简单。

与此相一致的，当“不可能的三叉戟”拥有7个，8个或以上的圆柱，那图形的不可能性就不再会这样明显了，尽管其他矛盾还依然存在。

当不可能图形的不可能地带变长或变短时,你会有什么样的感觉呢? 这些例子表明了你的大脑是如何建立具有象征意义的深度形象的。一些细节被用来建立一种对局部感觉的清楚的深度描绘。总的来讲，就是图形整体的一致性并不被看作是非常重要的。如果你不是一上来就注意整个图形，那你一定会去比较不同的部分，直到你意识到它是不可能的为止。

当图形很长时，你可能会在某个区域里感觉它是三维的，而且它的不可能性并不是能马上被感知出来的。这是因为矛盾的线索被分的太开了。

当图形为中等长度时，它很容易被看成是个三维的物体，而且会很快的感觉出它的不可能性。

如果尖头特别短，那么就得在一块相同的区域里同时满足两种不同的解释。但这两种解释间并没有一致性，幻觉也就没有了。

一些早期关于不可能图形的书籍和出版物把不可能图形错误地规定了成了两类：作为三维图形建立起来的是一类；其余的是另一类。不可能的三叉戟图形被归在了第二类，因为从表面上看，其不能解决的冲突是产生在前景与背景之间的。但实际上，所有不可能图形都可以看作是由某一优势地带的一些三维图形组成的。你现在看到的是由日本艺术家 Shigeo Fukuda 在1985年创作的“不可能的三叉戟”和“消失的柱子”。在“消失的柱子”中你可以看到：在它的顶部有三个圆形的柱子，而它的底部却是有两个方形的柱子组成的。这幅幻想作品的感觉仅仅是来自于对边界的刻划。

日本艺术家Shigeo Fukuda在幻想艺术方面杰出，他的作品大多是错觉图形，在全世界展出。他在日本非常出名，几乎所有的作品都被展出。他创造了一种平面和空间上的错觉艺术，包括了各种各样的类型：不可能图形，模糊雕塑，扭曲投影，变形艺术等等。他还写了三本有关错觉的著作。

上面的“二重奏”是一个三维雕塑，当你围着它走一圈，它从钢琴师变成了一个小提琴师，上面的三幅图画是从不同的视角观看这幅雕塑的。

烤面包的时间

史密斯家里有一个老式的烤面包器，一次只能放两片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它们翻个面，然后再放回到烤面包器中去。烤面包器对放在它上面的每片面包，正好要花1分钟的时间烤完一面。

一天早晨，史密斯夫人要烤3片面包，两面都烤。史密斯先生越过报纸的顶端注视着他夫人。当他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了4分钟时间。“亲爱的，你可以用少一点的时间烤完这3片面包，”他说，“这可以使我们电费账单上的金额减少一些。”史密斯先 生说得对不对？如果他说得对，那他的夫人该怎样才能在不到4分钟的时间内烤完那3片面包呢？ 答案

用3分钟的时间烤完3片面包而且是两面都烤，是一件简单的事。我们把3片面包叫做A、B、C。每片面包的两面分别用数字l、2代表。烤面包的程序是：

第一分钟：烤A1面和B1面。取出面包片，把B翻个面放回烤面包器。把A放在一旁而把C放入烤面包器。

第二分钟：烤B2面和C1面。取出面包片，把C翻个面放回烤面包器。把B放在一旁（现在它两面都烤好了）而把A放回烤面包器。

第三分钟：烤A2和C2面。至此，3片面包的每一面都烤好了。不可能的三角形

尽管这个不可能的三角形任何一个角看起来都是合情合理的，但是当你从整体来看，你就会发现一个自相矛盾的地方： 这个三角形的三条边看起来都向后退并同时朝着你偏靠。但是，不知何故，它们组成了一个不可能的结构！我们很难设想这些不同的部分是怎么构成一个看似非常真实的三维物体的！其实，造成“不可能图形”的并不是图形本身，而是你对图形的三维知觉系统，这一系统在你知觉图形的立体心理模型时起强制作用。在解释一幅三维图形的时候，你的视觉系统将会自动产生这一作用。在现实生活中，我们可以构造出这个不可能三角形的物理模型，但这个模型只能从某一个角度看才是不可能的。看一看下面的这个例子！其中，在镜子中显示的才是真实的结构！

在把二维平面图形知觉为三维立体心理图形时，执行这一过程的机制会极大地影响你的视觉系统。正是在这一强制执行的机制的影响下，你的视觉系统对图形中的每一个点都赋予了深度。此外，对你的视觉系统来说，当你感觉到一个荒谬的、不和常理的或者是矛盾的图形线索时，它将坚持这些强制约束机制，而不去否认这些线索。具体来说，一幅图像的某些结构元素和你三维知觉解释系统的某些结构元素相对应。例如，一个规则就是，二维直线应该被解释成三维直线。同样的，二维的平行线应该被解释为三维的平行线。连续的直线被解释为连续的直线。在透视图像中，锐角和钝角都被解释为90°角。外面的线段被看作是外形轮廓的分界线。这一外形分界线在你定义整个心理图像的外形轮廓时起着极其重要的作用。这些规则可以被总称为“一般视觉规则”，这一规则说明，在没有相反信息的影响下，你的视觉系统总是假定你在从一个主要视角观看事物。让我们看一看这一规则是如何造成这个不可能的三角形的。

