LU分解MatLab算法分析

第一篇：LU分解MatLab算法分析

最近矩阵分析老师出了一道题目作为作业，是一道程序题，题目是对A矩阵做LU分解，要求能对A实现PA=LU的分解，并最终输出L，U，P矩阵。

先来解读下题目，寥寥几句话，里面囊括的信息量却不少，然后这些都得自己去琢磨。首先对A矩阵能做LU分解，即能把A分解成这种形式A=L*U（U是上三角矩阵，是由A矩阵经过高斯消元后得到的，L是下三角矩阵，其对角线全为1，其他非零元素为在消去（i,j）位置元素过程中主元所乘的系数），条件有3，一是矩阵A必须为方阵，A如果不是方阵，就不要想着对它做LU分解啦，这是基本条件，牢记啊！二是矩阵A必须可逆，换种说法就是A必须为非奇异矩阵，这两种说法是等价的，而这又等价于A是满秩的，A是满秩又等价于A的行列式值非0，好绕，矩阵就是这样，很多定理其实是等价的，但是你得记住，不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。三是矩阵A在高斯消元过程中必须没有出现0主元，也就是说只有在对A进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下，A才能分解成L*U这种形式，如果对A进行高斯消元，中间某一步出现0主元，需要进行行交换了，这种情况下就不要想对A进行LU分解啦，因为不满足条件3啊！那么问题来了，假如出现了有0主元这种情况，我又想对A进行LU分解，那应该怎么办？

这就引出了带行变换的LU分解，也就是本文的主题。根据书上的定理，对任意一个非奇异矩阵（等价于可逆矩阵）都存在一个置换矩阵P使得P*A可以分解成L*U这种形式，即PA=LU。想想其实这定理也是不言自明的，刚才A不是要进行行变换才能继续高斯消元吗？而LU分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换，那好，我事先对A矩阵在高斯消元过程中需要交换的行给交换掉，形成一个新的矩阵B，那我对B高斯消元那肯定就不会出现需要行交换的情况，这就满足了LU分解第三个条件了，这样B不就可以进行LU分解了吗？是的，PA=LU这种形式的LU分解采用的就是这种思想。那么现在的问题是，怎么在代码中实现对A矩阵的LU分解，并输出P，L，U矩阵呢？我在网上搜了一下，发现结果大都不尽如人意，大多数程序吧只能说做A=LU这种形式的分解，一旦说A不满足条件3，那就死翘翘了，这种程序先不论其能否运行成功，结果是否正确，其鲁棒性也太差了！用个时髦点的词来说就是太low了！通用性太差了！不光如此，代码也没什么注释，可读性很差，让人怀疑是不是写给别人看的，尤其像我这种编程渣渣，看个代码费老半天劲都看不懂说什么。于是，我决定按自己的想法来走。

首先从最简单的情况考虑，这也是我们做研究、做学术、做工程必须要时刻牢记心中的一点，很多人喜欢一上来就把所有问题、把最复杂的情况、把方方面面都给考虑到，然后再开始实现他的想法，我自己也有这个习惯，但是，这并不是一个好习惯，一上来就好高骛远、就想着高大上这本质上是一种急功近利的表现，那样的话你会陷入到各种各样的技术细节当中，你会想半天却仍然写不出半点实质性的东西出来，所以最好的办法是，先考虑最简单、最核心的情况，这样不仅大大降低问题的复杂度，同时也为将来进一步扩展程序、解决更复杂的情况打下了一个坚实的基础。

在这个例子中，最简单的情况就是矩阵A在高斯消元过程中不需要进行行交换，也就是说A可以分解成A=L*U这种形式。这种情况下，代码如下。

function LUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the order of A

L=eye(n);%Let the L matrix be an identity matrix at first for i=1:n-1

for j=i+1:n

L(j,i)=A(j,i)/A(i,i);