上图显示的是不可能三角形的顶点。其实，这幅图像在视觉上是具有迷惑性的。例如，折线abb'b''a''构成的一翼的分界线，而这一轮廓线的延长线又被右翼折线a''b''b'bcc所封闭。此外，还有许多其它的可能性。另一个例子可以从以上的图像中看出来。在这个情景中，信息是由所谓的“T连接”提供的。T连接就是这些折线交汇的连接点。其中两条直线是同线的，组成了“T”的顶部。T连接是深度知觉的良好的线索（但并非完全可靠）。“T”的顶部通常是起封闭作用的轮廓线。“T”的茎干部续接在其后。但是，封闭是视觉系统的一种特殊的情形。局部地说，并不存在封闭的暗示线索。视觉系统直接将直线abc和a'b'c'知觉为连续的直线，而不是突然的中断。因此，折线abcc'b'a'定义出了一块连续表面的边界线。所有三个角的情况都可以这样来解释。

这些强制约束机制在不同的水平上进行着，首先在局部进行，然后转到整体。当你观看一幅不可能三角形的图像时，你会首先观看局部区域，以形成一幅完整的图像。

三角形的每一个顶角都产生透视，尽管三个顶角各自体现了不同角度的三角形。把三个顶角合成一个整体，就产生了一个空间不可能图形。

第二篇：生活中的趣味数学教案

生活中的趣味数学

今天我主要来讲一讲生活中的有关数学的几个趣味问题

填充错觉

看看这幅图，中间有一个黑点，周围是一团灰雾。盯着黑点目光不要移动，你觉得灰雾消失了！

同样的你试试下边的那幅，这次灰雾不会消失了。

这是怎么回事？为什么灰雾有时消失有时又不消失？

这是怎么回事？！

我们的眼睛不习惯于固定的刺激，视觉中有一个系统调节眼球的运动使物体的视像保持在视网膜上的某个固定的区域，我们将这个系统称之为视觉稳定系统。

你可以通过后像来体验这种视觉稳定的效果。如果你盯着一个物体看上一分钟，移走目光后它的后像仍会在眼前停留几秒种，然后才会消失。你可以通过眨眼使其多停留一会儿。

现在再来看看左边的那幅图，大多数人当他们凝视黑点的时候都感到灰雾消失了，而对右边的那幅灰点不会消失。在左边的图里，从中心的黑点向外灰雾逐渐由黑变浅，这种渐变与视觉的停留过程是一致的，当然如果你的目光随意移动的话，灰雾的视像一直保留在视网膜上。当你注目盯着黑点时，灰雾逐渐减弱直到消失，而背景的颜色取而代之。

前边的图与后边的几乎一模一样，除了有一个黑环以外。黑环的作用是无论你怎样努力的盯着灰雾都能使其不至于在视觉中消失。当你凝视黑点的时候，你的眼球仍然在不时的运动，当然这种眼球的颤动与扫视时的那种运动是不同的，这时的颤动是非常微弱的。但正是这种运动使视像停住。当一个物体象左边图中的灰雾一样，颜色逐渐由灰变白时，这种变化正好与视像逐渐消失的变化是一样的，这样你就会觉得物体消失了。当你移动目光后再来看灰雾时，它又会再出现，这是因为你的眼球做了一个足够大的运动。右边图中灰雾不消失的原因在于很小的眼动都能使视像停留。

大小恒常性错觉 在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个小个子，对不对？

其实，这两个人完全是一模一样的！（不信？用尺子量量看！）你所看见的并不一定总是你所感知的。眼见为实在这里就不适用了！

这是怎么回事?!对于这种错觉，斯坦福大学的心理学家 Roger Shepard 认为它与三维图像的适当的深度知觉有关。

与这有关的是，后面的那个人看起来比前面的那个人离你远些，但是，不管怎样，后面的那个人在实际尺寸上与前面那个人是一样大的。

通常一个东西离你越远，它就显得越小，换句话说，它的视角变小了。在这幅图里，后面的图形与前面的图形有着相同的尺寸（和相同的视角〕。由于两个图形的视觉相同而距离不同，因此，你的视觉系统就会认为后面的那个人一定比前面的大。这个例子说明了你所看见的并不一定是你所感知的。你的视觉系统常常依据从视觉环境中得出规则来作出推论。你可以通过改变这个例子来发现一些通常隐藏着的视知觉规律，比方说，如果你把后面的图形移到与前面的图形相同的位置，这种视觉的大小错觉便会消失。这是因为，在水平面上，随着物体往后退，不仅视角变小了，而且它们在视野中相对于水平线的位置也升高了。

从这幅图画中可以看出，在同一平面的距离不同的两个人，后面的那人虽然实际尺寸的个头很小，在前面的人之后，却显得很正常。在稍右一点的地方，你可以看到后景中的那个人被放到与前面的人相同的位置。现在你就会出现另外一错觉，这种错觉正好与前面提到的Shepard错觉相反。在Shepard错觉中，前面的那个图形（通常有较大的视觉〕被放到后景中，这样就使得后面的图形比前面的图形显得大一些。而在这种错觉中，后面的较小视角的图形被移到前景中。另一个需要考虑的变量是，物体是被认为在地面上还是浮起来的。这个变量确实在大小错觉中起作用。把图形从地面上移去会彻底改变你对图景的感知。一个浮在地面上的物体与停在地面上的物体有很大的不同。图画的背景也是非常重要的，因为它提供了深度的尺度。如果你删除背景，图像就成了平的，没有了立体感，你就不会有错觉产生，或者，即使有也是非常微弱的。在非透视图中改变图形的深度是没有意义的，错觉也不会出现，但是，你的视觉系统，依据与水平线的对比，会得到另一个结果。这些错觉表明你的视觉系统从视觉环境中得出了很多规则，用以判断物体的大小和位置的关系。

“一笔画”的规律 [题目]你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

要正确解答这道题，必须弄清一笔画图形有哪些特点。早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的三个图都是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如图1中的①、④为奇点，②、③为偶点。数学家欧拉找到一笔画的规律是什么呢? 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如，图2都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→① 2．凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点),一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点为终点.例如,图1的线路是：①→②→③→①→④

3．其他情况的图都不能一笔画出。

不可能的楼梯

在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？ 当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？如果是逆时针，情况会怎么样呢？

第三篇：趣味数学教案

趣味数学教案

（该课程为二、三年级同学所准备）

第一课时

一、课程主题快乐运算

二、教学目标

1、通过独立思考，初步培养学生的逻辑维能力。

2、通过有趣的数学题，引起学生对数学的兴趣开发学生智力、提高学生探究问题的积极性，从而提高学生的逻辑思考能力。

3、学生通过练习掌握一定的数学方法并体验到学习数学的乐趣。教学重点与难点：通过解答例题引导学生思维方向，让学生学会善于思考。

三、教学过程

（一）导入

师：今天，老师给同学们带来一个非常有趣的故事，大家想听吗？

生：想！

（二）出示数学故事

出示《小狐狸的故事》：从前，山上住着一只粗心的小狐狸。这一天，妈妈让它背着8块马铃薯到外婆家去。一接到这个任务，小狐狸高兴得一蹦三尺高，马上背起马铃薯出发了。一路上，它哼着歌往前走。可是，走着走着，小狐狸觉得有点不对劲，怎么越背越轻了。它赶紧停下脚步，打开袋子一看，怎么只剩下3块马铃薯了？原来，小狐狸背的袋子破了一个洞，马铃薯就从这个破洞掉下去的。后来，小狐狸到了外婆家。同学们，你能猜猜看，小狐狸可能背了几块马铃薯到外婆家呢？

生：0块，小狐狸很粗心继续往前走，马铃薯都丢光了。生：3块，小狐狸绑好破洞，带着剩下的马铃薯到了外婆家。生：8块，小狐狸绑好了破洞，又回去捡丢掉的5块马铃薯。生：6块，小狐狸捡回3块，还有2块被小兔捡走了。

生：5块，小狐狸在路上碰到一只饿了的小狗，就送给它3块。师：刚才几位同学说的都很有道理，其实如果从不同角度去想，用多种角度去思考问题，还可以说出更多、更精彩的原因。大家在学习中遇到困难的问题，不妨也换个角度去思考，也许问题就会轻而易举地解决了。

（三）出示趣味题：

1、灰太狼抓羊了：

灰太狼又来羊村抓羊了！灰太狼开始的时候抓了35只，被喜羊羊救回来 16只，然后灰太狼又抓了 24只羊，问灰太狼总共抓了几只羊？

2、数台阶：每层楼有6级台阶，我们走到第五层，总共要走几级台阶呢？

3、村长让懒羊羊去锯木头锻炼身体。懒羊羊在一根木头上锯下 1 段木料需要 3分钟，要把这根木头锯成6段，那懒羊羊需要几分钟才能完成任务呢？ 提示：首先要知道这根木头锯成6段需要锯几次？