A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:);end end

U=A %A becomes U matrix after Gauss elimination L

可以试着令A=[2 2 2;4 7 7;6 18 22]，调用函数获得L矩阵为[1 0 0;2 1 0;3 4 1]，U矩阵为[2 2 2;0 3 3;0 4 4]，用笔验算下，这个结果是正确的。代码运行结果如图所示：

这部分代码的主要思想是这样的，矩阵A的阶次为n的话，A在高斯消元后有n个非零主元。在消元过程中，A共需要消掉n-1个主元下面所有的元素，注意，第n个主元已经是矩阵的最后一个元素了，它的下面和右边都没有其他元素了，所以不存在说对第n个主元下面所有元素消去的情况。这就获得了我们代码的第一个for循环，从第1行主元开始消元，一直到第n-1行主元。而在获得每一行主元过程中，需要对该行主元下面所有元素都消去，假如现在要获得第i行主元的话，就是说要对该主元所在列的第i+1行到第n行元素都消掉，那么这就获得了我们代码的第二个for循环，从消去第i+1个元素开始一直到第n个元素。前文说过，消掉第（j，i）个位置元素过程中，主元所乘系数就是L矩阵第（j，i）位置的元素，所以有L(j,i)=A(j,i)/A(i,i)。然后的话，就是把A矩阵第j行减去第j行乘以L（j，i），这样就可以消掉第（j，i）个元素了，就是这行代码A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:)。最后，执行完两层for循环后，A矩阵就成为了U矩阵，L矩阵也从最初的单位阵成了L矩阵。

好了，我们已经实现了最简单的情况了，下面考虑复杂点的情况，就是说对A进行PA=LU这种形式的分解。假如A在消元过程中出现0主元了，那么怎么办？很简单，只需要从该0主元下面所有元素中找到一个非0元素，然后将其所在的行与该0主元所在的行进行交换就行了，不要忘了，对A矩阵两行进行了交换，对应到P矩阵中的操作是相应的两行也要进行交换，因为我们是通过P矩阵两行交换后然后左乘A矩阵使得A矩阵两行进行交换的。A矩阵交换第i行和第k行元素对应到L矩阵中相应两行的消元系数也应该交换位置，就是说L矩阵的第i行和第k行元素也要交换位置，当然，主对角线上的1是不需要交换的，因为他们并不是消元系数。交换完成后，继续执行消元操作，其步骤和上面考虑的最简单的情况就是一样的了。就这样，我们就实现了PA=LU这种形式的分解。令A=[1 2-3 4;4 8 12-8;2 3 2 1;-3-1 1-4]，代入函数运算得L矩阵为[1 0 0 0;-3 1 0 0;2-0.2 1 0;2-0.2 1 0;4 0 3.75 1],U矩阵为[1 2-3 4;0 5-8 8;0 0 6.4-5.4;0 0 0-3.75]，P矩阵为[1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0;0 1 0 0]，用笔验算下，结果与函数运行结果是一致的，当然了，这个函数我只是代了3，4个不同的A矩阵进去而已，可能样本数量不够多，但目前来说我觉得应该没什么问题了，如果有问题欢迎反馈给我。这部分代码如下：

function AdvanceLUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the order of A,A must be invertible

D=A;%Store matrix A in D,for later use

L=zeros(n);%Let the L matrix be an zero matrix at first

P=eye(n);%Let the permutation matrix be a identity matrix at first for i=1:n-1 for j=i+1:n

if A(i,i)==0 %A zero pivot appears on(i,i)position,we need to find a nonzero entry below it to be the new pivot,with row exchange for k=n:-1:i+1 %find a nonzero entry below the(i,i)entry in the i column,start from the last row

if A(k,i)~=0 %We have found a nonzero entry,to choose it as the new pivot,we need row exchange k<-->i

L([i k],:)=L([k i],:);%Permute i and k row in L matrix A([i k],:)=A([k i],:);%Permute i and k row in A matrix P([i k],:)=P([k i],:);%Permute i and k row in P matrix break;end end end

L(j,i)=A(j,i)/A(i,i);