（四）结束部分

老师给出以上问题的准确答案，并纠正同学们回答错误的地方，提醒和鼓励同学们注重细节问题，联系实际就可轻松解决问题。

四、课堂小结

数学在生活中无处不在，爬楼梯、玩游戏、看动画片，只要你有一双慧眼，做一个留心观察的人，那我们的生活将会更加绚丽多彩。

第二课时

一、课程主题趣味智力大闯关

二、教学目标：

1、检测学生乘法初步认识的掌握情况，并进行课外延伸。

2、通过独立思考，初步培养学生的逻辑思维能力，学会把文字信息转换成数学信息。

3、进一步培养学生的计算能力和口算能力。

4、在解决数学问题中体验数学的兴趣和快乐。教学重点：初步培养学生的逻辑思维能力。教学难点：进一步培养学生的计算能力。

三、教学过程：

（一）情景引入：

师：今天小兔子去摘果子，可是树太高了，它摘不到果子，小兔子必须经过几道关卡才能得到想吃的果子，它想请你们帮帮忙，你们愿意吗？ 生:愿意！

师：那么咱们一起帮小兔子闯关吧！

（二）小兔子摘果子大闯关 第一关：我是计算小能手

1、口算练习：

63÷7＝27÷9＝28÷4＝ 21÷3＝ 56÷7＝36÷4＝54÷6＝48÷8＝ 24÷4＝ 14÷2＝35÷5＝42÷6＝

2、想一想，（）里最大能填几：

（）× 7 ＜ 36 ×（）＜ 29

＞ 5 ×（）

（）× 9 ＜ 28 ×（）＜ 25 × 8 ＞（）

2、想一想：

王老师最近搬进了教师宿舍大楼。一天，王老师站在台上，往下看，下面有三个阳台，往上看，上面有五个阳台你说王老师住在几楼？教师宿舍大楼共有几层呢？ 第二关猜猜我是谁

下面这四道题每道题有一种规律，同学们可以帮帮小兔子猜猜括号里到底要填多少呢？

（1）、1、3、5、7、9、（）、13······（2）、1、3、6、10、15、（）、28······（3）、2、6、12、20、30、（）、56·····（4）、1、2、3、5、8、13、（）、34······ 第三关脑经动起来

到最后一关了，小兔子千万不能放弃，大家帮帮它，一定要得到果子。

1x1=1

11x11=121 111x111=12321 1111x1111=1234321

11111x11111=123454321 猜想：111111x111111=？

1111111x1111111=？

（三）小兔子闯关通过，成功得到果子。

师:今天同学学们表现好棒，小兔子得到了果子，谢谢大家!生:（鼓掌）

三、课堂总结

同学们在生活中养成积极动脑的好习惯，变换思维，仔细观察，也要养成与大家讨论的习惯，互利共赢，共同取得进步。

第三课时

一、课程主题头脑小风暴

二、教学目标

1、教孩子们一些简单有趣的数学算法，避免过于枯燥的上数学课。

2、培养孩子们得数学兴趣与观察计算能力，加强孩子的独立思考能力。

3、给孩子一个快乐的数学课堂。

三、教学的重难点：

1、孩子的观察能力要足够强。

2、孩子的理解能力要足够强。

3、孩子的思维反应要足够快。

六、教学的具体准备：

1、一些奖励措施的准备（例如：糖果、小红花）

2、记分册

七、课程导入：

1、首先通过高斯的求和定理，计算1+2+3+4+·····+99+100=5050，使大家提高对数学的兴趣。

2、讲一下数学家高斯的故事。

3、然后计算2+4+6+8+·····+98+100=2550。

4、让大家独立计算1+3+5+7+9+·····+97+99=？

5、找出一道找规律的数学题：

5x5=25

15x15=225 25x25=625 35x35=1225 45x45=2025

猜想：55x55=？

65x65=？ ······

讲解：

1、十几乘十几：

口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：12×14=？解: 1×1=1 ２＋４＝６２×４＝８

12×14=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。２.头相同，尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：23×27=？解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝21

23×27=621

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。3．第一个乘数互补，另一个乘数数字相同： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：37×44=？解： 3+1=4 4×4=16 7×4=28 37×44=1628

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。4．几十一乘几十一：

口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。

例：21×41=？解：2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861 5、11乘任意数： 口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：11×23125=？解：2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7

2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一

八、课堂总结

1、让同学们在平时的计算中积累一些小技巧，提高计算的效率和准确性。

2、给同学们普及更多的数学史故事，提高同学们的兴趣。

3、对表现突出的同学进行奖励。

第四课时

一、课程主题把比例解成倍数关系

二、教学目标

1、将常规的解题方法升华成新的解题思路，能正确的分析题目；

2、在学习的过程中培养学生认真、仔细的良好学习习惯； 教学重点：熟练掌握解题思路，准确理解题目用意；

三、教学过程

（一）出示题目：

第一题：配制一种农药，药液与水的重量比是1：500。现在用26克药液配制这种农药，需要加多少千克的水？

分析：让学生说出在题目中哪个量发生了变化，哪个量没有发生变化，题目知道的是什么，提出了怎样的问题；应用解比例的方法怎样去解答？ 解：设需加水X克。1：500=26：X X=500×26 X=13000

13000克=13千克答：需加水13千克。

问：药液与水的重量比是1：500，即在浓度不变的情况下水的重量是药液的多少倍？

师：所以，知道了药液与水的倍数关系，只要用药液的重量乘500就能求出水的重量了。算式是什么呢？

26×500=13000（克）=13（千克）。”

（二）强化练习

配制一种盐水，盐与水的重量比是1∶300。现在用25克盐配制这种盐水，需要加水多少千克？同桌互相讨论，和例题做出对比，找出解题的不同方法；

（三）提高练习

配制一种药水，药粉与药水的重量比是1∶100，现在药粉20克，需要加水多少克才能配制成这样的药水？

学生独立解答，教师巡视；学生汇报时让学生说清思路；注意题目中的量是否能理解？

（四）总结

解答时理清思路，问题和条件之间是否为直接关系呢？

四、作业布置

1、建筑工地要用水泥、黄沙、石子配制一种混凝土，三种材料的用量比是1∶2∶3，现在工地上已有2吨水泥，那么还需购买黄沙、石子各多少吨？

2、一杯糖水中糖与水的比是1∶10，那么有10克糖，可以调成多少克这样的糖水？

第五课时

一、课程主题 汽车在高速公路上行驶的时间

二、教学目标

引导学生通过常规分析，得出解题思路，经历提出问题，自探问题，应用知识的过程，自主总结出解题办法； 教学难点

找出题目中的可有可无的已知条件，说一说为什么可以这样认为。

三、教学过程

师：以前学过的有关路程，时间，和速度之间的关系是怎么样的？你能写出它们之间的关系吗？

出示例题：甲、乙两地公路全长352千米。汽车原来从甲地到乙地要11小时，建成高速公路后，汽车每小时速度是原来的2.5倍。现在汽车从甲地到乙地需要多少小时？

分析：要求现在汽车从甲地到乙地需要多少小时，那么先要求出汽车现在的速度，而汽车现在的速度是原来的2.5倍，那么还得先求出汽车原来的速度。根据甲乙两地公路全长352千米。汽车原来从甲地到乙要11小时，可以求出汽车原来的速度。

学生写出解答过程：汽车原来的速度：352÷1=32（千米）；汽车现在的速度：32×2.5=80(千米)现在的时间:352÷80=4.4(小时)问：用比例的思路该怎么样理解这道题目呢？ 分析：甲、乙两地的公路长度一定，汽车的速度和所需的时间成反比例。因为现在的速度是原来的2.5倍，所以原来的时间是现在的2.5倍。即：11÷2.5=4.4(小时)。这样解答使得甲乙两地公路全长352千米成了多余条件，但是又不影响解答问题。

【我们来探索】一批零件有240个，王师傅单独做需要6小时，李师傅的工作效率是王师傅的1.5倍，那么如果让李师傅单独做这批零件，需要几小时？

四、总结

在解答应用题时要善于应用不同的思路和技巧，巧解问题

五、作业

丁阿姨打一份稿件需4小时，王阿姨的速度是丁阿姨的5 4，那么如果由王阿姨打这份稿件，需要几小时？丁阿姨打一份稿件需要4小时，王阿姨的速度与丁阿姨的速度比是4：5，那么如果由王阿姨打这份稿件，需要几小时？

第四篇：趣味数学教案

班沙尔学校校本课程

趣味数学

第一次

教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：

1、培养学生学习数学的兴趣，开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础。

2、强调“动”，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主 教学过程：

一、数学故事

数学家的故事——苏步青

苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。

那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。„天下兴亡，匹夫有责‟，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。

杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时

省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。

17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！” 这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心

二、小试牛刀

1、两个男孩各骑一辆自行车，从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？

答案

每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。

许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰?冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道。

2.今有A、B、C、D四人在晚上都要从桥的左边到右边。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。四人过桥最快所需时间如下为：A 2 分；B 3 分；C 8 分；D10分。走的快的人要等走的慢的人，请问如何的走法才能在 21 分 让所有的人都过桥? 解：AB过，B回，CD过，A回，再AB过，3+3+10+2+3=21分钟

第二次

教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：

1、学生学习数学的兴趣，开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础。

2、强调“动，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主.教学过程：

一、数学故事

数学家的墓志铭

一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志。

古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在主：“不要弄坏我的圆”。）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二。德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算 而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献。甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑。

16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位，后人称之为鲁 道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语

二、小试牛刀 《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都

是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下： 令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问雄、兔各几何？

原书的解法是；设头数是a，足数是b。则b／2－a是兔数，a－（b／2－a）是雉数。这个解法确实是奇妙的。原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法。