A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:);end end

U=A %A becomes U matrix after Gauss elimination

L=L+eye(n)%All entries on the diagonal of L matrix must be 1 P %output the permutation matrix

B=L*U %verify if the product of L and U equals to P*A

C=P*D %D is the original A matrix,check it out in row 2 %If B equals C,then it means the algorithm works correctly

%some key points and theroms about LU factorization

%Theorem 1 A nonsigular matrix Anxn possesses an LU factorization if and %only if a nonzero pivot does not emerge during row reduction to upper %triangular form with type III operations.%Theorem 2 For each nonsigular matrix A,there exist a permutation matrix P

%such that PA possesses an LU factorization PA=LU

%Remember,the concept of nonsingular matrix is for square matrix,it means %that the determinant is nonzero,and this is equivalent that the matrix has %full-rank

%Based on these conditions,the first thing about the matrix A on which we

%conduct LU factorization is that A must be a square matrix.The second %thing is A must be invertible,which is equal to the statement that A is %non-singular

代码运行结果如图所示：

最后补充一点，为什么要进行LU分解呢？这个问题很关键，很多人也许并不关注这个问题，我们学习很多时候都是只关注实现方法，却并不关心它存在的意义，这种学习是永远无法深入的，只能是停留在表面上，学习就应该多问为什么，多质疑这个东西存在的价值，存在的意义有多大，这样才能促使你去深入了解这个方法的优点和缺点，从而改进、完善它。简单点来说就是LU分解大大降低了算法复杂度，我们求解一个方程组Ax=b的时候，一般来说无非就两种方法，要么是高斯消元法，要么是先求A的逆矩阵，然后再乘以b获得x，而第二种方法比第一种方法要复杂并且限制更多，所以一般是用高斯消元法。高斯消元法解一个方程组算法复杂度是(n^3)/3，并且每获得一个新的b，要接x，都得执行复杂度为(n^3)/3的操作。而LU分解有什么好处呢？在第一次LU分解的时候，也就是说获得L和U的时候，其算法复杂度其实也是n^3,但是，一旦我们获得了L和U矩阵后，每次我们获得一个新的b要求对应的解x，算法复杂度就会大大降低，粗略来说就是n^2，把复杂度降低了一个级别，对于大型系统来说，这是非常了不起的一个改进，运算性能会大大提升。而实际应用中，这样的方法也是非常有意义的，实际系统中，A矩阵相当于系统里的各种滤波和变换操作，x相当于系统的输入，b相当与系统的输出，我们一般是获得了输出b，然后想求得输入x，只要系统不变，那么知道b，又知道了L和U矩阵，我们只需要对每一个新的b执行n^2次乘法/除法和n^2-n次加法/减法就可以获得b对应的输入x了，这是多么了不起的一个性能改进！正因为这样，LU分解在实际应用中用的也是非常广泛。

写完这篇文章，不知道矩阵分析老师会不会看到呢？不知道他以后还会不会出这道题呢？假如还出这道题的话，希望我这篇文章能对还在苦苦寻找源代码的各位师弟师妹们能起到一点小小帮助，当然了，这也只是一个抛砖引玉的方法，希望各位看官能有更好的答案，请不吝赐教！

第二篇：数学20以内加减法分解算法习题

9加几

例：9

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=1108、7、6加几

例：8

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十几减9

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十几减8、7、6

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第三篇：图像放大算法总结及MATLAB源程序

1，插值算法（3种）：

（1）最邻近插值（近邻取样法）：

最邻近插值的的思想很简单，就是把这个非整数坐标作一个四舍五入，取最近的整数点坐标处的点的颜色。可见，最邻近插值简单且直观，速度也最快，但得到的图像质量不高。

最邻近插值法的MATLAB源代码为：

A = imread('F:lena.jpg');%读取图像信息 imshow(A);%显示原图 title('原图128*128');

Row = size(A,1);Col = size(A,2);%图像行数和列数 nn=8;%放大倍数

m = round(nn*Row);%求出变换后的坐标的最大值 n = round(nn*Col);