设x为雉数，y为兔数，则有

x＋y＝b，2x＋4y＝a

解之得

y＝b／2－a，x＝a－（b／2－a）

根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只。

2、春夏 × 秋冬 =夏秋春冬，春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬，式中 春、夏、秋、冬 各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？ 解：春夏×秋冬=夏秋春冬,春冬×秋夏=春夏秋冬 ∵秋夏<100, 春冬×100=春冬00>春夏秋冬 ∴冬＞夏 且积千位≤春 ∴春＞夏

当 夏≠1时,根据九九表和 冬＞夏知:冬=5,夏=3 若 春≥6, 由春3×秋5＝3秋春5＜4000 可知 秋＜7.春5×秋3＜春000 无解

若 春＜6 春≠5 且春＞夏＝3 所以 春＝4 45×秋3＝43秋5 无解 所以 夏＝1 因为 春冬×秋1＝春1秋冬, 所以秋>5 春1 ×秋冬=1秋春冬, ∴春≤3 当春=3时,秋=6,3冬×61=316冬 无解.因为 春>夏,且<3 所以 春=2 2冬×秋1=21秋冬, 21×秋冬=1秋2冬;秋=9时无解, 秋=8时,冬=7

第三次

教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：

1、学习数学的兴趣，开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础。

2、强调“动，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主.教学过程：

一、数学故事

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以“径一周三”做为圆周率，这就是“古率”．后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做“祖率”．

祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．

祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异．”意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为“祖暅原理”．

二、小试牛刀 有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”

正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。

在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里。

如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？

答案

由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。

既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。

这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑．

第四次

教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：

1、学习数学的兴趣，开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础。

2、强调“动，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主.3、根据学生的心理特点和思维发展规律，培养学生的互帮互助的良好作风，行为得到锻炼，思维得到提高。教学过程：

一、小试牛刀

1、我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？

答案：日租金360元。

虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。

当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。

第五次

教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：

1、学习数学的兴趣，开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础。

2、强调“动，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主.3、根据学生的心理特点和思维发展规律，培养学生的互帮互助的良好作风，行为得到锻炼，思维得到提高。教学过程：

一、小试牛刀

1、两个男孩各骑一辆自行车，从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？ 答案

每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰?冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道

2、有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。

在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里。如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？

答案

由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。

既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。

这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑．

附加题：

1、乘车兜风

“你在忙乎什么吧，比尔，”教授留意地说。这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡，站起来要走。

“准备带三个女孩乘车游览！”比尔答道。

教授笑了：“原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？”

比尔思考片刻说：“把她们年龄乘在一起得到2450，可她们年龄和恰是您年龄的两倍”。

教授摇了摇头说：“非常灵巧，但对她们的年龄仍然有疑问。”

比尔还在那里，他补充道：“是的，我忘了提起，我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。”而这使得一切都变得清楚了！

当然，教授是知道他朋友的年龄的，请问，你能算出他们的年龄吗？

2、去别墅

“都已经把一家子都带到别墅去了，”鲍勃说道，“那儿多好，晚上非常安静，没有汽车喇叭声。”

“但你那儿警察照常上班，”雷恩评论说，“难道你那里没有警察？”

“我们不需要警察！”鲍勃笑道，“倒是有一个出现在我们驾车中的难题值得你想。情况是怎样的：头15英里我们平均时速40英里。接着大约在九分之几的路上，我们开得快一些。而在剩下的七分之一路程上，我们一直开得很快。全程的平均车速正好是每小时

56英里。”

“你说的„九分之几‟是什么意思？”雷恩问。

“这里的„几‟是精确有整数，”鲍勃回答道，“而后面两段路程上的车速，也都是每小时整数英里。”

鲍勃自然不会带着一家子人用疯狂的速度去驾驶，尽管也可能那段路上刚好没有警察！

试问，在最后七分之一的旅途中，鲍勃他们的平均车速是多少？

3、一位在需要时候的朋友

点燃雪茄后约翰靠回到自己的椅子上，他显得对自己的生活很满意。“是的，”他开怀地笑着说，“在三十年前，当我们在一起还是十几岁孩子的时候，我绝没有想过后来会过得这么好。”

他的来访者微微笑了笑。在过去那些日子，他们曾是好朋友，但那是很久以前的事了。今天当他急需一份工作的时候，一种古老的友谊又有什么价值呢？“你的两位兄弟怎么样？”他问道，“他们都比你年轻是吗？”

约翰点点头：“干得不错。本恩，就是最小的那个，已有近百万家产。而泰德，就是原先爱耍小聪明的那个男孩，现在家住华盛顿。比尔，你过去好像计算上挺在行的，看看这样一道问题怎么样？”

这位大亨潦草地写着他的问题，而比尔却在充满希望中等待了几分钟：“本恩的年龄乘以我和泰德年龄的差，与我的年龄乘以他们之间年龄的差恰好少1。这里年龄都是取整年算的。”

“太糟了，”比尔伤心地摇头道，“我本打算来你这儿求份工作，却没想到你倒向我经销起自己的计算能力！”