B = zeros(m,n,3);%定义变换后的图像

for i = 1 : m

for j = 1 : n

x = round(i/nn);y = round(j/nn);%最小临近法对图像进行插值

if x==0 x = 1;end

if y==0 y = 1;end

if x>Row x = Row;end

if y>Col y = Col;end B(i,j,:)= A(x,y,:);

end end

B = uint8(B);%将矩阵转换成8位无符号整数 figure;imshow(B);

title('最邻近插值法放大8倍1024*1024');

运行程序后，原图如图1所示：

图1

用最邻近插值法放大4倍后的图如图2所示：

图2

（2）双线性内插值法：

在双线性内插值法中，对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1)区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v)可由原图像中坐标为(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：

f(i+u,j+v)=(1-u)(1-v)f(i,j)+(1-u)vf(i,j+1)+ u(1-v)f(i+1,j)+ uvf(i+1,j+1)其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。

这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。

在MATLAB中，可用其自带的函数imresize()来实现双线性内插值算法。

双线性内插值算法的MATLAB源代码为：

A=imread('F:lena.jpg');imshow(A);

title('原图128*128');

C=imresize(A,8,'bilinear');%双线性插值 figure;imshow(C);

title('双线性内插值法放大8倍1024*1024');

程序运行后，原图如图3所示：

图3

双线性内插值法放大8倍后的图如图4所示：

图4

（3）双三次插值法：

双三次插值法能够在很大程度上克服以上两种算法的不足，该算法计算精度高，但计算量大，它考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点。

目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到：f(i+u,j+v)= [A] * [B] * [C] 其中[A]=[ S(u + 1)S(u + 0)S(u2)];[C]=[ S(v + 1)S(v + 0)S(v2)];而[B]是周围16个邻点组成的4*4的矩阵；S(x)是对 Sin(x*π)/x 的逼近。

在MATLAB中，可用其自带的函数imresize()来实现双三次插值算法。MATLAB源代码为：

A=imread('F:lena.jpg');%读取原图像

D=imresize(A,8,'bicubic');%双三次插值放大8倍 figure;

T

imshow(D);title('三次卷积法放大8倍1024*1024');

MATLAB自带双三次插值法运行结果如图5所示：

图5

也可以自己编写双三次插值算法MATLAB代码如下：

clc,clear;

ff=imread('F:lena.jpg');%读取图像到ff

k=8;%设置放大倍数 [m,n,color]=size(ff);

f=zeros(m,n);%将彩色图像ff转换为黑白图像f for i=1:m

for j=1:n

f(i,j)=ff(i,j);

end end

a=f(1,:);c=f(m,:);%将待插值图像矩阵前后各扩展两行两列,共扩展四行四列 b=[f(1,1),f(1,1),f(:,1)',f(m,1),f(m,1)];d=[f(1,n),f(1,n),f(:,n)',f(m,n),f(m,n)];a1=[a;a;f;c;c];a1';

b1=[b;b;a1';d;d];f=b1';f1=double(f);

for i=1:k*m %利用双三次插值公式对新图象所有像素赋值 u=rem(i,k)/k;i1=floor(i/k)+2;A=[sw(1+u)sw(u)sw(1-u)sw(2-u)];

for j=1:k*n

v=rem(j,k)/k;j1=floor(j/k)+2;C=[sw(1+v);sw(v);sw(1-v);sw(2-v)];

B=[f1(i1-1,j1-1)f1(i1-1,j1)f1(i1-1,j1+1)f1(i1-1,j1+2)f1(i1,j1-1)f1(i1,j1)f1(i1,j1+1)f1(i1,j1+2)f1(i1,j1-1)f1(i1+1,j1)f1(i1+1,j1+1)f1(i1+1,j1+2)f1(i1+2,j1-1)f1(i1+2,j1)f1(i1+2,j1+1)f1(i1+2,j1+2)];g1(i,j)=(A*B*C);

end end

g=uint8(g1);%将矩阵转换成8位无符号整数 imshow(g);

title('自编双三次插值法放大8倍图像');