比尔自然得到了工作。然而，找出那三个人的年龄无疑会给你带来快乐。

4、一场温和的赌博

“我没有一美分的零币，”汉克说着，一边叮当地敲着他的钱币，“你有多少？”

本恩查看了一下回答道：“正好五枚。怎么啦？”

“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样？”汉克一边说一边开始分牌，“规定这样的：第一局输的人，输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的四分之一；而第三局输的人，则须支付他当时拥有的三分之一。”

于是他们玩了，并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了，付完钱后他站起来声明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。”

这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有75美分的赌本。

试问，在游戏开始的时候汉克有多少钱呢？

5、奖金

当秘书走进办公室时，杰克微笑着说：“贝蒂，现在我事情已经做完，请把其他人都叫进来。”

很快，包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前，不知出了什

么事。但老板很快使他们轻松起来。杰克告诉他们：“我想你们一定很高兴知道，我在克莱蒙的交易最后赢利了，这里有一笔260美元的奖金，在你们之间分配，作个意思。”

贝蒂想自己职位较低，“也许轮不上我”这令人沮丧的念头，刺伤了她的心。

但令人满意的是，杰克继续说道：“我已经算出了你们跟我工作的完整的年限，并按这个比例发放奖金，但允许男人比女孩每年多得一半。”他一边说，一边递给每人一个信封。突发的感激，使雇员们显得有些局促不安。

这对他们来说确是一种好运气！

已知他们工作的完整年限分别是2，3，5，6和7年。请你算出在杰克的职员中女性有几人？

6、狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场

我写这个寓言是在1997年10月股市大跌的一个星期之后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。在这个村子里，有50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫如何。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人们是赞同这一章程的、聪明的、能意识到别的妇女的聪明、并且很仁慈(即她们从不向那些丈夫不忠实的妇女通风报信)。假定在这个村子里发生了这样的事：所有这50个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心

翼翼地一如既往。有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知识，会发生什么？

答案是，在女族长的警告之后，将先有49个平静的日子，然后，到第50天，在一场大流血中，所有的女人都杀死了她们的丈夫。要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫A先生。

除了A太太外，所有人都知道A先生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有A太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出A先生就是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。

现在假定有两个不忠实的男人，A先生和B先生。除了A太太和B太太以外，所有人都知道这两起背叛，而A太太只知道B太太家的，B太太只知道A太太家的。A太太因而从女族长的声明中一无所获。但是第一天过后，B太太并没有杀死B先生，她推断出A先生一定也有罪。B太太也是这样，她从A太太第一天没有杀死A先生这一事实得知，B先生也有罪。于是在第二天，A太太和B太太都杀死了她们的丈夫。

如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫，A先生、B先生和C先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似于前面描述的推理过程，A太太、B太太和C太太会从头两天里未发生任何

事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论：如果所有50个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能在第50天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。

现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年(1997)夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替为抛股票；警告和杀戮之间的50天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。这样，马来西亚总理在1997年4月批评西方银行的讲话就起着女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。

幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买和卖。

第五篇：生活中的数学教案

生活中的数学

一．教学目标

（一）知识目标

了解数学跟生活密切相关，生活中处处有数学。

（二）能力目标

（1）培养学生善于发现生活中的数学的能力（2）培养学生将实际生活问题转化为数学问题的能力（3）培养学生应用数学知识解决生活问题的能力

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机（2）培养良好的学习数学的习惯 二．教学的重难点

（一）教学重点

如何从生活中发现数学，并且将生活实际问题转化为数学问题

（二）教学难点

生活是数学教育的中心，只有将所学的数学只是应用到生活中去，才能感受到知识的真正价值所在。三．教学过程（第一课时）

（一）情景引入（1）三角形的稳定性

a．问题情景：不知道同学们有没注意到这样一个现象，建筑工人叔叔在建瓦房的时候，会将屋顶弄成三角形；人们在制造自行车的时候，会把自行车的框架做成三角形，还有为了固定天线，大人们会给天线一条拉线，而拉线与天线、地面恰好也形成一个三角形。为什么呢？同学们有没想过这个问题呢？为什么是三角形，而不是四边形或其他的呢？

b学生合作讨论、交流并探究结果（提问个别学生）

c老师跟学生一起探究结果：拿出事先准备的三角形木框、四边形木框和五边形木框，分别请三名学生上来拉动三个不同的木框，感受三个不同木框的变形性。

d请同学说说生活中其他一些关于三角形稳定性的应用（2）身高问题

A情景引入：相信同学们看过不少关于侦探破案这类的电视，也相信不少同学会很佩服侦探们推断能力。有时候，电视上会有这样一幕：××侦探看着现场罪犯留下的脚印，估量了一下，然后自信的说出了罪犯的大概身高。。我想这个时候同学们肯定被侦探折服，其实道理很简单，它用到了我们数学中的比例知识。

b拿出准备好的米尺，分别请三名同学上来侧其脚底长和身高，并将数据记录在黑板上

c请同学们利用测得的数据计算三名同学的脚底长跟身高的比例 d老师分析结果:一般人的脚底长跟身高的比大约是1：7，所以一般情况下知道一个人的脚长可以大概知道一个人的身高，同样知道一个人的身高也可以推出一个人的脚底长。E还有在我们身体上除了脚长和身高有比例关系外，我们的拳头和脚长也类似的关系：将拳头翻滚一周，它的长度跟脚底的长度的比大于而是1：1.F总结：知道这些有趣的比有很多好处，到商店买袜子的时候，只要将袜子在你拳头上绕一圈，就知道这双袜子是否合适你穿。当然同学们不大相信的话，可以回家好好量一下，不过会存在误差的哦。（3）总结

其实生活中很多东西的会运用到数学知识，小到买菜做饭，大到各行各业的高科技研究，这些都离不开数学。在这里，老师在举一个例子：比如某个城市要绿化，假设这个城市就是我们雷州市吧。绿化是一件很重要的事情，可能同学们会这样想，绿化嘛，不就随随便便中几棵树就行啦。其实不然，绿化也是要用到数学的。首先我们要考虑绿化的面积，同时还要确定每棵树之间的间距，然后还要预计树木的数量等一系列数学问题。再如城市要新增汽车，但汽车都会造成不同程度的环境污染，因此，也要经过精确的数学计算之后才能确定应增加的汽车数目

数学就应该在生活中学习。有人说，现在书本上的知识都和实际联系不大。这说明他们的知识迁移能力还没有得到充分的锻炼。正因为学了不能够很好的理解、运用于日常生活中，才使得很多人对数学不重视。希望同学们到生活中学数学，在生活中用数学，数学与生活密不可分，学深了，学透了，自然会发现，其实数学很有用处。(二)探索新知(1)提出生活中的问题

问题：有一天，妈妈在厨房烙饼，小明注意到，妈妈每烙一张饼用两分钟，正反面各一分钟，而锅里一次能放两张饼，然后小明在想，妈妈要烙三张饼，那最快几分钟能烙好呢？怎么烙最快呢? 提问：请同学们帮小明想想解决方案

（2）先让学生思考，并提问两位同学，在黑板记录两位同学的答案及方案。

（3）师生一起探讨答案和方案

得出结论：要用3分钟：先把第一、第二张饼同时放进锅内，1分钟后，取出第二张饼，放入第三张饼，把第一张饼翻面；再烙1分钟，这样第一张饼就好了，取出来。然后放第二张饼的反面，同时把第三张饼翻过来，这样3分钟就全部搞定。

（第二课时）

（二）生活应用

上节课我们介绍了很多生活中隐藏的数学影子，这一节课让我们一起来发掘更多有趣的数学咯（1）打折问题

A新年快到了，很多商场为了吸引顾客，都会打着降价打折的旗号来吸引顾客的眼球。假设现在有四家商店都又优惠活动，具体如下：杭州百货大楼满300元送135元礼券；银泰百货满300元送150元礼券；解百满300减100；杭州大厦则实行七五折销售。这时候妈妈很想去“血拼”一场，但是看到这么多家商场又不知道该家哪家比较划算，这就为难妈妈了，那么现在是时候到你们来帮妈妈排忧解难了 B鼓励学生用 方法来思考（提示：用同样的钱，妈妈可以买到多少钱的东西呢？又或者算一下各商场的优惠幅度是多少）

C分别请三位同学写出自己的解决方法（如果方法一样，再请方法不一样的同学）

D师生共同讨论黑板上的方案，并且对比不一样的方法。

1、杭州百货大楼满300元送135元礼券，优惠幅度是31.03%，[135÷(135+300)×100%=31.03%]。

2、银泰百货满300元送145元礼券，优惠幅度是，[150÷(150+300)×100%=33.33%]。

3、解百：300元减100元，优惠幅度是33.33%，(100÷300×100%=33.33%)

4、杭州大厦的七五折销售就是优惠25%，(1-75%=25%)（2）糖果问题

想必你们都爱吃糖果，那老师想知道，你们平时买糖果的时候是怎么买的？一颗一颗买，或者几颗又或者称重的？还是你们批发一大包一大包的买呢？（提问学生）

假设现在市里新开了一家糖果店，这家糖果店的糖特别的好吃，（你们想不想吃）但是店老板有个怪习惯，他店里的糖果要么四颗一包，要么七颗一包，而且只论包卖，不肯拆包零售。如果你去这家糖果店买糖果的话，哪些颗数的糖果买不到？

A学生思考（提示：我们没买一包糖果，都是固定颗数的了，要么四颗，要么七颗，那就是说我们买的糖果都是四的倍数和七的倍数的和咯）

B学生分组合作交流，并请三个代表上来写出答案并做大概分析 C师生共同交流分析，得到结果

（四）请学生讲讲着两节课的收获和感想