其中子函数sw代码如下： function A=sw(w1)w=abs(w1);if w<1&&w>=0 A=1-2*w^2+w^3;elseif w>=1&&w<2 A=4-8*w+5*w^2-w^3;else

A=0;end

与MATLAB自带函数相比，以上手工编写的MATLAB代码只能完成黑白图像输出，且运行时间远比MATLAB自带函数的运行时间长。手工编写双三次插值算法MATLAB代码的运行结果如图6所示：

图6

2，其他算法简介：

传统的图像放大方法有重复放大线性放大和高次多项式插值放大。重复放大最简单,但会产生明显的方块效应线性放大消除了方块效应,但会造成图像的模糊 高次多项式插值放大效果较好,但运算复杂。由于传统方法的固有缺陷,诞生了新一代图像放大方法,主要有小波放大、邻域交换内插和分形放大等。

下面简单介绍一下增强系数小波放大算法： 算法示意图如图7所示：

图7 通过二维离散小波变换,经分析高通滤波器和分析低通滤波器,可将一幅分辨率为p的二维图像分解为分辨率为p/2的离散逼近信号A1和水平、垂直、对角三个细节信号H1、V1、D1。这四个分量都只有原图像大小的1/4。之后又可以对A1进行同样的分解如图7所示。这个过程可以一直重复下去。通过二维离散小波反变换,用相应的综合高通滤波器和综合低通滤波器可将各分量重构为原图像。

对于一个图像，低频成分包含了基本特征，即原图像的近似，高频成分反应其细节。基于此，我们将原图像作为低频成分A1，其他3个细节部分置0，进行小波重构，便可得到放大4倍的图像。但是由于能量守恒,放大后的图像能量分散会显得较暗。可以将原图像灰度值矩阵乘2，再进行上述变换，便可解决这一问题。小波分解重构是一种全局运算，不会造成重复放大中的方块效应，同时较好地保持图像边缘的清晰。

第四篇：算法设计与分析学习心得

算法设计与分析学习心得

班级：物联网1201 姓名：刘潇 学号：1030612129

一、实验内容：

这学期的算法与设计课，老师布置了这四个问题，分别是货郎担问题，动态生成二维数组，对话框下拉列表，排序问题。

二、学习掌握：

基本程序描述：

（1）货郎担问题：货郎担问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今世界上还有不少人在研究它。货郎担问题要从图g的所有周游路线中求取具有最小成本的周游路线，而由始点出发的周游路线一共有（n一1）！条，即等于除始结点外的n一1个结点的排列数，因此货郎担问题是一个排列问题。货郎担的程序实现了利用穷举法解决货郎担问题，可以在城市个数和各地费用给定的情况下利用穷举法逐一计算出每一条路线的费用，并从中选出费用最小的路线。从而求出问题的解

（2）费用矩阵：费用矩阵的主要内容是动态生成二维数组。首先由键盘输入自然数，费用矩阵的元素由随机数产生，并取整，把生成的矩阵存放在二维数组中，最后把矩阵内容输出到文件和屏幕上。它采用分支界限法，分支限界法的基本思想是对包含具有约束条件的最优化问题的所有可行解的解（数目有限）空间进行搜索。该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集，并为每个子集内的解计算一个下界或上界。动态生成二维n*n的数组程序利用指针表示数组的行和列，并逐一分配空间，在输入n的数值后，系统自动分配空间，生成n*n的数组，并产生随机数填充数组，最后将结果输入到指定文件中。

（3）Mfc：在下拉列表框中添加内容程序，在下拉列表对应的函数中利用addstring添加需要的内容。首先定义下拉列表框为ccombox型，并定义其属性名，利用addstring函数可以任意添加需要的内容。a排序问题:快速排序的运行时间与划分是否对称有关，其最坏情况发生在划分过程中产生的两个区域分别包含n-1个元素和1个元素的时候。其算法的时间复杂度为O(n 2),在最好的情况下每次划分的基准恰好为中值，可得其算法时间复杂度为O(n㏒n)。算法的实现和理解和代码实现完全是两回事，想要完全掌握一种算法，需要动手实践，用代码实现，才能理解透彻，真正掌握。b对话框下拉列表：这个项目简单易懂，轻松实现。三.疑问与总结：

货郎担的问题，我认为穷举法相对比而言是比较初级的方法，费时耗力，适合在练习时选用，但是在实际问题中不建议采用。克鲁斯卡尔或者普里姆算法求取最小生成树的方法来解决货郎担的问题是更适合现实解决问题的。我认为程序可以用switch函数来将函数分成几个部分更人性化，比如分为解决问题的的选项，输出结果选项，退出程序选项等。再有就是费用矩阵的值可以从文件中读取，而结果也可以直接放在指定文件中，这样在实际应用中比较广泛。

动态生成二维数组的程序我认为如果按照规范性，我的方法是中规中矩的，毕竟再向下延伸，生成三维的数组，需要三层的指针来实现。但是就程序的简化程度和计算机处理时间来说，我认为这样双层指针的算法有些太占用内存，毕竟要给行和列各分配n个空间。我通过与同学的交流，我发现可以用1位数组来实现二维的n*n的数组。首先分配n*n的空间，然后通过循环在一行的数据达到n时自动换行。这样程序得到了一定的简化，并且减少了一定的内存使用。我认为这种方法是比较贴合实际的。

四.心得体会

在计算机软件专业中，算法分析与设计是一门非常重要的课程，很多人为它如痴如醉。很多问题的解决，程序的编写都要依赖它，在软件还是面向过程的阶段，就有程序=算法+数据结构这个公式。算法的学习对于培养一个人的逻辑思维能力是有极大帮助的，它可以培养我们养成思考分析问题，解决问题的能力。

如果一个算法有缺陷，或不适合某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂性和时间复杂度来衡量。算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。计算机系统中的操作系统、语言编译系统、数据库管理系统以及各种各样的计算机应用系统中的软件，都必须使用具体的算法来实现。算法设计与分析是计算机科学与技术的一个核心问题。因此，学习算法无疑会增强自己的竞争力，提高自己的修为，为自己增彩。

第五篇：数据结构算法设计与分析

数据结构算法设计与分析、计算机网络、计算机组成原理、操作系统原理、编译原理、数据库原理及应用、软件工程、软件测试等计算机基础理论课程；

网页制作、程序设计Java、JSP程序设计、Oracle、XML程序设计、计算机网络、SSH（Struts+Spring+Hibernate）框架、Java EE程序设计、Ajax程序设计、Linux+PHP+MySQL程序设计、Android手机开发、UML系统分析与设计、性能测试、自动化软件测试、软件质量保证、毕业设计及项目综合实训等。

数据结构、计算机网络、计算机组成原理、操作系统原理、编译原理、数据库原理及应用、金融学概论、西方经济学等基础理论课程；

网页制作、程序设计Java、JSP程序设计、J2EE程序设计、SQL Server数据库、Oracle数据库、Linux操作系统、UML系统分析与设计、软件工程、XML程序设计、SSH框架、金融市场学、ERP财务管理、管理信息系统、投资银行学、商业银行学、国际金融管理、毕业设计及项目综合实训等专业课程。

数据结构、计算机网络、计算机组成原理、操作系统原理、数据库原理及应用、软件工程、软件测试等计算机基础理论课程；

网页制作、程序设计Java、JSP程序设计、J2EE程序设计、XML程序设计、Ajax程序设计、SSH框架、Android手机开发、Linux+PHP+MySQL程序设计、SQL Server数据库、Linux操作系统、UML系统分析与设计、软件项目管理、行业标准与规范、IT服务管理、IT职业英语、毕业设计及项目综合实训等专业课程